УРАВНЕНИЯ
Параграф, посвященный уравнениям, не требует пространного введения уже потому, что об использовании букв и самих уравнений было много сказано раньше. Использование уравнений является новым и, безусловно, важным шагом в развитии умения школьников решать задачи, этот шаг подготовлен развитием задачного материала в предыдущих параграфах.
Использование уравнений лучше отнести на второе полугодие VI класса, к тому времени, когда действия с отрицательными числами и дробями уже будут изучены. В этом случае сами уравнения изучаются наиболее эффективно и экономно. К этому времени учащиеся должны иметь опыт решения уравнений без использования терминов «уравнение», «корень уравнения» в заданиях типа «найдите неизвестное слагаемое», «найдите x, при котором равенство верно», «решите пропорцию» и пр. А учитель должен всячески использовать этот опыт при введении новых понятий.
Выделим основные этапы, которые должно пройти формирование умения решать текстовые задачи с помощью уравнений. Прежде всего учащиеся должны решить задачи 380–389, готовящие их к использованию букв в составлении уравнений. Затем они должны научиться решать некоторые из уже известных им типов задач с помощью уравнений. При этом лучше начать с задач «на части», решение которых мало изменяется от замены «частей» на «иксы». Следует учесть, что при решении задачи «на части» учащиеся будут отдавать предпочтение старому, уже освоенному методу, поэтому в необходимых случаях потребуются специальные указания «решите задачи с помощью уравнения». Но когда учитель убедится, что новый способ решения задач уже освоен, выбор способа решения нужно оставить на усмотрение учащихся.
Следующим шагом в развитии умения решать задачи должно стать появление таких задач, решение которых арифметическим способом затруднительно или приводит к громоздким рассуждениям, тогда как использование уравнений облегчает процесс решения. Этот шаг необходим для подкрепления мотивации учения.
Наконец, учащиеся должны встретить и такие задачи, арифметическое решение которых если и возможно, то чаще всего после того, как решение будет найдено с помощью уравнения. Именно так иногда поступали учителя в те времена, когда сборники задач по арифметике были полны чересчур сложными задачами.
Какого же уровня сложности задачи должны научиться решать все школьники в 6 классе? Учитывая, что этот прием решения станет основным в следующих классах, достаточно ограничиться задачами на нахождение двух величин по их сумме и разности, по отношению и сумме (разности) — это уже известные с 5 класса задачи, решавшиеся раньше арифметически. Из новых задач нужно добавить такие, в которых величин две или больше, но решение уравнения с неизвестным в одной части уравнения не приводят к громоздким преобразованиям, а также такие, в которых неизвестное оказывается в разных частях уравнения. Задачи последнего типа, в которых одна из двух величин, выраженных через x, больше другой в несколько раз, мы считаем необязательными для 6 класса, они даны со звездочкой.
Говоря с учащимися о выборе подходящего способа решения, не следует все же формировать у них представление о некоем абсолютном преимуществе уравнений перед арифметическими способами решения задач. Скорее, следует говорить о том, что каждый способ хорош в подходящей ситуации. Подтверждения тому будут приведены ниже.