И эту задачу решим проще – 2
На канале Наглядная геометрия появилась задача под заголовком «Обалденная задача про квадрат!», решённая с серьёзными дополнительными построениями. Итак, задача.
1. Через середины K и M сторон BC и CD квадрата ABCD проведены отрезки AK и BM, пересекающиеся в точке P. Найдите угол KPC.
Вот заключительный кадр решения с ответом.
Источник. Обалденная задача про квадрат! | Наглядная геометрия | Дзен. https://dzen.ru/video/watch/681c45eb3d103744c88fd893
К решению задачи нет претензий, интересное, но можно обойтись и более простыми фактами.
Решение. Соединим отрезком вершину квадрата C с серединой F стороны AD. В равных (по двум сторонам) треугольниках ABK и BCM углы BAK и CBM равны. Углы ABK и AKB в сумме составляют 90°, тогда и углы KBP и AKB в сумме составляют 90°, поэтому угол BPK прямой.
AKCF — параллелограмм (по признаку параллелограмма, так как AF и KC равны и параллельны), поэтому отрезки BM и CF перпендикулярны.
Из теоремы Фалеса следует, что BP = PE, а из подобия треугольников BCM и BEC, по двум углам, следует, что BE = 2CE, то есть PE = СE. В равнобедренном треугольнике CEP угол CPE равен 45°, тогда искомый угол KPC равен 45°.
Ответ. 45°.