Арифметика и алгебра помогают геометрии
Рассмотрим решение несложной задачи, варианты которой для учащихся можно множить способом, указанным ниже.
1. Дан квадрат ABCD. Через его вершины провели четыре параллельные прямые и четыре перпендикулярные им прямые. При пересечении построенных прямых образовались два квадрата: KLMN и PQRS (см. рис.). Найдите сторону квадрата ABCD, если сторона квадрата KLMN равна 1, а сторона квадрата PQRS равна 7.
Решение. Взаимно перпендикулярные прямые при пересечении со сторонами квадрата образуют прямоугольные треугольники с гипотенузой, равной стороне квадрата. 4 таких треугольника внутри и 4 вне квадрата ABCD.
Эти 8 треугольников равны по гипотенузе и острому углу (углы равны как соответственные или как острые углы с соответственно перпендикулярными сторонами). Один из этих треугольников — AKD.
Обозначим катеты этих треугольников a и b (a > b), тогда сторона квадрата PQRS равна a + b, а сторона квадрата KLMN равна a – b.
По условию задачи, a + b = 7, a – b = 1. Решив систему этих уравнений, получим a = 4, b = 3, по теореме Пифагора найдём сторону данного квадрата, она равна 5.
Ответ. 5.
Другие варианты задачи можно составить, используя пифагоровы тройки. В нашей задаче 7 и 1 — это сумма и разность двух первых чисел в первой тройке. Для других вариантов вместо 7 и 1 можно взять 17 и 7, 7 и 23…, складывая и вычитая два первых числа в тройке.
(3, 4, 5); (5, 12, 13); (8, 15, 17); (7, 24, 25); (20, 21, 29); (12, 35, 37)…
Замечание. Находить два числа по их сумме и разности полезно научить школьников ещё в 5 классе при обучении решению текстовых задач арифметическими способами. Тогда для решения рассмотренной задачи алгебра (решение системы линейных уравнений) не потребуется, будет достаточно арифметики. Сложив данные числа 7 и 1 (сумму и разность неизвестных чисел), мы получим удвоенное большее число, оно равно (1 + 7 ):2 = 4. Меньшее число равно 7 – 4 = 3.
Подробнее: https://dzen.ru/a/XO7FORQlVgCvv-Zr?ysclid=me8k1gnpzu902393361
А теперь составим задачу посложнее.
2. В прямоугольнике ABCD BC = 2AB. Через его вершины провели четыре параллельные прямые и четыре перпендикулярные им прямые. При пересечении построенных прямых образовались два прямоугольника: KLMN и PQRS (см. рис.). Найдите периметр прямоугольника ABCD, если периметр прямоугольника KLMN равен 42, а периметр прямоугольника PQRS равен 102.
Решение. Взаимно перпендикулярные прямые при пересечении со сторонами квадрата образуют два типа прямоугольных треугольников с гипотенузами, равными сторонам прямоугольника ABCD. 4 таких треугольника имеют гипотенузу, равную AB, их катеты обозначим a и b (a > b), другие 4 треугольника имеют гипотенузу, равную BC, их катеты обозначим 2a и 2b.
Эти 8 треугольников подобны по двум углам (прямые углы равны, а острые равны как соответственные или как углы с соответственно перпендикулярными сторонами).
Выразим через a и b периметр прямоугольника PQRS: 2(2a + b + a + 2b) = 6(a + b) и прямоугольника KLMN: 2(2a – b + a – 2b) = 6(a – b).
По условию задачи, 6(a + b) = 102, a + b = 17, 6(a – b) = 42, a – b = 7. Решив систему этих уравнений a + b = 17, a – b = 7, получим a = 12, b = 5, по теореме Пифагора найдём меньшую сторону данного прямоугольника 13. Тогда большая сторона равна 26, а периметр прямоугольника равен 2(13 + 26) = 78.
Ответ. 78.