Две задачи 25 из ОГЭ-2024. Площади фигур

16.02.2024

Рассмотрим решение двух задач на площади фигур из сборника для подготовки к ОГЭ-2024 [1]. Начнём с более простой задачи.

1. Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 17 и 9, а средняя линия равна 5.

Средняя линия позволяет найти сумму оснований трапеции, она равна 2∙5 = 10. Хорошо бы построить отрезок такой длины. Проведём BM ∥ AC, M лежит на продолжении основания AD.

ACBM — параллелограмм, AM = BC, поэтому DM = 10.

Следующая задача сложнее.

2. В параллелограмме ABСD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABС. Расстояния от точки O до точки A и прямых AВ и AС соответственно равны 25, 13 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABСD.

Проведём радиусы OM, ON и OK в точки касания окружности со сторонами треугольника ABC. Они равны 7. OL = 13 — расстояние от точки O до прямой AD, AO = 25.

По теореме Пифагора вычислим AN = 24. Точки O, K и L лежат на перпендикуляре к прямой AD, KL = 13 + 7 = 20 — высота параллелограмма ABCD. Для вычисления его площади осталось вычислить его основание. Обозначим: BK = x, CK = y, тогда по свойству касательных имеем: BN = x, CM = y, AM = 24. Полупериметр треугольника ABC равен x + y + 24.

Выразим площадь треугольника ABC как 7(x + y + 24) = 7x + 7y + 168.

Площадь того же треугольника выразим как половину площади параллелограмма ABCD: 0,5 ∙ (x + y) ∙ 20 = 10x + 10y.

Приравняем полученные выражения для площади треугольника ABC:

10x + 10y = 7x + 7y + 168,

откуда получим, что x + y = 56. Тогда площадь параллелограмма равна

(x + y) ∙ 20 = 56 ∙ 20 = 1120.

Ответ. 1120.

Используемая литература

1. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень : типовые экзаменационные варианты : 36 вариантов / под. Ред. И. В. Ященко. Москва : Издательство «Национальное образование», 2024.