И без теоремы синусов можно
На канале Валерия Казакова Наглядная геометрия помещена задача под заголовком «Миссия невыполнима! Площадь по биссектрисе и гипотенузе».
1. В прямоугольном треугольнике ABC проведена биссектриса CK = 2 прямого угла. Найдите площадь этого треугольника, если его гипотенуза равна 5.
Решение, показанное ведущим канала, в заключительном кадре выглядит так.
Источник. Миссия невыполнима! Площадь по биссектрисе и гипотенузе | Наглядная геометрия | Дзен. https://dzen.ru/video/watch/68468161f4f5501aa53a1bb8
Решение задачи можно немного упростить, если сделать дополнительное построение.
Решение. Обозначим катеты прямоугольного треугольника BC = a и AC= b. Достроим прямоугольный треугольник до прямоугольника ADBC и продолжим биссектрису CK до пересечения в точке M со стороной AD прямоугольника.
Углы ACM, BCM и AMC равны, следовательно, AM = AC = b. Из подобия треугольников AKB и BKC по двум углам составим пропорцию:
MK : CK = AM : CB,
MK : 2 = b : a,
В данной задаче биссектриса прямоугольного треугольника делит гипотенузу 5 на отрезки, отношение которых равно a : b, их можно найти, но удачное дополнительное построение привело нас к равнобедренному прямоугольному треугольнику, гипотенузу которого мы выразили чеpез b, и к квадратному уравнению относительно ab.