Задачи «на бассейны» и другие
Этот раздел начинается знакомыми задачами. Новое в их решении заключается в том, что теперь вместо рассуждений типа «Бассейн можно наполнить за 3 ч, значит, в каждый час наполняется 1/3 бассейна» или «В каждый час наполняется 1/2 бассейна, значит, бассейн можно наполнить за 2 ч» учащиеся будут писать действия: 1:3 = 1/3 и 1:1/2 = 2. При этом каждый раз предполагается и устно оговаривается, что объем бассейна (расстояние, выполненная работа и т. п.) принимается за единицу. Отметим, что без такого перехода к делению учащимся будет сложно решать задачи с дробными ответами (№№ 207, 211 и др.).
201. 1) Через первую трубу бассейн можно наполнить за 3 ч,
через вторую за 6 ч. Какую часть бассейна наполнит каждая труба за 1 ч?
2) За 1 ч первая труба наполняет 1/3 бассейна, а вторая — 1/6 бассейна. Какую часть бассейна наполняют обе трубы за 1 ч совместной работы? За сколько часов наполнится бассейн через обе трубы?
3) Через первую трубу можно наполнить бак за 10 мин, через вторую — за 15 мин. За сколько минут можно наполнить бак через обе трубы?
202. Старинная задача. Путешественник идет из одного города в другой 10 дней, а другой путешественник тот же путь проходит за 15 дней. Через сколько дней встретятся путешественники, если выйдут одновременно навстречу друг другу из этих городов?
Задачи 203 (а–в) составлены с таким расчетом, чтобы показать, что различные по фабуле задачи могут отражать одну и ту же арифметическую ситуацию, могут иметь один и тот же способ решения.
203. а) Через первую трубу бассейн можно наполнить за 20 ч, а через вторую — за 30 ч. За сколько часов наполнится бассейн через обе эти трубы?
б) Один ученик может убрать класс за 20 мин, а второй — за 30 мин. За сколько минут они могут убрать класс, работая вместе?
в) Грузовая машина может проехать расстояние между двумя городами за 30 ч, а легковая — за 20 ч. Машины одновременно выехали из этих городов навстречу друг другу. Через сколько часов они встретятся?
204. На птицеферму привезли корм, которого хватило бы уткам на 30 дней, а гусям — на 45 дней. Рассчитайте, на сколько дней хватит привезенного корма и уткам, и гусям вместе?
Завершая цепочку задач рассматриваемой серии, приводящих к сложению дробей, можно напомнить учащимся задачу 112 (б). Желательно обратить внимание учащихся на то, что эта задача уже была ими решена (№ 201 (3)). При этом объем бака не учитывался. Это означает, что задача 112 (б) содержит лишнее условие — объем бака. Учащимся нужно предоставить возможность убедиться в том, что от замены числа 600 на 300 или любое другое число ответ не меняется. Здесь, конечно, нужна оговорка: Мы предполагаем, что при уменьшении объем бака, например, в 2 раза скорость вытекания воды тоже уменьшается в 2 раза. Решения с различными числовыми данными нужно обсудить устно, записать одно из них с краткими пояснениями на доске и использовать его для сравнения с новым способом решения. Например:
1) 600:10 = 60 (л) — наполнится за 1 мин через I кран;
2) 600:15 = 40 (л) — наполнится за 1 мин через II кран;
3) 60 + 40 = 100 (л) — наполнится за 1 мин через оба крана;
4) 600:100 = 6 (мин) — наполнится бак через оба крана.
Разумеется, несколько случайных проб, в результате которых получен ответ «6 минут», еще не доказывают утверждения
«В этой задаче ответ не зависит от объема бака». Для его доказательства учитель может прибегнуть к помощи букв. После решения 2–3 задач с различными числовыми данными можно привести аналогичное решение с буквой. При этом буква выступает не как переменная (что далеко от опыта ребенка данного возраста), а как неизвестное число.
Пусть объем бака x л, тогда
1) x:10 = x/10 (л) — наполнится за 1 мин через I кран;
2) x:15 = x/15 (л) — наполнится за 1 мин через II кран;
3) x/10 + x/15 = x/6 (л) — наполнится за 1 мин через оба крана;
4) x: x/6 = 6 (мин) — наполнится бак через оба крана.
Здесь нужно подчеркнуть, что вместо числа x можно было взять число 300, 200 или любое другое число — в каждом случае в последнем действии дробь сократится на это число. Значит, ответ не зависит от выбора числа x.
205. а) Заготовленных материалов хватит для работы двух цехов в течение 10 дней, или одного первого цеха — в течение 15 дней. На сколько дней хватило бы этих материалов для работы одного второго цеха?
б) Два тракториста вспахали поле за 6 ч совместной работы. Первый тракторист мог бы один вспахать то же поле за 10 ч. За сколько часов второй тракторист мог бы вспахать это поле?
206. Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь в 10 дней. Спрашивается, в сколько дней жена его отдельно выпьет ту же кадь.
Учащимся можно показать старинное решение задачи:
За 140 дней человек выпьет 10 бочонков, а вместе с женой за 140 дней они выпьют 14 бочонков. Значит, за 140 дней жена выпьет 4 – 10 = 4 бочонка. Один бочонок она выпьет за 140:4 = 35 дней.
Разумеется, для решения этой задачи было бы проще взять 70, а не 140 дней.
207.* Старинная задача. (Китай, II в.) Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?
Условие задачи 208 провоцирует «сбой» — решение по шаблону в ситуации, когда никакой совместной работы не происходит.
208.* Одна бригада может выполнить задание за 9 дней, а вторая — за 12 дней. Первая бригада работала над выполнением этого задания 3 дня, потом вторая бригада закончила работу. За сколько дней было выполнено задание?
Решение задачи можно оформить так:
1) 1:9 = 1/9 (задания) — выполнит I бригада за 1 день;
2) 1/9·3 = 1/3 (задания) — выполнила I бригада за 3 дня;
3) 1 – 1/3= 2/3 (задания) — выполнила II бригада;
4) 1:12 = 1/12 (задания) — выполнит II бригада за 1 день;
5) 2/3 : 1/12 = 8 (дней) — работала II бригада;
6) 3 + 8 = 11 (дней) — затрачено на выполнение задания.
Два первых действия можно заменить одним (3:9 = 1/3), определив, какую часть работы выполнит I бригада за 3 дня.
209.* Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Они встретились через 40 мин после выхода, а через 32 мин после встречи первый пришел в В. Через сколько часов после выхода из В второй пришел в А?
210.* Из пункта А в пункт В выехала грузовая машина. Одновременно с ней из пункта В в А выехала легковая машина. Грузовая машина через 2 ч после начала движения встретила легковую и еще через 3 ч прибыла в пункт В. Сколько времени потратила легковая машина на путь из В в А?
211.* Старинная задача. (Армения, VII в.). В городе Афинах был водоем, в который проведены три трубы. Одна из труб может наполнить водоем за 1 ч, другая, более тонкая, — за 2 ч, третья, еще более тонкая, — за 3 ч. Итак, узнай, в какую часть часа все три трубы вместе наполняют водоем.
Обратите внимание на то, что задачи 22 (а, б) полностью воспроизводят арифметическую ситуацию предыдущей задачи — те же числовые данные, но иной сюжет и вопрос.
212.* Старинные задачи. а) Лошадь съедает воз сена за месяц, коза — за два месяца, овца — за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?
б) Лев съел овцу за один час, волк съел овцу за два часа, а пес съел овцу за три часа. Спрашивается, как скоро они втроем съели бы овцу.
Заметим, что старинное решение задачи 212 (б), приведенное в математической рукописи, основано на предположении, что лев, волк и пес едят овец в течение 12 часов. [10, с. 45] Тот же прием использует автор рукописи для решения следующей задачи.
213.* Старинная задача. Четыре плотника хотят построить дом. Первый плотник может построить дом за 1 год, второй — за 2 года, третий — за 3 года, четвертый — за 4 года. Спрашивается, за сколько лет они построят дом при совместной работе.
В 12 лет каждый плотник в отдельности сумеет построить: первый 12 дворов, второй — 6 дворов, третий — 4, четвертый — 3. Таким образом, за 12 лет они могут построить 25 дворов. Следовательно, один двор все вместе они сумеют построить за 365·12/25 = 175 дней.
Приведенные способы решения задач стоит показать детям для того, чтобы подчеркнуть важную мысль: авторы решений применяли такие нереалистичные, хоть и остроумные, рассуждения, видимо, потому, что не умели действовать с дробями.
214.* Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, при этом А может выполнить ее один раз за 3 недели, B три раза за 8 недель, C пять раз за 12 недель. Спрашивается, в какое время они смогут выполнить эту работу все вместе. (Считать в неделе 6 рабочих дней по 12 ч).
Более сложным продолжением рассматриваемой серии задач являются задачи на движение по реке.
215.* Катер проплывает некоторое расстояние по озеру за 6 ч, а по течению реки — за 5 ч. Сколько времени потребуется плоту на такое же расстояние?
Покажем решение первой задачи из этой серии. Примем все расстояние за 1, тогда за 1 ч катер проходит по течению 1/5, а по озеру 1/6 всего расстояния; по течению на 1/5 – 1/6 = 1/30 расстояния больше — это и есть часть расстояния, на которую в час течение сносит все предметы. Значит, то же расстояние плот проплывет за 30 ч. Без пояснений решение можно записать так:
1) 1:5 = ; 3) 1/5 – 1/6 = 1/30;
2) 1:6 =1/6; 4) 1: 1/30= 30.
Труднее всего здесь объяснить результат третьего действия. Объяснение можно упростить, введя букву.
Пусть х км — данное расстояние, тогда
1) x:5 = x/5 (км/ч) — скорость катера по течению;
2) x:6 = x/6 км/ч — скорость катера в стоячей воде;
3) x/5 – x/6 = x/30 (км/ч) — скорость течения;
4) x: x/30 = 30 (ч) — потребуется плоту на такое же расстояние.
216.* Расстояние между двумя пристанями по течению катер проходит за 8 ч, а плот — за 72 ч. Сколько времени потратит катер на такой же путь по озеру?
217.* Лодка проплыла некоторое расстояние по озеру за 4 ч. Такое же расстояние плот проплывает по реке за 12 ч. Сколько времени затратит лодка на тот же путь по течению реки? против течения?
218.* а) Моторная лодка проходит расстояние между двумя пунктами А и В по течению реки за 2 ч, а плот — за 8 ч. Какое время затратит моторная лодка на обратный путь?
б) Плот плывет от А до В 40 ч, а катер — 4 ч. Сколько часов катер плывет от В до А?
219.* а) Теплоход от Киева до Херсона идет трое суток, а от Херсона до Киева четверо суток (без остановок). Сколько времени будут плыть плоты от Киева до Херсона?
б) Из Нижнего Новгорода в Астрахань теплоход плывет 5 суток, а обратно 7 суток. За сколько суток из Нижнего Новгорода в Астрахань приплывут плоты?
в) Расстояние между двумя пунктами пароход проходит вниз по течению реки за 2 ч, а вверх по течению — за 3 ч. За сколько часов между теми же пунктами проплывет бревно?
Рассмотрим решение задачи 219 (а). Пароход в сутки проходит по течению реки 1:3 = 1/3 пути, а против течения 1:4 = 1/4 пути. Вычтем 1/4 из 1/3, получим 1/12, но это еще не «скорость течения» — полученный результат надо поделить на 2. Плоты за сутки проходят 1/24 пути, значит, весь путь пройдут за 1: 1/24 = 24 дня.
Эту задачу, как и большинство задач данной серии, можно решить, обозначая буквой все расстояние (работу и т. п.). Такой алгебраический прием не приводит к уравнению, но позволяет проще объяснить отдельные шаги решения.
Пусть x км — расстояние от Киева до Херсона, тогда скорость парохода по течению x/3 км/сут., против течения x/4 км/сут.
1) x/3 – x/4 = x/12 (км/сут.) — удвоенная скорость течения;
2) x/12:2 = x/24 (км/сут.) — скорость течения;
3) x: x/24= 24 (дня) — время движения плотов.
220.* 1) Первая и вторая бригады могли бы выполнить задание за 9 дней; вторая и третья бригады — за 18 дней; первая и третья бригады — за 12 дней. За сколько дней это задание могут выполнить три бригады, работая вместе?
2) В бассейн проведены три трубы. Через первые две трубы бассейн наполняется за 1 ч 10 мин; через первую и третью трубы он наполняется за 1 ч 24 мин; а через вторую и третью за 2 ч 20 мин. За сколько минут наполнится бассейн через все три трубы?
3) По условию задачи 220 (1) определите, за сколько дней третья бригада сможет выполнить то же задание, работая отдельно?
Приведем решение задачи 220 (1):
1) 1:9 = 1/9 (задания) — выполняют I и II бригады за 1 день;
2) 1:18 = 1/18 (задания) — выполняют II и III бригады за 1 день;
3) 1:12 = 1/12 (задания) — выполняют I и III бригады за 1 день;
4) (1/9 + 1/18 + 1/12):2 = 1/8 (задания) — выполняют три бригады за 1 день совместной работы;
5) 1: 1/8 = 8 (дней) — время выполнения задания тремя бригадами.
221.* 1) За 1 ч прогулочный катер может проплыть 10 км против течения или 15 км по течению реки. На какое наибольшее расстояние он может удалиться от пристани и вернуться обратно во время часовой прогулки?
2) Швейный цех выпускает за смену 300 джинсовых курток или 600 джинсовых брюк. Сколько джинсовых костюмов, состоящих из куртки и брюк, может выпустить швейный цех за смену?
Рассмотрим решение задачи 221 (1). На 1 км по течению и 1 км против течения катер тратит 1/10 + 1/15 = 1/6 ч. Тогда за 1 ч катер может удалиться от пристани на 1: 1/6 = 6 км и вернуться обратно.
Задачу 221 (2) можно решить двумя способами.
I способ. На одну куртку тратится 1/300, а на одни брюки 1/600 смены, т. е. на один костюм тратится 1/300 + 1/600 = 1/200 смены, поэтому за смену швейный цех выпустит 1: 1/200 = 200 костюмов.
II способ. По условию задачи, на одну куртку тратится вдвое больше времени, чем на одни брюки, следовательно, вместо 100 курток цех может пошить 200 брюк. Тогда за смену цех выпустит 300 курток или 200 курток и 200 брюк, то есть 200 костюмов.