Бесподобное решение задачи иранской геометрической олимпиады
Рассмотрим задачу, предложенную на канале Наглядная геометрия под заголовком Иранская геометрическая олимпиада!
1. В прямоугольнике ABCD AB = 3, BC = 4. На сторонах AB и BC отметили точки K и M так, что AK = CM = 1 (рис. выше). Отрезки AM и CK пересекаются в точке P. Найдите угол ADP.
Решение, показанное ведущим канала, в заключительном кадре выглядит так.
Источник. Иранская геометрическая олимпиада! | Наглядная геометрия | Дзен https://dzen.ru/video/watch/67aaeba9b1c7015e6fd9dbf4
Здесь использовано подобие треугольников, а мы решим задачу бесподобно, то есть без подобия треугольников.
Решение. Разделим отрезки KB и BC пополам и через точки деления проведём прямые, параллельные сторонам прямоугольника. Через точку K проведём прямую, параллельную AD.
Вертикальные прямые по теореме о пропорциональных отрезках разделят отрезок CK пополам, а отрезок AM в отношении 2 : 1, считая от точки A. Горизонтальные прямые те же отрезки разделят в тех же отношениях, то есть точки деления отрезков CK и AM вертикальными и горизонтальными прямыми совпадают с точкой P пересечения отрезков CK и AM.
Отрезок DP является диагональю квадрата со стороной 2, значит, угол ADP равен 45°.
Ответ. 45°.