Разные задачи
Раздел 1.7 включает в себя задачи, многие из которых если и решают теперь в 5–6 классах, то только с помощью уравнения (см. задачи 102, 105 и др.), а также задачи, которые являются типовыми задачами из предыдущих разделов или сводятся к ним. «Цепочка» задач (94) дает хорошую иллюстрацию для метода решения «с конца». Здесь же мы приводим задачи 97–99, которые и сами учителя привыкли решать с помощью уравнения. Мы предлагаем решать задачи этой серии арифметически, так как, на наш взгляд, мысленное манипулирование предметами и величинами, о которых идет речь в условии задачи, «проигрывание» задачной ситуации способствуют развитию воображения и интуиции учащихся в большей степени, чем формальные действия с иксами в процессе составления и решения уравнения. К первой задаче такого рода мы даем рекомендации в разделе «Ответы и советы».
91. Задача С.А. Рачинского. В школе равное число девочек и мальчиков. Я принес 234 ореха, и каждому мальчику досталось по 5 орехов, каждой девочке по 4 ореха. Но девочки обиделись, и в другой раз я принес столько орехов, что всем досталось по 6. Сколько орехов я принес?
92. Из «Азбуки» Л.Н. Толстого. Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. А меньшим за то выделили деньги. Каждый из старших заплатил по 800 р. меньшим. Меньшие разделили эти деньги между собою, и тогда у всех братьев стало поровну. Много ли стоили дома?
93. В бочке было 40 ведер воды. Когда из нее отлили несколько ведер, то воды осталось в 7 раз больше, чем отлили. Сколько ведер отлили?
94.* 1) На двух полках стояло 12 книг. Когда с первой полки на вторую переставили столько книг, сколько до этого было на второй полке, то книг на полках стало поровну. Определите, сколько книг первоначально стояло на каждой полке.
2) У Светы и Наташи вместе было 8 яблок. Света дала Наташе столько яблок, сколько было у Наташи. Потом Наташа дала Свете столько яблок, сколько было у Светы. После этого у девочек оказалось яблок поровну. Сколько яблок первоначально было у каждой девочки?
3) Старинная задача. Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый из мальчиков дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй дает двум другим столько яблок, сколько каждый из них имеет; в свою очередь, и третий дает каждому из двух столько яблок, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого из мальчиков оказывается по 8 яблок. Сколько яблок было вначале у каждого мальчика?
95. 1) A, B, и C сыграли три партии, причем проигравший обязан был удваивать суммы, принадлежащие остальным в начале партии. Проиграли последовательно A, B и C и в результате у всех троих оказалось по 48 р. Сколько денег было у каждого из них в начале?
2) Старинная задача. A, B, C и D сыграли четыре партии, причем проигравший обязан был удваивать суммы, принадлежащие остальным в начале партии. Проиграли последовательно A, B, C и D и в результате у всех четверых оказалось по 48 р. Сколько денег было у каждого из них в начале?
96.* Старинная задача (Индия, III–IV вв.). Из четырех жерт-вователей второй дал вдвое больше первого, третий втрое больше второго, четвертый — вчетверо больше третьего, все вместе дали 132. Сколько дал первый?
97.* 1) Мама посчитала, что если дать детям по 4 конфеты, то 3 конфеты останутся лишними. А чтобы дать по 5 конфет, двух конфет не хватает. Сколько было детей?
2) Если в вазы поставить по 5 роз, то две розы останутся лишними. А чтобы поставить по 6 роз, четырех роз не хватает. Сколько было ваз?
98.* 1) Если выдать учащимся по 2 тетради, то 19 тетрадей
останутся лишними; если выдать по 3 тетради, то 6 тетрадей не хватит. Сколько было учащихся и сколько тетрадей?
2) В актовый зал школы привезли стулья. Если их расставить по 25 штук в ряд, то четырех стульев не хватит. Если же их расставить по 24 стула в ряд, то 12 стульев останется. Сколько было стульев?
99.* Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на восемь динариев больше, то он мог бы дать каждому по три, но он раздает лишь по два, и у него еще остается три. Сколько бедных?
Задачи 100–108 примыкают к предыдущим и объединены с ними общей идеей решения, связанной с предполагаемыми действиями с предметами и величинами. Их можно назвать задачами «на предположение», хотя некоторые из них в традиционной методике имели свои устоявшиеся названия: задача 105 (б) — «на синее и красное сукно», задача 106 (2) — «на смешение II-го рода». К первым из задач этой серии начало рассуждения дано в разделе «Ответы и советы». Что же касается названий типов задач, то зачастую они были больше связаны с фабулой задачи, а не с арифметической ситуацией, отраженной в ней. Например, задачу 102 можно переформулировать так, чтобы она превратилась в задачу «на синее и красное сукно» или «на смешение II-го рода»:
— На 94 р. купили 35 аршин синего и красного сукна. За аршин синего сукна платили по 2 р., а за аршин красного сукна — по 4 р. Сколько аршин того и другого сукна в отдельности купили?
— Смешали 35 фунтов чая двух сортов общей стоимостью 94 р. Сколько фунтов того и другого сорта в отдельности взяли, если фунт первого сорта стоил 4 р., а фунт второго сорта — 2 р.?
100.* 1) Для детского сада купили 20 пирамид: больших и маленьких — по 7 и по 5 колец (рис. 3). У всех пирамид 128 колец. Сколько было больших пирамид?
2) В детском саду имеется 20 велосипедов — трехколесных и двухколесных. У всех велосипедов 55 колес. Сколько двухколесных велосипедов в детском саду?
Рис. 3
101.* Вася посчитал, что если каждая девочка принесет по 3 р., а каждый мальчик — по 5 р., то все 30 учащихся класса соберут 122 р. Сколько в классе мальчиков?
102.* Старинная задача (Китай). В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов.
Задачу 102 можно было бы решить аналогично предыдущим, но не менее интересно другое рассуждение, найденное нами у старых мастеров методики математики и вызывающее у детейживейшее участие в решении задачи. Опишем примерный диалог учителя с классом.
— Представим, что на верх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле?
— 70 ног (35·2 = 70).
— Но в условии задачи даны 94 ноги, где же остальные?
— Остальные не посчитаны — это передние лапы кроликов.
— Сколько их?
— 24 (94 – 70 = 24).
— Сколько же кроликов?
— 12 (24 : 2 = 12).
— А фазанов?
— 23 (35 – 12 = 23).
В скобках записаны действия, которые можно делать на доске по ходу диалога. После его завершения можно предложить учащимся записать решение задачи в тетрадях «с пояснениями». Разумеется, здесь трудно кратко и точно пояснить первое действие.
103.* Старинная задача. За 1000 р. я купил 44 коровы — по 18 р. и по 26 р. Сколько тех и других?
104.* Старинная задача. Некий человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, то у него осталось 20 алтын. Когда же стал давать за 9 бочек, то не хватило денег полтора рубля с гривною. Сколько денег было у человека?
105.* Из рассказа А.П. Чехова «Репетитор». Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 р. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 р. за аршин, а черное 3 р.?
106.* Из «Арифметики» А.П. Киселева.
1) Смешано три сорта муки: 15 фунтов по 8 к., 20 фунтов по 7 к. и 25 фунтов по 4 к. за фунт. Что стоит фунт смеси?
2) Из двух сортов чая составлено 32 фунта смеси; фунт первого сорта стоит 3 р., фунт второго сорта 2 р. 40 к. Сколько фунтов взято от того и другого сорта, если фунт смешанного чая стоит 2 р. 85 к.
107.* Старинная задача. Крестьянин хочет купить лошадь и для этого продает рожь. Если он продаст 15 ц ржи, то ему не хватит для покупки лошади 80 р., а если он продаст 20 ц ржи, то после покупки у него останется 110 р. Сколько стоит лошадь?
108.* Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Купил 112 баранов старых и молодых, дал 49 рублей и 20 алтын. За старого платил по 15 алтын и по 2 деньги, а за молодого по 10 алтын. Сколько старых и молодых баранов купил он?
Познакомимся с решением этой задачи у Л.Ф. Магницкого.
Придет старых 100, а молодых 12, а изобрази сице:
46 копеек за старого
30 за молодого
16
112 4960
30 Вся цена 3360
3360 1600
:
бери через 16 : 100 толико старых.
Приведенное решение можно объяснить так. Пусть сначала за всех баранов заплатили как за молодых — по 30 к., т. е. 112·30 = 3360 к. За каждого старого барана платили на 46 – 30 = 16 к. больше, чем за молодого, а за всех вместе на 4960 – 3360 = 1600 к. больше, чем за молодых. Тогда старых баранов было 1600:16 = 100, а молодых 112 – 100 = 12.
В тетрадях это решение можно записать так:
1) 112·30 = 3360 (к.) — стоят 112 молодых баранов;
2) 4960 – 3360 =1600 (к.) — надо доплатить за старых баранов;
3) 46 – 30 = 16 (к.) — на 16 к. старый баран дороже молодого;
4) 1600 : 16 = 100 (бар.) — купили старых баранов;
5) 112 – 100 = 12 (бар.) — купили молодых баранов.
109. Старинная задача. Купец купил 110 фунтов табака. 50 фунтов оказались подмоченными, и купец продал их на 2 р. дешевле за 1 фунт, чем заплатил сам. Остальной табак он продал на 3 р. дороже за 1 фунт, чем уплатил сам. Подсчитайте прибыль купца.
Мы не ошиблись, включив в сборник задачи 110–111, решаемые обычно с помощью системы уравнений. Наша цель заключается в том, чтобы задолго до формальных манипуляций с уравнениями учащиеся получили опыт аналогичных действий с верными равенствами. Например, запишем коротко условия задачи 111:
3 у + 4 г = 2500;
4 у + 3 г = 2400.
Что теперь можно определить? Например, вес 7 утят и 7 гусят (4900 г), затем вес 1 утенка и 1 гусенка (700 г), а потом вес 3 утят и 3 гусят (2100 г). Сравнение полученного результата с первым условием показывает, что 1 гусенок весит 400 г. В процессе решения пришлось складывать верные равенства, умножать и делить их правую и левую части на одно и то же число. И это не формальные манипуляции с переменными, обоснования которым даются иногда с помощью графиковфункций, а вполне содержательные действия с конкретными величинами.
110.* 1) За краски и 2 кисти заплатили 32 р. 19 к., за краски и кисть 21 р. 72 к. Сколько стоят краски? Сколько стоит кисть?
2) За 2 тетради и ручку заплатили 6 р. 66 к., за тетрадь и 2 ручки 9 р. 93 к. Сколько стоят отдельно тетрадь и ручка?
3) За 3 линейки и угольник заплатили 11 р. 20 к., за линейку и 3 угольника 22 р. 40 к. Сколько стоит линейка? Сколько стоит угольник?
111.* Три утенка и четыре гусенка весят 2 кг 500 г, а четыре утенка и три гусенка весят 2 кг 400 г. Сколько весит один гусенок?
Задачи 112–113 содержат лишние данные и имеют целью подготовку школьников к решению задач на совместную работу («на бассейны»). Аналогичные задачи, но без указания площади поля, объема бака и т. п. включены в § 2 «Дроби». Их сходство с рассматриваемыми задачами будет не только в фабуле и в плане решения, но и в постановке вопросов и выборе действия. Рекомендуем к таким задачам отнестись со всем вниманием.
112. а) В рукописи 42 страницы. Одна машинистка перепечатает рукопись за 3 ч, а вторая — за 6 ч. За сколько часов машинистки перепечатают рукопись при совместной работе?
б) Бак вмещает 600 л воды. Через первый кран его можно заполнить за 10 мин, а через второй — за 15 мин. За сколько минут можно заполнить бак через оба крана?
в) Скорый поезд проходит расстояние 900 км между двумя городами за 10 ч, а товарный — за 15 ч. Через сколько часов встретятся поезда, если одновременно выйдут из этих городов навстречу друг другу?
г) Две бригады убрали картофель с площади 12 га за 4 дня. Первая бригада может выполнить эту работу за 6 дней. За сколько дней вторая бригада может выполнить ту же работу?
113. а) Токарь может обточить 72 заготовки за 3 ч, а его ученику на выполнение той же работы требуется в 2 раза больше времени. За сколько часов они обточат 144 такие же заготовки при совместной работе?
б) На первом станке можно отштамповать 480 деталей за 4 ч, а на втором станке на выполнение той же работы требуется в 3 раза больше времени. За какое время можно отштамповать 960 деталей при совместной работе двух станков?
114.* 1) Алеша и Боря вместе весят 82 кг, Алеша и Вова весят 83 кг, Боря и Вова весят 85 кг. Сколько весят вместе Алеша, Боря и Вова?
2) Старинная задача. Четверо купцов имеют некоторую сумму денег. Известно, что, сложившись без первого, они соберут 90 р.; сложившись без второго — 85 р.; сложившись без третьего — 80 р.; сложившись без четвертого — 75 р. Сколько у кого денег?
3) Старинная задача. Отец имеет семь сыновей. Сумма возрастов первого и четвертого сына равна 9 годам, первого и шестого — 8 годам, второго и пятого — 8 годам, второго и третьего — 9 годам, третьего и шестого — 6 годам, четвертого и седьмого — 4 годам, седьмого и пятого — также 4 годам. Сколько лет каждому?
Рассмотрим два способа решения задачи 114 (1).
I способ. Сравнение двух первых условий показывает, что Боря легче Вовы на 1 кг, а вместе они весят 85 кг. Боря весит (85 – 1):2 = 42 кг, а Алеша, Боря и Вова вместе весят
42 + 83 = 125 кг.
II способ. Если записать краткое условие задачи так:
А + Б = 82
А + В = 83
В + Б = 85
и сложить левые и правые части равенств, то получим:
2(А + Б + В) = 250,
откуда следует, что
А + Б + В = 125.
Также двумя способами можно решить и задачу 114 (2).
I способ. Из двух первых условий следует, что у II-го купца было на 5 р. больше, чем у I-го. Из второго и третьего условий следует, что у III-го купца было на 5 р., больше, чем у II-го. Если бы III-й купец дал I-му 5 р., то у I-го, II-го и III-го денег стало бы поровну — по 75:3 =
= 25 р. Значит, у I-го купца было 25 – 5 = 20 р., у II-го — 25 р., у III-го — 25 + 5 = 30 р., у IV-го — 30 + 5 = 35 р.
II способ. Запишем коротко условие:
II + III + IV = 90
III + IV + I = 85
IV + I + II = 80
I + II + III = 75
и сложим левые и правые части равенств:
3(I + II + III + IV) = 330,
откуда
I + II + III + IV = 110.
Тогда у I-го купца было 110 – 90 = 20 р., у II-го купца 110 – 85 = 25 р., у III-го 110 – 80 =
= 30 р., у IV-го купца 110 – 75 = 35 р.
115.* Спортсмен плыл против течения реки. Проплывая под мостом, он потерял флягу. Через 10 мин пловец заметил пропажу, повернул обратно и догнал флягу у второго моста. Найти скорость течения реки, если расстояние между мостами 1 км.
116. Два поезда движутся навстречу друг другу — один со скоростью 70 км/ч, другой со скоростью 80 км/ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметил, что первый поезд прошел мимо него за 12 с. Какова длина первого поезда?
117. Три соседки готовили обед на общей плите в коммунальной квартире. Первая принесла 5 поленьев, вторая 4 полена, а у третьей дров не было — она угостила своих соседок, дав им 9 яблок. Как соседки должны поделить яблоки по справедливости?
При решении задачи 117 учащиеся чаще всего не обращают внимание на то, что яблоки были даны лишь за 3 полена.
118. Железнодорожный состав длиной 1 км проходит мимо километрового столба за 1 мин, а через туннель при той же скорости за 3 мин. Какова длина туннеля?
119.* 1) Из пункта А в пункт В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Одновременно с ним из А в В выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Велосипедист доехал до В, повернул назад и поехал с той же скоростью навстречу пешеходу. Через сколько часов после начала движения они встретятся, если расстояние между А и В равно 30 км?
2) Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 17 км, выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Одновременно с ним из А в В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Велосипедист доехал до В, повернул и поехал назад с той же скоростью. Через сколько часов после начала движения они встретятся?
3) Расстояние между двумя пунктами 12 км. Из них одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста со скоростями 10 км/ч и 8 км/ч. Каждый из них доехал до другого пункта, повернул и поехал назад с той же скоростью. Через сколько часов после начала движения они встретятся во второй раз?
Приведем «длинное» решение задачи 119 (1) без пояснений:
1) 30 : 10 = 3 (ч); 4) 10 + 5 = 15 (км/ч);
2) 5·3 = 15 (км); 5) 15 : 15 = 1 (ч);
3) 30 – 15 = 15 (км); 6) 3 + 1 = 4 (ч).
Его можно упростить, заметив, что в задаче речь идет по сути дела о движении навстречу друг другу с удвоенного расстояния. Тот же ответ получится, если переформулировать условие задачи следующим образом:
— Расстояние между пунктами А и В равно 60 км. Из пункта А в пункт В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Одновременно с ним из В в А выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Через сколько часов после начала движения они встретятся?
1) 30·2 = 60 (км);
2) 10 + 5 = 15 (км/ч);
3) 60:15 = 4 (ч).
Это редкий пример удачной переформулировки задачи, приводящей к упрощению ее решения. В задачах 119 (2, 3) «длинное» решение в натуральных числах вообще невозможно.
120. На лугу паслось несколько коров. У них ног на 24 больше, чем голов. Сколько коров паслось на лугу?
Наконец, две последние задачи, решения которых содержат один и тот же шаг — найти два числа по их сумме и разности.
121. На вопрос учеников о дне своего рождения учитель ответил загадкой: «Если сложить день и номер месяца моего рождения, то получится 20; если из дня рождения вычесть номер месяца рождения, то получится 14; если к произведению дня и номера месяца моего рождения прибавить 1900, то получится год моего рождения».
Когда родился учитель математики?
122. Из двух городов, расстояние между которыми 400 км, одновременно навстречу друг другу выехали два мотоциклиста. Определите их скорости, если известно, что они встретились через 4 ч и что скорость одного на 10 км/ч больше скорости другого.