ЦЕЛИ, ЗАДАЧИ И СТАНДАРТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Общие цели образования в соответствующий исторический момент в каждой стране, очевидно, зависят от социальной и политической ситуации и предполагаемых путей развития страны. Понятно, что в стране со стабильной и высокоразвитой экономикой, с высоким уровнем жизни большей части населения важнейшей задачей образования является воспроизводство социальной системы. При этом сам уровень образования может и не быть высоким, и общая образованность, необходимая в производстве, может поддерживаться за счет импорта специалистов. В странах же менее развитых экономически, с низким уровнем жизни, ставящими своей целью социально-экономическое развитие общества, едва ли не единственным способом осуществить такое развитие за счет лишь внутренних резервов является путь через развитие системы образования. (Принятию этого постулата отечественным «элитам» мешают наши природные ресурсы, и именно отсутствие подобных ресурсов вынудило Китай энергично развивать именно систему образования.) При этом страна с хорошей системой образования может использовать его (образование) не только для своих внутренних потребностей, но и как дополнительный ресурс на внешнем рынке.
Итак, будем считать, что развитие Ученика (личности) является важнейшей целью образования (возможно, не единственной). Но если это так, то образовательный стандарт никак не может сводиться к списку минимальных требований к подготовке учащегося. Особо опасен минималистский подход к образовательным стандартам именно в отношении математики. Ведь математика является важнейшим (самым важным?) системообразующим предметом. Чтобы развивать современное производство, технологии, чтобы управлять производством, чтобы принимать верные социально-политические и управленческие решения и т.п. необходимы не только глубокие математические знания, но, в первую очередь, владение математическим методом.
Существует мнение, что высокий уровень математического образования нужен лишь научно-технической элите, а для большинства населения можно ограничиться минимальным уровнем. Это очень опасная точка зрения. Во-первых, хорошее математическое образование полезно представителям самых разных специальностей, в том числе и весьма далеким от математики, способствует достижению личного успеха. И примеров тому очень много. Во-вторых, невозможно на школьной скамье определить, кто войдет в будущем в упомянутую так называемую элиту, а кто — нет. Даже ставить такую задачу безнравственно. И, наконец, в-третьих, если представить систему математического образования в виде горы, вершина которой соответствует элите, то необходимо правильно выстроить эту гору. Опуская подножие, мы опускаем и вершину.
Принято считать, что российское математическое образование является едва ли не лучшим в мире. Такого мнения придерживаются многие российские и зарубежные специалисты. Мы полагаем, что, несмотря на очевидный спад, произошедший за последнее время, российское математическое образование сохранило свой высокий уровень и обладает еще большим потенциалом для своего развития. И нужны для этого весьма незначительные финансовые вложения. Эффект же, причем экономический эффект, может оказаться существенным. Мы вправе рассматривать наше математическое образование, как весьма мощный стратегический ресурс России. При этом в качестве стратегического ресурса математика и математическое образование может выступать и внутри России и на внешнем рынке. (В условиях глобализации Россия может специализироваться на экспорте нефти и математики.) Но в таком случае, вопрос о том, какими должны быть стандарты математического образования, далеко выходит за узко предметные рамки и становится важнейшим общественно-политическим вопросом.
Понятно, что заявить в качестве образовательного стандарта по математике повышенный уровень математических классов не реально. Понимание же стандарта, как минимального уровня, как уже было сказано, стратегически неверно. Будем считать, что образовательный стандарт (по математике) должен соответствовать нормальному, программному уровню, проще говоря, четверке. От этой площадки, отступив вниз, мы получаем минимальный уровень (тройку). Ступенька вверх и далее — получаем высокий уровень, пятерку. Безусловно, минимальный уровень следует ограничить снизу. Основным инструментом измерения соответствия тому или иному уровню является задача. Некоторое исключение составляет уровень минимальный, где не менее важным мы считаем знание и понимание теории.
Из этого следует, что при разработке стандарта математического образования важно не просто определить содержание математических курсов, а определить в некотором смысле оптимальное содержание, которое в наибольшей мере будет способствовать общематематическому (и не только) развитию учащихся. И при определении содержания вредными могут оказаться оба подхода, как минимизация содержания математического образования, так и его чрезмерное разрастание. На минимальном содержании невозможно развитие математической культуры, освоение математического метода по понятным причинам (из нескольких щепочек костер не получится). Но также нельзя хорошо освоить математику, развить математическую культуру при перегруженной программе. Чрезмерное обилие изучаемых тем приведет к тому, что каждая из них будет изучаться формально и поверхностно. При отборе содержания основным критерием должна быть значимость того или иного раздела для общематематического развития учащегося. Отсюда можно вывести концентрический принцип определения содержания математических курсов и построения стандартов математического образования. На периферию отправляются менее значимые темы и разделы.
Очевидно также, что эффективность обучения математике в решающей степени определяется объемом часов, отводимых на ее изучение. В настоящий момент математическая экспертиза указывает в качестве нижней грани, после которой эффективность изучения математики в школе начнет резко снижаться, 6 часов в неделю в основной и старшей школе.
Заметим, что стандарты по различным предметам нельзя подгонять под единый концептуальный трафарет, разрабатывать по единой схеме. Сегодня в школе мы имеем предметы, которые можно разделить на четыре цикла (типа): гуманитарный, естественно-научный, математический и физкультурный. Особенность математики, которая должна отражаться и в соответствующих стандартах, в том, что в ней явно видны черты, характерные для предметов всех других циклов, а также и черты, типичные именно для математики.
Стандарты математического образования следует разбить на несколько групп. Во-первых, стандарт для базовой школы и стандарт для углубленного изучения математики. Во-вторых, стандарт для результата обучения и стандарт для процесса обучения. Представляется разумным не разрабатывать специально стандарт для углубленного изучения математики, а сделать добавление (сверху) к стандарту базовой школы, сдвинув при этом измерительную шкалу. Что касается связи между процессом и результатом обучения, то очевидным является утверждение, что для достижения необходимого результата процесс обучения доложен вестись на более высоком уровне, чем тот, который мы хотим видеть в итоге, хотя, конечно, мы не должны его завышать и создавать разрыв между стандартами для процесса и для результата. Кроме того, качество процесса обучения зависит от качества учебников. Но еще больше оно зависит от подготовки учителя, от нагрузки, ложащейся на учителя, и, наконец, (а может, и в первую очередь) от его материального положения. Но это уже совсем другой вопрос.
Определение основных целей математического образования — очень важная социально-политическая задача. Здесь особенно опасны узко ведомственные и групповые подходы. От того, насколько правильно общественность (и не только математическая) может сформулировать эти цели, во многом зависит будущее нашего математического образования, будет ли оно развиваться и процветать или же наоборот будет болеть и (продолжать?) деградировать.
К сожалению, имеющаяся Концепция математического образования не дает точный и определенный ответ на вопрос о целях математического образования, а некоторые утверждения, содержащиеся в ней, вызывают и серьезные возражения со стороны специалистов. Скажем прямо, определение со всей полнотой целей математического образования не входит в функции разработчиков образовательных стандартов (это было бы превышением полномочий). Но в этом и нет большой необходимости. И мы ограничимся тем, что сформулируем две важнейшие цели, которые очевидно не могут вызвать никаких возражений. Прежде всего, целью математического образования является развитие учащихся, причем развитие самых разных видов:
Культурное развитие. Математика вообще и геометрия в частности является феноменом мировой, общечеловеческой культуры. Человек, не получивший достаточного математического образования, не может считаться культурным.
Духовное развитие. Математика возникла не только из практических, но и из духовных потребностей человека. Многие религии и религиозные культы мира полагают, что математическое знание имеет высшее, божественное происхождение. Духовно развитый человек должен иметь достаточное математическое образование.
Эстетическое развитие. Математическое знание, теории, методы и факты образуют удивительно цельный, гармоничный и непротиворечивый мир, заполненный удивительными творениями человеческого гения, способствуют эстетическому развитию (воспитанию) человека.
Нравственное развитие (воспитание). В основе математического знания лежит принцип доказательности, один из самых нравственных принципов, созданных мыслящим человечеством. Занятия математикой (по мнению Льва Толстого) способствуют нравственному воспитанию, развивают добродетели.
Творческое развитие. Процесс занятий математикой способствует развитию интуиции и воображения (здесь особо следует выделить геометрию), а, следовательно, способствует творческому развитию, поскольку в основе любого творчества лежит воображение и интуиция.
Интеллектуальное развитие. То, что именно математика среди всех учебных предметов наиболее способствует интеллектуальному развитию учащихся общепризнанно и общеизвестно (следует добавить, что именно математика обычно используется как инструмент для измерения интеллектуального развития ученика). Здесь, безусловно, важную роль играет математическое знание и математический метод (об этом в следующем пункте), но не только. Уже сам процесс занятий математикой обладает огромным развивающим потенциалом. Что касается геометрии, то можно утверждать, что исторически (для всего человечества) и генетически (для отдельного человека) геометрическая деятельность является первичным видом интеллектуальной деятельности. Для полноценного интеллектуального развития ребенку необходима полноценная интеллектуальная пища, каковой и является математика. Здесь следует добавить, что математика (геометрия особенно) представляет собой экологически чистую интеллектуальную пищу. А это особенно важно сегодня, когда окружающая среда, в том числе и образовательная, подвергается всякого рода загрязнениям.
Безусловно, важнейшей целью математического образования в школе является приобретение знания и овладение математическим методом.
Математика, как мы знаем, развивает такие важнейшие механизмы мышления, как интуиция и воображение, и вооружает логическим методом, основным методом, с помощью которого обосновывается истинность или ложность утверждений. Изучение логического метода – одна из важнейших целей обучения математике.
Два основных раздела математики, изучаемых в школе, алгебра и геометрия являются также и носителями собственных методов познания мира. И изучение, и освоение этих методов является важнейшей целью математического образования.
За последнее время в мире и у нас в стране резко упал уровень арифметического знания и арифметической культуры. Основная причина вполне объективна – широкая компьютеризация и всеобщая калькуляторизация. Но, с другой стороны, многие современные (и даже суперсовременные) технологии основаны на глубоких арифметических законах. Следовательно, следует не только восстанавливать былой уровень арифметической подготовки школьников, но и повышать его по сравнению с прошлым и прежде всего не столько в направлении улучшения вычислительных навыков – устных или на бумажке, – сколько в усилении роли теории арифметики, теории чисел
В математике и математическом образовании явно видны два направления: идеалистическое и практическое, прагматизм. Причем обычно имеется в виду сиюминутный прагматизм, утилитарный. И этот акцент типичен для западных образовательных систем. Для российского менталитета вообще, и для российского математического образования в частности типична склонность к идеализму. Мы полагаем, что можно достичь определенного равновесия между идеалистической и прагматической составляющими в нашем математическом образовании. Основой для этого может стать традиционная для российской школы текстовая, а точнее, сюжетная задача. Правда, обычно смысл этих задач состоит в том, что учащемуся дается условие, представляющее собой некую достаточно упрощенную и примитивную модель реальной ситуации, заданную в вербальной форме, которую требуется сначала перевести на математический язык, то есть ввести неизвестные и составить систему ограничений (уравнений и неравенств), а затем решить эту систему. (Следует подчеркнуть, что составление ограничений по заданному условию не есть составление модели, а перевод с одного языка на другой.) По сути, важнейший этап – составление моделей – в этих задачах отсутствует. И здесь следует пополнить традиционный список текстовых – сюжетных задач задачами, в которых акцент делается на составление математической модели.
Математика является основным языком, на котором говорит современная наука, который постоянно используется в самых различных областях деятельности человека и на всех этажах современной цивилизации. И обучение этому языку, его основным диалектам, алгебраическому и геометрическому, – важнейшая цель математического образования.
За последнее время здание человеческой цивилизации значительно выросло и в высоту, и по числу помещений на верхних этажах. Как показывают недавние социологические исследования нынче образованному человеку в первые 20-25 лет своей самостоятельной жизни приходится 4-5 раз кардинальным образом менять вид своей профессиональной деятельности. Но для того, чтобы молодой человек, окончивший школу, не только обладал свободой выбора, но и возможностью эту свободу реализовать, необходимо улучшить его фундаментальную подготовку, а это в свою очередь означает, что необходимо улучшать общематематическую подготовку выпускников школы.
Сегодня в нашей стране по сравнению с советским периодом резко возросли возможности для проявления личной инициативы, человеку приходится регулярно принимать важные решения и при этом нести полную ответственность за качество принятых решений. Современные производства, фирмы и предприятия остро нуждаются в работниках и руководителях, способных быстро и правильно решать возникающие постоянно конкретные задачи, имеющих достаточное образование и научную культуру, чтобы оценивать новые достижения науки, вести полноценный диалог с учеными, сотрудничать с ними при постановке новых задач. Именно эти качества вырабатываются в процессе обучения математике. Высокий уровень математического образования, достигнутый при советской власти, может помочь нам при воспитании работников нового поколения, соответствующих новым общественным, социальным и экономическим задачам. Математика – это инструмент, который в равной мере может быть использован как тоталитарным режимом для развития военно-промышленного комплекса, для создания армии инженерных работников, так и государством с рыночной экономикой для развития сферы обслуживания и производств, непосредственно улучшающих качество жизни человека. Однако следует признать, что при разработке математических стандартов мы обязаны учесть изменившиеся реалии нашей жизни.
Важнейшей задачей является создание положительного образа математики и у (как говорится) широкой общественности в целом и у отдельных ее представителей. Молодые люди, оканчивающие школу и высшие учебные заведения, должны понимать наличие прямой связи между уровнем их математической культуры, математической образованности и личным успехом в жизни. Конечно, здесь математикам потребуется серьезная государственная поддержка. Но есть и еще одна задача, и ее решение почти целиком зависит именно от математического сообщества. Необходимо, чтобы упомянутые молодые люди по окончании школы вспоминали о математике, как об одном из самых интересном, живом и (если угодно) веселом предмете. И когда мы слышим публичные признания в нелюбви и даже ненависти к школьной математике (от самих ли школьников, от взрослых), мы должны воспринимать это как серьезный упрек в наш адрес, в адрес учителей, авторов учебников, ученых и методистов всех уровней.