Метод неопределенных коэффициентов
Метод неопределенных коэффициентов,
или Сведение уравнения к системе
Дмитрий из Москвы попросил нас подсказать идею решения такого уравнения:
(x2 + 4x – 2)2 + 4(x2 + 4x – 2) – 2 = x.
Данное уравнение преобразуется к виду
x4 + 8x3 + 16x2 – x – 6 = 0.
Оно не имеет рациональных корней. Раскладываем его левую часть на множители методом неопределенных коэффициентов. Подберем такие m и n, чтобы выполнялось равенство:
(x2 + mx – 2)(x2 + nx + 3) = x4 + 8x3 + 16x2 – x – 6.
Для этого раскроем скобки слева и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x.
Получим m = 3, n = 5, то есть наше уравнение равносильно уравнению:
(x2 + 3x – 2)(x2 + 5x + 3) = 0.
Окончание решения должно быть понятным.
Успехов тебе, Дмитрий!
P.S. Не успели «высохнуть чернила» на этом решении, как с нами связался известный автор интересных статей в газете МАТЕМАТИКА Александр Александрович Прокофьев сообщил, что такого рода уравнения были на конкурсном экзамене в его МИЭТе и предложил еще одну идею решения. Она покажется полезной тем, кому сложно подобрать те самые коэффициенты m и n. Действительно, приведенный выше метод не всегда дает нужные коэффициенты с первой попытки.
Итак, обозначим t = x2 + 4x – 2, тогда корень исходного уравнения можно будет найти, решив систему двух уравнений
t = x2 + 4x – 2,
x = t2 + 4t – 2.
Для ее решения из первого уравнения вычтем второе, получим уравнение
t – x = x2 – t2 + 4x – 4t,
которое приводится к виду
(x – t)(x + t + 5) = 0.
Теперь, рассмотрев два случая t = x и t = –x – 5, из первого уравнения системы найдем четыре корня исходного уравнения.
Спасибо, Александр Александрович!