ПРОЦЕНТЫ

25.04.2017

Задачи на проценты традиционны для программы 5–6 классов. Обучение их решению всегда рассматривалось как необходимое условие подготовки учащихся к жизни. Так в дореволюционной школе изучение процентов было довольно тесно связано с потребностями коммерческих расчетов. Например, в учебнике А.П. Киселева разъяснялся смысл слов «должник», «заимодавец» (кредитор), «ссуда», «начальный капитал», «процентная такса», «процентные деньги», «наращенный капитал» (начальный капитал с процентными деньгами), отдать деньги «в рост». Разъяснялось различие между простыми и сложными процентами. Задачи на проценты делились на 4 группы, в зависимости от того, что неизвестно из следующих величин: a) процентные деньги или наращенный капитал, b) начальный капитал, c) процентная такса (процент за год) и d) время, в течение которого капитал находится в росте.

Задачи второй группы рассматривались двух типов: в одних
известны процентные деньги, в других — наращенный капитал.

Далее показывались образцы решения пяти типов задач, условия которых мы здесь приводим. Во всех задачах проценты применяются для денежных расчетов и рассматриваются так называемые простые проценты, т. е. не учитываются проценты, начисляемые на процентные деньги.

Задача 1. Найти процентные деньги с капитала 7285 р., отданного в рост по 8 % на 3¹/₂ года.

Задача 2. Какой капитал, отданный в рост по 6³/₄ %, принесет в 6 лет 8 месяцев 3330 р. процентных денег?

Задача 3. Какой капитал, отданный по 5 %, обратится через 6 лет в 455 р.?

Задача 4. По скольку процентов (по какой таксе) надо отдать капитал 15108 р., чтобы в 2 года 8 месяцев получить 2417 р. 28 к. процентных денег?

Задача 5. На сколько времени надо отдать 2485 р. по 7 %, чтобы получить 139 р. 16 к. процентных денег?

Обратим внимание на замечание в учебнике, указывающее на связь задач на проценты с ранее рассмотренными задачами: «Так как процентные деньги пропорциональны капиталу, времени и проценту, то задачи на простые проценты можно большей частью решать посредством сложного тройного правила».

Например, приведенная выше задача 1 могла быть решена так:

Со 100 р.         за 1 год                8 р.

                          с 7285 р.      за 3,5 года             х р.

x = 8×^3,5/₁×⁷²⁸⁵/₁₀₀ = 2039,8 (р.)

В послереволюционные годы новая школа уточняла цели обучения, осмысливала прежний опыт, решительно и бесповоротно расставалась со всем, что не отвечало новому пониманию задач обучения. При всей революционной категоричности авторов программы 1921 г., значительно сокративших задачный «репертуар», в программе все же записано: «… понятие о проценте и вычисление процентных отношений обязательны в школе и включены в программу».

Однако в соответствии с «правдой жизни» сфера приложения процентных расчетов была значительно сокращена, что объяснялось следующим образом: «Исчисление процентных денег с капитала или срока, в течение которого данный капитал даст определенную прибыль, представляет собою (не говоря даже о том, что современная жизнь аннулировала подобный вопрос) простенькую задачу, которую легко решить на основании здравого смысла, без всяких «правил». Задачи, где вычисляются барыши купцов и барышников, шокируют нравственное чувство и следовательно имеют безусловно отрицательное значение».

Современная жизнь снова делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Везде — в газетах, по радио и телевидению, в транспорте и на работе обсуждаются повышение цен, зарплат, рост стоимости акций, снижение покупательной способности населения и т. п. Добавим сюда объявления коммерческих банков, привлекающих деньги населения на различных условиях, сведения о доходах по акциям различных предприятий и фондов, об изменении процента банковского кредита и пр. Все это требует умения производить хотя бы несложные процентные расчеты для сравнения и выбора более выгодных условий. Формирование соответствующих умений в настоящее время оставляет желать лучшего.

Обратим внимание на пример, показывающий, что проценты могут стать средством вольной или невольной дезинформации населения. Его нам подарил 7 июля 1997 г., сам того не ведая, первый вице-премьер правительства России Б. Немцов.

Ведущий программы «Час-пик» А. Разбаш спросил:

— Как Вы ожидаете, какой будет через год квартплата, скажем, за двухкомнатную квартиру в Нижнем Новгороде?»

Б. Немцов не стал приводить конкретные цифры, он ответил «в процентах»:

— Оплата жилья поднимется за год примерно на 15 %. Сейчас население оплачивает в среднем 35 % реальных расходов на содержание жилья, а через год (в 1998 г.) будет оплачивать уже 50 %.

— И всего-то? – воскликнул явно удовлетворенный сказанным ведущий передачи.

Однако вряд ли граждане будут так же довольны изменениями, которые могут произойти. В самом деле, из каждых 100 р. реальных расходов на оплату жилья население оплачивает в 1997 г. примерно 35 р., а в 1998 г. будет оплачивать уже 50 р. Разница 15 р. действительно составляет 15 % — 15 сотых от 100! Но почему рост оплаты жилья надо считать от 100? Это правительство отслеживает рост процентов по отношению к реальной стоимости содержания жилья (в нашем примере от 100 р.), а население ощутит совсем другой рост — от того, что реально платит сейчас, то есть от 35 р. Этот рост составит ^15×100/₃₅ ≈ 42,86 (%). И никакого обмана! Просто правительство и население по-разному считают проценты.

Довольно часто взрослые люди считают, что повышение цены в 3 раза соответствует ее повышению на 300 %, а повышение зарплаты на 50 % не могут сравнить ее с увеличением в 1,5 раза.

Процентные расчеты довольно плохо знают и учащиеся школы. Тому есть несколько причин.

Во-первых, в настоящее время проценты изучаются без всякой связи с соответствующими задачами на дроби. Первое знакомство с процентами происходит по учебнику Н.Я. Виленкина и др. в конце 5 класса. К этому времени учащиеся умеют в задачах практического характера находить дробь числа, число по его дроби и какую часть одна величина составляет от другой. Указанные умения если и обобщаются учителем в виде правил, то сами правила никак не помогают перенести уже освоенное умение в новую ситуацию, так как при решении конкретных задач на проценты речь ведут не про числитель и знаменатель дроби, а про количество процентов, содержащихся в целом и его части.

Во-вторых, и это сказывается преимущественно на умении школьников решать более сложные задачи на проценты, после изучения в 6 классе правил нахождения дроби числа умножением на дробь и нахождения числа по его дроби делением на дробь эти приемы не переносятся на задачи на проценты.

В-третьих, в решении задач на проценты довольно скоро начинают применять пропорции — тем самым процесс решения задач «механизируется», что мешает учащимся понимать смысл своих действий.

Плохое знание процентов не является исключительно российской проблемой. Сошлемся на пример из статьи В.И. Арнольда «Для чего мы изучаем математику?» (Квант, 1993, № 1–2). «В тесте для 14-летних американских школьников предлагалось оценить (не вычислить, а лишь оценить), что произойдет с числом 120, если от него взять 80 %. И предлагалось три варианта ответа: увеличилось; осталось прежним; уменьшилось. Крестики напротив правильного ответа поставили примерно 30 % опрашиваемых. Иными словами, школьники ставили крестики наудачу. Вывод: никто ничего не знает». Остается только надеяться, что аналогичный опрос наших школьников дал бы результаты чуть лучше.

Приступая к описанию наших предложений, еще раз подчеркнем, что задачи на проценты являются частным случаем задач на дроби. При построении системы задач и организации процесса обучения с учетом этого положения можно добиться существенного улучшения методики изложения материала и тем самым повысить эффективность обучения. Кроме того, изучение частного случая с опорой на общий больше способствует развитию учащихся.

Выделим основные этапы повторения ранее изученного и изучения нового материала в 6 классе в таком порядке, который, на наш взгляд, обеспечивает преемственность в обучении решению задач на дроби и проценты, способствует усвоению процентов большинством учащихся и достаточному продвижению вперед более сильных из них. Школьников надо научить:

1. Находить часть числа умножением на дробь — сначала обыкновенную, потом десятичную; увеличивать (уменьшать) число на некоторую его часть. Это последнее действие позволяет естественным образом подвести учащихся к восприятию первоначаль­ного числа как отвлеченной единицы.
2. Находить число по его части делением на дробь – обыкновенную, потом десятичную. Кроме задачи, указанной в этом пункте плана, здесь следует рассмотреть и более сложные задачи, требующие представления неизвестного числа как отвлеченной единицы, а также задачи,усложненные дополнительными действиями.

III. Находить, какую часть одно число составляет от другого. Эта задача является опорной для нахождения процентного отношения двух чисел, она может быть усложнена вопросами типа: «Цена товара увеличилась с 40 р. до 50 р. На какую часть первоначальной цены произошло ее повышение?»

1. Выражать проценты в виде обыкновенной и десятичной дроби, выполнять обратное преобразование. Для решения более сложных задач учащиеся должны научиться отвечать на вопросы типа: «Сколько процентов числа а составляет число 0,12а?» или «На сколько процентов число 1,12а больше числа а?»
2. Находить несколько процентов числа, увеличивать (уменьшать) число на несколько процентов.
3. Находить число по нескольким его процентам.

VII. Находить процентное отношение двух чисел, а также на сколько процентов одно число больше (меньше) другого. Конкретные рекомендации будут даны ниже. Здесь лишь отметим, что при решении задач на дроби мы уделили достаточно внимания тем задачам, которые станут опорными для решения соответствующих задач на проценты — не только традиционных для обучения в 5–6 классах, но и задач повышенного уровня сложности.