Многие знания – многие печали – 4
На канале Валерия Казакова Наглядная геометрия помещена задача под заголовком Олимпиада Нью-Йорка.
1. В квадрате ABCD проведена ломаная AMKC, соседние звенья которой взаимно перпендикулярны. Длины звеньев ломаной заданы на рисунке. Найдите площадь многоугольника AMKCD.
Решение, показанное ведущим канала, в заключительном кадре выглядит так.
Источник. Олимпиада Нью-Йорка | Наглядная геометрия | Дзен. https://dzen.ru/video/watch/6799d9ec8c535d73c4222b82
Решение задачи могло быть более простым в вычислительном плане. Покажем это.
Решение. Из точки D проведём перпендикуляр DF к KC и продолжим AM до пересечения в точке E с отрезком DF. Поскольку отрезки AE и KC параллельны, как перпендикуляры к одной прямой, то угол AED прямой.
Сумма острых углов треугольника CDF равна 90°. Сумма острых углов при вершине D квадрата 90°. Значит, угол D одного треугольника равен углу C другого и эти треугольники равны по гипотенузе и острому углу.
Соединим точки B и K. Так как KFEM — квадрат со стороной 2, то FD = AE = 5. Углы BCK и CDF равны, поэтому треугольники BCK и CDF равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, угол BKC прямой и точки B, K и M лежат на одной прямой. Площадь квадрата ABCD равна 4*5*3/2 + 2*2 = 34. Вычтем из неё площадь двух треугольников и получим искомую площадь:
34 – 15 = 19.
Ответ. 19.
Коварность приведённого нами решения заключается в том, что, решателю очевидно, что внутри квадрата получаются четыре равных треугольника и квадрат, но доказательства этому факту обычно не приводят. Это видно из кратких комментариев под этой задачей в источнике.