Проект программы по математике для 5-9 классов (новый стандарт)
Математика
Пояснительная записка
[Наша правка и вопросы выделены красным цветом]
Основное общее образование – вторая ступень общего образования. В основной школе главным результатом образования является формирование умений организации и проектирования эффективной индивидуальной и коллективной деятельности, как учебной, так и социально-творческой; подготовка к осознанному и основанному на предметных знаниях выбору будущей образовательной траектории; приобретение знаний о мере своих прав и обязанностей.
Математическое образование является обязательной и неотъемлемой частью общего образования. Изучение математики в основной школе направлено на достижение следующих целей:
1) в направлении личностного развития:
формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, о значимости математики в развитии цивилизации и современного общества;
воспитание качеств личности, формируемых в ходе учебной математической деятельности и обеспечивающих социальную мобильность, творческую активность, способность принимать самостоятельные решения.
формирование качеств мышления, свойственных математической деятельности и необходимых для адаптации в современном информационном обществе;
развитие интереса к математическому творчеству и математических способностей;
2) в метапредметном направлении:
развитие представлений о математике как форме описания и методе познания действительности, создание условий для приобретения первоначального опыта математического моделирования;
формирование общих способов интеллектуальной деятельности, характерных для математики и являющихся основной познавательной культуры, значимой для различных сфер человеческой деятельности;
3) в предметном направлении:
овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми для применения в повседневной жизни, изучения смежных дисциплин, продолжения обучения в старшей школе или иных формах среднего образования.
Статус документа
Примерная программа основного общего образования по математике составлена на основе Фундаментального ядра содержания образования.
В соответствии с «Требованиями к структуре основных образовательных программ», являющимися частью Федерального образовательного стандарта общего среднего образования», Примерная программа по математике:
- конкретизирует содержание соответствующего раздела Фундаментального ядра;
- определяет минимальный объем содержания по предмету, который должен быть включен в любую авторскую (рабочую) программу;
- устанавливает минимально допустимое количество учебных часов по разделам курса.
Функции Примерной программы
Примерная программа выполняет две основные функции.
Информационно-методическая функция позволяет всем участникам образовательного процесса получить представление о целях, содержании, общей стратегии обучения, воспитания и развития обучающихся средствами данного учебного предмета.
Организационно-планирующая функция предусматривает выделение этапов обучения, структурирование учебного материала с учетом межпредметных и внутрипредметных связей, логики учебного процесса и возрастных особенностей обучающихся, определение его количественных и качественных характеристик на каждом из этапов.
Структура документа
Примерная программа по математике конкретизирует разделы Фундаментального ядра содержания и является основой для разработки рабочих программ.
В соответствии с требованиями к структуре основных образовательных программ по отдельным учебным предметам примерная учебная программа по математике содержит следующие разделы:
– пояснительную записку, в которой определяются цели изучения предмета на каждой ступени обучения и указываются особенности содержания образования;
– содержание образования, включающее перечень изучаемого материала;
– примерное тематическое планирование с определением основных видов учебной деятельности школьников;
– планируемые результаты освоения предметных программ;
– рекомендации по оснащению учебного процесса.
Место учебного предмета в Базисном учебном (образовательном) плане
В основной школе на изучение математики Базисным учебным (образовательным) планом отводится 5 учебных часов в неделю, всего 875 часов. Учитывая важность и объективную трудность этого предмета, учебное время может быть увеличено до 6 и более уроков в неделю за счет школьного или регионального компонентов. Примерное распределение учебного времени по содержательным линиям дано в разделе «Тематическое планирование».
Целесообразно придерживаться традиционной структуры курса математики 5-9 классов: в 5-6 классах изучается предмет «Математика», в 7-9 классах параллельно изучаются предметы «Алгебра» и «Геометрия». При этом предмет «Математика» включает в себя арифметический материал, элементы начальной алгебры, геометрии, элементы вероятностно-статистической линии; предмет «Алгебра» включает некоторые вопросы арифметики, развивающие числовую линию 5-6 классов, собственно алгебраический материал, элементарные функции, а также элементы вероятностно-статистической линии.
В то же время указанная структура курса не является нормативной, и образовательным учреждениям предоставляется возможность строить рабочий учебный план на иных принципах. Например, на основе модульного подхода возможно выделение в специальный модуль вероятностно-статистического материала.
Особенности содержания обучения математике в основной школе
Раздел «Содержание образования» примерной программы по математике для основной школы складывается из совокупности содержательно-методических линий: числа; алгебраические выражения; уравнения и неравенства; функции; наглядная геометрия; планиметрия; аналитическая геометрия; комбинаторика, статистика, вероятность; множества и логика.
В 5-6 классах в преподавании математики находят отражение элементы содержательно-методических линий: числа; алгебраические выражения; уравнения и неравенства; наглядная геометрия; комбинаторика, статистика, вероятность. [Является ли обучение решению неравенств в 5-6 классах обучением решению неравенств, если после введения иррациональных чисел изученные в 5-6 классах методы не переносимы на иррациональные числа, они требуют нового обоснования. Может быть, неравенства в 5-6 классе надо снять?]
В учебном предмете «Алгебра» для 7-9 классов основное место занимают содержательно-методические линии: числа; алгебраические выражения; уравнения и неравенства; функции; комбинаторика, статистика, вероятность; множества и логика.
В учебном предмете «Геометрия» для 7-9 классов ведущую роль играют содержательно-методические линии: планиметрия и аналитическая геометрия; множества и логика.
Каждая из этих содержательно-методических линий развивается на протяжении всех лет обучения, естественным образом переплетаясь и взаимодействуя с другими в учебных курсах. В своей совокупности эти содержательно-методические линии базируются на содержании фундаментального ядра школьного математического образования, раскрывая детальное наполнение каждого содержательного блока ядра применительно к основной школе.
Раздел Арифметика Фундаментального ядра школьного математического образования представлен в Примерной программе содержательно-методической линией «Числа». Эта линия призвана способствовать приобретению практических навыков, необходимых для повседневной жизни. Она служит базой для всего дальнейшего изучения математики, способствует логическому развитию и формированию умения пользоваться алгоритмами. Расширение понятия о числе в основной школе связано с рациональными и иррациональными числами, формированием первичных представлений о действительном числе. Завершение числовой линии (дедуктивное построение теории, комплексные числа), так же как и сложные вопросы арифметики (алгоритм Евклида, основная теорема арифметики), отнесены к старшему звену.
Раздел Фундаментального ядра Алгебра лежит в основе содержательно-методических линий «Алгебраические выражения» и «Уравнения и неравенства». Эти линии нацелены на формирование математического аппарата для решения задач из математики, смежных предметов, окружающей реальности. Язык алгебры подчеркивает значение математики как языка для построения математических моделей, процессов и явлений реального мира. Одной из основных задач изучения алгебры является развитие алгоритмического мышления, необходимого, в частности, для освоения курса информатики, овладение навыками дедуктивных рассуждений. Преобразование символических форм вносит свой специфический вклад в развитие воображения, способностей к математическому творчеству. В основной школе материал группируется вокруг рациональных выражений, а вопросы, связанные с иррациональными выражениями, с тригонометрическими функциями и преобразованиями переносится на старшую ступень.
[Зачем тогда изучать квадратные и кубические корни, если работа с ними откладывается до 10-11 классов? Упомянутый перенос — явная ошибка или неверное описание предложения.]
Вопросы из раздела Фундаментального ядра Математический анализ, соответствующие ступени основной школы, отражены в Примерной программе в содержательно-методической линии «Функции». Эта линия нацелена на получение школьниками конкретных знаний о функциях как важнейшей математической модели для описания и исследования разнообразных процессов. [О функции как модели или о функциях как моделях?]
Изучение этого материала вносит вклад в формирование у учащихся умения использовать различные языки математики (словесный, символический, графический), развития представлений о роли математики в развитии цивилизации и культуры.
Раздел Фундаментального ядра Геометрия послужил основой содержательно-методических линий «Наглядная геометрия», «Планиметрия», «Аналитическая геометрия». Эти линии имеют целью развить у учащихся пространственное воображение и логическое мышление путем систематического изучения свойств фигур на плоскости и в пространстве и применения этих свойств к решению задач вычислительного и конструктивного характера. Существенная роль отводится развитию геометрической интуиции: чертежи должны стать важным эвристическим средством, позволяющим формулировать и проверять гипотезы, намечать пути решения задач. Сочетание наглядности со строгостью является неотъемлемой частью геометрических знаний. В результате изучения курса геометрии учащиеся должны активно владеть геометрическими понятиями; знать основные свойства изучаемых фигур и методы, применяемые в геометрии, воспроизводить доказательства основных теорем курса; уметь самостоятельно решать типичные задачи и записывать их решения.
Раздел Фундаментального ядра Вероятность и статистика конкретизирован в содержательно-методической линии «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики». Эта линия как обязательный компонент школьного образования усиливает его прикладное и практическое значение. Этот материал необходим, прежде всего, для формирования функциональной грамотности — умений воспринимать и анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчеты. Изучение основ комбинаторики позволит учащемуся осуществлять рассмотрение случаев, перебор и подсчет числа вариантов, в том числе, в простейших прикладных задачах.
При изучении статистики и вероятности обогащаются представления о современной картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли статистики как источника социально значимой информации и закладываются основы вероятностного мышления.
Основное содержание
ЧИСЛА
Натуральные числа. Натуральный ряд. Десятичная система счисления. Арифметические действия над натуральными числами. Свойства арифметических действий. Числовое выражение, значение числового выражения. Порядок действий в числовых выражениях, использование скобок. Текстовые задачи.
Степень с натуральным показателем.
Делители и кратные. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10. Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители. Деление с остатком.
Дроби. Обыкновенная дробь. Основное свойство дроби. Сравнение дробей. Арифметические действия с обыкновенными дробями. Нахождение части от целого и целого по его части, решение текстовых задач.
Десятичная дробь. Сравнение десятичных дробей. Арифметические действия с десятичными дробями. Представление десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и обыкновенной в виде десятичной.
Проценты. Нахождение процента от величины и величины по ее проценту. [Вряд ли предлагается ограничиться нахождением одного процента. Скорее всего: «процентов величины и величины по ее процентам».]
Рациональные числа. Положительные и отрицательные числа, модуль числа. Координатная прямая. Геометрическая интерпретация модуля числа. Множество целых чисел. Множество рациональных чисел; рациональное число как отношение , где m – целое число, п – натуральное. Сравнение рациональных чисел. Арифметические действия с рациональными числами. Свойства арифметических действий.
Степень с целым показателем.
Действительные числа. Квадратный корень из числа. Корень третьей степени. Запись корней с помощью степени с дробным показателем. Нахождение приближенного значения корня с помощью калькулятора.
Понятие об иррациональном числе. Иррациональность квадратного корня из числа 2 и несоизмеримость стороны и диагонали квадрата. Десятичные приближения иррациональных чисел.
Множество действительных чисел; представление действительных чисел бесконечными десятичными дробями. Сравнение действительных чисел.
Взаимно однозначное соответствие между действительными числами и точками координатной прямой. Числовые промежутки: интервал, отрезок, луч. [Неудачен «луч». Уж лучше «полуинтервал», охватывающий собственно луч [а; + ), и промежуток [1; 2) — ни интервал, ни отрезок, ни луч.]
Числовые выражения. Значение числового выражения. Порядок действий в числовых выражениях, использование скобок. Законы арифметических действий: переместительный, сочетательный, распределительный.
Зависимости между величинами. Представление зависимостей между величинами в виде формул. Вычисления по формулам. Отношение, выражение отношения в процентах. Пропорция. Основное свойство пропорции.
Пропорциональная и обратно пропорциональная зависимости.
[Чем это лучше прежнего «прямая и обратная пропорциональные зависимости»? «Пропорциональная зависимость» может быть прямой или обратной.]
Решение текстовых задач арифметическим способом.
Измерения, приближения, оценки. Единицы измерения длины, площади, объема, массы, времени, скорости; переход от одних единиц к другим. Размеры объектов окружающего нас мира (от элементарных частиц до Вселенной), длительность процессов в окружающем мире.
Приближенное значение величины, точность приближения. Округление натуральных чисел и десятичных дробей. Прикидка и оценка результатов вычислений. Выделение множителя – степени десяти в записи числа.
Текстовые задачи. Решение текстовых задач арифметическим способом. [Почему в единственном числе? Их же много различных арифметических способов. Это алгебраический способ один: введи букву (буквы), составь уравнение (неравенство, систему).]
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Начала алгебры. Буквенные выражения (выражения с переменными). Числовое значение буквенного выражения. Допустимые значения переменных. Подстановка выражений вместо переменных. [Почему навязывается представление о буквенном выражении, как о выражении с переменной? Если a — сторона квадрата, а S = a2 — его площадь, то здесь есть буквенное выражение, но нет переменной, пока не поставлена задача следить за изменениями S при изменении a.]
Преобразование буквенных выражений на основе свойств арифметических действий. Равенство буквенных выражений. Тождество.
Многочлены. Степень с натуральным показателем и ее свойства. Одночлены и многочлены. Степень многочлена. Сложение, вычитание, умножение многочленов. Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности. Формула разности квадратов. Преобразование целого выражения в многочлен. Разложение многочлена на множители.
Многочлены с одной переменной. Корень многочлена.
Алгебраические дроби. Понятие алгебраической дроби. Основное свойство алгебраической дроби. Сокращение дробей. Сложение, вычитание, умножение, деление алгебраических дробей. Степень с целым показателем и ее свойства.
Рациональные выражения и их преобразования. Доказательство тождеств.
Квадратные корни. Свойства арифметических квадратных корней и их применение к преобразованию числовых выражений и вычислениям. [Здесь усматривается противоречие с предложением перенести преобразования иррациональных выражений в 10-11 классы.]
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Уравнения. Уравнение с одной переменной. Корень уравнения.
Свойства числовых равенств. Равносильность уравнений.
Линейное уравнение. Квадратное уравнение: формула корней квадратного уравнения, теорема Виета. Решение уравнений, сводящихся к линейным и квадратным. Примеры решения уравнений третьей и четвертой степени разложением на множители; биквадратное уравнение.
Решение дробно-рациональных уравнений.
Уравнение с двумя переменными. Линейное уравнение с двумя переменными, примеры решения уравнения в целых числах.
Система уравнений с двумя переменными, решение системы. Равносильность систем. Система двух линейных уравнений с двумя переменными; решение подстановкой и сложением.
Примеры решения нелинейных систем с двумя переменными.
Решение текстовых задач алгебраическим способом.
Декартовы координаты на плоскости. Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными. График линейного уравнения с двумя переменными. Угловой коэффициент прямой; условие параллельности прямых. Графическая интерпретация систем уравнений с двумя переменными.
Неравенства. Числовые неравенства и их свойства.
Неравенство с одной переменной. Равносильность неравенств. Линейные неравенства с одной переменной. Квадратные неравенства. Системы неравенств с одной переменной. [Почему неравенство x2 – 3x + 2 > 0 решать учим, а то же неравенство, записанное в виде (x – 1)(x – 2) > 0 — нет? В чем экономия? Надо изучать метод интервалов, но без опоры на непрерывность функции, которой нет в программе, а на свойство двучлена (x – a) менять знак при переходе через точку x = а. И не будет никакой перегрузки.]
ФУНКЦИИ
Основные понятия.
Понятие функции. Область определения и область значений функции. Способы задания функции. График функции, возрастание и убывание функции, наибольшее и наименьшее значения функции, нули функции, промежутки знакопостоянства. Чтение и построение графиков функций.
Примеры графиков зависимостей, отражающих реальные процессы.
Некоторые элементарные функции. Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональную зависимости, их графики. Линейная функция, ее график, геометрический смысл коэффициентов; свойства линейной функции. Квадратичная функция, ее график; координаты вершины параболы, ось симметрии. Свойства квадратичной функции. Степенные функции с натуральным показателем 2 и 3, их графики и свойства. Графики функций: корень квадратный, корень кубический, модуль.
Числовые последовательности. Понятие числовой последовательности. Задание последовательности рекуррентной формулой и формулой п-го [n-го] члена.
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы п-го [n-го] члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых п членов. Изображение членов арифметической и геометрической прогрессий точками координатной плоскости. Линейный и экспоненциальный рост. Сложные проценты. [Сложные проценты как иллюстрация на месте, а как понятие — слишком поздно в 9 классе.]
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКА
Описательная статистика. Таблицы. Диаграммы столбиковые. Круговые диаграммы. [Надо уточнить: «столбиковые» — это профессиональный жаргон статистиков (как дОбыча у шахтеров и возбУждено у следователей? До сих пор в школе говорили «столбчатые» — и ничего.]
Числовые наборы. Генеральная совокупность и выборка. Среднее арифметическое. Медиана. Мода. Понятие о рассеивании числовых данных. Размах. Отклонение от среднего. Дисперсия набора чисел. [Куда спешим с навязыванием материала, по которому даже нет приличных учебников? Это как раз пример введения содержания для разговоров о математике при удалении из курса математики содержательной математической работы.]
Случайные события и вероятность. Понятие о случайном эксперименте и случайном событии. Частота случайного события. Статистический подход к понятию вероятности. Достоверные и невозможные события. Равновозможность событий. Классическая формула вероятности. [Очень растянуто и с повторами: «частота случайного события», а ниже «частота события» (не случайного?). Классическая формула вероятности не предполагает равновозможности событий (о чем речь ниже)?]
Противоположные события. Вероятности противоположных событий.
Комбинаторика. Решение комбинаторных задач перебором вариантов; дерево возможных вариантов. Комбинаторное правило умножения.
Статистические данные. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Средние результатов измерений. Мера разброса: размах, дисперсия, стандартное отклонение. [Здесь нет повтора с разделом «Описательная статистика»? Даже на уровне программы нет ясности и лаконичности — и эту путаницу будем вводить в обязательном порядке?]
Понятие о статистическом выводе на основе выборки. Понятие и примеры случайных величин.
Вероятность. Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности. [Здесь нет повтора с предыдущим? Даже на уровне программы нет ясности и лаконичности — и эту путаницу будем вводить в обязательном порядке?]
НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Наглядные представления о геометрических фигурах. Наглядные представления о фигурах на плоскости: прямая, отрезок, луч, угол, ломаная, многоугольник, окружность, круг. Взаимное расположение двух прямых, двух окружностей. Длина отрезка, ломаной. Единицы измерения длины. Измерение длины отрезка, построение отрезка заданной длины с помощью линейки.
Виды углов: острый, прямой, тупой, развернутый. Градусная мера угла. Измерение и построение углов с помощью транспортира. [Не требуются ли углы с градусной мерой от 180о до 360о для построения круговых диаграмм?]
Многоугольник, правильный многоугольник [«правильный многоугольник» — забегание вперед]. Четырехугольник, прямоугольник, квадрат. Виды треугольников: остроугольный, прямоугольный, тупоугольный, равнобедренный, равносторонний. Изображение геометрических фигур на нелинованной бумаге с использованием циркуля, линейки, угольника, транспортира. Построения на клетчатой бумаге.
Периметр многоугольника. Понятие площади фигуры; единицы измерения площади. Площадь прямоугольника, квадрата. Приближенное измерение площади фигур на клетчатой бумаге. Равновеликие фигуры.
Наглядные представления о пространственных фигурах: куб, параллелепипед, призма, пирамида, шар, сфера, конус, цилиндр. Изображение пространственных фигур. Примеры сечений [«сечения» обязательны?]. Многогранники. Примеры разверток многогранников [не ограничиться ли развертками прямоугольного параллелепипеда (куба), пирамиды?], цилиндра и конуса [«развертка конуса» — явный перебор, если дети на уроке математики должны не только смотреть, но и что-то понимать. Мы сумеем что-то сказать об угле при вершине развертки?]. Создание моделей пространственных фигур (из бумаги, проволоки, пластилина и др.).
Понятие объема; единицы объема. Объем прямоугольного параллелепипеда, куба.
Равенство. Симметрия. Понятие о равенстве фигур. Центральная, осевая и зеркальная симметрии. Изображение симметричных фигур.