Новости

Решим эту задачу «по-нашему, по-неучёному»

12.08.2026

Рассмотрим решение задачи, которую подробно разобрал ведущий одного канала. Задача дана под заголовком Задание на площадь внутри правильного треугольника.

Показанный приём решения показался интересным, с остроумным дополнительным построением, быстро приводящим к вычислению искомой площади. Итак, задача.

1. На основании AC равностороннего треугольника ABC отметили точки D и F так, что угол DFB равен 30 градусам, а площади треугольников ABF и CBD равны 5 и 16 соответственно. Найдите площадь треугольника DBF.

Заключительный кадр решения выглядит так.

Ведущий канала приводит довольно остроумное решение, построив треугольник, подобный данному, в котором длины отрезков AF и CD равны 5 и 16 соответственно, строит равносторонний треугольник DOF и окружность с центром O и радиусом OF, она проходит через точку B, затем проводит отрезок HG, параллельный отрезку AC и проходящий через точку O, вычисляет длину отрезка BO. Его длина численно равна искомой площади. Но проблема заключается в том, что учащимся будет трудно записать это решение, чтобы его признали обоснованным.

А мы решим эту задачу «по-нашему, по-неучёному», как говаривал Удодов-старший в рассказе А. П. Чехова. «Репетитор». Выполним более простое дополнительное построение и тоже применим теорему косинусов.

Решение. Построим треугольник BCE, равный треугольнику BAF и соединим отрезком точки D и E, как показано на рисунке.

Из равенства треугольников BCE и BAF следует, что BE = BF, углы CBE и ABF равны, тогда углы DBE и DBF равны 30 градусам, а треугольники DBE и DBF равны по двум сторонам и углу между ними.

Обозначим буквой x искомую площадь треугольника DBF, тогда площадь равного ему треугольника DBE тоже равна x.

Треугольники ABF, DBF и CBF имеют общую вершину и основания, лежащие на одной прямой, поэтому длины их оснований пропорциональны их площадям.

Обозначим CE = AF = 5k, CD = 16k, FD = DE = xk, где k – коэффициент пропорциональности.