Геометрия – искусство правильных рассуждений на неправильном чертеже
Рассмотрим задачу с канала Александра Долгих под заголовком Британская задача про трапецию.
1. Дана трапеция, у которой основания равны 6 и 9, а боковые сторону 7 и 8. Найдите площадь этой трапеции.
Никаких вопросов по решению задачи у нас нет. План решения: провести прямую, параллельную боковой стороне, получить треугольник со сторонами 7, 8, 3, найти его площадь по формуле Герона и высоту треугольника, являющуюся высотой трапеции, вычислить площадь трапеции.
Источник. https://dzen.ru/video/watch/67ab8fe7fe088f68d1408ee1?ysclid=m72aw6aa5j471088381
Мы рассмотрим более длинное решение, но без формулы Герона, зато с теоремой Пифагора и повторим важный приём вычисления длин касательных.
Решение. Сначала заметим, что из равенства 7 + 8 = 6 + 9 следует, что в данную трапецию можно вписать окружность. K, L, M, N — точки касания окружности со сторонами трапеции ABCD, BE и CF — высоты, проведённые к большему основанию (см. рис.).
Обозначим длины равных касательных: CL = CM = x, DM = DN = 8 – x,
AN = AK = 9 – (8 – x) = 1 + x, BL = BK = 6 – x. В треугольниках ABE и CDF найдём стороны AE = 1 + x – (6 – x) = 2x – 5 и DF = 8 – x – x = 8 – 2x.
После преобразований получим линейное уравнение, имеющее корень x = 2. Но тут получился странный результат: AE = 2x– 5 = –1, говорящий о том, что на самом деле EN > AN.
А Александр Долгих получил правильный результат. И тут вспоминается изречение древних: «Геометрия есть искусство правильных рассуждений на неправильном чертеже».
Можно переделать рисунок и заново провести рассуждения, связанные с длиной отрезка AE, но это приведёт к тому же уравнению и к тому же ответу в задаче.
Для закрепления приёма нахождения длин касательных можно дать учащимся следующую задачу.
2. В треугольник, стороны которого 13, 14, 15, вписана окружность. Найдите длины отрезков, на которые точки касания делят стороны треугольника.
Для её решения используется похожий приём. Обозначим буквой длины касательных, выходящих из вершины угла треугольника, выражаем оставшиеся части тех же сторон через эту букву. Складываем полученные результаты и приравниваем к длине третьей стороны.
Ответ. 7, 6, 6, 8, 8, 7.