Давайте упростим решение задачи Тоома на движение по реке
В Интернете встретилось упоминание об Андрее Леоновиче Тооме. В старые добрые времена мне довелось с ним познакомиться. В один из его приездов в Россию (2004 г.) он провёл семинар для учителей математики нашего района в школе 679 г. Москвы, где мне довелось работать 30 лет.
Примерно в то же время он публиковал статьи о своём опыте использования российской методики обучения решению текстовых задач в США в газете «Математика», где мне довелось поработать больше года заместителем главного редактора. Нахлынули воспоминания… Но вернёмся к заинтересовавшей меня заметке и к решению, которое авторы заметки посчитали правильным.
Хитрая задача про реку от русского преподавателя в американском колледже
В девяностых наш математик Андрей Леонович Тоом преподавал в США математику студентам колледжей и давал им разные интересные задачи. Если что, это тот самый Тоом, в честь которого назвали новый алгоритм вычислений с низкой сложностью (осторожно, Википедия).
Так вот, задача:
1. Марк Твен на лодке проплыл по Миссисипи по течению за 5 дней, а против течения то же расстояние он проплыл на этой же лодке за 7 дней. За сколько дней Марк Твен проплыл бы это расстояние, если бы у реки не было течения?
Обозначим скорость лодки за Л, а скорость течения — за Т. Дистанцию, соответственно, обозначим за Д, а расстояние от точки до точки — за Р. Теперь у нас есть всё что нужно.
Чтобы посчитать дистанцию, нужно скорость умножить на время.
Когда Марк Твен плыл по течению, его скорость была равна (Л + Т) и он проплыл всё за 5 дней. Получается, что расстояние равно:
Р = 5 × (Л + Т)
А когда он плыл 7 дней обратно, его скорость была равна (Л − Т), потому что он плыл против течения, и расстояние считается так (и помним, что это то же самое расстояние, что и в начале):
Р = 7 × (Л − Т)
Теперь умножим обе части первого равенства на 7, а второго — на 5. Так как мы обе части умножаем на одно и то же число, равенство сохраняется:
7Р = (Л + Т) × 35 → 7Р = 35Л + 35Т
5Р = (Л − Т) × 35 → 5Р = 35Л − 35Т
Сложим два получившихся равенства:
12Р = 35Л + 35 Л + 35Т − 35Т
12Р = 70Л
Получается, что скорость лодки равна: Л = 12Р / 70.
Запомним это и вернёмся к формуле расчёта времени от расстояния и скорости. Чтобы найти время, за которое пройдётся какое-то расстояние, нужно это расстояние разделить на скорость движения:
Время = Расстояние (Р) / Скорость
Расстояние мы знаем — это Р. Скорость лодки мы тоже знаем — 12Р / 70. Разделим одно на другое, чтобы получить время, за которое лодка пройдёт по реке, которая никуда не течёт (и лодка просто плывёт со своей скоростью):
Время = Р / (12Р / 70)
Время = 1 / (12/70) = 70 / 12
Выходит, что время, которое потребуется Марку Твену для того, чтобы проплыть на лодке по Миссисипи без течения, — 70 / 12 дней. Разделим и получим — 5,83 дня, или 5 дней и почти 20 часов.
Так можно решать задачу, если совершенно не знакомы с обучением решению текстовых задач в традиционной российской школе. До недавнего времени эту традицию удавалось сохранять в учебниках по математике С. М. Никольского для 5-6 классов. Больше 22 лет они использовались в школе, а теперь вытеснены «единым» учебником, введённым ещё 60 лет назад.
1-й способ. Примем всё расстояние за 1, скорость будем выражать частями этой единицы, которые лодка или река проплывают в день.
1) 1 : 5 = 1/5 — скорость лодки по течению,
2) 1 : 7 = 1/7 — скорость лодки против течения,
3) 1/5 – 1/7 = 2/35 — удвоенная скорость течения,
4) 2/35 : 2 = 1/35 — скорость течения,
5) 1/5 – 1/35 = 6/35 — собственная скорость лодки (без течения),
6) 1 : 6/35 = 35/6 (дня) — время движения без течения.
То есть то же расстояние Марк Твен проплыл бы по озеру за 35/6 дня, или за 5 дней и 20 часов.
Объяснение третьему действию.
Скорость по течению = собственная скорость + скорость течения,
Скорость против течения = собственная скорость – скорость течения.
Сложив две строки, получим факт, который школьники должны знать на память:
Скорость по течению + скорость против течения = удвоенная собственная скорость.
Если не нравится обозначать единицей всё расстояние, то можно ввести «лишнюю» букву S для обозначения всего расстояния (в км или в милях), она потом сократится.
2-й способ. Примем всё расстояние за S миль (дело же происходит в США), скорость будем выражать в милях в день, время в днях.
1) S : 5 = S/5 — скорость лодки по течению,
2) S : 7 = S/7 — скорость лодки против течения,
3) S/5 – S/7 = 2S/35 — удвоенная скорость течения,
4) 2S/35 : 2 = S/35 — скорость течения,
5) S/5 – S/35 = 6S/35 — собственная скорость лодки (без течения),
6) S : 6S/35 = 35/6 (дня) — время движения без течения.
Ответ. За 35/6 дня, или за 5 дней и 20 часов.
Статьи по теме
1. А. Л. Тоом (Бразилия). Текстовые задачи: приложения или умственные манипулятивы
2. А. Л. Тоом. Как я учу решать текстовые задачи
3. А. Л. Тоом. Русский учитель в Америке
4. А. Л. Тоом. Текстовые задачи: приложения или …
5. Семинар в школе 679 с участием А. Л. Тоома