Разные задачи
В этот раздел включено небольшое число задач, в решении которых используются десятичные дроби. Мы предполагаем, что их решение позволит учащимся закрепить второй способ нахождения части числа и числа по его части (соответственно умножением и делением на дробь) и подготовиться к решению задач на проценты.
222. 1) Вася сказал, что у них в классе 35 учащихся и девочки составляют 2/3 всех учащихся. Папа заметил, что такого не может быть. Почему?
2) Известно, что 8/15 класса учатся на «4» и «5». Сколько учащихся может быть в классе?
3) Известно, что 3/5 класса девочки и 1/7 из них отличницы. Сколько учащихся в классе?
4) Известно, что 1/8 класса отличники, а 3/5 класса — девочки. Сколько учащихся в классе?
223. Старинная задача. Мастер сплавил 3 куска серебра в 1/4 фунта, в 1/6 фунта и в 1/8 фунта, сделал из него ложки и продал их. Сколько получил он денег, если фунт серебра ценил в 24 р., да за работу взял 8 р.?
224. 1) Ставка учителя математики составляет 18 уроков в неделю. Какую часть ставки имеет учитель, ведущий: 18 уроков? 24 урока? 27 уроков в неделю?
2) У преподавателя музыки обучаются игре на фортепиано четверо старших и семеро младших школьников. Какую часть ставки имеет преподаватель музыки, если на ставку у него должно быть 9 старших или 12 младших школьников?
225. 1) Книга и тетради стоят 12 р. Стоимость тетрадей составила 0,4 стоимости всей покупки. Сколько стоят тетради?
2) Конфеты и печенье стоят 70 р. Стоимость конфет составила 0,3 стоимости всей покупки. Сколько стоят конфеты?
226. 1) Папе 40 лет. Возраст сына составляет 0,3 возраста отца. Сколько лет сыну?
2) Бабушке 60 лет. Возраст мамы составляет 0,6 возраста бабушки. На сколько лет бабушка старше мамы?
227. 1) В книге 300 страниц. Прочитали 0,6 всей книги. Сколько страниц осталось прочитать?
2) В коллекции было 200 марок. За год их число увеличилось на 0,2 первоначального числа. Сколько марок стало в коллекции?
228. 1) Бригада заасфальтировала 10 км шоссе, что составило 0,2 всего расстояния между двумя городами. Определите это расстояние.
2) Туристы прошли пешком 8 км, что составило 0,4 длины всего маршрута. Какова длина маршрута?
229. а) Найдите 0,6 числа 240.
б) Найдите 0,7 числа 280.
230. а) Найдите число, 0,6 которого равны 240.
б) Найдите число, 0,7 которого равны 280.
- 1) В магазин привезли 600 роз и гвоздик. Число роз составило 0,4 числа всех цветков. Сколько гвоздик привезли в магазин?
2) Потратили 0,2 от 540 р. Сколько рублей осталось?
3) Потратили 0,3 имевшейся суммы денег, осталось 210 р. Сколько денег было первоначально?
232. 1) В коллекции было 240 значков. За год их число увеличилось на 0,3 первоначального числа. Сколько теперь значков в коллекции?
2) В банк положили 400 р. За год вклад увеличится на 0,3 этой суммы. Какой станет сумма вклада через год?
3) Увеличьте число 810 на 0,5 этого числа.
233. 1) За 1/4 и 1/5 м ленты заплатили 18 р. Сколько стоит 1 м ленты?
2) За 1/2 м тесьмы заплатили на 6 р. больше, чем за 1/5 м такой же тесьмы. Сколько стоит 1 м тесьмы?
3) Старинная задача. За 11 копеек куплены одна пятириковая (в 1/5 фунта) и одна шестириковая (в 1/6 фунта) стеариновые
свечи. Сколько стоит фунт стеариновых свечей?
234.* У Саши на дне рождения было 5 друзей. Первому он отрезал 1/6 часть пирога, второму 1/5остатка, третьему 1/4 того, что осталось, четвертому 1/3 нового остатка. Последний кусок Саша разделил пополам с пятым другом. Кому достался самый большой кусок?
Заметим, что при решении задачи 234 школьники чаще всего начинают с обозначения всего пирога через х (или через 1) и пускаются в долгие вычисления. Если ваши учащиеся поступят так же, не надо мешать им в полезном упражнении, результат которого легко проверить с помощью рис. 7. Пусть пирог разделен на 6 равных частей. Первому дали 1/6 пирога — 1 кусок, осталось 5 кусков; второму дали 1/5 от этих 5 кусков, то есть такой же кусок и т. д. В результате все получили поровну. Здесь надо подчеркнуть, что поиску решения задачи часто помогает схематический рисунок.
235.* 1) В нашем классе есть певцы и танцоры. Известно, что 1/5 всех певцов еще и танцует, а 1/4танцоров еще и поет. Кого у нас в классе больше: певцов или танцоров?
2) В делегации иностранных гостей 1/6 говорящих по-английски говорит и по-немецки, а 1/5говорящих и по-немецки говорит и по-английски. Кого в делегации больше: говорящих по-немецки, или говорящих по-английски?
3) В делегации иностранных гостей 1/8 англичан знала немецкий язык, а 1/7 немцев знала английский язык. Кого в делегации больше: немцев или англичан? Можно ли ответить на этот вопрос?
Решению задачи 235 (1) существенно поможет рис. 8, а вот с задачей 235 (3) труднее. Здесь 1/8англичан и 1/7 немцев — это не одна и та же группа людей. Поэтому ответить на поставленный вопрос нельзя. Условию задачи могут удовлетворять различные количества англичан и немцев.
236. Легковая машина может проехать расстояние между двумя городами за 31/3 ч, а грузовая — за 5 ч. Машины выехали из этих городов одновременно навстречу друг другу. Через сколько часов после начала движения они встретятся?
237.* Древнеримская задача (II в.) Некто, умирая, завещал: если у моей жены родится сын, то пусть ему будет дано 2/3 имения, а жене остальная часть. Если же родится дочь, то ей — 1/3, а жене — 2/3. Родилась двойня — сын и дочь. Как разделить имение?
Из условия задачи следует, что мать должна получить в 2 раза больше, чем дочь, а сын — в 2 раза больше, чем мать. Дочери достанется 1 часть, матери — 2, сыну — 4, то есть 1/7, 2/7 и 4/7 имения соответственно.
238.* Из Акмимского папируса (VI в.) Некто взял из сокровищницы 1/13. Из того, что осталось, другой взял 1/17. Оставил же в сокровищнице 150. Мы хотим узнать, сколько было в сокровищнице первоначально?
239.* Старинная задача (Индия, XI в.)
Есть кадамба цветок,
На один лепесток
Пчелок пятая часть опустилась.
Рядом тут же росла
Вся в цвету сименгда
И на ней третья часть поместилась.
Разность их ты найди,
Ее трижды сложи
И тех пчел на Кутай посади.
Лишь одна не нашла
Себе места нигде
Все летала то взад, то вперед и везде
Ароматом цветов наслаждалась.
Назови теперь мне,
Подсчитавши в уме,
Сколько пчелок всего здесь собралось.
Было бы неплохо, если бы учащиеся смогли подсчитать число пчелок устно, как этого требует условие задачи.
240.* Старинная задача (Армения, VII в.). Один купец прошел через три города, и взыскали с него в первом городе пошлины половину и треть имущества, во втором городе половину и треть [с того, что осталось], и в третьем городе снова взыскали половину и треть [с того, что у него было]; и когда он прибыл домой, у него осталось 11 дахеканов [денежных единиц]. Итак, узнай, сколько всего дахеканов было вначале у купца.
241.* Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Некто пришел в ряд, купил игрушек для малых ребят: за первую игрушку заплатил 1/5 часть всех своих денег, за другую 3/7 остатка от первой покупки, за третью игрушку заплатил 3/5 остатка от второй покупки, а по приезде в дом нашел остальных в кошельке денег 1 р. 92 к. Спрашивается, сколько в кошельке денег было и сколько за которую игрушку денег заплачено.
Начнем решение задачи с конца, постепенно заполняя рис. 9, на котором вся сумма изображена ввиде прямоугольника. 192 к. — это 1 – 3/5= 2/5 второго остатка, который равен 192:2/5= 480 к. Эта сумма составляет 1 – 3/7 = 4/7 первого остатка, который равен 480: 4/7 = 840 к. Эта последняя сумма составляет 1 – 1/5 = 4/5 всей суммы, которая равна 840: 4/5 = 1050 к., или 10 р. 50 к.
242.* Старинная задача. Надгробная надпись на могиле Диофанта имеет следующее содержание: «Диофант провел шестую часть своей жизни в детстве, двенадцатую — в юности, после седьмой части, проведенной в бездетном супружестве и еще пяти лет, у него родился сын, умерший по достижении половины числа лет жизни отца, после чего Диофант прожил только 4 года». Сколько лет жил Диофант?
Задачу о возрасте Диофанта можно решить с помощью уравнения. Мы вовсе не исключаем такой возможности, но и арифметическое решение не представит большого труда, если заметить, что1/6 , 1/12 и 1/7 возраста Диофанта и еще 4 + 5 = 9 лет приходятся на половину его возраста, которую онпрожил до рождения и после смерти своего сына. То есть 9 лет составляют 1/2 – ( 1/6 + 1/12 + 1/7 ) = 3/28 возраста Диофанта, который прожил 9: 3/28 = 84 года.
243.* Старинная задача. Смешано два сорта кофе: 101/2 пуда первого сорта по шести гривен за фунт и 21 пуд второго сорта по 12 р. за пуд. Что стоит фунт смеси?
244.* Задача Метродора. Корона весит 60 мин (греческая мера) и состоит их сплава золота, меди, олова и железа. Золото и медь составляют 2/3, золото и олово 3/4, золото и железо 3/5 общего веса. Определить вес каждого металла в отдельности.
Сначала определим, сколько мин приходится на каждую из упомянутых в условии задачи частей.
1) 60 ·2/3 = 40 (мин) — масса золота и меди;
2) 60 ·3/4 = 45 (мин) — масса золота и олова;
3) 60 ·3/5 = 36 (мин) — масса золота и железа.
Сумма полученных результатов превышает массу короны на удвоенную массу золота.
4) (40 + 45 + 36 – 60):2 = 30,5 (мин) — масса золота;
5) 40 – 30,5 = 9,5 (мин) — масса меди;
6) 45 – 30,5 = 14,5 (мин) — масса олова;
7) 36 – 30,5 = 5,5 (мин) — масса железа.
Завершим § 2 примером, подтверждающим своеобразный закон сохранения занимательных задач: их недостаток в учебниках восполняется в газетах и журналах. Это измененная в первой строке задача С. Сатина (Крокодил, 1990, № 34).
245. За пять недель пират Ерема
способен выпить бочку рома.
А у пирата у Емели
ушло б на это две недели.
За сколько дней прикончат ром
пираты, действуя вдвоем?