Алгебраический и арифметический способы решения задачи про вырванные листы
Рассмотрим решение задачи, не обращая внимания на некоторую её непрактичность. Обычно в книгах и журналах чётное число листов, а здесь 55 листов. Будем считать, что это клееный альбом или на пружинках. Рассмотрим более простую версию задачи, решение которой с нейросетью можно найти в Интернете для случая, когда в журнале N листов, а нумерация начинается с номера k. Итак, задача.
1. В журнале было 55 листов, и каждая из двух сторон листа – это страница. Все страницы журнала занумерованы подряд идущими натуральными числами, начиная с 1. Женя вырвал из этого журнала первые несколько листов так, что количество цифр в нумерации вырванных страниц равно количеству цифр в нумерации оставшихся страниц. Сколько листов вырвал Женя?
Задачу можно дать сильным шестиклассникам (или старше) для домашнего решения, а на следующем уроке разобрать решение.
Решение. Способ 1. Итак, в журнале 55 листов, то есть 110 страниц.
1, 2, 3, …, 9, 10, 11, …, 99, 100, 101, …, 110. (1)
Считаем количество цифр, при помощи которых записаны все числа в последовательности (1):
1, … , 9, здесь 9 чисел, 9 цифр;
10, … , 99, здесь 99 – 9 = 90 двузначных чисел, 180 цифр;
100, … , 110, здесь 110 – 99 = 11 трёхзначных чисел, 33 цифры.
Всего 9 + 180 + 33 = 222 цифры. Половина этого количества (111) на вырванных листах, другая половина — на оставшихся.
Пусть Женя вырвал из журнала n первых листов. На них 2n страниц. Если бы все номера страниц были двузначными, то получилось бы 4n цифр, это число надо уменьшить на 9, так как первые 9 страниц с однозначными номерами. Итак, на вырванных страницах 4n – 9 цифр.
Тогда в журнале осталось 110 – 2n страниц. Если бы все номера страниц были двузначными, то получилось бы 2(110 – 2n) = 220 – 4n цифр, это число надо увеличить на 11, так как среди оставшихся страниц были 11 страниц с трёхзначными номерами. Итак, на оставшихся страницах 231 – 4n цифр.
По условию задачи составим уравнение:
4n – 9 = 231 – 4n.
Прибавив справа и слева по 4n + 9, получим равносильное уравнение:
8n = 240,
n = 30.
Было вырвано 30 листов.
Способ 2. Решим-ка мы эту задачу «по-нашему, по-неучёному», как говаривал Удодов-старший из рассказа А. П. Чехова «Репетитор». То есть без уравнения. Подсчитаем для разнообразия число цифр другим способом.
Если бы все номера 110 страниц были двузначными, то получилось бы 220 цифр, но это число надо уменьшить на 9, так как первые 9 страниц с однозначными номерами, и увеличить на 11, так как 11 страниц были с трёхзначными номерами. Для записи номеров страниц использованы
220 – 9 + 11 = 222 цифры. Половина этого количества (111) на вырванных листах, другая половина — на оставшихся.
Из 111 цифр ровно 11 цифр использовали для нумерации первых 5 листов (от 1 до 10). Оставшиеся 111 – 11 = 100 цифр использовали для нумерации двузначных номеров на оставшихся вырванных листах, по 4 цифры на каждый лист. То есть вырванных листов с двузначными номерами было 100 : 4 = 25. А всех листов было 5 с однозначными номерами и 25 с двузначными номерами, всего 30 листов.
Ответ. 30 листов.
Арифметическое решение (по действиям) выглядит проще алгебраического (уравнением). Какой из способов показать первым — решать учителю.