На неожиданно больших каникулах некоторые школьники готовятся поступать в специализированные классы, например, в лицей 131 при Казанском федеральном университете. А там в вариантах прошлых лет встречаются задачи из специально выделенного раздела ЛОГИКА.
Шестиклассники, не имеющие опыта обучения в сильно мотивированном классе, опыта решения олимпиадных задач, не работавших с нашей с И.Ф.Шарыгиным книжкой «Задачи на смекалку», могут растеряться. Хотя по своим знаниям, прилежанию и желанию хорошо изучить математику они вполне подошли бы для обучения в специализированном классе. Давайте восполним пробелы в их подготовке, разобрав две задачи одного варианта. Для закрепления дадим три задачи на дом. Поехали!
Вариант 1 (2016 г.)
Решения задач варианта 1
6. Все простые числа, кроме 2, оканчиваются на нечётную цифру, так как из чётных чисел простым является только 2. Уже среди первых восьми простых чисел 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 есть числа, оканчивающиеся на каждую из цифр 1, 2, 3, 5, 7, 9. Какое наибольшее число различных простых чисел можно выбрать, чтобы они оканчивались различными цифрами? Только 6.
Если взять 6 различных простых чисел, включив туда из вредности 2, то в худшем случае они будут оканчиваться на различные цифры 1, 2, 3, 5, 7, 9 — других цифр в разряде единиц не будет. Любое седьмое простое число, отличное от выбранных шести, будет оканчиваться на одну из цифр: 1, 3, 5, 7, 9. Среди семи произвольных различных простых чисел найдётся пара чисел, оканчивающихся на одну и ту же цифру. Разность этих двух чисел делится на 10.
Поясним сказанное. Пусть первое число 10a + d, а второе 10b + d — их записи оканчиваются на цифру d, оба при делении на 10 дают остаток d. Их разность 10a — 10b делится на 10.
Итак, среди любых 11 различных простых чисел найдутся два числа, разность которых делится на 10.
Ответ. Верно.
7. Пусть у Павла было a, b, c, d отметок 5, 4, 3, 2 соответственно. Так как всех отметок 24, то верно равенство: a + b + c + d = 24.
У Павла и Тимура одно и то же число отметок (24) и одинаковые средние баллы (средние арифметические всех отметок), следовательно, у них одинаковые суммы всех баллов.
Тогда верно равенство (суммы всех баллов у Павла и Тимура равны):
5a + 4b + 3c + 2d = 4a + 3b + 2c + 5d.
Упростим полученное равенство:
a + b + c = 3d.
Теперь справа и слева прибавим по d и заменим сумму слева на число 24. Решив полученное уравнение, получим d = 6. У Тимура было 6 пятёрок.
Ответ. 6.
Усложним задачу 6 из первого варианта.
6*. Докажите, что среди любых 12 различных простых чисел найдутся три числа, попарные разности которых делятся на 10.
Теперь можно потренироваться на задачах из второго варианта.
Вариант 2 (2016 г.)
6. Верно ли, что среди 14 разных натуральных чисел всегда найдутся два числа, разность которых делится на 13?
7. В 6 А классе на опросе по математике 36 человек получили отметки; в 6 В классе такое же количество человек получили отметки по тому же предмету. В 6 А пятёрки получили столько же учеников, сколько в 6 В четвёрки, четвёрки столько же учеников, сколько в 6 В тройки, тройки столько же учеников, сколько в 6 В двойки, двойки столько же учеников, сколько в 6 В — пятёрки. При этом средний балл за опрос в 6 А и в 6 В одинаковый. Сколько учеников получили двойки в 6 А?
