Вводные задачи
Первый раздел содержит задачи, в которых встречаются слова «половина», «треть» и т. п. — это большей частью знакомые учащимся задачи на нахождение доли числа и числа по его доле. Здесь же для упрощения записей появляется обозначение долей в виде дроби. Так как это новый для учащихся материал, то следует обратить внимание на усвоение ими понятий «числитель» и «знаменатель», на правильное чтение и употребление дробей.
123.о а) Сколько минут содержится в половине, в трети, в четверти часа?
б) Сколько сантиметров содержится в половине, в четверти, в пятой части метра?
124. Туристы проехали на автобусе 48 км, потом они прошли пешком половину того расстояния, что проехали на автобусе. Какое расстояние преодолели туристы на автобусе и пешком?
125. В тетради 24 страницы. Сколько чистых страниц осталось в тетради, если исписали четверть всех страниц?
126. У Алеши 80 марок, у Бори на 20 марок больше, у Вовы — третья часть числа всех марок первых двух мальчиков. Сколько марок у Вовы?
127. 1) В книге 60 страниц. Девочка прочитала в первый день половину, а во второй день — треть всех страниц. Сколько страниц ей осталось прочитать?
2) В книге 60 страниц. Девочка прочитала в первый день половину всех страниц, а во второй день — треть оставшихся. Сколько страниц ей осталось прочитать?
3) В мастерской было 960 м ткани. За месяц израсходовали треть всей ткани, причем на пошив платьев пошла половина израсходованной ткани. Сколько метров ткани пошло на пошив платьев?
128. Старинная задача (Франция, XVII – XVIII вв.). Трое хотят купить дом за 24000 ливров. Они условились, что первый даст половину, второй — одну треть, а третий — оставшуюся часть. Сколько даст каждый?
В такой формулировке эта задача из «Курса математики»
Ж. Озанама приведена Г.И. Глейзером. Та же задача у В.Д. Чистя-кова дана в иной редакции:
Трое хотят купить дом за 26000 ливров. Они условились, что первый даст половину, второй — одну треть, а третий — одну четверть. Сколько даст каждый? [25]
Здесь сумма 1/2 + 1/3 + 1/4 = 13/12 превосходит единицу, следовательно, 26000 ливров нужно разделить на части, пропорциональные указанным дробям или числам 6, 4 и 3. Эту задачу можно будет предложить учащимся, но значительно позже.
129.о За четыре дня похода туристы израсходовали половину запасенных продуктов. На сколько дней им хватит оставшихся продуктов? На сколько дней было запасено продуктов?
130. Из всех 36 белых грибов половину нашел папа, третью часть остатка — мама, а остальные белые грибы нашел сын. Сколько белых грибов нашел сын?
131. Мальчик прочитал 30 страниц, что составило треть всех страниц книги. Сколько страниц в книге?
132. Когда туристы прошли 12 км, то они подсчитали, что пройденная часть пути составляет треть оставшейся. Какова длина пути?
133. Половина учащихся класса участвовала в конкурсе чтецов, треть из них стала победителями. Сколько учащихся в классе, если победителей было 5?
134. Литровая бутылка, наполненная растительным маслом, весит 950 г. Когда из нее вылили половину масла, она стала весить 550 г. Сколько весит масло? Сколько весит пустая бутылка?
В следующих задачах будет встречаться обозначение долей с помощью дробей. Если к этому моменту учащиеся еще не знакомы с дробями, то необходимо объяснить им смысл этого обозначения.
135. Потратили 1/2 от 40 р. Сколько денег потратили?
136. Длина мотка веревки 27 м. От него отрезали 1/3 часть. Сколько метров веревки отрезали?
137. 1) Школьники собрали с одного участка 504 кг моркови, с другого в 3 раза меньше. 1/3 всей собранной моркови израсходовали. Сколько килограммов моркови израсходовали?
2) На сахарный завод привезли в первый день 633 т 600 кг свеклы, во второй день — в 2 раза меньше. Сколько сахара получится из всей свеклы, если масса сахара составляла 1/6 массы свеклы?
138. Столовая израсходовала за 4 месяца 3672 кг овощей: в первый месяц 1/3 этих овощей, во второй месяц — в 2 раза меньше, чем в первый, а остальные овощи — поровну в третий и четвертый месяцы. По сколько килограммов овощей расходовала столовая в третий и четвертый месяцы?
139.* Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Некто оставил в наследство жене, дочери и трем сыновьям 48000 рублей и завещал жене 1/8 всей суммы, а каждому из сыновей вдвое больше, чем дочери. Сколько досталось каждому из наследников?
Познакомимся с решением этой задачи у Л.Ф. Магницкого.
140.о а) Работу выполнили за 4 ч. Какую часть работы выполняли в каждый час?
б) Бассейн наполняется за 5 ч. Какая часть бассейна наполняется в каждый час?
в) Пешеход прошел некоторое расстояние за 6 ч. Какую часть этого расстояния он проходил в каждый час?
141.о а) Путник проходит в час 1/5 пути. За сколько часов он пройдет весь путь?
б) В каждый час труба наполняет 1/6 бассейна. За сколько часов она наполнит весь бассейн?
в) В каждый день выполняется 1/7 некоторого задания. За сколько дней будет выполнено задание?
142.о 1) Два путника вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 ч. На какую часть первоначального расстояния они сближались в каждый час?
2) Два путника вышли одновременно навстречу друг другу. Они проходят в каждый час 1/4 всего пути. Через сколько часов путники встретятся?
Задачи 140–142 имеют двойное назначение. С одной стороны, они помогают формированию понятия доли (части) величины, с другой — готовят к задачам «на бассейны». Эти задачи можно решать устно. Желательно при этом изображать расстояние (всю работу и т. п.) в виде отрезка и показывать ту его часть, которая соответствует 1 часу, 1 минуте и т. п.
143.о 1) Поезд проходит некоторое расстояние за 8 ч. Какую часть расстояния он пройдет за 1 ч; за 2 ч; за 3 ч; за 8 ч?
2) Из семи дней недели было три солнечных дня. Какую часть недели составляет один день? Какую часть недели составляют солнечные дни?
3) В магазин привезли 200 лампочек; 5 из них оказались неисправными. Какую часть числа всех лампочек составляют неисправные лампочки?
4) В букете было 4 розовых цветка и 3 белых. Какую часть всех цветов составляют белые цветы?
144.* 1) Алеша с папой стреляли в тире. Алеша из 10 выстрелов имел 5 попаданий, а папа из 5 выстрелов имел 3 попадания. Чей результат лучше?
2) Саша и Коля играли в баскетбол. Саша из 10 бросков имел 6 попаданий в кольцо, а Коля из 8 бросков имел 5 попаданий. Чей результат лучше?
Задачу 144 следует предложить учащимся после изучения сравнения дробей, причем мы советуем показать учащимся сравнение дробей с разными знаменателями и в том случае, если это не предусмотрено в учебнике 5 класса. Можно ожидать, что учащимся будет трудно самостоятельно найти решение, приводящее к сравнению дробей. Предложите им использовать уже знакомую идею уравнивания. Предположим, что папа выстрелил еще 5 раз и имел тот же результат — 3 попадания. Сколько всего попаданий будет у папы? Чей же результат лучше?
После обсуждения первого способа решения задачи можно перейти ко второму, задав вопросы: Какую часть всех выстрелов Алеши составляют попадания? Какую часть всех выстрелов папы составляют попадания? Как получить ответ на вопрос задачи?
В задаче 144 (2) для уравнивания числа бросков нужно будет взять общее кратное чисел 8 и 10, а для упрощения вычислений — их наименьшее общее кратное.
145. 1) На столе лежало несколько книг. Когда взяли половину всех книг и еще одну книгу, то осталось две книги. Сколько книг лежало на столе первоначально (рис. 4)?
Рис. 4
2)* Мама дала своим детям конфеты: дочери половину всех конфет и еще 1 конфету, сыну половину остатка и еще 5 конфет. Сколько всего конфет мама дала детям?
Рис. 5
3)* Старинная задача. Отец дает денег своим детям. Старшему — половину всего и 1 рубль, среднему — половину остатка и еще 1 рубль, младшему — половину остатка и еще 3 рубля. И таким
образом всю сумму раздал. Сколько было денег?
4)* Старинная задача. Крестьянин, покупая товары, сначала уплатил первому купцу половину своих денег и еще 1 рубль; потом уплатил второму купцу половину оставшихся денег да еще 2 рубля и, наконец, уплатил третьему купцу половину оставшихся денег да еще 1 рубль. После этого денег у крестьянина совсем не осталось. Сколько денег было у крестьянина первоначально?
При решении задачи 145 (1) стоит обратить внимание на то, что если из одного из двух равных чисел вычесть, а к другому прибавить третье число, то разность полученных результатов будет в два раза больше третьего числа. Это наблюдение нужно связать с известным учащимся правилом нахождения двух чисел по их сумме и разности. Оно поможет решить задачу: взяли книг на 2 больше, чем осталось.
При решении задачи 145 (2) можно изобразить количество всех конфет в виде отрезка, показать на нем количество конфет, данных дочери и оставшиеся конфеты (рис. 5). Можно попросить учащихся дополнить рисунок, показав на нем отрезок, соответствующий 5 конфетам, о которых идет речь в условии задачи. Дальше им будет нетрудно сообразить, что у мальчика было 10 конфет, а у девочки — на 2 больше. Такого рода схематические рисунки будут полезны и при решении следующих задач.
146. 1) У Васи есть три шоколадки. Он утверждает, что сможет взять половину всех шоколадок и еще полшоколадки, не ломая ни одной них. Сможет ли Вася выполнить свое обещание? Если сможет, то как (рис. 6)?
Рис. 6
2) В вазе лежало 5 яблок. Мальчик взял половину всех яблок и еще пол-яблока. Сколько яблок взял мальчик?
3) В коробке лежали карандаши. Сестра взяла половину всех карандашей и еще полкарандаша. Остальные 4 карандаша взял брат. Сколько карандашей было в коробке первоначально?
147.* Крестьянка продавала на рынке яйца. Первая покупательница купила у нее половину яиц и еще пол-яйца, вторая половину остатка и еще пол-яйца, а третья последние 10 яиц. Сколько яиц принесла крестьянка на рынок?
148.* Старинная задача. К табунщику пришли три казака покупать лошадей. «Хорошо, я вам продам лошадей, — сказал табунщик, — первому продам я полтабуна и еще половину лошади, второму — половину оставшихся лошадей и еще пол-лошади, третий также получит половину оставшихся лошадей с полулошадью. Себе же оставлю только 5 лошадей». Удивились казаки, как это табунщик будет делить лошадей на части. Но после некоторых размышлений они успокоились, и сделка состоялась. Сколько же лошадей продал табунщик каждому из казаков?