Ещё раз о пропорциональности площадей в треугольнике
На канале Валерия Казакова разобрано решение задачи на пропорциональность площадей в треугольнике, разделённом на части отрезками, соединяющими две вершины треугольника с точками противолежащих сторон. Тема эта неоднократно обсуждалась на канале Наблюдатель, в конце статьи приведена ссылка на такую публикацию. В той статье доказана важная теорема о пропорциональности площадей, в чём её суть применительно к нашей задаче?
Если M – середина отрезка BC, то попарно равны площади треугольников ABM и AMC, OBM и OMC, AOB и AOC (рис. ниже).
Если K – делит отрезок AC в отношении AK : KС = 1 : 2, то площади треугольников ABK и CBK, AOK и COK, ABO и CBO относятся как 1 : 2.
Но вернёмся к задаче. Она дана под заголовком «Олимпиада Дубая, 8 класс. Топовое решение!».
1. В треугольнике ABC проведена медиана AM, точка K делит отрезок AС в отношении AK : KС = 1 : 2. Отрезки AM и BK пересекаются в точке O. Площадь четырёхугольника KOMC равна 5 кв. см. Найдите площадь треугольника ABC.
Источник. Олимпиада Дубая, 8 класс. Топовое решение! | Наглядная геометрия | Дзен https://dzen.ru/video/watch/69db6bb8f27834023cff5599
На канале Валерия Казакова приведено решение задачи методом масс, с применением теоремы Фалеса… В дополнительной статье показано применение того самого «топового» способа решения задачи.
Покажем способ решения задачи, опирающийся только на теорему о пропорциональности площадей.
Решение. Обозначим площадь треугольника AOK через x. Тогда площадь треугольника COK равна 2x, площадь треугольника AOB равна площади треугольника AOС и равна 3x, а площадь треугольника BOC в 2 раза больше, она равна 6x. Отрезок OM делит эту площадь пополам, поэтому площадь треугольника OMC равна 3x.
Составим уравнение:
2x + 3x = 5,
x = 1.
Площадь треугольника ABC равна 12x = 12 (кв. см).
Ответ. 12 кв. см.
Статья по теме
Возвращаемся к теме пропорциональности площадей