При решении «задачи века» мы обойдёмся без вычисления дискриминанта, воспользовавшись пропорциональностью площадей прямоугольников.
Решение. Через точки M и N проведём прямые, пропорциональные сторонам прямоугольника, точку пересечения этих прямых обозначим O.
Площади прямоугольников AMON, MBCK и NLCD в два раза больше площадей треугольников с известными площадями и равны 24, 54 и 30 соответственно. Воспользуемся удачным совпадением в числовых ранных: 24 + 30 = 54 (при других числовых данных пришлось бы вычислять дискриминант).
Обозначим S – площадь прямоугольника OLCK, тогда площади прямоугольников MBLO, NOKD и AMKD равны 54 – S, 30 – S и 54 – S соответственно.
Отношение площадей прямоугольников MBLO и AMON равно отношению площадей прямоугольников MBCK и AMKD, так как они оба равны отношению BM : AM. Составим пропорцию:
(54 – S) : 24 = 54 (54 – S),
откуда получим, что квадрат выражения (54 – S) равен 24 ∙ 54 = 36 ∙ 36, а 54 – S = 36, тогда S = 18.
Теперь найдём площадь прямоугольника ABCD:
54 + 24 + 30 – 18 = 90.
Тогда неизвестная площадь треугольника равна
90 – 27 – 12 – 15 = 36.
Ответ. 36.