Задача о сборе ягод
486. Брат и сестра собирали малину в двухлитровые бидоны. Брат собирал ягоды быстрее сестры. Через некоторое время он решил ей помочь и поменялся с ней бидонами. Момент для обмена бидонами был выбран удачно — ребята наполнили их ягодами одновременно. Сколько литров ягод они набрали вместе до того, как поменялись бидонами? (С.М.Никольский и др. Алгебра 8, 2000-2003, с.140).
Решение. Пусть брат до обмена бидонами собрал х л, а сестра у л ягод, тогда после обмена брат собрал (2 – у), а сестра (2 – х) л ягод. Здесь предполагается, что брат собирал ягоды быстрее сестры в одно и то же число раз — до и после обмена бидонами, поэтому х больше у во столько же раз, во сколько (2 – у) больше, чем (2 – х). Составим уравнение:
2 – у х
–––– = –– .
2 – х у
Здесь 2 – х и y не равны 0, перепишем уравнение в виде (х – y)(х + y – 2) = 0. Так как по условию задачи х не равен y, то х + y – 2 = 0, то есть х + y = 2.
Нам не удалось с помощью одного уравнения найти значения х и y — это невозможно, да и не нужно, так как ответ задачи уже получен: брат и сестра вместе набрали 2 л ягод до того, как поменялись бидонами.
Решение этой моей задачи существенно упростил мой ученик Д. Просин, заметивший, что ребята должны поменяться бидонами в тот момент, когда брат соберет ровно столько ягод, сколько к этому моменту останется собрать его сестре, тогда после обмена бидонами они будут работать столько же времени, сколько и до обмена, то есть до обмена бидонами они соберут половину общего объема двух бидонов — ровно 2 л ягод.