Достижение планируемых результатов ФГОС ОО средствами УМК издательства «Просвещение»
А.В. Шевкин,
avshevkin@mail.ru
Планируемые результаты обучения фиксируют в принятой программе по математике то, чему должны научиться школьники. Требования разбиты на два уровня. Поскольку я уже критиковал принятую программу и этот критический текст доступен: «Программа по математике 2015 года, или Торжество непрофессионализма». ссылка ,
то не буду распространяться о недостатках программы, но обязательно отмечу одно её несомненное достоинство: в программе есть требование учить детей решать задачи арифметическим способом.
Что же касается других требований, то я рекомендовал бы учителям стараться выполнять требования программы в той мере, в какой они не вредят процессу обучения. Например, не советовал бы буквально воспринимать требования на базовом уровне, так как он уж очень похож на тупиковый путь обучения, после которого надеяться на возможность обещанного обучения на более высоком уровне не приходится.
И, как я уже говорил сегодня на пленарной части нашей конференции, надо стараться следовать медицинскому требованию «Не навреди!» У нас ещё нет достоверных сведений о продуктивности обучения по утвержденным программам на базовом уровне. Их и быть не могло, так как требования приняты без экспериментальной проверки. Будут ли способны дети, обученные по этой программе, способны сдать ОГЭ — ещё не известно. Возможно, для них придётся вводить базовый ОГЭ (как для ЕГЭ), вот тогда у нас в стране будет построена сегрегационная модель обучения — для нижних чинов и кухаркиных детей, видимо. Кому-то покажется, что я сгущаю краски — пусть! Когда дело касается обучения целого поколения россиян, моя бдительность не будет излишней. До сегодняшнего дня слишком большая доля моих печальных прогнозов о развитии российского образования под флагом его реформирования подтверждалась.
Так что же надо делать в сложившихся условиях?
Прежде всего, надо стараться формировать у учащихся полные знания и умения в рамках обучения их по учебникам, нацеленным на фундаментальное математическое образование, которое проявляется, с одной стороны, в построении школьного обучения на основе базовой науки-математики — с использованием доступного для учащихся содержания и способов действий; с другой стороны, в нацеленности обучения на создание фундамента для последующего изучения математики и смежных школьных дисциплин, а также на подготовку к обучению в вузе.
Обучение на базовом уровне должно быть полноценным, не тупиковым, оставляющим возможность вернуться на высокий уровень обучения, если восполнить пробелы в доказательствах, пропущенных на базовом уровне подробностях и задачах. Мы обучаем наше будущее, поэтому нельзя делать обучение на базовом уровне неполноценным. Иначе будущее нам отомстит.
Из учебников издательства «Просвещение» я лучше знаю свои учебники, которыми занимаюсь уже более 30 лет. Это «Математика, 5–6», Алгебра, 7–9», Алгебра и начала математического анализа, 10–11» серии «МГУ-школе» (С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин).
Приятно отметить, что многие идеи, заложенные в наши учебники всегда находили своих сторонников в учительской среде, а сейчас, когда появилась надежда на возвращение к лучшим отечественным традициям в обучении математике, они окажутся ещё более востребованными. В своих учебниках мы сохраняли традиционное для России обучение числовым системам, решению текстовых задач. Конкурируя с учебниками, в которых изложение не отличается системностью, грешит частой сменой объектов изучения — будто бы учащимся так интереснее учиться, мы ставили учителей и учащихся в неравное положение по сравнению с работающими по другим учебникам из-за разного порядка изучения ряда вопросов. Однако число наших последователей растет, отчасти это связано с хорошими результатами, которые показывают учащиеся на олимпиадах и в итоговой аттестации.
На пленарном заседании я уже говорил об арифметических способах решения задач, приведу другие примеры, связанные с текстовыми задачами, которыми могут воспользоваться учителя, готовя своих учащихся к олимпиадам, ОГЭ и ЕГЭ.
В самые первые варианты наших учебников были включены задачи, для решения которых требовалось ввести букву, значение которой в процессе решения задачи найти нельзя, да и не требуется, но она помогает ответить на вопрос задачи. Я называю такую букву лишней или вспомогательной.
В папке «Участнику конференции», которую может скачать каждый из вас (или позже получить от меня по электронной почте) есть статьи:
1) Использование вспомогательных неизвестных при решении текстовых задач в 5-7 классах;
2) Не бойтесь вводить лишние буквы, решая сложные задачи на проценты.
В них приведены примеры очень полезных задач, которыми мы пользуемся в учебниках давно. А теперь с введением ОГЭ и ЕГЭ такие задачи попали в итоговый контроль. Приведу несколько примеров.
Задача 1049 из учебника «Математика, 52» вполне может быть решена без применения букв, но, сравнив первый способ решения со вторым, в котором используется вспомогательное неизвестное, можно заметить, что наименования величин становятся «стандартными» и упрощается обоснование решения задачи.
1. Теплоход от Киева до Херсона идёт трое суток, а от Херсона до Киева — четверо суток (без остановок). Сколько времени от Киева до Херсона будут плыть плоты?
(Эта задача предъявляется пятиклассникам после цепочки подготовительных задач.)
I способ. Теплоход в сутки проходит по течению реки 1 : 3 = 1/3 (пути), а против течения 1 : 4 = 1/4 (пути). Вычтем 1/4 из 1/3, полученная разность — это удвоенная «скорость течения». Плоты за сутки проплывают (1/12) : 2 = 1/24 (пути), значит, весь путь они проплывут за 1 : (1/24) = 24 (дня).
II способ. Пусть х км — расстояние от Киева до Херсона, тогда скорость теплохода по течению x/3 км/сут, против течения x/4 км/сут.
1) x/3 – x/4 = x/12 (км/сут.) — удвоенная скорость течения;
2) x/12 : 2 = x/24 (км/сут.) — скорость течения;
3) х : (x/24) = 24 (дня) — время движения плотов.
Как мы видим, введение «лишней» буквы не изменило сути решения, но сделало пояснения к действиям более понятными.
Рассмотрим теперь задачи на вычисление средней скорости движения.
2. Турист шёл со скоростью 4 км/ч, потом точно такое же время со скоростью 5 км/ч. Какова средняя скорость движения туриста на всём участке пути?
Пусть турист шёл t ч со скоростью 4 км/ч и t ч со скоростью 5 км/ч. Тогда за 2t ч он прошел 4t + 5t = 9t (км). Средняя скорость движения туриста равна 9t : (5t) = 4,5 (км/ч).
3. Некоторое расстояние автомобиль преодолел в гору со скоростью 42 км/ч, а с горы — со скоростью 56 км/ч. Какова средняя скорость движения автомобиля на всём участке пути?
Пусть длина участка пути равна s км. Тогда в оба конца автомобиль проехал 2s км, затратив на весь путь s/42 + s/56 = s/24 (ч). Средняя скорость движения равна 2s : (s/24) = 48 (км/ч).
4. Две мухи ползут по стене от пола до потолка и обратно. Первая с одной и той же постоянной скоростью, а вторая вверх ползёт со скоростью в 2 раза большей, а вниз со скоростью в 2 раза меньшей, чем скорость первой мухи. Какая из них первой вернётся обратно, если от пола они стартовали одновременно?
Здесь имеется в виду, что мухи ползут по вертикальной прямой. Возможно решение задачи с использованием «лишних» букв, но проще такое решение.
Если переформулировать задачу, разрешив второй мухе ползти сначала не с большей, а с меньшей скоростью (от этого время движения этой мухи в оба конца не изменится), то станет ясно, что пока вторая муха поднимется до потолка, первая муха проделает весь путь в оба конца, так как её скорость в 2 раза больше. Итак, первой вернётся первая муха.
Рассмотрим решение ещё одно олимпиадной задачи.
5. На дороге, соединяющей два горных селения, нет ровных участков. Автобус едет в гору всегда со скоростью 30 км/ч, а под гору со скоростью 60 км/ч. Найдите расстояние между горными селениями, если путь туда и обратно без остановок занимает ровно 2 ч.
Пусть при движении от первого селения ко второму, автобус проехал x км в гору и y км с горы. Тогда на обратном пути он проехал y км в гору и x км с горы. На путь в оба конца автобус затратил x/30 + y/60 + y/30 + x/60 ч, или 2 ч.
Составим уравнение: x/30 + y/60 + y/30 + x/60 = 2, из которого найдём, что x + y = 40. Следовательно, расстояние между аулами равно 40 км.
Ещё одну возможность для применения вспомогательных неизвестных предоставляют проценты. Рассмотрим задачу 868 из учебника «Математика, 6».
6. В спортивной секции девочки составляют 60 % числа мальчиков. Сколько процентов числа всех участников секции составляют девочки?
Пусть в секции было m мальчиков, тогда девочек было 0,6m. Всего в секции 1,6m участников, поэтому девочки составляют = 37,5 % числа всех участников секции.
Аналогичную задачу находим в ГИА-2009.
7. На должность заведующего кафедрой претендовало три кандидата: Климов, Лебедев, Мишин. Во время выборов за Мишина было отдано в 4 раза меньше голосов, чем за Климова, а за Лебедева — в 1,5 раза больше, чем за Климова и Мишина вместе. Сколько процентов голосов получил победитель?
Пусть за Мишина было отдано m голосов. Тогда за Климова было отдано 4m голосов, а за Лебедева 1,5(4m + m) = 7,5m голосов. Голоса победителя Климова (7,5m) составляют 7,5m*100 / (12,5m) =
= 60 (%) от всех 12,5m голосов.
Рассмотрим задачу 1071 из учебника «Математика, 6». Для её решения используется два вспомогательных неизвестных.
8. Купили конфеты и печенье. 1 кг конфет дороже 1 кг печенья на 50 %, но их купили на 50 % меньше, чем печенья. За что заплатили больше?
Пусть купили х кг печенья по у р. за 1 кг — всего на ху р. Тогда конфет купили 0,5х кг по 1,5у р. за 1 кг — всего на 0,51,5y = 0,75ху р. Так как ху > 0,75ху при любых значениях х и у, то за печенье заплатили больше, чем за конфеты.
Перейдём теперь к решению задач, в которых надо определить, на сколько процентов одно число больше (меньше) другого (из второй статьи). Эти задачи и способы их решения мы включим в рабочую тетрадь для 7 класса, которую готовим в ответ на просьбы учителей продолжить довольно удачные тетради для 5-6 класса. И ещё об одной удаче: в наших дидактических материалах для 5-11 классах почти половину книги занимают материалы для подготовки к самостоятельным работам. С их помощью многие учащиеся поднимаются на ступеньку выше и не нуждаются так отчаянно в ГДЗ. Но вернёмся к задачам.
9. На сколько процентов число 50 больше, чем число 40?
50 от 40 составляет 50*100% / 40 = 125 %.
Это на 125 % – 100 % = 25 % больше, чем число 40.
Ответ. На 25 %.
Тот же результат получим, объединив два действия:
125 % – 100 % = 50*100% / 40 – 100 % = (50 – 40)*100% / 40.
Обобщим полученный результат:
число a больше, чем число b на (a – b)*100% /b.
Здесь и далее надо обращать внимание учащихся на то число, с которым сравнивают в процентах другое число. Это число будет всегда оказываться в знаменателе дроби в тех формулах, которые мы составим для решения задач на сравнение двух чисел в процентах.
10. На сколько процентов число 40 меньше, чем число 50?
40 от 50 составляет 40*100% / 50 = 80 %.
Это на 100 % – 80 % = 20 % меньше, чем число 50.
Ответ. На 20 %.
Тот же результат получим, объединив два действия:
100 % – 80 % = 100 % – 40*100% / 50 = (50 – 40)*100% / 50.
Обобщим полученный результат:
число b меньше, чем число a на (a – b)*100% /a.
Таким образом, чтобы найти, на сколько процентов одно число больше (меньше) другого, можно их разность (большее минус меньшее) разделить на то число, с которым сравниваем, и результат умножить на 100.
11. У Вовы «пятёрок» на 60 % меньше, чем «троек». На сколько процентов у Вовы «троек» больше, чем «пятёрок»?
Я остановился на теме, связанной с задачами, исключительно потому, что она в данный момент интересна всем учителям — независимо от учебника, по которому работает учитель. Рассмотрение других тем требует большего времени.
Word-файл текста будет выслан по электронной почте, если напишете по адресу avshevkin@mail.ru .