А и Б сидели… за столом. Три задачи на вероятность из сборника для подготовки к ОГЭ-2024
Рассмотрим три задачи на вероятность из сборника для подготовки к ОГЭ (50 вариантов) [1].
10. (43 вариант) За круглый стол на 21 стул в случайном порядке рассаживаются 19 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки окажутся на соседних местах.
Ответ: 0,1.
10. (44 вариант) За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки окажутся на соседних местах.
Ответ: 0,25.
10. (45 вариант) За круглый стол на 11 стульев в случайном порядке рассаживаются 9 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки окажутся на соседних местах.
Ответ: 0,2.
Все ответы получены по формуле 2/(n – 1), где n — число стульев.
Давайте разбираться.
Начнём с меньшего числа стульев, чтобы решение можно было проверить наглядным перебором всех случаев.
1. За круглый стол на 4 стула в случайном порядке рассаживаются 2 мальчика и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки окажутся на соседних местах.
Рис. автора
Пусть A и B — девочки, C и D — мальчики. Места за столом нумеруем по часовой стрелке, как показано на рисунке.
Имеется 4! = 4∙3∙2∙1 = 24 способа рассадить 4 человека на 4 места.
Способы рассадки для случая «А на месте 1″ показаны на рисунке. В 4-х из этих шести случаев девочки окажутся рядом, поэтому из всех 24 способах рассадки девочки окажутся рядом в 4∙4 = 16 случаях. Искомая вероятность равна
16/24 = 2/3.
Ответ. 2/3.
Рассуждая аналогично, решим задачу для варианта 43.
Имеется 21! = 21∙20∙ … ∙2∙1 способов рассадить 21 человека на 21 место. Первую девочку можно посадить на любое из 21 места, в любом из этих вариантов посадки есть 2 способа посадить вторую рядом, всего 21∙2 = 42 способа (до посадки мальчиков).
Для каждого из этих 42-х способов 19 мальчиков могут занять оставшиеся 19 мест 19! способами. То есть из 21! случаев рассадки девочки будут рядом в 21∙2∙19! случаях, поэтому искомая вероятность равна (21∙2∙19!)/21! = 2/20 = 0,1.
Если бы мы рассуждали в общем случае для n стульев, то пришли бы к вероятности, выраженной формулой 2/(n – 1), где n — число стульев.
Так или иначе, мы получили бы для варианта 44 ответ: 2/8 = 0,25, а для варианта 45 — ответ: 2/10 = 0,2, как в сборнике.
Тут возникает вопрос: если ученик на экзамене сумеет в задачах такого типа получать ответ делением 2 на n – 1, где n — число стульев, то означает ли это, что он что-то понимает в задачах на вероятность?
Дополнение. Приведём упомянутое выше решение задачи про рассаживание мальчиков и девочек для круглого стола и n стульев.
1.1 За круглый стол на n стульев в случайном порядке рассаживаются n человек: 2 девочки, а остальные мальчики. Найдите вероятность того, что девочки окажутся на соседних местах.
Решение. Имеется n! способов рассадить n человек на n мест. Первую девочку можно посадить на любое из n мест, в любом из этих вариантов посадки есть 2 способа посадить вторую девочку рядом, всего 2n способов (до посадки мальчиков).
Для каждого из этих 2n способов n – 2 мальчика могут занять оставшиеся (n – 2) места (n – 2)! способами. То есть из n! случаев рассадки девочки будут рядом в 2n∙(n – 2)! случаях, поэтому искомая вероятность равна 2n∙(n – 2)!/n! = 2/(n – 1).
После публикации в интернете этой статьи внимательный читатель А. В. Прислал ещё два способа решения обсуждаемых задач.
Второй способ решения. Первая девочка куда-то да сядет, после чего останется n – 1 место. И чтобы вторая девочка уселась рядом с ней, ей должно достаться одно из двух мест — справа или слева. А так как места равнозначные, то она равновероятно займёт одно из свободных мест, так что вероятность интересующего нас исхода 2/(n – 1).
Третий способ решения. Всего пар стульев n(n – 1)/2. Это как в задаче про число рукопожатий (по одному разу) среди n друзей. Каждый из n друзей пожмёт руку (n – 1) другу, но при этом каждое рукопожатие будет учтено дважды, поэтому рукопожатий не n(n – 1), а n(n – 1)/2.
Хороших пар, когда девочки сидят рядом, ровно n: (1; 2), (2; 3), … (n; 1).
Тогда искомая вероятность равна n/(n(n – 1)/2) = 2/(n – 1).
Спасибо нашему читателю А. В. за украшение статьи.
Используемая литература
1. ОГЭ 2024. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ / под. ред. И. В. Ященко. — М. : Издательство «Экзамен», 2024.