Сорок три. Обзор федерального перечня школьных учебников математики на 2006/2007 учебный год (часть I)
Обзор федерального перечня школьных учебников по математике
на 2006/07 учебный год
Предыдущий обзор Федерального перечня учебников математики на страницах журнала «Школьное обозрение» был предпринят нами больше трех лет назад [1]. За прошедшее время учебники продолжали изменяться и множиться. Если в прошлом обзоре было 33 комплекта учебников (для 5–6, 7–9, 10–11 классов), рекомендованных (допущенных) министерством образования, то в новом — их уже 43. Качественные изменения учебников связаны с тем, что за это время были приняты стандарты по математике, стали появляться учебники новых жанров, а количественные — с включением в перечень учебников для 7–9 классов с углубленным изучением математики и с «клонированием» учебников одних авторов для разных уровней обучения в профильной школе.
Итак, о стандарте. Что случилось со школьной математикой? C 1997 г. время ее изучения по всем классам сократили на 1 час неделю, то есть больше, чем на 1,5 года за все время обучения в школе. При этом программа не была сокращена. Тем самым искусственно создали перегрузку учащихся. Потом планировали ввести двенадцатилетку. Под эту идею стали переносить малые темы и большие разделы в старшие классы, стали разрабатывать стандарты, которые должны были закрепить сокращение содержания обучения в среднем звене. Вся эта работа, разумеется, оправдывалась борьбой с перегрузкой школьников.
И вдруг — какая неожиданность! Первый вариант стандартов был с треском провален в Государственной Думе, школа и общество отвергли двенадцатилетку. Предвидеть такой поворот событий, видимо, не входило в обязанности науки. В итоге в подписанных в 2004 году министром образования В.М. Филипповым стандартах в курсе алгебры и начал анализа 10–11-х классов не только оказались разделы, требовавшие в 9 классе более 40 ч на изучение, но туда еще привнесли новые вопросы — как на базовом, так и на профильном уровне, а время обучения уменьшили. Часть планиметрии в стандарте не отражена, то есть не будет больше изучаться на базовом уровне, а так как в 8–9-х классах углубленное обучение не предусматривалось, то на профильный уровень в 10–11-х классах перенесли следующее содержание: «Свойство биссектрисы угла треугольника. Решение треугольников. Вычисление биссектрис, медиан, высот, радиусов вписанной и описанной окружностей. Формулы площади треугольника: формула Герона, выражение площади треугольника через радиус вписанной и описанной окружностей. Вычисление углов с вершиной внутри и вне круга, угла между хордой и касательной. Теорема о произведении отрезков хорд. Теорема о касательной и секущей. Теорема о сумме квадратов сторон и диагоналей параллелограмма. Вписанные и описанные многоугольники. Свойства и признаки вписанных и описанных четырехугольников. Геометрические места точек. Решение задач с помощью геометрических преобразований и геометрических мест. Теорема Чевы и теорема Менелая. Эллипс, гипербола, парабола как геометрические места точек. Неразрешимость классических задач на построение». [Курсивом выделен необязательный материал. — А. Ш.]
Хочется спросить: может быть, не надо освобождать учащихся от обучения, а вернуть 1,5 года обучения математике да пересмотреть соотношение прав и обязанностей учителя и ученика? Можно же простыми мерами, снимающими с учителя обязанность оценивать «тройкой» работу бездельника (что унижает учителя и развращает учащихся) [2], повысить ответственность ученика за качество своего обучения — перед школой, перед государством, перед собственным будущим.
О том, что снижение требований к ученику плохо сказывается на поддержании уровня квалификации учителя, что детренированные учителя будут хуже учить тому материалу, который оставили в программе, что движение вниз по спирали только усилится с приходом учителей, обучавшихся по усеченной программе, кажется, никто и не подумал.
Еще один спорный вопрос — внесение практически в одинаковом объеме элементов теории вероятностей и статистики в стандарты для базового и профильного уровней обучения. Известно, что в конце 70-х годов прошлого века, когда школа была куда как лучше организована и обеспечена, когда система повышения квалификации учителей работала много лучше, этот материал уже вводили в старших классах, и он не прижился. Если учесть, что тогда на математику в общеобразовательном классе и в классе с углубленным изучением математики отводили больше учебного времени, чем теперь при обучении на базовом и профильном уровнях соответственно, то можно понять, какие трудности испытывают и будут испытывать дальше учителя и учащиеся старших классов, если содержание стандартов останется без изменения. По иронии судьбы такой результат получен в результате борьбы с перегрузкой школьников.
Удивительное дело: «реформаторы» устроили перегрузку в 10–11 классах и забыли о ней, как только иссяк источник, питавший их бурную, якобы научную, деятельность! Смутные догадки начинают переходить в полную уверенность, что у «реформы» школы были совсем другие цели, не имеющие ничего общего с провозглашенными. Просто их нельзя было объявить, не имея поддержки общества и не входя в конфликт с Конституцией РФ. Кто же согласится с превращением системы образования в систему навязанного невежества? [3]
Хорошее образование — опора для возрождения России, а «реформаторы» хотели дать России другое образование, больше соответствующее навязываемому нам новому статусу сырьевого придатка развитых стран. На наш взгляд, эпиграфом всей их деятельности могли бы стать слова В.С. Черномырдина: «Нас никто не может упрекнуть в том, что у нас хорошие помыслы».
Вернемся, однако, к учебникам. Вот последние наблюдения за их изменениями, связанные с идеей профилизации школы. В соавторстве с М.К. Потаповым мы высказали идею многоуровневых учебников для профильной школы, по которым можно было бы работать на базовом и большинстве профильных уровней. Приятно отметить, что эту идею разделяют многие авторы. Уже появились учебники, утвержденные для работы на двух уровнях. В то же время учебники отдельных авторов «клонируются» — с небольшими изменениями издаются для другого уровня обучения. Это ведет к росту числа комплектов в перечне и большой путанице.
Наметилась тенденция, нарастающая год от года — учебники становятся все разнообразнее по жанрам. Если классические учебники до реформы 60–70-х годов содержали учебные тексты и примеры применения излагаемых в них теоретических сведений, к ним издавались задачники, написанные совсем другими авторами, то в ходе упомянутой реформы учебники и задачники объединились под одной обложкой. Так началась история учебников, которые мы назовем современными. Теперь наблюдается возврат к классической паре учебник – задачник у А.Г. Мордковича (7–11 классы), у Г.В. Дорофеева и др. (10 класс), у Е.В. Потоскуева и Л.И. Звавича (10–11 классы).
В номинации «5–6 классы», а теперь и в номинации «7–9 классы», появляются учебники, уходящие все дальше не только от классических, но и от учебников, названных нами современными. Некоторые из них являются пьесами, детективами или просто задачниками, в которых список задач прерывается обобщениями наблюдений в виде правил или короткими текстами «от автора». Есть и такие, в которых привычные тексты «от автора» отсутствуют.
Появление таких книг для чтения можно только приветствовать, но если игровые и сказочные мотивы станут преобладать на уроках математики, если мотив к изучению чисел будет находиться вне математики, если логика развития учебного материала будет подчиняется не законам науки, а сказочному сюжету, то трудно ожидать формирования у учащихся правильных представлений о математике, как науке, ее содержании и методах. Трудно рассчитывать, что изучение числовых систем за пределами логики хоть как-то будет способствовать развитию теоретического мышления школьников, подготовит их к изучению систематических курсов алгебры и геометрии, положительно скажется на уровне квалификации работающих по таким учебникам учителей.
Наш обзор является навигатором в море школьных учебников. С его помощью учитель может узнать, какие учебники рекомендованы министерством и чем они отличаются друг от друга. А если учителя заинтересует какой-то учебник, то надо разыскать его и все полагающееся к нему дидактическое и методическое обеспечение. Изучить, вникнув во все детали.
Вот теперь перейдем собственно к обзору учебников, не претендующему на полноту описания их качеств, а отражающему взгляд школьного учителя, уже 34-й год работающего у классной доски, имеющего опыт создания учебников и рецензирования учебной литературы для секции математики Федерального экспертного совета.
Кому-то взгляды автора обзора покажутся старомодными, так как он ожидает от учебника логичного развития изучаемого материала и обоснованного его изложения, полагая, что введение определения в школьном учебнике можно мотивировать, но определение нельзя доказывать. Он считает, что в расширенном множестве чисел или алгебраических объектов операции с новыми объектами должны определяться, а не доказываться. Причем пока операция не определена, нехорошо без оговорок устанавливать свойства этой операции или использовать результаты ее выполнения. Например, нехорошо, разрезав два яблока на 3 равные части, писать 2:3 = 2/3, если не определено, что есть 2:3 для чисел. Но можно сказать: «Позднее это равенство будет доказано, поэтому запись 2/3 читают еще так: 2 деленное на 3». А после введения деления дробей надо обязательно его доказать.
Квалифицированный учитель математики должен понимать, что, не дав определения, что есть 2:3, невозможно логически безупречно доказать, чему равно это «неизвестно что». Также нехорошо писать в учебнике, что 2/5 < 3/5, так как первая дробь содержит меньше равных долей, чем вторая, если перед этим не определена сумма дробей и т. п. Сравнение дробей надо вводить по определению.
Автор обзора считает, что обучение математике должно способствовать воспитанию у школьников интеллектуальной честности, что в учебнике математики нехорошо определять понятие с помощью самого себя, нехорошо симулировать доказательство там, где его нет, доказывать аксиомы и пр. Он даже уверен, что учебники, не следующие этим минимальным требованиям к научности изложения материала, дурно влияют на уровень квалификации учителя, о чем «наипаче надлежало бы стараться», как говаривали в старые времена. Автора обзора не радует, когда, следуя за учебником, учитель с детьми доказывает правило умножения дробей или правило умножения отрицательных чисел. Он догадывается, что его взгляды на сей предмет сильно отличаются от взглядов многих авторов учебников, но не считает, что перечисленные выше требования являются «бурбакизмом» [4], как это кому-то кажется. Вот почему он считает возможным и полезным для учебников судить о них совсем не с тех позиций, с каких они были написаны.
Каждый комплект (для 5–6, 7–9, 10–11 классов) учебников в нашем обзоре имеет свой номер [1], [2], …, нижний индекс указывает класс, которому предназначен учебник.
5–6 классы. Математика
Чтобы понять и оценить научно-методические особенности учебников Н.Я. Виленкина и др. (издательство «Мнемозина») [1] — самых первых в этой номинации, нужно оглянуться назад и вспомнить, что при проведении реформы 60–70-х годов в среднее звено передали старший класс начальной школы — теперь это 5-й класс. Это обстоятельство объясняет стиль, уровень обоснованности изложения материала и другие особенности учебников [1], которые хоть и изменялись (особенно в первые годы своего существования), но сохранили свойства, полученные при рождении.
Тогда еще не было опыта изложения учебного материала в виде текста для учащихся данного возраста. Теперь, благодаря простым учебным текстам учебников [1], мы имеем такой опыт и можем двигаться дальше, добиваться большего в научности и обоснованности изложения материала. Не секрет, что 30 лет назад обучение математике в 5–6 классах было больше ориентировано на формирование навыков, на обучение по образцам. Большую роль при этом играло постоянное повторение. Но тогда было 6 недельных часов на математику, теперь 5, а учебники никак не отреагировали на это изменение. Работать по нему в новых условиях стало труднее. Учителя пробуют иные подходы к обучению математике.
Линия числа развивается запутанно. По учебнику [15] изучают натуральные числа (без делимости), сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, все действия с десятичными дробями, исключая «плохие» случаи (0,2:0,3). По учебнику [16] изучают делимость натуральных чисел, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями, их умножение и деление, отрицательные числа. Текстовые задачи решаются с помощью уравнения с первых уроков.
Последние издания учебников в полиграфическом плане (многоцветная печать) стали привлекательнее. По этому показателю Издательство «Мнемозина» явный лидер в номинации «5–6 классы».
Учебники Л.Н. Шеврина и др. (издательство «Просвещение») [2] открыли для школы новый жанр — «учебник-собеседник». Это первые учебники, в которых постоянные персонажи (Клоун, Смекалкин и др.), оживляют занятия математикой. К их присутствию в учебнике, как и к самому жанру, можно относиться по-разному. Идею оживления изложения материала и включения игровых моментов в процесс обучения используют и другие авторы. По уровню обоснованности изложения материала и развитию линии числа учебники [2] близки к учебникам [1], но, в отличие от них, не застыли на месте, а совершенствуются. В них теперь интересно проработана линия «Математика событий».
Учебники под ред. Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина (издательство «Просвещение») [3] заложили первую «сквозную» (пока не законченную в 11 классе) линию. В учебниках [3] принят естественный порядок изучения дробей: сначала обыкновенные, потом десятичные. Вопрос о знаке числа изучается сначала на целых числах. В учебниках особо выделяется наглядно-деятельностная геометрия, есть впервые для этого возраста реализованная линия «Анализ данных». В системе упражнений выделены уровни сложности А и Б, имеются задания для самопроверки. Но чего мы не обнаружили в учебниках [3], так это полезной для развития учащихся работы со свойствами арифметических действий — они рассматриваются один раз при изучении натуральных чисел, а далее даже не упоминаются. Учащиеся, таким образом, будут в дальнейшем применять законы, не осознавая необходимости обоснования возможности их применения. Текстовые задачи сначала решают арифметическими методами. За «отчетный период» в учебник [36] вернулись пропорции и соответствующие текстовые задачи.
Учебники серии «МГУ — школе» С.М. Никольского и др. (издательство «Просвещение») [4] начинают завершенную «сквозную» линию учебников для 5–11 классов, написанную одним авторским коллективом. Ее отличает большое внимание к последовательности и обоснованности изложения материала, естественное развитие линии числа: сначала обыкновенные дроби, потом десятичные. Идея знака числа объясняется сначала на целых числах, потом на обыкновенных дробях, лишь после этого изучаются десятичные дроби как иная запись рациональных чисел. Учебники для 5–6 классов названы «Арифметика» не потому, что авторы ностальгируют по первым учебникам математики своей молодости. Они полагают, что арифметика — первый завершенный школьный предмет, изучение которого может дать ученику представление о математической теории и способах ее изучения.
В учебниках [4] возрождается традиционное для классических российских учебников отношение к решению текстовых задач, работа с которыми существенно помогает развитию мышления и речи учащихся, способствует успешности их обучения. Задачи сначала решают арифметическими способами. Каждая глава заканчивается разделом «Занимательные задачи», историческими сведениями и материалами, дополняющими программу. Наряду с основательным изложением теоретического материала, это способствует обучению школьников на повышенном уровне.
Авторы учебников внимательно относятся к вопросу «почему?», при расширении множества изучаемых чисел рассматривают законы арифметических действий и их применение для рационализации вычислений (дополнительный мотив для осознанного усвоения теории, развития теоретического мышления).
Учебники Л.Г. Петерсон и Г.В. Дорофеева (издательство «Ювента») [5] продолжают линию учебников начальной школы тех же авторов. В них широко используются приемы активизации учебной деятельности школьников, связанные с различными игровыми и занимательными моментами. Отношение к такому подходу разное. Одни учителя увлеченно работают, используя знакомую учащимся с начальной школы систему подачи материала. Другие скептически относятся к такой организации обучения, предпочитая опираться не на внешние стимулы к занятиям математикой, а на постепенно воспитываемый интерес к математике, к красоте и силе ее методов. О вкусах, как говорится, не спорят, но остается открытым вопрос: как долго игровые мотивы могут быть полноценным стимулом к занятиям математикой?
В результате более интенсивного изучения материала в начальной школе некоторые вопросы программы 5–6 классов оказались изученными. Например, учащимся знакомы сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Учебник [55] начинается с делимости натуральных чисел, при изучении которой рассматриваются такие вопросы, как математический язык и математические модели, высказывания, общие утверждения, равносильность предложений, определения. Затем изучаются обыкновенные дроби, десятичные дроби.
Учебник [56] начинается с раздела «Язык и логика», совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями, процентов. Далее излагается весь предусмотренный стандартами для этого возраста материал с некоторым «забеганием» в программу старших классов (график прямой и обратной пропорциональной зависимости, например).
Продолжать учебники [5] авторы не планируют и рекомендуют переходить на комплект учебников [12].
Учебники Истоминой Н.Б. (издательство «Ассоциация XXI век») [6] продолжают линию учебников того же автора для начальной школы и тоже начинаются с делимости натуральных чисел. Далее изучаются обыкновенные дроби, десятичные дроби. По учебнику [66] изучаются отрицательные числа — знак минус ставится сразу и перед натуральными числами, обыкновенными и десятичными дробями, как в учебнике [16].
Учебники [6] нацелены на формирование приемов умственной деятельности, в них реализуется авторская концепция деятельностного подхода в обучении. По нашим наблюдениям, иногда деятельность ставится выше математики. Например, в упражнении 751 учащихся просят заменить умножение сложением и вычислить произведение 3/4 и 5, хотя произведение дроби и натурального числа еще не определено. Автор ожидает, что учащиеся обобщат известный только для натуральных чисел факт 3×5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3. Это малополезный для общего развития ученика пример деятельности с никак не определенным объектом. Прием не переносится даже на умножение двух дробей.
Большая роль в учебниках отведена диалогам Маши и Миши, ответы которых бывают и правильными, и неправильными, а учащиеся должны определить, кто из ребят прав. При этом часто учащиеся не могут прибегнуть к помощи учебника, в котором нет традиционных учебных текстов. Быть может, это и способствует активизации мышления, но создает проблемы для учителя с недостаточным опытом и при самостоятельной работе с учебником. В учебнике имеются правила, выводы, которые к концу 6 класса играют все более заметную роль. Но это не «учебник-собеседник», это, скорее, «задачник-собеседник».
В нем многие факты устанавливаются опытным путем, что мало способствует развитию теоретического мышления учащихся. Поэтому их подготовка к работе с учебными текстами в курсах алгебры и геометрии 7 класса потребует от учителя дополнительных усилий. Как нам известно, автор не планирует писать учебники алгебры и геометрии в том же ключе.
В учебниках И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича (издательство «Мнемозина») [7] многие теоретические сведения тоже получаются опытным путем. Например, в учебнике [75] разрезанием куска проволоки на 3 равные части устанавливается не доказанный для чисел факт: 2:3 = 2/3. Говорится, что частное числа m и числа n можно записать в виде дроби, а чтобы получить дробь, надо число m разделить на число n, но как это сделать, не говорится. Получается, что разделить 2 на 3 мы не можем, но можем записать результат действия в виде дроби.
После сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями и умножения и деления обыкновенной дроби на натуральное число вводятся все действия с десятичными дробями. А в учебнике [76] — положительные и отрицательные числа, числовые промежутки (зачем, если ось «дырявая», на ней нет иррациональных чисел?), действия с положительными и отрицательными числами. Осталось неясным: зачем надо сначала изучать умножение и деление положительных и отрицательных чисел, исключив обыкновенные дроби, а через 15 страниц — умножение и деление обыкновенных дробей?
Далее авторы возвращаются к признакам делимости натуральных чисел и простым числам! Линия развития числа в учебниках [7] более запутанная, чем в учебниках [1]. В этом мы видим «минус» учебника. Зато в нем есть элементы теории вероятностей и статистики, разнообразный геометрический материал, охвачены все типы текстовых задач, традиционные для данного школьного возраста.
Учебники Э.Г. Гельфман и др. (издательство «Просвещение») [8] – самые новаторские учебники в номинации «5-6 классы», уходящие далеко от учебников, названных выше классическими или современными.
Учебник [85] состоит из двух книг (часть 1 и часть 2). Каждая из них разбита на две части — учебник и практикум (задачник). Учебник части 1 — сказка (Муми-тролль, фрёкен Снорк, Хемуль и др.), учебник части 2 — пьеса (с другими персонажами). Есть пролог, сцена первая (и следующие за ней), есть даже игры в антрактах! Учебник [86] тоже состоит из двух книг (часть 1 и часть 2). Учебник части 1 написан в форме детектива с участием Шерлока Холмса и Доктора Ватсона, учебник части 2 — в форме сказки (с героями русских сказок).
Линия числа запутаннее, чем в учебнике [1]. Судите сами.
5 класс. Позиционные системы счисления изучаются с помощью палочек, пучков, вязанок — сказочных названий разрядов натуральных чисел, общих для систем счисления с различными основаниями (внепрограммный вопрос). Сравнение натуральных чисел, десятичные дроби (!). Сравнивают десятичные дроби, рассматривая различные единицы измерения длины. Складывают натуральные числа, потом десятичные дроби, вычитают. Умножают натуральное число (потом и десятичную дробь) на однозначное натуральное число, на 10, 100, 1000, …, на круглое число, на многозначное натуральное число. Наконец, умножают десятичные дроби. Делят натуральные числа (и десятичные дроби) на однозначное натуральное число, на многозначное натуральное число, на десятичную дробь. Изучают действия с целыми числами … Всего 558 страниц текста в двух книгах на один год обучения. Это рекорд в номинации «5–6 классы».
6 класс. Изучается делимость натуральных чисел, вводятся обыкновенные дроби, основное свойство дроби, запись обыкновенных дробей в виде десятичных и десятичных в виде обыкновенных, смешанные числа. Сравнивают обыкновенные дроби, рациональные числа (дроби любого знака), умножают обыкновенные дроби — положительные, потом отрицательные. Делят. После этого (!) складывают обыкновенные дроби, смешанные числа — положительные, отрицательные. Вычитают. Изучают пропорции, проценты, диаграммы и элементы вероятностей.
Еще одна новинка в номинации «5–6 классы» — учебники М.Б. Воловича (издательство «Вентана-граф»)[9]. Здесь, как и в учебнике [8], реализуется старая идея: начинать изучать дроби не с обыкновенных, а с десятичных, опираясь на сходство действий с ними и с натуральными числами. Даже не упоминая понятие «обыкновенная дробь»! Это единственный учебник во всем перечне, про который написано, что он соответствует не федеральному компоненту стандарта 2004 г., не обязательному минимуму содержания образования 1998 года, а авторской программе М.Б. Воловича! Автор формулирует в учебнике основную концепцию своего комплекта — «исключение заучивания, обучение умениям рассуждать, обосновывать, доказывать». Свою же концепцию в собственных учебниках ему реализовать не удалось. Давайте в этом убедимся.
Повторив запись многозначных натуральных чисел, автор называет десятичной дробью число, у которого десятичная запись имеет разряды правее разряда единиц. Здесь же объясняет, что после запятой можно дописывать нужное число нулей. Не сказав ничего про действия с десятичными дробями, он просит выполнить эти действия с помощью калькулятора!
Далее автор доказывает, что числа 50,024 и 0050,0240 равны, но как! Цитата: «Число 50,024 может быть получено из 0050,0240 зачеркиванием двух нулей в начале и одного нуля в конце». Жаль, что он не разрешает зачеркивать нули еще и в середине! Неужели только в этом случае в Федеральном экспертном совете смогли бы понять, что автор ничего не обосновывает и ничего не доказывает?
Складывая и вычитая десятичные дроби, автор повторяет сложение и вычитание натуральных чисел, действия с которыми объясняет с помощью палочек и пучков… Автор не объясняет, почему надо действовать так, как он учит, а не иначе. Он пытается обучать умениям (так и написано в концепции), хотя при обучении математике умения принято формировать с опорой на понимание выполняемых действий. Так что с «рассуждать, обосновывать, доказывать» не получается. Учащимся останется только заучивать.
7–9 классы. Алгебра
Учебники Ю.Н. Макарычева и др. (издательство «Просвещение») [10] — первые в номинации «7–9 классы». Эти учебники «для всех» с привычными многим поколениям учителей учебными текстами и заданиями ведут свою историю от начала 70-х годов. В них реализован функциональный подход к изложению алгебраического материала, что отражается и в терминологии: «выражения с переменными», «уравнения с переменными». Авторы неявно рассматривают выражения с переменными как функции одной или нескольких переменных. Порядок изучения понятий (выражение — уравнение — функция) оправдан и проверен временем.
На первом году обучения изучаются выражения с переменными (одночлены, многочлены), линейная функция, линейные уравнения и их системы. На втором — рациональные дроби, квадратные корни, квадратные уравнения, неравенства, степень с целым показателем. На третьем — квадратичная функция, уравнения и системы уравнений, степень с рациональным показателем, тригонометрические выражения и их преобразования (в несколько сокращенном объеме).
К учебникам [10] изданы вкладыш «Элементы статистики и теории вероятностей», а для 8–9 классов с углубленным изучением математики — «Дополнительные главы». В настоящий момент учебники перерабатываются. Элементы вероятностей войдут в основной текст учебников. Учебник [107] уже вышел. В него включен новый параграф «Статистические характеристики», сведения о формулах куба суммы и разности, о решении уравнений с двумя переменными в целых числах. В каждую главу включен пункт «Для тех, кто хочет знать больше». Учебник [108] можно улучшить. С нашей точки зрения, умножение многочленов должно предшествовать разложению многочлена на множители, правила действий с рациональными дробями лучше не доказывать.
Учебники Ш.А. Алимова и др. (издательство «Просвещение») [11] возникли на волне критики первых результатов реформы 60–70-х годов. Курс в целом имеет алгоритмическую направленность. Большое внимание уделяется практическому применению изучаемого материала. Здесь другая терминология: «выражения с неизвестными», «уравнение с неизвестным». Многочлены и алгебраические дроби изучаются в рамках одного года. Линейная функция, ее график вводятся до изучения действительных чисел. Определение функции еще раз уточняется в 9 классе, там же вводится область определения функции. Понятие квадратного корня из числа определяется в 8 классе на множестве рациональных чисел, следом изучаются иррациональные числа, и это понятие без всяких оговорок применяется в ситуации, для которой оно не определялось. Порядок следования тем легко поправить.
Учебники [11] отличаются простыми учебными текстами, в них, как и учебниках [10], большое внимание уделено мотивации введения новых понятий. Объяснение нового материала чаще всего начинается с разбора решения задачи практического содержания. К ним издан вкладыш «Элементы статистики и вероятность».
Учебники под ред. Г.В. Дорофеева (издательство «Просвещение») [12] продолжают линию учебников [3]. Они начинаются с арифметического материала: дроби и проценты, прямая и обратная пропорциональность. Числовые промежутки на координатной прямой, графики функций, многочлены, степень числа изучаются до введения иррациональных чисел. По последовательности изучения основных вопросов учебники [12] напоминают учебники [10]. Для них характерно чередование объектов изучения в рамках одного года: неравенства, функции, опять неравенства и т. п. Некоторые вопросы теперь изучаются позже. Например, системы линейных уравнений — в 8-м классе, дробные уравнения — в 9-м.
Отметим непривычно позднее появления термина «функция». До середины 8 класса авторы говорят о зависимостях, строят графики зависимостей, графики уравнений. Говорится, что не всякое уравнение с двумя переменными задает функцию, что верно, но не для приведенного уравнения y2 = x, задающего функцию x от y. Идея практически направленной работы с зависимостями представляется хорошо реализованной.
Важной содержательной линией учебников, впервые разработанной для этого возраста, является линия «Анализ данных», включающая комбинаторику, элементы теории вероятностей и статистику. Она имеет практическую направленность.
Задания во всех учебниках разделены на два уровня сложности. Каждая глава заканчивается дополнительными материалами развивающего характера (раздел «Для тех, кому интересно»).
Учебники серии «МГУ — школе» С. М. Никольского и др. (издательство «Просвещение») [13] начинаются темой «Действительные числа». Это единственный учебник, в котором изучение действительных чисел предшествует всему алгебраическому материалу и функциям, что дает возможность в дальнейшем сделать более точными рассуждения, связанные с построением графиков функций, с определением квадратного корня и т. п.
В 7 классе изучаются одночлены, многочлены, формулы сокращенного умножения, алгебраические дроби, линейные уравнения и их системы, в 8-м — функции, квадратные корни, квадратные и рациональные уравнения, в 9-м — решение неравенств, прогрессии, корни степени n, элементы тригонометрии. Если, следуя учебнику [139], не переносить две последние темы из 9-го класса в 10-й, то в старших классах не будет ощущаться перегрузки, описанной выше.
Учебники [13] в конце каждой главы содержат материал, охватывающий программу для классов с углубленным изучением математики.
Учебники А.Г. Мордковича (издательство «Мнемозина») [14] разделены на собственно учебники и задачники. По математическому содержанию они мало отличаются от учебников [10] и [11]. Но, на наш взгляд, кое в чем им уступают. Например, в порядке введения понятия действительного числа и понятия квадратного корня.
Автор излишне свободно обращается с понятиями. Они, зачастую, сначала используются, а потом определяются. Это не неточность, это концепция такая. Сначала появляется координатная ось и утверждение, что каждая точка соответствует единственному числу, а в следующем классе — действительные числа, проясняющие сказанное в прошлом году. Автор сначала пользуется понятием «алгебраическая дробь» для деления одночленов, потом в том же учебнике вводит его определение, сокращает дроби при изучении многочленов до изучения основного свойства дроби. А в учебнике [148] повторяет определение дроби и вводит ее основное свойство. Сначала появляется линейная функция (как частный вид линейного уравнения), потом функция y = x2, и др., после этого понятие «функция» используется, дается определение возрастающей (убывающей) функции, а в 9 классе, наконец, понятие «функция» определяется. В учебнике [147] функция y = x2 ошибочно названа непрерывной (до введения действительных чисел этого утверждать нельзя).
В учебнике [147] дан алгоритм графического решения уравнения вида f (x) = g (x) для случая линейных функций. Алгоритм работает, так как абсцисса точки пересечения — рациональное число. В учебнике [148] автор напоминает этот алгоритм и применяет его для квадратичных функций, хотя говорить об алгоритме не имеет смысла, если он не работает в простейшей ситуации x2 = 5. Ведь действительных чисел еще нет, поэтому графики функций, имеющие только точки с рациональными координатами, не являются непрерывными линиями. В конце параграфа 14 есть оговорка, что пока нельзя решить обсуждаемым способом уравнение x2 = x + 3, но парабола и прямая пересекаются в двух точках, значит, уравнение имеет два корня. Вот здесь «нестыковка», так как пока что графики не пересекаются! А далее … автор вводит понятие корня, опираясь на утверждение, что графики y = x2 и y = 5 пересекаются в двух точках. До действительных чисел вводятся не только квадратные корни, но и квадратные уравнения, и иррациональные. Представляется, что восстановить логику изложения в этом месте не так сложно.
Можно, конечно, считать, что указанная «нестыковка» происходит не в учебнике [148], а в голове у автора обзора, привыкшего к аккуратному и точному изложению материала в учебнике математики. Пусть о важности (или пустячности) наших замечаний судит читатель — в меру своего согласия (или несогласия) с нашими требованиями к учебнику математики.
К учебникам [14] издан вкладыш «События. Вероятности. Статистическая обработка данных».
Учебники К.С. Муравина и др. (издательство «Дрофа») [15] строятся с опорой на функциональный подход, что отражается и в терминологии: «выражения с переменными», «уравнения с переменными», и в достаточно вольном обращении с алгебраическими объектами. Учебник [157] отдает дань математическому языку и математическим моделям. Уже в первой главе рассмотрены решение уравнений, уравнения с двумя переменными и их системы, которые будут изучаться позднее. Дальше изучаются функции, степень с натуральным показателем, одночлены, сокращение дробей. Появление дробей до изучения многочленов кажется преждевременным и служит лишь для тренировки в работе с одночленами, основное свойство дроби используется до его изучения. Далее идут многочлены и формулы сокращенного умножения.
В учебнике [158] продолжается изучение формул сокращенного умножения (куб двучлена, сумма и разность кубов), дробные выражения, сокращение дробей, умножение и деление дробей, а потом сложение и вычитание дробей. Далее изучаются дробные уравнения с переменной в знаменателе, степень с целым показателем, квадратные корни и квадратные уравнения. В учебнике [159] изучается преобразование квадратного трехчлена, квадратичная функция и ее график, конические сечения, корни степени n, прогрессии. Во всех трех учебниках имеется материал по вероятностно-статистической линии.
В учебниках [15] упражнения разделены по уровню сложности, имеются разделы: Исследовательские работы, Практикум по решению текстовых задач, Проверь себя!, Домашние контрольные работы, Ответы, советы, решения, Справочные материалы.
Линия дополняется «снизу» учебниками для 5–6 классов, учебник для 5 класса уже вышел.
Учебники М.И. Башмакова (издательство «Просвещение») [16] в прошлом обзоре представлены не были. Структура учебников одинакова: материал разбит на части, называемые уроками. Их названия почти всегда начинаются глаголом: заменяем, составляем, вычисляем и пр., что подчеркивает внимание автора к выполняемым действиям. Объекты деятельности — уравнения высших степеней, многочлены, алгебраические дроби — появляются с первых страниц учебника [167] и используются безотносительно к тому, изучены свойства действий с ними или нет.
В учебнике [167] в уроке 4 текстовая задача впервые решается с помощью уравнения. Задается вопрос: что такое уравнение? Но только в следующем уроке 5 на этот вопрос автор дает ответ. Определение дается сразу для уравнений с несколькими неизвестными и с одним неизвестным, что делает его нечитаемым. Говорится, что такое его решения (для нескольких неизвестных), что такое его корень (для одного неизвестного). В уроке 6 читаем: «Уравнение (x – 2)(x – 3) = 0, как легко догадаться, имеет два решения x = 2 и x = 3». Легко ли догадаться ученику — не знаем, так как страницей раньше автор называл эти решения корнями. В уроке 7 слагаемые переносятся из одной части уравнения в другую, раскрываются скобки x(x – 1), уравнения соединяются знаком =>, что в старших классах в учебнике того же автора будет пониматься как переход к уравнению-следствию и требовать проверки полученных корней…
Все это делается до изучения одночленов, многочленов, умножения одночлена на многочлен и умножения многочленов. Неужели учащимся повредило бы преподнесение учебного материала в логической последовательности? Неужели деятельность сама по себе настолько самоценна, что ученикам не полезно задумываться, с какими объектами, на основании каких свойств она осуществляется?
Смелое обращение с алгебраическими понятиями, преувеличенное внимание к деятельности в ущерб осознанию объектов, выбранных для этой деятельности, не соответствует нашим представлениям о классических принципах обучения. Стиль первой книжки кажется настолько новаторским, что мы поостережемся высказывать свое суждение об остальных.
7–9 классы. Геометрия
Учебник А.В. Погорелова (издательство «Просвещение») [17] известен учителям, в нем реализован аксиоматический подход к построению курса геометрии. Он привлекателен тем, что является развитием хорошо продуманных классических учебников и задачников прошлых лет. Но самое трудное для учащихся и учителя при работе по нему — это отслеживание порядка вершин треугольников при обсуждении их равенства и подобия, довольно сложные для учащихся доказательства первых теорем (например, признаков равенства треугольников).
Эти трудности произрастают из желания автора все вывести из аксиом и не пользоваться, например, наложением при доказательстве признаков равенства треугольников. Обучающий и воспитательный эффект от такого способа обучения не сопоставим с испытываемыми трудностями. Но наличие жесткой и экономной системы изложения и последовательной системы упражнений делает учебник лаконичным.
Учебник Л.С. Атанасяна и др. (издательство «Просвещение») [18] отличается более спокойным отношением к лозунгу «в геометрии все должно быть доказано!» В частности, упомянутые признаки равенства треугольников доказываются наложением треугольников, что представляется оправданным на ранней стадии освоения учащимися нового предмета. Некоторые теоретические факты, используемые в дальнейшем изложении, даны не в виде теорем, а в виде задач, что затрудняет ссылки на них в последующей работе. Теоремы о средней линии треугольника и трапеции могли бы появиться раньше. Но этот момент учитель при желании может компенсировать, предложив учащимся другой способ доказательства в начале 8 класса, а вот изучение площади до подобия оправдано (в учебнике [17] порядок обратный).
К учебнику [18] изданы «Дополнительные главы» для учащихся классов с углубленным изучением математики.
Учебник А.Д. Александрова и др. (издательство «Просвещение») [ 19] — пример соединения в одном курсе планиметрии и стереометрии. В учебнике имеются обидные неточности, которые не украшают учебник. Определение: «Треугольники называются равными, если равны их стороны». В скобках есть разъяснение формулировки. Но как ученик должен давать определение — с разъяснением или без него? А определение позволяет два равносторонних треугольника назвать равными. Не лучше ли дать нормальную формулировку? Это пример из планиметрии, заметно отличающейся от других курсов, но хорошо выстроенной логически. А стереометрия вся построена на недоказанности — это в учебнике, в котором реализуется аксиоматический подход!
Пример 1. Утверждается, что величина линейного угла не зависит от выбора его вершины на ребре двугранного угла. Без намека на доказательство.
Пример 2. Описание установки мачты с помощью четырех растяжек и рисунок 96 неточные. Авторы думают, что каждая пара растяжек с мачтой лежат в одной плоскости, но не пишут об этом. По их тексту (и рис. 96) можно установить мачту не так, как хочется авторам. А они от этого примера приходят к утверждению, что мачта перпендикулярна любой прямой плоскости, дают определение перпендикуляра к плоскости, бездоказательно формулируют признак перпендикулярности прямой и плоскости и другие факты стереометрии.
Вы спросите, зачем? Ответим: авторы заботятся о пространственном воображении школьников — необходимом элементе их общекультурного развития. Но почему это надо делать в ущерб приучению детей к логике и к научной честности? Разве цели обучения математике так изменились, что теперь на уроке математики надо принимать сказанное на веру?
Прямо скажем, органичного включения стереометрии в курс планиметрии не получилось.
Одной из особенностей учебника И.Ф. Шарыгина (издательство «Дрофа») [20] является отказ от аксиоматического подхода. В нем уменьшена роль формально-логических рассуждений, больше внимания уделено методам решения задач. Наглядно-эмпирическое построение курса позволяет на раннем этапе обучения решать содержательные, интересные и красивые задачи.
Планиметрические задачи рассматриваются не только на плоскостных, но и на пространственных объектах. Это дает возможность не тормозить формирование пространственного (трехмерного) видения геометрических объектов, пространственного мышления школьников, а развивать их. Этому способствует продуманное использование наглядности в учебнике.
Интересен исторический аспект развития учебного материала, доказательства фактов, полученных великими математиками древности. Все это работает на воспитание интереса учащихся к предмету и уважения к классикам геометрии.
Учебник И.М. Смирновой и В.А. Смирнова (издательство «Мнемозина») [21] следует традициям преподавания геометрии в школе, идущим от классических учебников А.П. Киселева. В нем реализован аксиоматический подход. Аксиомы вводятся постепенно по мере необходимости. Авторы используют избыточную систему аксиом, что в рамках первоначального изучения геометрии оправдано. Однако и здесь, как и в учебнике [17], надо следить за порядком вершин в обозначении треугольника.
В качестве дополнений к классическим вопросам планиметрии в учебнике содержатся материалы научно-популярного характера (графы, теорема Эйлера, проблема четырех красок и др.). Учебник завершается материалами по стереометрии, что позволяет распространить изученные понятия и свойства на случай пространства, готовить учащихся к изучению стереометрии в старших классах. В учебнике ощущается реальная забота о развитии пространственного воображения школьников — не в ущерб другим целям обучения математике.
Размещение упражнений непосредственно за учебным текстом улучшает ориентировку учителя и учащихся в учебнике, делает материал, связанный с данным учебным текстом, более обозримым.
[1] От реформы до реформы … Попытка обзора школьных учебников математики. – М.: Школьное обозрение, 2002, № 5.
[2] См. 1) Над пропастью во лжи, или Будет ли толк от бестолковой реформы? Первое сентября, 46/2003. 2) Московские «двоечники» могут спать спокойно, согласно Закону об общем образовании в Москве, Математика, 23/2004.
[3] Об истинных целях «реформирования» школы чудесным образом проговорился в кулуарах одного обсуждения в «Новой газете» в 2001 г. известный «реформатор» А.А. Пинский. Вот как описал разговор с ним А.М. Шкроб: «В перерыве я говорил с Пинским и понял, что он имел в виду. <…> Они хотят не школу лучше, они хотят школу другую… А цель такая, что нам больше не нужна та школа, которая существует, и не потому, что там учат слишком много математике, а потому, что слишком много математики не нужно сейчас выпускникам. Им некуда приложить эту математику. Пинский сказал, что в постиндустриальном обществе, каким, например, является Америка, большая часть населения обслуживает меньшую часть. Понимается в сфере услуг. Ну зачем им это знать. Действительно, Америка, которая собирает специалистов, перекупает в сущности их со всех концов земли, вероятно, может себе позволить такую роскошь. Я полагаю, что те школьники, которые сейчас пойдут в школу, должны будут восстанавливать, пользуясь старой терминологией, народное хозяйство, восстанавливать промышленность, которая разрушена за последние годы. И когда я ему это сказал, он говорит: помилуйте, зачем, ведь есть же международная кооперация? Нам это не нужно больше».
Откровеннее не скажешь! Целью реформирования и усечения образования в России является закрепление за ней статуса сырьевого придатка развитых стран. А перегрузка — это лукавого! Верните часы на математику, разрешите выпускать ученика с двойкой по предмету — и все быстро придет в норму, никакой перегрузки не будет.
Америка-то может позволить себе экономить на массовом образовании, покупая готовых специалистов по всему миру, в том числе и в России, но почувствуйте разницу: Америке нужно только поддерживать свое положение, а нам предстоит подниматься из руин. Уже только поэтому слепое копирование американской модели образования, которую нам навязывают «реформаторы», является стратегической ошибкой, за которую Россия еще долго будет расплачиваться. Если, конечно, мы окончательно не расстались с мечтой возрождения России в качестве самодостаточной в образовании, в науке, в современном производстве, в обороне и пр. державы. А если расстались, то надо быть готовыми к тому, что за развалом образования последует развал науки, производства, обороны, может быть, и государства.
[4] Н. Бурбаки — псевдоним группы французских математиков, сторонников формалистического изложения математики. О влиянии бурбакизма на школьную математику см. В.И. Арнольд. Нужна ли в школе математика? Стенограмма пленарного доклада (Дубна, 21 сентября 2000 г.) — М.: МЦНМО, 2001.
Опубликовано в журнале «Вестник учебной и детской литературы 1 / 2006.
P.S. В данной публикации исправлены замеченные неточности.