Ещё три задачи из сборника для подготовки к ЕГЭ. Математика. Профиль

30.07.2023

Рассмотрим ещё три решения задач из второго варианта нового сборника для подготовки к ЕГЭ-2024 [1].

15. 15 января планируется взять кредит в банке на 6 месяцев в размере 4,8 млн рублей. Условия его возврата таковы.
– 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей:

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 6 млн рублей.

Замечание. Задача является типичным образцом задачи, притянутой к практике за уши. В ней описана надуманная ситуация, так как перед банком не стоит задача назначать проценты по кредитам так, чтобы выполнить пожелание клиента, берущего кредит. Подходят условия банка — бери кредит, не подходит — проходи мимо.

16. В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 180 и
AC = 202,5, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

Решение. Чтобы не переписывать много раз многозначные числа и не вести с ними вычислений, обозначим AB = 180 = c, AC = 202,5 = b.

В конце решения подставим числовые значения этих букв в полученную формулу. Дальше применим шуточный совет: «Не бойтесь вводить лишние буквы!». Пусть прямая BD пересекает диаметр окружности в точке F, а окружность — в точке E (см. рис.).

18. На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. К каждому числу первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу второй группы — цифру 7. А числа третьей группы оставили без изменения.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз?

в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

Решение. а) Здесь достаточно привести пример, удовлетворяющий условиям задачи, если ответ «да». Или доказать, что такой пример привести нельзя, если ответ «нет».

Пусть в каждой группе было по одному числу: (a), (b), (c). Эти числа превращаются в числа (10a + 3), (10b + 7), (c). Попробуем подобрать три числа, удовлетворяющие равенству

10a + 3 +10b+ 7 + c = 8(a + b + c),
2a + 2b+ 10 = 7c. (1)

Из равенства (1) следует, что c — четное. Пробуем c = 2. Тогда равенству (1), или равенству a + b+ 5 = 7 удовлетворяют лишь a = 1 и b = 1. Но все три числа должны быть различны. Пробуем c = 4. Тогда равенству (1), или равенству a + b+ 5 = 14 удовлетворяют a = 6 и b = 3.

Проверим: тройка чисел (6), (3), (4) перейдёт в тройку чисел (63), (37), (4). Сумма чисел в тройке увеличилась в 8 раз.

б) Пусть было x чисел в первой группе и их сумма A, после преобразования сумма будет равна 10A + 3x.

Пусть было y чисел во второй группе и их сумма B, после преобразования сумма будет равна 10B + 7y. А сумма чисел в третьей группе была и осталась равной С.

Выясним, можно ли подобрать числа A, B, C, x, y так, чтобы выполнялось равенство:

10A + 3x +10B + 7y + C = 17(A + B + C),
3x + 7y = 7A + 7B + 16C. (2)

Учитывая, что все числа в трёх группах различны, в каждой из них сумма чисел больше количества чисел в группе, то есть A > x, B > y.

Если мы увеличим левую часть равенства (2), то получим неравенство:
3A + 7B > 7A + 7B + 16C. (3)
Но неравенство (3) не выполняется ни при каких значениях входящих в него букв, так как левая часть этого неравенства меньше правой.

Это означает, что сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз не может.

в) Используя обозначения, принятые при решении задания б), найдём, во сколько раз (n) увеличивается сумма при описанных в задаче изменениях чисел.

Используемая литература

1. ЕГЭ-2024 : Математика : 50 тренировочных вариантов экзаменационных работ для подготовки к единому государственному экзамену: Профильный уровень / Н. А. Ким. – Москва: АСТ. 2023. – 238.