Ещё один способ решения задачи 26 по геометрии из ОГЭ
Познакомимся с решением задачи 26 из ОГЭ ещё на одном канале, где ведущий показывает не только решения задач по математике, но и фокусы. Задача дана под заголовком: Геометрия. Улётная задача. Найдите основания трапеции.
26. (ОГЭ) Дана трапеция ABCD, в которой углы A и D равны соответственно 78° и 12°. Средняя линия трапеции и отрезок, соединяющий середины её оснований, равны соответственно 29 и 19. Найдите длины оснований трапеции.
Решение задачи можно посмотреть на канале Математика и фокусы. https://dzen.ru/video/watch/629f670662994c2ee9fe1d71?ysclid=m69f3xy1p4612070315
Решение выполнено с достроением трапеции до треугольника продолжением боковых сторон трапеции. В решении использовано подобие треугольников. Рассмотрим другое решение — без подобия треугольников.
Решение. Рассмотрим трапецию ABCD, в которой углы A и D равны соответственно 78° и 12°, средняя линия MN равна 29, отрезок FK, соединяющий середины её оснований, равен 19 (см. рис. выше).
Обратим внимание на градусные меры углов A и D, их сумма равна 90°. Построим треугольник с такими углами, третий угол в нём прямой. Для этого проведём CE ∥ AB, BC = AE по свойству параллелограмма. Углы CED и ECD равны соответственно 78° и 90°.
Проведём CP ∥ FK, FC = KP, CP = FK по свойству параллелограмма. Отрезок CP похож на медиану прямоугольного треугольника. Выясним, так ли это. Обозначим BF = FC = KP = x.
Тогда AD = 2MN – BC = 58 – 2x, AK = KD = 0,5AD = 29 – x, PD = 29 – x – x = 29 – 2x,
а EP = AK – AE + KP = 29 – x – 2x + x = 29 – 2x.
Мы доказали, что PD = EP, значит, отрезок CP, равный FK и равный 19, является медианой проведённой к гипотенузе, он равен половине гипотенузы, то есть равен PD = CP. Составим уравнение:
29 – 2x = 19,
из которого получим, что 2x = 10, это и есть длина основания BC.
AD = 58 – 2x = 58 – 10 = 48.
Ответ. 10 и 48.