Многие знания — многие печали
В Интернете полно энтузиастов, занимающихся не своим делом. Некоторые считают, что учить и лечить может каждый, так как каждый ходил к доктору и каждый ходил в школу.
Не очень понимаю Михаила Полянина, считающего, что если он специалист в программировании, то он ещё, в качестве бонуса, и специалист по обучению решению задач. Не первый раз комментирую его длинные и нудные способы решения задач.
Вот и сейчас Интернет принёс мне предложение прочитать его статью от 13.12.2024, которую мы обсудим. Она называется «Головоломка про нестандартную площадь».
Сразу к делу: есть квадрат, в котором отметили середину каждой стороны. После этого взяли какую-то точку внутри квадрата и провели от неё линии как раз к серединам квадрата, а затем измерили площади получившихся фигур — всех, кроме одной. Как это выглядит и какие там площади — на картинке ниже, а вот вопрос: какая площадь у оставшейся части?
Сразу поправим автора: провели не линии, а отрезки. Автор решения соединил отрезками общую вершину четырёх четырёхугольников с вершинами квадрата, обозначил четырьмя буквами площади полученных треугольников (равные площади одинаковыми буквами) и решал фактически систему линейных уравнений.
Решение Михаила Полянина
Мы не знаем, чему равны значения a, b, c и d, но мы знаем, чему равна сумма [площадей] пар разных треугольников — по условию. Например, сумма b и с равна 20. Зная это, составим четыре равенства:
a + b = 16
c + d = 32
b + c = 20
a + d = ❓
Сложим попарно два равенства:
a + b + c + d = 16 + 32 (1)
b + c + a + d = 20 + ❓ (2)
Теперь смотрите: в обоих случаях у нас получился один и тот же набор переменных, только в разном порядке. А раз так, то можно записать выражение в таком виде:
a + b + c + d = b + c + a + d
Но мы уже знаем, чему равны пары (a + b), (c + d) и (b + c), поэтому заменим их числами:
16 + 32 = 20 + a + d
48 − 20 = a + d
a + d = 28
Это и есть ответ — 28. Если вы его нашли сами — поздравляем, вы крутые!
— — — —
Поздравим автора, ответ правильный, но решение уж очень неэкономно. Из равенств (1) и (2) он мог составить «уравнение» 16 + 32 = 20 + ❓ и из него найти ❓= 28. Мог бы решить задачу при помощи одной буквы и одного уравнения или вообще без букв.
А теперь расскажем историю этой задачи.
Первый раз её решение мы комментировали на канале Наблюдатель в заметке Обобщение решения задачи на площади https://dzen.ru/a/Xu-XYXtYWQhxPh_P (21.06.2020)
I способ. Соединим отрезками точку внутри квадрата ещё и с вершинами квадрата, применим мой любимый совет: «Не бойтесь вводить лишние буквы!» Обозначим площадь синего треугольника x (здесь и далее площади выражены в квадратных сантиметрах). Соседний с ним белый треугольник имеет ту же площадь (общая вершина, равные основания на одной прямой).
Далее, обходя квадрат против числовой стрелки, находим площади треугольников (они записаны рядом с каждой половиной стороны квадрата):
32 – x; 32 – x;
20 – (32 – x) = x – 12; x – 12;
16 – (x – 12) = 28 – x; 28 – x.
Второй синий треугольник имеет площадь 28 – x, а неизвестная площадь равна
28 – x + x = 28.
В комментариях после заметки нахожу своё решение и указание на более простое вычисление: 16 + 32 – 20 = 28. Давайте его обоснуем.
II способ. Рассмотрим две пары треугольников, которые получены при первом способе решения и имеют вершинами противоположные вершины квадратов. Розовым цветом закрасим пару треугольников, имеющих параллельные стороны, зелёным цветом — другую пару треугольников.
Сумма высот, проведённых к параллельным сторонам в розовых треугольниках, равна стороне квадрата, поэтому сумма площадей розовых треугольников равна 1/4 площади квадрата. Сумма площадей зелёных треугольников также равна 1/4 площади квадрата. А сумма площадей четырёх этих треугольников, равная 16 + 32 = 48, составляет 1/2 площади квадрата.
Сумма площадей оставшихся четырёх треугольников также равна 48, поэтому площадь синей фигуры равна 48 – 20 = 28.
Ответ. 28.
Далее в статье эта задача обобщена для прямоугольника и шестиугольника. Эти задачи можно использовать в работе со школьниками.
Мораль сей басти такова: решая любую задачу по математике, надо обязательно спрашивать себя: а нет ли более простого способа получить тот же результат? Не надо стараться применить все знания, какие есть у решателя и начинать с применения сложных способов. Решая «детские» задачи, надо стараться находить их «детские» решения.
После публикации решения задачи внимательный читатель прислал ещё один способ решения задачи.
Площади зеленых треугольников в сумме равны площади красных треугольников, бежевые треугольники все равны и имеют равные площади. Значит, 16 + 32 = 20 + x, откуда x = 28.