Геометрия вовсе не бессильна
Рассмотрим решение одной геометрической задачи, которое подробно разобрал Валерий Казаков на своём канале под сомнительным заголовком «Что делать, если геометрия бессильна?» Показанный координатный метод полезно освоить учащимся, иногда бывает проще применить его, но, кажется, не в нашем случае. Здесь задача имеет хорошее геометрическое решение с простой идеей. Итак, задача.
1. Стороны двух квадратов, имеющих общую вершину, лежат на одной прямой. Окружность проходит через две вершины квадратов и касается этой прямой (см. рис.). Стороны квадратов 2 и 1. Найдите радиус окружности.
Заключительный кадр решения выглядит так.
Источник. Что делать, если геометрия бессильна? | Наглядная Геометрия | Дзен https://dzen.ru/video/watch/683ff2ed67387510687e87fc
Решение. Из центра окружности O проведём перпендикуляры OF и OP к сторонам AB и AD большего квадрата. Продолжим сторону MN меньшего квадрата до пересечения с OP в точке E.
Мы получили два прямоугольных треугольника, катеты которых параллельны AD и сумма их длин равна AD. Вот и вся идея. Переходим к вычислениям.
Обозначим радиус окружности R, тогда OB = OM = OP = R, BF = 2 – R, OE = R – 1, R < 2. В левую часть равенства FO + EM = AK подставим результаты вычислений по теореме Пифагора, получим уравнение:
И тут возникает вопрос: а кто у нас тут бессильный? В чём заключается бессилие геометрии применительно к данной задаче? Идея решения задачи прозрачная, иррациональное уравнение несложное. Но, как говорится, на вкус и цвет товарищей нет.