А. Н. Земляков. Психодидактические аспекты углубленного изучения математики в старших классах общеобразовательной средней школы

26.04.2017

А.Н.Земляков

 

Психодидактические аспекты углубленного изучения математики

в старших классах общеобразовательной средней школы

 

Около ста лет тому назад, в 1908 г., выдающийся немецкий математик и педагог Феликс Клейн писал, что в некой учебной книге того времени «элементарная математика систематически и логически развивается на зрелом математическом языке, доступном студенту, далеко продвинувшемуся в своих занятиях. <…> Между тем изложение в школе, выражаясь образно, должно быть психологическим, а не систематическим. [Сейчас бы мы сказали, «не догматическим», что наблюдается почти «сплошь да рядом». Что касается систематичности, то «систематичность систематичности рознь» – А.З.]. Учитель должен быть, так сказать, дипломатом; он должен учитывать душевные движения юноши, должен уметь возбудить его интерес…».

 

В этом высказывании – весь пафос нижеследующего повествования [в некоторых случаях – конспективно-тезисного изложения], характерные особенности которого суть следующие.

 

1. Большая часть излагаемых позиций при своем развертывании и/или переформулировке может быть отнесена ко многим, если не ко всем, изучаемым в школе курсам. Однако при этом мы исходим из опыта преподавания математики в старших классах общеобразовательной школы.

 

2. Значительная часть высказываемых положений относится в равной мере как к общеобразовательному курсу математики (причем не только к старшим классам), так и к углубленному изучению математики. В основе наших позиций лежит конкретный опыт изучения математики в старших классах в той и другой ситуации.

 

3. Тем не менее, существенная часть выдвигаемых предложений и предположений относится именно к системе углубленного математического образования (далее УМО), ибо в силу специфики современного состояния преподавания математики в школе (неопределенность программ, учебников и стандартов; размытость и сдвинутость мотивационных моментов/акцентов; слабая готовность и мотивированность основного контингента учителей математики к новациям, к модификации своего стиля преподавания, к смене образовательной парадигмы) необходимая, назревшая (и перезревшая!) серьезная переориентация математического образования возможна (а отчасти, и целесообразна, в качестве «прорывного» этапа) только в рамках УМО: от профильных классов до школ с углубленным изучением математики.

 

Математика как наука и как школьный предмет имеет важную специфику: именно, в математике (подобно классической механике или фундаментальной физике) самые конкретные объекты изучения являются абстрактными, теоретическими скорее, чем эмпирическими. (Например, числа, хотя бы только и целые – суть объекты весьма высокой степени абстракции.) Так что при обучении математике в школе очень короток период перехода от эмпирического мышления к теоретическому, и (в старших классах особенно) научение идет через передачу теоретических способов мышления, как раз через диалектическое «восхождение от абстрактному к конкретному» (Маркс; Ильенков). В этой связи ясно значение именно для математического образования психологических теорий развивающего образования и обучения (Эльконин, Давыдов и др.), важность психопедагогических и психодидактических подходов (Стоунс, Зинченко и др.) к конструированию процесса образования (от постановки целей до практики), выявления психологических аспектов в образовании.

 

Прежде чем переходить к психодидактическим аспектам УМО, сформулируем, минуя обсуждение, как мы понимаем основные цели углубленного изучения математики, или нашу (авторскую) концепцию УМО (т.е., углубленного математического образования).

 

Мы полагаем, что, особенно в настоящее время, важнее технологических и утилитарных целей образования (таких, как овладение учащихся теми или иными компетенциями, сколь бы ценны они не были) формулировать личностно-ориентированные цели образования, пусть для этого и используется пока (без)надежно забытый «высокий штиль».

 

Основная посылка состоит в том, что фундаментальной целью углубленного математического образования является не подготовка будущих математиков (физиков, инженеров, etc.), а формирование на основе углубленного обучения математике сознательной и гармонически развитой личности. Эта задача не исключает привлечения потенциала всех учебных предметов к ее решению, а напротив, усиливает роль, например, предметов гуманитарного цикла при углубленном математическом образовании. (Подробнее об этом см. ниже. Известно: «Специалист подобен флюсу»).

 

Далее приведем таксономию (иерархию приоритетов) целей образования.

 

Важнейшими целями УМО являются: воспитание интеллектуальных и моральных черт характера [«… Интеллектуальные привычки имеют свой моральный отголосок» – Анри Пуанкаре, очерк «Мораль и наука». А.Н.Уайтхед в своем очерке «Математика и добро» упоминает знаменитую лекцию Платона на тему «добра как такового», в которой лектор говорил почти исключительно о математике!], эстетического чувства; способствование формированию важнейших интеллектуальных умений и мышления, способностей ума; формированию сознания.

 

Далее, одна из основных целей УМО состоит в воспитании у школьников эстетического восприятия математики, формирования представления об исторически взаимообусловленном единстве математики с другими составляющими духовной культуры.

 

При УМО должна быть адекватным и доступным образом отражена математизация знаний и  общественной практики. Значительно должна быть усилена роль УМО в формировании научного мировоззрения – с этой целью в преподавание привносится знакомство с методологией математики, с математическим моделированием. Наконец, УМО должно преследовать и традиционные социально-утилитарные цели, как то: развитие интересов, углубление и упрочение знаний и умений, подготовка к продолжению образования.

 

В этих формулировках собственно обучение не отрывается от развития и воспитания в процессе обучения, т.е. рассматривается как образование в целом. Поэтому перечисляемые ниже психодидактические аспекты углубленного изучения частично можно понимать и как психопедагогические предпосылки такового, в соответствии с нашей концепцией. С другой стороны, собственно концепция (таксономия целей) УМО структурирована в значительной степени с учетом следующих далее психодидактических аспектов.

 

* * *

 

Прежде, чем переходить к краткому связному изложению анонсированных психодидактических аспектов, обозначим на уровне ключевых слов основные линии (связки концептов), которые на настоящий момент представляются наиболее важными и доступными для реализации теми или иными средствами (содержательными, учебными и методическими).

 

Мотивация – интересность – значимость достижений – культурно-исторический дискурс

 

Мотивация – деятельность – прикладные аспекты – поисковая активность – зона ближайшего развития

 

Развитие – роль гуманитарной компоненты – Поисковая активность

 

Развитие – культурно-исторический подход (Выготский) – культурно-исторический дискурс математики в обучении

 

[Теоретическое мышление – компетентностный аспект – методологический подход]

 

Смена парадигмы – стиль обучения: деятельностная активность + мотивированность учения + развивающий подход

 

* * *

 

Адекватная мотивация к обучению/развитию и ориентация на развитие способностей, в т.ч. на психическое развитие личности (в отношении тех качеств и интрапсихических факторов, как поисковая активность, креативность, теоретическое мышление и т.д.) суть две основные составляющие психодидактической парадигмы УМО (да и всего образования; см. вводное замечание 1).

 

Мотивация здесь рассматривается внутренняя, именно психическая по отношению к субъекту-обучающемуся, а не внешняя (типа оценки или материального стимула) по отношению к существу, процессу учения (хотя от внешней мотивации отказываться смысла не имеет). Главным рычагом такой мотивации является интерес к учению, который должен быть заложен в таких его качествах, как интересность содержания и процесса учения (здесь отражаются уже внешние предпосылки – такие, как содержание образования [программы, учебники] и принятая манера его преподнесения [образовательная парадигма и принятый стиль преподавания], методическая поддержка процесса учения). Иными словами, нужно интересно «образовывать», а здесь важно, чему и как «образовывать» (кого – школьников, кому – учителям, зачем – см. цели).

 

По-другому, обучение должно обладать привлекательностью для учащихся. Привлекательность процесса учения во многом зависит от успешности достижений учащихся, которые должны испытывать чувство удовлетворения по изучении того или иного фрагмента предмета. Для этого у учащихся должны быть понятные цели как результаты их учебной деятельности, и это достигается ориентацией процесса учения от зоны актуального до зоны ближайшего (а при УМО – и проблемного) развития.

 

Итак, дидактические принципы доступности и наглядности в нашей парадигме предлагается заменить принципами интересности и привлекательности учения (разумеется, такой перенос акцентов не должен производиться за счет фундаментальности содержания образования; опыт показывает, что по крайней мере в системе УМО это достижимо: преподавать существенную математику можно и весело, и, одновременно, серьезно). («Все серьезные вещи нужно делать предельно весело!» – гласил лозунг студенческой революции в Париже, 1968.)

 

«Кто учит», субъективный фактор мотивированности учения, очень существен. Иной раз отношение к учителю, субъекту-обучающему, со стороны школьника, субъекта-обучаемого, может играть существенную роль. В 1930-е гг. Карл Густав Юнг, выдающийся психолог XX в., писал даже: «Если между ребенком и учителем установились хорошие личные отношения, то само по себе почти не имеет значения, насколько дидактические методы учителя соответствуют или не соответствуют новейшим требованиям. Ибо не в дидактическом методе кроется секрет успеха обучения…».

 

Но этот же «фактор» наиболее «консервативен», поэтому в первую очередь следует озаботиться «объективными факторами», отражением мотивации к учению в учебных и методических материалах, так что теперь мы рассмотрим основные резервы реализации мотивационного аспекта УМО через его содержание и целевые установки.

 

Мы видим два таких основных резерва – это историчность и прикладная направленность учебного повествования. Первый реализуется через культурно-исторический дискурс изучаемой математики и будет рассмотрен далее. Второй резерв психологически и дидактически многоаспектен и, отчасти, связан с деятельностным подходом к обучению (А.Н.Леонтьев и др.), и его аспекты рассмотрим в первую очередь.

 

Экспериментальная психология и психологическая антропология позволяют утверждать, что в человеке от рождения заложены, в числе многого прочего, стремления к исследовательскому поведению, к активной деятельности (поисковой активности; Аршавский, Ротенберг), к познанию нового. И в младших/средних классах именно на этих врожденных качествах может быть основана «стратегия и тактика» в организации учебной деятельности: ученики, что называется, «схватывают с лёту» знания и хотят узнать еще больше. Но, не будучи эффективно подкрепленными, к старшим классам эти задатки постепенно утрачиваются или преобразуются – скажем, фактор поисковой активности в результате «неблагоприобретенного опыта» может превратиться в антагонистический фактор «обученной беспомощности» (Селигман). С другой стороны, к старшим классам возрастает роль таких факторов, как рефлексивность и критичность. Оба обстоятельства делают важной объективацию мотивации к обучению в содержании образования, особенно в старших классах.

 

Специфика прикладной направленности науки и предмета математики в том, что во многих случаях таковая направленность реализуется опосредованно, через другие науки/предметы. Стараясь относительно автономизировать математику, в ней рассматривают «чисто» математические модели (скажем, модель экспоненциального роста) и лишь конкретизируют их на внематематических примерах (например, моделями радиоактивного распада, линейного роста биологических популяций). Нет нужды особо объяснять, что подобного рода межпредметность математики работает собственно на сам предмет математики, существенно усиливая его мотивационный аспект.

 

С одной стороны, прикладные примеры показывают диалектику науки, движущие силы ее развития. С другой – анализ моделей дает как бы образцы научной деятельности на уровне учебной деятельности, способствуя культурному и мировоззренческому пониманию сущности предмета.

 

* * *

 

Цитировавшийся выше Феликс Клейн в начале XX в. писал, что ученика «нужно не только услаждать и поучать, но что в нем надо будить силы, которые вели бы его дальше, побуждать его к самостоятельной деятельности». По существу здесь содержится призыв к усилению внимания к поисковой активности, которая понимается как следующий концепт: эта активность есть активность субъекта, направленная на изменение ситуации, расцениваемой как неприемлемая (или своего отношения к ней), при отсутствии определенного прогноза результатов своей активности, но при постоянном учете этих результатов (Аршавский, Ротенберг).

 

Идеальная ситуация, в которой нужна поисковая активность – решение любой новой (для субъекта-обучаемого) задачи. Много других ситуаций, в которых необходима поисковая активность, дает повседневная жизнь, в т.ч. и школьников. Более широкий концепт исследовательской и творческой деятельности во многих ситуациях может быть отождествлен с рассматриваемым. Поисковая активность есть врожденный адаптогенный психический фактор, который в идеале всесторонне важен и должен поддерживаться и развиваться в течение всей человеческой жизни.

 

Заметим, что идея поисковой активности, важности поискового поведения восходит к Выготскому, который утверждал, что жизнь в педагогике будущего «раскрывается как система творчества, постоянного напряжения и преодоления, постоянного комбинирования и создания новых форм поведения. Таким образом, каждая наша мысль, каждое наше движение и переживание является стремлением к созданию новой действительности, прорывом вперед к чему-то новому» (Выготский Л.С. Воображение и творчество в детском возрасте. М., 1991). Творчество в разных его ипостасях есть неотъемлемый атрибут развивающего обучения, а главное и общее, наличествующее в творческих актах, есть способность человека «действовать в неопределенных ситуациях» (Асмолов, 1996.).

 

Мы уделяем сейчас и далее развитию фактора поисковой активности при УМО отнюдь не (только) потому, что он специфичен при решении математических задач. Через посредство математики появляется уникальная возможность развивать его на идеальных, абстрактных моделях – это раз. А два – так это способствование поисковой активности процессу усвоения теоретических, но «живых», т.е. применяемых на практике (неважно, научной, творческой или просто повседневной) знаний. И здесь важно: поисковая, творческая, исследовательская активность, мышление предполагают многозначность, образность, целостность воспринятия проблемной ситуации. Математика же, со своей стороны, сама по себе как бы предполагает сугубо однозначный контекст мышления, его «логичность». Чтобы УМО не было односторонним, ограниченным лишь репродуктивным, однозначным мышлением, мы выдвигаем вместо классического дидактического принципа межпредметных связей тезис третий предлагаемой парадигмы УМО: о важности и необходимости продвинутого гуманитарного образования в параллель с образованием математическим. Обоснуем этот тезис, рассмотрев его вместе с принципом деятельностного подхода к УМО, ограничившись фактором активности в учебной (и прочей) деятельности (подчеркнем, вслед за Клейном: самостоятельной деятельности).

 

* * *

 

Внимание(!): сейчас пойдет речь о концепции лево/правополушарного мышления и выше упоминавшихся важных с точки зрения общего развития и образования концептах: психологического фактора поисковойактивности (1980-е гг., В.С.Ротенберг и В.В.Аршавский, Россия; см. Ротенберг В.С., Аршавский В.В. Поисковая активность и адаптация. – М., 1984.) и антагонистического фактора обученной (выученной) беспомощности (1990-е гг., М.Е.Селигман, США). Здесь не уместно подробно обсуждать эти концепции, однако в силу их сугубой важности для системы УМО кратко обрисуем ситуацию.

 

Если изначально заложенное в человеке поисковое поведение тормозится, что чаще всего происходит при дефиците эмоциональных контактов в раннем детстве, то это часто приводит к одностороннему развитию ребенка. Здесь слово «одностороннее» имеет вполне определенный психофизиологический смысл. Еще в 1950-е гг. психофизиологи экспериментально обнаружили функциональную асимметрию мозга. Исследования последних десятилетий позволили довольно точно установить специфические функции левого и правого полушарий. В самом общем виде гипотеза, подтверждаемая многими экспериментами, выдвинутая в 1990-х гг. В.Ротенбергом гласит: левое полушарие оперирует с информацией, сводящейся к однозначному контексту – отвечает за вербальное поведение, логическое (и математическое, а точнее – любое однозначное) мышление. Правое же полушарие способно целиком воспринимать многозначный контекст, интегрируя все многочисленные и даже противоречивые связи между объектами окружающего мира, оперируя с цельными образами окружающего. Совсем грубо, левополушарное мышление есть мышление логическое, однозначное, правополушарное есть мышление образное, многозначное.

 

Правое полушарие отвечает также за формирование многозначного «образа Я», соединяющего в себе все огромное множество представлений человека о самом себе и о своих отношениях к окружающему – миру, социуму. Оно ответственно за адаптацию человека к окружающему, и если образное восприятие оказывается нарушенным, возникает фактически клиническое состояние дезадаптации.

 

«Что же приводит к неполноценности образного мышления? Ведь человек рождается с высокими потенциальными предпосылками к такому мышлению. В раннем детстве преимущество в развитии на стороне правого полушария, и лишь постепенно и с большим трудом формируется доминантность логического мышления. И это вполне объяснимо – прежде всего младенцу необходимо воспринять мир целостно, объемно, непротиворечиво, и прежде всего он должен научиться реагировать на неопределенные, многозначные сигналы этого мира. Потому что эмоциональные реакции близких, любовь родителей – это многозначный контекст. Мы уже писали, что никаким анализом нельзя исчерпывающе определить, почему и как человек любит или не любит другого человека.

 

Но правое полушарие не только предуготовано к восприятию многозначности эмоциональной экспрессии – оно развивается и совершенствуется в своих функциях под влиянием этой экспрессии близких людей и под влиянием собственной эмоциональной экспрессии ребенка, проявляющейся в его двигательном, невербальном поведении. И поэтому дефицит эмоциональных контактов <…> и ограниченность эмоционального самовыражения <…> приводят к недоразвитию образного мышления, неспособности к созданию многозначного контекста, несформированности образа „Я“. А потом ребенок начинает развиваться в условиях все более активного давления нашей левополушарно ориентированной цивилизации, и в школе у него всеми способами активируют исключительно логическое мышление, и компьютерные игры продолжают эту тенденцию. И если уже сложившиеся эмоциональные контакты и художественные интересы и увлечения не противодействуют этим тенденциям, то образное мышление все более подавляется и возникают предпосылки для невротических и психосоматических расстройств». (Ротенберг, 2001;здесь и далее приведены ссылки на работу В.Ротенберга «Образ Я», которую можно найти в Интернете. С начала 1990-х гг. Вадим Ротенберг (г.р.1941) – профессор в Тель-Авиве.)

 

Таким образом, эмоциональные отношения, многозначные по своей природе, способствуют развитию многозначного, образного мышления. Напротив, по данным ведущих психоаналитиков у больных с психическими и психосоматическими заболеваниями выявляется систематический дефицит полноценных эмоциональных контактов в раннем детстве. Вся западная цивилизация и система образования также способствуют развитию левого полушария в ущерб правому и недостаточному формированию образного мышления.

 

«Если способность к формированию многозначного контекста не развивается и тем самым утрачены все преимущества этого способа адаптации к миру, естественной в нем интеграции – человек вынужден прибегать к другим механизмам адаптации. Он пытается восполнить свой дефект за счет все более выраженных усилий по упорядочиванию, структурализации действительности, т.е. за счет активации левого полушария. <…>

 

А в дополнение ко всему и сам человек, и все его окружение подталкивают левое полушарие к избыточной активности: убедившись, что ребенку или подростку легче даются точные науки, чем все то, что требует образного мышления, близкие вместо того, чтобы попытаться восполнить дефицит, начинают варварски эксплуатировать именно те способности и тенденции, которые и без того избыточны. И так до тех пор, пока левое полушарие, не уравновешенное трезвостью и жизненностью правого, не отрывается окончательно от реальности и не начинает парить в безвоздушном пространстве бредовых идей и галлюцинаций. Когда все поисковое поведение человека базируется только на возможностях однозначного контекста, он становится самодовлеющим и сам себя подстегивает» (там же).

 

Мы полагаем, что проделанный за последние десятилетия анализ и вытекающие из него выводы психологов и психофизиологов, касающиеся деформации в развитии функций – главным образом, логической (левополушарной) за счет образной (правополушарной), – заслуживают самого внимательного отношения со стороны педагогической психологии и непосредственного учета при построении любых программ развивающего обучения, в том числе и УМО. Адаптация к окружающему требует формирования полноценной поисковой активности, и без адекватного отношения школы, учителей к этой проблеме многие и многие школьники обречены на дезадаптацию, на формирование выученной беспомощности.

 

Отметим, что особенно это относится к математике и в самой большой степени – к учащимся, выбравшим углубленное изучение данного предмета. Математика как фундаментальная наука и как учебный предмет подразумевает творческую деятельность, а таковая отнюдь не будет развита без специального внимания к образному восприятию и мышлению, к формированию эмоционально-личностного отношения к предмету.

 

В.С.Ротенберг описывает принципы воспитания и обучения с учетом фактора поисковой активности почти в терминах школы Л.С.Выготского. «С раннего детства необходимо формировать потребность в поиске, при котором сам процесс активного изменения ситуации не менее притягателен для человека, чем даже самый желанный результат деятельности. Удовольствие от процесса преодоления препятствия может стать мощным стимулом поиска, но для этого нужно, чтобы ребенок почувствовал вкус преодоления. А для этого задачи должны быть не слишком легки и не чересчур сложны: на каждом этапе развития они должны чуть-чуть превосходить наличные возможности ребенка, вынуждая его для достижения успеха все время как бы „становиться на цыпочки“. И поощряться должен не столько конечный результат, сколько эта готовность не отступать в случае неудачи, все начинать сначала, отыскивать все новые способы решения проблемы, пусть даже недостаточно эффективные» (Вопр.психол., 1989, №6).

 

Противоположный поисковой активности интрапсихический фактор, внешне выражающийся как отказ от поиска в тех или иных проблемных ситуациях, называется обученной (выученной) беспомощностью. Наименование связано с тем, что отказ от поиска не присущ человеку (и животным, на которых был открыт феномен обученной беспомощности) изначально, а приобретается (может приобретаться) в результате разнообразного негативного опыта. Так, в младенчестве недостаток эмоционального общения со взрослыми может привести к обученной эмоциональной беспомощности, что на следующем этапе приводит к задержке развития эмоционально-волевой сферы и, как следствие, к отставанию в развитии мотивационной сферы, навыков общения и даже речи. К обученной беспомощности приводит и авторитарное воспитание в детстве, и гиперопека родителей.

 

В более старшем возрасте ребенок (подросток, взрослый), получая опыт обученной беспомощности, не обязательно его генерализует, относит ко всем видам своей деятельности – беспомощность компенсируется в других областях деятельности, в которых сохраняется и узко направленная поисковая активность. Ребенку младшего возраста какая-либо компенсаторная деятельность вообще может быть незнакомой, его обученная беспомощность генерализуется, вытесняется по Фрейду в бессознательное и приводит либо к неврозам, либо к психосоматической симптоматике.

 

Конечно, в таком случае развитие личности в процессе обучения становится проблематичным – здесь нужен уже не педагог, а врач. И не следует допускать обученную беспомощность до подобной стадии, и не следует в процессе обучения ни в какой мере провоцировать ее. Это – азы (вернее, оборотная сторона) развивающего обучения.

 

Спрашивается, при чем здесь гуманитарное образование? Учить поисковому поведению, не допускать (или, по крайней мере, компенсировать) обученную беспомощность – и дело с концом. – А вот здесь дело в том, что гуманитарное образование, способствуя развитию образного мышления, не только не позволяет доминировать одностороннему, только левополушарному мышлению, но и существенно способствует развитию творческого мышления, что весьма существенно, на наш взгляд, при профильном обучении (и не только математике!). Дальнейшее обсуждение в этом направлении мы пока опускаем.

 

* * *

 

Вопрос: а не может ли «сам предмет» математики в школе способствовать развитию у учащихся образного мышления, правого полушария, креативных способностей? – Наш опыт показывает, что действительно в рамках предмета математики возможно развитие как бы «правополушарного мышления»: взять хотя бы формирование геометрического воображения и пространственныхпредставлений, привитие эвристических способов решения задач, каких-то интуитивных и ассоциативных (многозначных) подходов, даже показ каких-то «иррациональных» приемов мышления (простейшие случаи работы интуиции, инсайта…)… Но этак мы далеко зайдем; к тому же многозначные контексты в алгебре или анализе указать довольно трудно (хотя они есть – например, аналогии между числовыми и прочими структурами, ассоциирование целых чисел и многочленов и др.). Но самое печальное – многозначность и образность мышления по сути своей входят в противоречие с традиционной парадигмой математического (и не только!) образования. Причем здесь следует не подновлять традиционную образовательную парадигму, а перейти к иной, развивающей, психодидактической парадигме.

 

Учитывая сложность нужного «поворота руля», а также возможные риски, было бы целесообразным (и левосторонне логичным!) перейти к новой парадигме и к формированию ее отражения в конкретном преподавании (т.е. стиля преподавания) в рамках только УМО. К рассмотрению образовательных парадигм и стилей преподавания мы и приступаем.

 

* * *

 

Самая главная идея рассматриваемой здесь концепции углубленного математического образования состоит в сочетании в учении (обучении) обучающего (образовательного) и воспитывающего аспектов. Методику, совокупность «рычагов» ее реализации в процессе преподавания курса мы называем стилем обучения, а непосредственно в учебных пособиях – стилем изложения. С точки зрения философии образования стиль обучения и изложения есть не что иное, как образовательная парадигма, т.е. принятая система принципов конструирования образовательного процесса. [Термин парадигма (от греч. paradeigma – «пример», «образец») у Платона означал идею как прообраз, первообраз реально существующего. В современной философии науки под парадигмой понимается принятая (нормативная) методология (Г.Бергман), модель постановки проблем и их решений (Т.Кун).] И коль скоро речь идет о предложении «собственной» парадигмы, проведем ее сопоставление с традиционной парадигмой математического образования, т.е. преимущественно применяемым на практике подходом к постановке процесса математического образования или, в нашей терминологии, общепринятым стилем преподавания математики.

 

Здесь в первую очередь следует рассматривать не идеи и концепции, высказываемые и выдвигаемые на сей счет математиками, методологами и методистами, а реально существующую практику, отраженную в учебниках. И здесь ведущим в преподавании математики – и в школе, и в вузах (университетах), – на протяжении, можно сказать, веков, является формально-дедуктивный подход. Несколько огрубляя в деталях весьма разнообразную картину, этот подход можно описать примерно так.

 

Учащимся (школьникам, студентам) без особых оснований или объяснений (по-нашему, без специальной мотивации) предъявляется некоторый список исходных понятий и положений (определений, аксиом, правил оперирования с введенными математическими объектами). Вслед за тем – опять-таки, без мотивирования, – формулируются и доказываются свойства «объектов изучения», устанавливаются (в смысле предъявляются) и обосновываются (доказываются) связи между ними. Таким образом, изучаемая математическая теория (арифметика, алгебра, геометрия, etc.) представляется как некий сводопределений, постулатов и правил, теорем и других сопутствующих предложений (т.е. логически выводимых утверждений). Как правило, в параллель к выстраиванию теоретической системы осуществляется и дидактическая ее как бы поддержка в виде «системы» (часто – просто набора) каких-то упражнений, задач, направленных на тренировку в формально-логических действиях с изучаемыми объектами, в применении их свойств в стандартной или измененной ситуации. Такова общая традиция изучения математики.

 

Британский исследователь Лео Роджерс в примечательной работе «Историческая реконструкция математического знания» [журнал «Математическое образование», 2001, №1] возводит описанный «формалистский подход» к Христиану Вольфу (1679–1754), немецкому математику и философу, последователю Декарта и Лейбница (и одному из учителей М.В.Ломоносова!) [Роджерс, с.75]. Излагая свои педагогические идеи, Вольф писал: «…Мой способ обучения следует естественному образу мышления» (1724). Однако представляется, что истоки дедуктивного подхода к изложению математики гораздо более глубокие и древние – они идут еще от Аристотеля, а непосредственно в математике – от фундаментального компилятивного труда «Начала» Евклида (VI в. до н.э.). Касательно утверждения Вольфа Роджерс замечает: «Хотя в этой вере и содержатся серьезные изъяны, всё же данная официальная догма является значимым “рабочим принципом” для многих преподавателей математики» (там же). Отметим, что это было (и есть!) так не только «для преподавателей математики» – евклидов подход столь впечатляющ, что даже Спиноза свою «Этику» изложил «по Евклиду»! [Бенедикт (Барух) Спиноза (1632–1677) – голландский философ-материалист, один из самых выдающихся мыслителей всех времен. Критиковал Декарта, общался с Лейбницем. «Этика, доказанная в геометрическом порядке» (1675) – основной труд Спинозы.]

 

Главный и очевидный недостаток формально-дедуктивного стиля преподавания математики состоит в том, что – при его последовательном воплощении в практику обучения – полностью игнорируются вопросы «Почему?» и «Зачем?»: почему выбраны те или иные определения? зачем доказывать те или иные свойства? почему математики выбрали для решения те или иные задачи? Иными словами, при таком подходе из процесса обучения оказывается изъятым существенный в воспитательном отношении момент мотивации. Выше мы отмечали, что этот («безмотивационный», «немотивированный») подход может быть вполне оправдан при изучении арифметики и формальной алгебры в младших и средних классах (с учетом психолого-возрастных факторов). То же во многом справедливо по отношению к изучению классической геометрии, в особенности стереометрии, даже в старших классах – в данном случае уже в силу большей конкретности предмета. Но этот же подход становится гораздо в меньшей степени оправданным при изучении абстрактных и алгебраических аспектов геометрии – преобразований, координат, векторов…; вопросы «зачем?» и «почему?» здесь являются уже вполне уместными. Наконец, формально-дедуктивный принцип обучения совсем мало приемлем при изучении алгебры и начал математического анализа в старших классах, и особенно – при углубленном изучении математики. Это так, опять же, по психолого-возрастным «соображениям» (но возраст и психология – иные!), а также из-за того, что указанные науки являются наиболее абстрактными. Основатель позитивизма французский философ Огюст Конт (1798–1857) в своей «Иерархии позитивных наук» (1830) относил геометрию к предпоследней, а «прочую» математику («науку о величинах») – к последней (по Конту, седьмой) «ступени абстракции». Несмотря на качественное развитие математики и изменение воззрений на ее предмет после Конта, по отношению к элементарной, «школьной» математике его классификация наук осталась вполне правомерной.

 

Другой негативной, особенно для углубленного математического образования, стороной традиционной образовательной парадигмы является то, что математика предстает перед обучающимися как бы «в готовом виде», как «набор итоговых результатов и инструментальных техник» [Роджерс, с.74]. И далее: «Этот дедуктивный стиль объявляется сущностью математики, и хотя считается допустимым упоминать об открытии и создании новых идей по ходу дела, эти идеи редко рассматриваются в историческом контексте, поскольку считается, что любые новые идеи должны быть представлены студентам (student на английском – в том числе и школьник) сразу же в “строгой” манере» (там же, с.74–75). Мы полагаем, что, по крайней мере, при углубленном изучении математики, речь должна идти даже не об «историческом контексте» рассмотрения «идей», а о более широком и общем культурно-историческом дискурсе в контексте собственно математического образования.

 

Таким образом, кроме вышеуказанных принципов интересности и привлекательности, активности в деятельности и «правополушарности», мы в предлагаемую психодидактическую концепцию УМО считаем важным включить принцип культурно-исторической ориентированности УМО. Не следует думать, что здесь есть какая-то тождественность или сходство с «культурно-исторической» концепцией психического развития (Выготский), хотя «созвучность» наименований, на наш взгляд, не совсем случайна… Чтобы эти различие и сходство были виднее, нужно хотя бы кратко очертить суть использования культурно-исторического дискурса математики в преподавании математики, чем и закончим наш беглый обзор психодидактических аспектов углубленного изучения математики.

 

* * *

 

Культурно-исторический дискурс в (углубленном) математическом образовании понимается нами как практика постоянного и систематического вовлечения в процесс изучения собственно математики, т.е. математического содержания образования, сведений культурно-исторического ряда:

 – привлечение конкретно-исторического материала, связанного с возникновением тех или иных конкретных математических содержаний: задач, понятий и определений, моделей, конструкций, подходов и идей, теорий и конкретных фактов (теорем, следствий, прочих утверждений), символики и терминологии (в частности, рассмотрение «математической этимологии»);

 – использование относящихся к конкретному математическому содержанию сведений, касающихся конкретно-исторических общественных, культурных, политических обстоятельств, оказавших прямое или опосредствованное влияние на развитие математики;

 – привлечение материалов историографического и биографического характера, показывающего роль личностных факторов и межличностных отношений, исторические особенности научных сообществ, имевших непосредственное отношение к развитию математики в его взаимосвязях с развитием других наук, искусств, культуры, техники, технологии…

 

Указанные здесь составляющие культурно-исторического дискурса представлены в соответствии с принятыми концепциями истории математики. Несмотря на пространное описание составляющих рассматриваемого дискурса, подразумевается, что весь относящийся к нему материал играет подчиненную, вспомогательную роль по

отношению к основному математическому материалу.

 

Сам по себе термин «дискурс» [от лат. discursus – «беседа», «разговор»; другие значения этого слова: «бегание туда и сюда», «барахтанье», «круговорот», «беспрерывное мелькание»!] ввел в философский и культурологический оборот Мишель Фуко, французский философ и историк культуры (1926–1984), для обозначения «совокупностей высказываний», относящихся к тем или иным «деятельностным практикам» и составляющих философию. Иными словами, под дискурсом понимается «процесс получения нового знания на основе философски и научно состоятельных суждений, представленных в языковой форме» [Канке В.А. Философия. Исторический и систематический курс. – М.: Логос, 2001, с.163].

 

Рассматриваемый нами культурно-исторический дискурс в математическом образовании предполагает использование суждений в адекватной целям собственно (углубленного) математического образования интерпретации. Для суждений относительно фактов истории математики это вполне естественно и общепринято, причем практикуются весьма разнообразные подходы к интерпретации; наши подходы диктуются воспитательным и образовательным аспектами процесса обучения математике.

 

Теперь о значении такого стиля преподавания математики, непосредственно о тех целях, которые могут быть достигнуты, которых мы желаем достичь посредством сочетания основного математического контекста процесса обучения и культурно-исторического дискурса.

 

Прежде всего, это демонстрация целесообразности (целе-сообразности!) построения (создания, развития) математических теорий – постановка вопросов «зачем?» и «почему?» в каждом (по возможности) принципиально важном случае, объяснение того, откуда берутся математические задачи, модели, теории.

 

Далее, такой дискурс позволяет показать сам предмет математики не в застывшем, «готовом» виде, а как развивающуюся науку, как систему взаимосвязанных теорий и различных подходов к решению тех или иных конкретных задач в их зарождении. Рассматривается не просто математика, а диалектика математики.

 

Третье: математика представляется не в изолированном виде, а как органичная и неотъемлемая часть всей системы научного познания мира, как важная составляющая культуры и цивилизации. Говоря словами бельгийского математика и педагога Вилли Сервэ, математика показывается как «культура в лоне культуры и техника в сердце техники»: «Мы <…> находимся сейчас <…> в высокой математической конъюнктуре, никогда прежде не достигавшейся. Больше, чем когда-либо, математика является одновременно культурой в лоне культуры и техникой в сердце техники» (1956).

 

Четвертое: показывается роль математиков, «Men of Mathematics», личностей в развитии математики, в решении задач практики; роль математики и математиков, математических сообществ в общественной жизни, в становлении человеческой цивилизации, в развитии общечеловеческой культуры.

 

Что это дает непосредственно для образования? – Развитие интереса к предмету. Формирование правильного представления о предмете и о его роли. Общекультурное образование, к которому, вне сомнения, относится знание истории предмета. И как итог, важнейший в воспитательном отношении, – формирование личного, личностного, психологического отношения к предмету. Именно такое отношение поможет сориентироваться в выборе своего дальнейшего пути, сделает этот выбор свободным (или, по крайней мере, более свободным). Такой характер школьного образования позволит развиваться и дальше, причем совсем не обязательно именно как будущему математику, а именно что как достаточно разносторонне образованному человеку…

 

Конечно, все это действительно достижимо… но только при условии адекватной поставленным целям организации процесса обучения.

 

Наилучшим способом реализации идеи культурно-исторического сопровождения курса математики было бы использование соответствующего материала непосредственно учителем в соответствии с конкретными потребностями – своими и обучаемого класса, в том числе психологическими. Однако это предполагает, во-первых, наличие адекватных указанной идее методических внутренних установок у учителя (можно сказать, переориентировка в стиле преподавания), во-вторых, что самое главное, владение учителем соответствующим материалом по истории математики (мы не говорим еще и о достаточном уровне педагогического мастерства, и об опыте проведения такого подхода – не на уровне «анекдотов», а в качестве серьезной и уместной компоненты уроков–лекций–диалогов: то и другое, как известно, дело наживное – был бы настрой!). И приходится признать дефицит нужных культурно-исторических знаний у значительной части учителей, а причина этого – не какие-то недостатки педагогического образования, а попросту «неподъемность» указанного пласта образования, в силу его обширности и в условиях отсутствия учебных или иных книг, хотя бы в какой-то мере охватывающих все культурно-исторические и философо-методологические аспекты развития математического знания. В этой связи отметим, что, тем не менее, при любой собственной концепции преподавания математики, самое полезное для учителя, для его и методического, и методологического (и общекультурного, и профессионального!) самообразования – это изучение как раз истории математики! Это, однако, всего лишь рекомендация (или, если угодно, благое пожелание), а как можно реально способствовать воплощению рассматриваемых педагогических установок в практике обучения?

 

Первое, что напрашивается: включение в учебно-методический комплект соответствующей книги, предназначенной учителю. Однако такое решение попросту нерационально: культурно-исторический «антураж» уместен и может принести действительную пользу лишь в том случае, если он непосредственно привязан к математическому образовательному контексту, т.е., попросту говоря, к конкретному математическому содержанию. Бессмысленно и лишено нужного педагогического воздействия описание и даже упоминание тех или иных исторических обстоятельств и сведений вне непосредственной связи с изучаемым в данный конкретный момент материалом, так что по содержанию подобная книга одновременно должна быть и учебником математики. Учитывая, что любой учебник равно направлен (но по-разному!) и на обучающегося, и на обучающего, адресован как ученику, так и учителю, понятно, что нет необходимости в создании специальной книги для учителя, а нужно как-то интегрировать содержание культурно-исторического дискурса непосредственно в учебник. Но каким образом? И в чем тогда будет состоять миссия учителя? – На второй вопрос ответить проще: основная задача учителя – эффективное обучение предмету, а культурно-исторический дискурс – вспомогательное средство в процессе обучения, направленное на решение, главным образом, воспитательных задач. И учитель должен сориентировать своих учеников в предмете, в том числе, и в его культурно-историческом содержании, стимулировать самостоятельное использование учащимися культурно-исторического дискурса, привлечь первоначальный интерес учащихся к этому – общекультурному – аспекту математики. А как – по-разному, в зависимости от конкретных обстоятельств, от своей практики, опыта, стиля преподавания (вспомните слова Клейна: «Учитель должен быть, так сказать, дипломатом; он должен учитывать душевные движения юноши [и девушки, конечно, тоже! «Дискриминирующие» слова Клейна объясняются тем, что в Германии начала XX в. гимназическое образование получали по преимуществу юноши], должен уметь возбудить его интерес…».

 

Теперь о том, как в одной книге сочетать математическое содержание и культурно-исторический дискурс. В каком-то (очень бедном) смысле такое сочетание осуществляется и в действующих учебниках, скажем, алгебры и начал анализа: в конце каждой главы приведен совсем коротенький раздел «Сведения из истории». Даже если расширить эти разделы, подобная компоновка материала кажется нам неудовлетворительной: исторические сведения не привязаны к конкретным математически содержательным сведениям, и в итоге исторические рубрики остаются вне поля внимания учащихся. В некоторых книгах общекультурный и исторический материал имеет конкретную привязку, но дается в виде примечаний – хорошо, если подстрочных, а то и вынесенных (как то обычно делается в математических монографиях и в некоторых учебниках по высшей математике) в конец главы или даже всей книги. Вынесенные примечания, как известно многим читателям даже поэзии или беллетристики, довольно неудобны (правда, в художественной литературе подстрочные комментарии – это вообще нонсенс; они уместны разве что для переводов иноязычных вставок и фрагментов). Подстрочные примечания лучше, но влекут значительные ограничения на объем – не может же книга, тем более, учебник, скажем, на 20% состоять из примечаний.

 

Есть (по-моему, единственная) удачная в отношении композиции математического и исторического содержания книга, которая может считаться учебной [можно указать еще на блестящий двухтомник Феликса Клейна: «Элементарная математика с точки зрения высшей», не так давно переизданный; но сей трактат по преимуществу методико-методологический, а не учебный] – это популярнейшая из почти популярных книга Р.Куранта и Г.Роббинса «Что такое математика?: Элементарный очерк идей и методов». Основной автор, один из крупнейших математиков XX в. Рихард Курант (1888–1972) – ученик Гильберта, эмигрировавший в 1934 г. из фашистской Германии в Соединенные Штаты Америки, – задумал книгу как раз такую, «читая которую, можно было бы “войти в соприкосновение с самим содержанием живой математической науки”» [это цитата из «Предисловия к третьему изданию на русском языке» математика В.М.Тихомирова, который, в свою очередь, цитирует предисловие самого Куранта, 1941]. Этот свой труд Курант понимал как «попытку» «избежать всего слишком технического или искусственного, делая изложение математики в одинаковой степени свободным от духа школьной рутины и от мертвящего догматизма, отказывающегося от мотивировок и указания целей, – того самого догматизма, который представляет собой столь неприятное препятствие для честного усилия» [это уже непосредственно из «Предисловия к первому изданию» Р.Куранта]. Ведущий автор придавал книге большое значение именно как попытке (слово Куранта!) преодоления формально-дидактической парадигмы в изложении математики – задаче, тогда (да и посейчас) в США весьма злободневной [о драматической истории написания и издания книги Куранта и Роббинса см. в «Добавлении 2» к 3-му ее изданию на русском