А.В.Шевкин. Каким не должен быть учебник математики
Учебники Э.Р.Нурка и А.Э.Тельгмаа известны учителям математики после проведения печально известного конкурса учебников Министерства просвещения СССР 1986–87 гг., когда они были объявлены лучшими среди представленных на конкурс учебников для 5–6 классов — им присудили второе место (первое место не присуждалось). Между тем, каждому непредвзятому специалисту уже тогда (до получения первых результатов обучения по ним) было ясно, что эти учебники до неприличия похожи на учебники Н.Я.Виленкина и др., но явно слабее оригинала. Продекларированную, но не лучшим образом осуществленную дифференциацию заданий на уровни сложности А и Б, я не беру в расчет. Это не самое главное, чем должны отличаться друг от друга действительно разные учебники. С тех пор я не встречал специалистов, которые бы считали иначе.
За годы, прошедшие с той поры, учебник нисколько не совершенствовался, но неизменно рекомендовался Министерством образования к использованию в школе по причине наличия заказов от школ. Так учебник эстонских авторов на долгие годы остался памятником неумению Министерства выбирать хороший учебник. Или, наоборот, памятником умению его специалистов организовывать принятие кому-то нужного решения вопреки здравому смыслу и интересам образования, о пользе которого эти специалисты должны были бы радеть по долгу службы.
Больше года назад у меня появился повод основательно перечитать учебники Э.Р.Нурка и А.Э.Тельгмаа, так как в феврале 2000 г. я должен был представить рецензию на них в секцию математики Федерального экспертного совета, где рассматривался вопрос о подтверждении этим учебникам грифа министерства.
Поскольку меня еще не покинули окончательно надежды на то, что когда-нибудь в министерстве всерьез займутся качеством учебников, предлагаемых школе, а издательство «Дрофа» вдруг захочет усовершенствовать учебник, в рецензии и в своем выступлении перед членами секции математики экспертного совета я изложил свое мнение об этих учебниках, об их научных и методических качествах, предложил сохранить гриф «Рекомендовано Министерством образования РФ» на новый срок, но по основаниям, ничего общего не имеющим с качеством учебников (об этих основаниях позже).
После бурного обсуждения моего предложения члены секции математики проголосовали против него. То есть Министерству образования было рекомендовано не подтверждать гриф рассматриваемым учебникам.
Кроме аргументов, связанных с моим собственным пониманием того, каким должен быть хороший школьный учебник математики, кроме высказанных ниже замечаний, я не видел убедительных для Министерства образования причин, по которым оно могло бы отказать в праве на жизнь учебнику-победителю своего же собственного конкурса, тем более, что на него по-прежнему, как говорят, есть заказы.
Лично мне никак не хотелось решать за учителя, по каким учебникам ему работать или не работать. Я надеялся, что правильное решение примет сам учитель, когда разберется в ситуации. Вот одна из причин, по которой я рекомендовал сохранять еще некоторое время этот учебник в федеральном комплекте, раз уж он туда попал. Одновременно с таким предложением я подготовил к публикации первый вариант настоящей статьи, с помощью которой собирался помочь учителю более критично посмотреть на эти учебники. Поскольку решение не подтверждать гриф министерства было принято, то подготовленная статья показалась мне неактуальной, и я убрал ее в дальний ящик.
Но совсем недавно в рекламном каталоге издательства «Дрофа» я прочитал, что учебники Э.Р.Нурка и А.Э.Тельгмаа являются победителями престижного конкурса учебников математики, что по ним успешно обучаются школьники России, стран СНГ и Балтии. Престижным в рекламе назван тот самый конкурс, который в начале статьи я назвал печально известным. Так или иначе, теперь я считаю необходимым вернуться к обсуждению научных и методических качеств этих учебников. Есть у этого решения и еще один мотив. Уже почти 30 лет по той же схеме, тем же экстенсивным способом и с тем же уровнем обоснованности обучают подавляющее большинство школьников страны по учебникам Н.Я.Виленкина и др. Вот почему учителям будет полезно узнать о претензиях, предъявленных к качеству учебников Э.Р.Нурка и А.Э.Тельгмаа.
Приведу текст двух моих рецензий (для учебников 5 и 6 классов), которые я готовил для экспертного совета. В данной публикации они объединены с редактированием и сокращением.
На рецензию представлены учебники математики для 5 и 6 классов (4-е издание) уже имеющие гриф «Рекомендовано Министерством образования РФ». Структурно 4-е издание учебников почти не отличается от 1-го, если не считать добавления раздела «Повторение» в начале учебника для 5 класса. В последние годы не произошло каких-либо изменений в содержании обучения математике в 5–6 классах, все вопросы, имеющиеся в программе по математике, отражены в учебниках. Но ситуация в школе изменилась: вместо 6 недельных часов, как раньше, школы имеют теперь почти без исключения 5 часов. Многие из них сократили урок на 5 минут. Только на этих сокращениях потери чистого учебного времени превысили 25%.
Очевидно, что старая ориентация на экстенсивное обучение с бесконечным повторением не срабатывает из-за недостатка времени, а интенсифицировать процесс обучения, находясь в рамках уже устаревшей системы построения учебников, вряд ли возможно.
Учебники, в основном, ориентированы на обучение по образцам, на демонстрацию того, как получить результат. Они оставляют без ответа вопрос: почему надо действовать именно так, а это один из главных вопросов, стимулирующих развитие учащихся, формирование теоретического мышления.
Приведем несколько примеров из учебника для 5 класса. Здесь при изучении десятичных дробей внимание учащихся обращается не на математическую суть выполняемых действий, а на внешнюю схожесть действий с десятичными дробями с соответствующими действиями с натуральными числами. Впрочем, это почти неизбежное следствие принятой в конце 60-х годов последовательности изучения числового материала и способов его изложения в учебниках.
Новые знания в учебнике для 5 класса часто получаются в результате наблюдения за частными случаями, иногда они формируются с опорой на несущественные признаки изучаемых явлений. Так в самостоятельной работе № 7 (с. 219) написано: «Если ты все правильно понял, то сформулировал такое правило: чтобы умножить десятичную дробь на разрядную единицу 0,1; 0,01; 0,001; …, надо в этой дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей в разрядной единице (считая и нуль целых)».
Трудно представить менее полезное для обучения правило, чем приведенное выше, так как частный случай умножения десятичных дробей здесь не связан с общим, но связан с умножением на «разрядные единицы» 10; 100; 1000; … . Мы уж не говорим о принятом в учебнике стиле «Если ты все правильно понял, то… сформулировал…» Зачем убеждать ребенка в том, чего, быть может, нет? А если не понял, или понял, но не сформулировал?
Аналогично ведется работа и с делением на «разрядные единицы» 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.: «Если ты выполнил работу и все хорошо продумал, то должен прийти к выводу: чтобы разделить десятичную дробь на разрядную единицу 0,1; 0,01; 0,001; … , нужно в этой дроби перенести запятую вправо на столько знаков, сколько нулей содержит разрядная единица» (с. 242).
И здесь частный случай деления на десятичную дробь изучается с акцентом на число нулей, а не на число десятичных знаков, которые учитывают в общем случае при делении на десятичную дробь. Мы догадываемся, почему авторы дают такую формулировку! Они хотят иметь правила, похожие на правила умножения и деления на «разрядные единицы» 10, 100, 1000, … , для которых действительно важно число нулей. Так в учебнике здравый смысл и научность изложения приносятся в жертву похожести формулировок.
Кстати о формулировках и всяких правилах. Их много, в них очень сильно влияние уже прошедшей моды на алгоритмические правила тех времен, когда важно было сказать «как», не всегда объясняя «почему». Например, в начале учебника есть правила «чтобы вычесть число из суммы… » и «чтобы вычесть сумму из числа … », данные без всяких обоснований.
В учебниках не всегда проясняется связь между теоретическими фактами, а это, как известно, ведет к «перегрузке» учащихся. Вот что писал о «перегрузке» известный математик-методист В.Л.Гончаров: «Перегрузка» в математике заключается в чрезвычайном изобилии изучаемых «правил», логическая связь между которыми достаточно шатка. «Перегружена» память учащихся. Правильное усвоение научных принципов (например, в области развития понятия числа) могло бы ослабить эту перегрузку» (Известия АПН РСФСР, № 92, с. 40).
В учебниках почти не используются имеющиеся возможности по формированию на простом арифметическом материале простейших доказательных умений учащихся. Так, например, о законах умножения десятичных дробей говорится: «Можно убедиться, что при умножении десятичных дробей остаются в силе все ранее изученные законы умножения». Но что значит «можно убедиться»? Сколько примеров будет достаточно? Доказывает ли что-либо такой способ проверки законов? — вот вопросы, обсуждение которых было бы полезно для нормального логического развития учащихся. Вот место, где изложение материала могло бы быть более доказательным. Но это вряд ли возможно по данному учебнику, так как в нем действия с десятичными дробями объясняются через соотношения между метрическими мерами и без всякой связи с соответствующими действиями с обыкновенными дробями.
Но дело здесь не только в невозможности толково изложить учение о десятичных дробях без опоры на обыкновенные дроби. Теоретический материал, связанный с обыкновенными дробями, в учебниках тоже изложен плохо. Рассмотрим самостоятельную работу № 6 по теме «Сравнение обыкновенных дробей», проследим за логикой авторов. Они не дают определения отношению «больше» для дробей с равными знаменателями, а просят учащихся сравнить длины полосок бумаги, сравнить части торта и предполагают, что учащиеся сами сделают вывод: «из двух дробей с равными знаменателями та дробь больше …» Авторы не замечают, что такой «вывод», строго говоря, сделать невозможно, пока не сказано, что значит «больше» для дробей с равными знаменателями. Они лишь мотивируют введение нового понятия, но почему-то формулируют определение в форме будто бы доказываемого утверждения. Это вряд ли полезно как для обучающихся, которые, конечно же, сделают требуемый «вывод», так и для обучающих, которые отвыкают от нормальной логики объяснения арифметического материала. А вред здесь заключается в том, что и те, и другие могут подумать, будто правило сравнения дробей с равными знаменателями действительно можно доказать. Тогда как это правило является определением.
Изложение материала во многих местах учебника никак нельзя назвать обоснованным. Рассмотрим объяснение деления десятичных дробей. На с. 236 говорится: «Будем считать, что это свойство (речь идет о делении делимого и делителя на одно и то же число, отличное от нуля) выполняется и при делении десятичных дробей». Этого, очевидно, мало для того, чтобы считать, что в учебнике что-то обосновано. Ведь, следуя логике авторов, можно вообще сказать: будем считать, что десятичные дроби делят по такому-то правилу. Так, по крайней мере, была бы снята видимость доказательного изложения материала, который, кстати, легко обосновать при другой последовательности изложения материала в учебнике.
Очевидно, что сообщение фактов без указания связей между ними и с ранее изученным материалом, без раскрытия механизма получения даже самых простых теоретических выводов не способствует развитию логического мышления учащихся и освоению ими математических методов изучения мира. Не способствует оно и подготовке учащихся к дальнейшему обучению, о чем не только можно, но и непременно нужно заботиться при обучении математике в 5 классе. Кроме прочего, такое обучение, как отмечено выше, ведет к перегрузке учащихся.
Сохранение видимости обоснованного изложения материала в учебнике там, где на самом деле никаких обоснований нет, отрицательно сказывается не только на развитии учащихся, но и на поддержании на необходимом для качественной профессиональной деятельности уровне математической культуры самих учителей, работающих по таким учебникам. В этом заключается негативное влияние учебника на систему школьного математического образования, на что, к сожалению, мало кто обращает внимание.
В учебниках ощущается переизбыток устных упражнений и алгебраического материала, малообязательного при упомянутом дефиците учебного времени. Ощущается недостаток хороших текстовых задач, сохраняется архаичная терминология учебника Н.Я. Виленкина и др., не принятая в математике. Например, «распределительный закон умножения относительно сложения» и «распределительный закон умножения относительно вычитания». В результате на с. 81 получилось следующее: «Этот закон (названный выше распределительным законом умножения относительно сложения) распространяется и на вычитание».
В учебнике для 5 класса очень мало ответов, его 4-е издание проигрывает 1-му изданию того же учебника в издательстве «Просвещение» из-за одноцветного исполнения.
Перейдем теперь к учебнику для 6 класса. После обучения детей в 5 классе немножко действиям с обыкновенными дробями, но без сложения и вычитания, например, 1/2 и 1/3, а также действиям с десятичными дробями, но без деления, например, 0,2 на 0,3, авторы возращаются к арифметике натуральных чисел — к делимости натуральных чисел. Такова «логика» многолетнего обучения математике в нашей школе по учебникам Н.Я.Виленкина и др., а также по рецензируемым учебникам.
Тема «Признаки делимости» начинается странным замечанием: «на данное натуральное число n делятся все числа, кратные n. Ни одно другое число на n не делится». Если прочитать написанное, пользуясь данным страницей ранее определением термина «кратное», то получится следующее: «на данное натуральное число n делятся все числа, которые делятся на n. Ни одно другое число на n не делится». Что этим замечанием хотели сказать авторы? Оно не добавляет ровным счетом ничего, если не сказать, что лишь запутывает учащихся.
Cообщение необоснованных сведений имеет место и в учебнике для 6 класса. Вот и признаки делимости натуральных чисел просто сообщаются учащимся после наблюдения нескольких частных случаев. Очевидно, что здесь упускаются возможности формирования у школьников простейших доказательных умений.
И в этом учебнике много мест, в которых имеется лишь видимость объяснения. Как, например, устанавливается факт 3:4 = 3/4? Очень просто. Три яблока делят между четырьмя мальчиками поровну. Авторы пишут: «Если записать решение этой задачи, то получим 3:4 = 3/4». Они не замечают очевидной логической ошибки. Пока не определено частное 3:4, а этого нельзя сделать до введения частного дробей:
3:4 = 3/1 : 4/1 = 3/4, (*)
невозможно логически безупречно установить равенство этого никак не определенного объекта (частного 3:4) и дроби 3/4. А разрезание яблока на равные части не служит доказательством чего-либо (особенно, если яблоки «не равны»), оно лишь иллюстрирует на конкретном примере приведенное выше доказательство (*), которого, конечно же, нет в учебнике.
Далее авторы «выводят» основное свойство дроби из только что рассмотренного теоретического факта, а вывести из него, т.е. доказать основное свойство дроби, как мы понимаем, нельзя. Авторы, начиная свой вывод словами «величина дроби не изменится… », даже не замечают, что пользуются никак не определенным понятием «величина дроби».
После изучения сравнения дробей с равными знаменателями и приведения дробей к общему знаменателю в учебнике идет такой текст: «Ты уже умеешь сравнивать дроби с равными знаменателями: из двух дробей с равными знаменателями та дробь больше, числитель которой больше. Выясним, как сравнить дроби с разными знаменателями» (с. 42).
Далее рассматривается сначала частный случай — сравнение дробей с равными числителями, но как!
«Предположим, что у нас две одинаковые плитки шоколада. Одна разделена на 4 равные части, а другая на 5. Ты можешь взять 3/4 одной плитки или 3/5 другой. Может быть, ты хочешь кусочек побольше? Какой же возьмешь?»
Далее на шоколадках разъясняется, почему в первом случае кусочек будет больше. И это вместо того, чтобы показать, что дроби 3/4 и 3/5 можно привести к общему знаменателю (что уже изучено) и сравнить полученные дроби (что тоже изучено). Знаменатели 4*5 дробей равны, а числитель 3*5 первой дроби будет больше числителя 3*4 второй дроби именно потому, что знаменатель первой дроби был меньше знаменателя второй.
Вместо этого простого рассуждения, устанавливающего естественную связь между отдельными никак не связанными в учебнике теоретическими сведениями, авторы только запутывают весьма простой вопрос и делают математику сложной наукой в глазах учащихся, обучающихся по их учебнику. Они создают видимость обоснованного изложения материала, а это, как мы уже отмечали, отрицательно сказывается не только на развитии учащихся, но и на сохранении профессиональной формы самих учителей, работающих по рассматриваемым учебникам.
Вот и думай после этого: а нужна ли такая шоколадная доказательность в учебнике математики, не сбивает ли она с толку не только учащихся, но и учителей математики, обучающих школьников таким образом.
Обилие правил, отмеченное в учебнике для 5 класса, характерно и для учебника для учебника 6 класса. Например, на с. 47 даны те же два правила, что и в учебнике 5 класса («чтобы вычесть число из суммы … » и «чтобы вычесть сумму из числа …»). И здесь они никак не обоснованы. На той же странице сообщается: «в рассмотренном примере использовались переместительный и сочетательный законы сложения». Но почему эти законы выполняются и для обыкновенных дробей? Уж не потому ли, что они выполняются для десятичных дробей, которые изучались до них? Эти и другие вопросы могут задавать учащиеся, но ответов в учебнике они не найдут.
Вот еще один пример якобы доказательного изложения материала. В п. 4.1 читаем: «Рассмотрим, например, уравнение 3/4*x = 5/6. Получим, что x = 5/6:3/4. Мы пока не можем сказать, чему равен x, так как мы не знаем правила деления обыкновенных дробей. Выведем его.
В дальнейшем мы узнаем, что обе части уравнения можно умножать на одно и то же число, отличное от нуля. Умножим обе части уравнения 3/4*x = 5/6 на число 4/3… ».
Проанализируем сказанное. Авторы обещают вывести определение, что само по себе невыполнимо, так как определения обычно не выводят, их дают. Для этого «вывода» они разрешают себе пользоваться фактом, который детям еще только предстоит изучить в дальнейшем (это логика за рамками всяких правил!). Что такое частное, авторы не говорят, но без всякого видимого логического дискомфорта объясняют, как его найти. Все происходит почти как в сказке: принеси то, сам не знаю что.
Авторы на самом деле ничего не доказали и ничего не вывели. А бедные учителя объясняют все это бедным ученикам и могут подумать, что делают что-то полезное для их математического развития.
Отмеченные выше структурные дефекты учебника и недостатки изложения материала, не позволяют считать, что данный учебник удовлетворяет современным требованиям развивающейся российской школы. Нет надежды, что здесь можно что-либо исправить «косметическим ремонтом», для которого в прошедшие годы было немало возможностей.
Приведенные выше примеры, на мой взгляд, убедительно демонстрируют низкий научный и методический уровень учебников. По моему мнению, использование в школах России учебников Э.Р.Нурка и А.Э.Тельгмаа не отвечает долгосрочным интересам страны и тормозит развитие школьного математического образования.
Но современные реалии жизни таковы, что школам зачастую не хватает средств даже на подновление запаса уже устаревших учебников. Кроме того, низкая заработная плата учителей, пытающихся вырваться из тисков унизительной бедности за счет увеличения почасовой нагрузки, мало способствует освоению ими новых учебников, которые уже имеются. Такое положение дел надо считать недопустимым пороком всей системы образования, год от года воспроизводящей худшие образцы обучения математике и ведущей к утрате профессиональных качеств учителей.
Недостаток средств на замену устаревших учебников — вот единственное основание, по которому можно сохранить данный учебник в федеральном комплекте до той поры, когда Министерство образования не на словах, а на деле озаботится качеством школьных учебников (пока что оно без устали вкладывало бюджетные деньги в издание заведомо слабых учебников, ничего не делая для поддержки авторов перспективных учебников и учителей-энтузиастов, работающих по ним).
Остается надеяться, что уже продекларированная с высоких трибун забота об отечественной школе получит реальное подтверждение, что придет, наконец, осознание стратегических интересов государства в вопросах образования, не имеющих ничего общего с обучением подрастающего поколения по очевидно слабым учебникам.
В качестве заключения добавлю несколько замечаний об учебниках и конкурсах. Прежде всего отмечу, что проведение конкурсов — это очень дорогой и очень спорный способ определения лучших учебников, особенно при нашем российском умении выбирать (когда не важно как голосуют, а важно кто считает). Реально провести конкурс учебников могут только учителя своими заказами на них. И они уже делают это, только им не надо мешать. Не надо за них выбирать учебники на любом уровне — от РОНО до Министерства, которое должно лишь отсекать от школы заведомо негодные учебники. Но надо дать учителю информацию обо всех учебниках, ибо отсутствие информации лишает учителя реального права выбора. Надо сделать доступной для учителя информацию об учебниках — различные, пусть даже противоположные мнения. Вот я высказал свое мнение об учебниках Э.Р.Нурка и А.Э.Тельгмаа. Если есть иное мнение, его тоже надо опубликовать — и пусть учитель читает, сравнивает, делает выводы.
Было бы хорошо дать образцы учебников в каждую школьную библиотеку. Вот куда, а не на закупку тиражей и навязывание школе откровенно слабых учебников, можно было бы с большей пользой для дела тратить бюджетные средства. Министерство или местные администрации не должны быть участниками соревнования между авторскими коллективами, оплачивая издание тех или иных учебников по своему выбору. Известно же, что при нашей бедности лучшим часто оказывается совсем не лучший учебник, а «бесплатный», оплаченный, естественно, нашими налогами.
Когда я говорю о реальном участии учителей в долговременном конкурсе учебников, то я имею в виду, что они уже отсеяли учебники для 5–6 классов М.Б.Воловича, обещавшего в журнале «Математика в школе» (№ 2, 1994) учить детей без «перегрузки». Учителя давно бы отсеяли и учебник Э.Р.Нурка и А.Э.Тельгмаа, и некоторые другие учебники, если бы сами их выбирали, а не получали «бесплатно» то, что выбрал за них кто-то из чиновников от образования. Я верю в это потому, что учителя отвечают за свой выбор перед детьми и их родителями, перед государством, а чиновники, как показывает случай с учебниками Э.Р.Нурка и А.Э.Тельгмаа, не отвечают за свой пристрастный выбор ни перед кем.