Алгебра для геометрии или против геометрии?
В данной заметке речь пойдёт о выборе способа решения геометрической задачи. До разбора конкретного примера надо сказать несколько общих слов.
Обучая геометрии в школе, надо стараться показывать разные способы решения задачи потому, что это позволяет повторять разные теоретические факты, приёмы решения. Готовя школьников к экзамену, надо обращать внимание на более экономные по времени способы решения задач. Но беда в том, что излишняя зацикленность на экзаменах приводит к тому, что часто отрабатываются более экономные способы решения задач при помощи метода координат, векторного метода, но не показываются простые геометрические решения, требующие простых дополнительных построений. Это приводит к обеднению теоретического и практического опыта учащихся.
Начнём с решения задачи № 324604, выложенного на странице Прототипы задания 26 (ОГЭ). Теперь это задания 24.
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 4. Найдите стороны треугольника ABC.
Автор решения применяет формулы для вычисления медианы и биссектрисы и решает систему двух уравнений второй степени. Это достаточно трудоёмкое решение.
Другой автор на страницеАлгебра для геометрии приводит начало решения той же задачи методом координат, но ошибается в обозначениях. У него x — отрицательное число. Тогда длина отрезка OB равна –x, где О — начало координат. Абсцисса точки E не 4 – x, а 4 – (–x) = 4 + x.
А теперь приведём более экономные в вычислениях два способа решения задачи.
Способ 1
Способ 2
Мораль сей басни такова: не пренебрегайте чисто геометрическими способами решений геометрических задач.