Четвёртая формула площади прямоугольного треугольника
Назаров М. Г.
Известны три формулы площади прямоугольного треугольника — через два катета, через гипотенузу и высоту, проведённую к ней, через радиус вписанной окружности и полупериметр. Обсудим и четвёртую формулу, которая менее известна.
Площадь прямоугольного треугольника равна произведению отрезков, на которые гипотенузу разбивает точка касания окружности, вписанной в этот треугольник.
Пусть дан прямоугольный треугольник ABC. Вписанная окружность разбивает гипотенузу AB на отрезки длины m и n. Докажем, что площадь этого треугольника равна mn.
Доказательство. Обозначим радиус вписанной окружности r. Два радиуса, проведённые в точки касания с катетами, образуют с этими катетами квадрат. CD = CF = r. По свойству касательных AE = AD = m, BE = BF = n. По теореме Пифагора составим первое равенство:
Разумеется, площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле Герона, с помощью синуса острого угла, но их обычно не применяют из-за простоты первых двух формул.