Мы пойдём другим путём
Рассмотрим второй способ решения задачи, которую подробно разобрал Валерий Казаков на своём канале. Задача дана под заголовком Задача для реальных пацанов! Показанный приём решения полезно посмотреть по ссылке. Итак, задача.
1. К окружности с диаметром AB провели касательную через точку C окружности, а из концов касательной провели два перпендикуляра к этой касательной: AM = 9 и BK = 4. Найдите площадь треугольника ABC.
Заключительный кадр решения выглядит так.
Источник. Задача для реальных пацанов! | Наглядная Геометрия | Дзен https://dzen.ru/video/watch/68088f13a23cb449c06b4ca1
Валерий Казаков показал хороший приём решения задачи, но его решение можно было упростить, найдя радиус окружности как длину средней линии трапеции. Но мы пойдём другим путём.
Решим задачу «по-нашему, по-неучёному», — как говаривал Удодов-старший из рассказа А. П. Чехова «Репетитор».
Мы найдём площадь треугольника ABC как разность площади трапеции ABKM и площадей двух прямоугольных треугольников AMC и BKC.
Решение. Радиус окружности OCперпендикулярен касательной, а значит, параллелен основаниям трапеции ABKM, а так как AO = OC, то, по теореме Фалеса, MC = CK.
Углы ACM и BKC равны, так как оба с углом BCK дают в сумме 90°, следовательно, прямоугольные треугольники ACM и BKC подобны по двум углам, их стороны пропорциональны:
AM : CK = MC : BK,
9 : CK = CK : 4,
CK = MC = 6.
MK = 6 + 6 = 12.
Теперь из площади трапеции (9 + 4)*12/2 = 78 вычтем сумму площадей двух треугольников AMC и BKC, то есть вычтем 6*9/2 + 6*4/2 = 39, получим 78 – 39 = 39.
Ответ. 39.
Можно было решить задачу без подобия треугольников. Средняя линия трапеции, она же радиус окружности, равна 6,5, тогда диаметр окружности, он же гипотенуза прямоугольного треугольника с катетом 9 – 4 = 5, равен 13. Второй катет этого прямоугольного треугольника найдём по теореме Пифагора: 12 — это высота трапеции. Окончание решения задачи как при первом способе решения.
И немного о грустном. Перед разобранной задачей промелькнул такой кадр.\
Здесь надо провести радиус 5 в вершину треугольника, вычислит катет прямоугольного треугольника 4 — это будет вертикальная сторона треугольника, для которого ищем площадь, равную 3*4/2 = 6. Ради чего даются такие задачи реальным пацанам на канале — осталось загадкой.