Олимпиады

Вокруг прямой Эйлера

1 февраля 2009 г. выпускники подмосковного Троицка писали пробный ЕГЭ по математике. Все пять вариантов, предоставленных ФИПИ, оказались неожиданно интересными. Ни одной пустой задачи  даже в группе А! На какое-то время стало интереснее жить и работать. Но новая инициатива  министра нашего (по защите креативности российских школьников от элементов высшей математики) повергла меня в глубокое уныние. Креативность, — это что? Когда «Один дома»? Или когда несанкционированно включают систему пожаротушения на подводном ракетоносце?

Вдруг вспомнился далекий Арканар братьев Стругацких. Но не книгочеи, бегущие за рубеж, и даже не высокоученый отец Кин, прокуратор Патриотической Школы (ВПШ – ГУ), подаривший девиз орлам нашим, реформаторам образования: «Умные нам не надобны», а почему-то – несчастный отец Кабани…

Так появилась эта заметка:

«– Опять ночь… – с тоской сказал отец Кабани и упал лицом в объедки».

«Украшение города, сверкающая башня астрологической обсерватории, торчала теперь в синем небе черным гнилым зубом, спаленная «случайным пожаром».

(Братья Стругацкие. «Трудно быть богом»)

У нас не Арканар, все происходит спокойнее, обыденнее. Шпиль МГУ все еще украшает небо столицы. Просто отменили такой предмет, как астрономию. А не получилось сразу запретить геометрию – ничего страшного. С отменой выпускных и вступительных экзаменов она отомрет сама (анонимный опрос учащихся показал, что в 25% московских школ геометрия в старших классах уже не преподается).

Еще не упразднен экзамен по геометрии в 9-м классе в классах с углубленным изучением предмета. Требования не чрезмерные, креативность учащихся не пострадает: «Нахождение гипотенузы, катета и острого угла прямоугольного треугольника по данным его второго катета и острому углу» (из Билета №4, Вестник образования, 3-4, 2005). В Билете № 8 присутствует и углубление:

1.     Треугольник (определение). Теорема о сумме углов треугольника. Прямая Эйлера (без доказательства).

2.     Выражение расстояния между двумя точками через координаты этих точек.

«Без доказательства» звучит уже вполне по-американски. Чем хорошо такое углубление в предмет? И не захочешь, а позабудешь… 23-го и 24 января этого года лучшие выпускники Московской области решали следующие задачи (их авторские решения мне пока не известны):

11.4. В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC  проведена высота AA1 и отмечены точки H и O – точка пересечения высот и центр описанной окружности. Докажите, что точка, симметричная центру описанной окружности треугольника HOA1 относительно прямой HO лежит на средней линии треугольника ABC (Московская областная олимпиада, 2009, первый тур, 11 класс, последняя в варианте).

11.6. Точка D на стороне BC остроугольного треугольника ABC такова, что AB = AD. Окружность, описанная около треугольника ABD, пересекает сторону AC в точках A и K. Прямая DK пересекает перпендикуляр, опущенный из B на AC, в точке L. Докажите, что CL = BC (Московская областная олимпиада, 2009, второй тур, 11 класс). (Решение Дмитриева О. )

Со второй задачей (11.6) несколько участников олимпиады справились. Задача мне понравилась. Как доказать, что треугольник BCL равнобедренный? Доказать, что его высота BH равна HL? Или установить равенство углов LBC и BLC? Я доказал, что равны углы LBK и BLK, а оттуда равенство отрезков BH и HL сразу следует… 

Знание того, что в любом треугольнике точка пересечения медиан лежит на отрезке, проведенном из точки пересечения высот в центр описанной окружности, и делит этот отрезок в отношении 2 : 1 (вроде бы легко запомнить), позволяло в несколько строк решить и первую задачу. Но ее не решил никто. Лишь трое участников имеют баллы за эту задачу (5, 3 и 2 из 7-ми возможных).

Задача,  по сути, одномерная. Пусть N – середина отрезка HO, K – центр описанной окружности треугольника HOA1, L – точка, симметричная точке K относительно HO. M — центр тяжести треугольника ABC
(HM = 2HO). Нас будут интересовать только расстояния от перечисленных точек до отрезка AB. Обозначим их hH, hO, hL, hN, и так далее. Два первых расстояния будем считать заданными. Покажем, что 2hL = hA, это и будет означать, что точка L находится на средней линии треугольника ABC. Точка K расположена на серединном перпендикуляре к A1H, поэтому hK = hH /2. Точка N — середина отрезка HO, тогда hN = (hH + hO) /2.

hM = (2hO + hH)/3. А высота треугольника ABC в три раза больше: hA = 2hO + hH.

hL + hK = 2hN, откуда 2hL = 4hN – 2hK = 2hH + 2hOhH = 2hO + hH. К этому мы и стремились.

С этого года упразднены региональные олимпиады для 8-х классов. (Московская область и ряд регионов такую олимпиаду пока сохранили, хотя и с ограничениями на участие). Ползучая реформа. Чтобы хоть как-то компенсировать ущерб от этого решения, группа замечательных людей проводит с декабря  альтернативную олимпиаду имени Эйлера. Кто бы они ни были: грамотеи мечтатели или грамотеи усомнившиеся, которых так не любил отец Кин, но встать на пути такой реформы, таких денежных потоков! Это вам не Химкинский лес защищать!

Но ведь «все, что мешает человеку развивать разум, — зло, и это зло надлежит устранять в кратчайшие сроки любым путем. Любым? Любым ли?..  Надо решаться. Рано или поздно все равно придется решаться» (Дон Румата).

Ю.О. Пукас.

www.Shevkin.ru | © 2004 - 2017 | Копирование разрешено с ссылкой на оригинал