ПРОПОРЦИИ
Задачи, решаемые с помощью пропорций, по традиции изучаются в курсе арифметики 5–6 классов. Считается, что именно в этом возрасте учащиеся должны научиться решать пропорции, ознакомиться с двумя практически важными зависимостями — прямой и обратной пропорциональностями, научиться их различать и решать соответствующие задачи. Изучение пропорций и указанных зависимостей мало связано с потребностями самого арифметического курса или с потребностями обучения решению задач в 6 классе — в учебниках нет задач на прямую и обратную пропорциональность, которые нельзя было бы решить без пропорций. Однако, использование пропорций имеет большое значение для последующего изучения математики. В учебниках 6 класса часто и задачи на проценты предлагается решать с помощью пропорций. Хотя, на наш взгляд, решение задач на проценты не нуждается в применении пропорций.
Рассмотрим прием решения задач на пропорции, который, видимо, принадлежит учителям химии, утомленным плохим знанием учащимися процентных расчетов. Он сводится к совету: в записи
400 г раствора — 100 %
20 г соли — x %
отделите двумя чертами числовые данные в двух строках, сблизьте две черточки до получения знака
« = » и решите полученную пропорцию:
400/20 = 100/х .
Иногда в процессе решения пропорция не фиксируется в явном виде. Например, в пособии для учащихся «500 задач по химии» (Просвещение, 1981) дана краткая запись решения:
б) 32 г серы соединяются с 32 г кислорода, а
х г » 8 г »
x = 32·8/32 = 8 (г).
в) 32 г серы соединяются с 48 г кислорода, а
х г » 8 г »
x = 32·8/48 = 5,33(г).
Как видим, здесь пропорции остались «за кадром», учащиеся могут умножать и делить числа «крест-накрест». Ничего предосудительного в таком способе оформления решения нет, им вполне можно пользоваться при решении большого числа однотипных задач на уроках химии. Правда, мы бы не стали применять громоздкий общий прием в очевидном случае «б» и использовать знак « = » вместо « ≈ » в случае «в». Но мы уверены, что если учащийся не разбирается в пропорциях и не может объяснить смысл своих действий, то решение задач по образцу дает мало пользы его для развития.
Химикам хорошо! Они имеют дело с прямой пропорциональностью. А учащиеся 6 класса (особенно пропустившие объяснение учителя) иногда приносят из дома такой способ решения первой задачи без пропорции: «перемножим числа крест-накрест: 20 умножим на 100, x – на 400, приравняем полученные результаты и найдем x». Таких учащихся трудно учить применению пропорций, так как они считают более простым свой способ, но эта трудность легко снимается после попыток решать способом «крест-накрест» задачи на обратную пропорциональность.
Отметим, что правило «умножай и дели крест-накрест» сродни правилам, которые применяли в старину при решении арифметических задач. Воспользуемся этим обстоятельством и вернемся еще раз к истории вопроса. Но сначала уточним терминологию.
В давние времена для решения многих типов задач существовали специальные правила их решения. Знакомые нам задачи на прямую и обратную пропорциональность, в которых по трем значениям двух величин нужно найти четвертое, назывались задачами на тройное правило (простое тройное правило). Если же для трех величин были даны пять значений и требовалось найти шестое, то правило называлось пятерным. Аналогично для четырех величин существовало «семиричное» правило. Эти правила назывались еще задачами на сложное тройное правило.
Во вводной статье к первому параграфу нашей книги мы привели фрагмент из книги И. Бёшенштейна (1514 г.), в котором отражено почти мистическое отношение обучающих к тройному правилу, а само изложение материала имеет ярко выраженный рецептурный характер. Обучение по правилам было широко распространено и в России. Желая описать методику обучения решению задач времен Л.Ф. Магницкого, сошлемся на С.И. Шохор-Троцкого, который в своей «Методике арифметики для учителей средних учебных заведений» писал: «Насколько преизобиловали правилами книги по арифметике встарину – можно судить по весьма почтенному для своего времени труду Леонтия Магницкого… В книге первой… кроме множества правил о целых и дробных числах, изложены правила, называемые автором «подобными» (ныне называемые тройными)… автор различает: правило тройное в целых, правило тройное в долях, правило тройное сократительное, правило «возвратительное» (обратно-пропорциональное), правило пятерное, правило «семиричное»…, а затем, в виде применения этих правил, предлагает ряд «статей»: статью тройную торговую («в целых» и «в долях»), тройную торговую о куплях и продажах, тройную торговую в товарных овощах и «с вывескою» (то есть о вычислении тары товара), о «прикупах» и о «накладах», «вопросную» о тройном правиле, «вопросную же со времены», «деловую в тройном правиле», торговую «меновную в тройном правиле»… [26]
Далее С.И. Шохор-Троцкий приводит фрагмент из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого, из которого хорошо видно, что рецептурный стиль изложения материала, характерный для более ранних европейских источников, в первом российском учебнике арифметики еще не был преодолен. В этом фрагменте, посвященном применению пятерного правила, сначала дается определение правила и пример на его применение (текст задачи здесь выделен курсивом), потом рецепт для получения ответа; в других случаях рекомендуется поступать так же.
«Пятерное правило есть, егда случаются таковые сметы творити, яже не могут иным чином или правилом уразуметися, токмо через сие пятерное или пятиперечневое, глаголется же и тройно-сугубое… понеже пять перечней [чисел] в правиле поставляется, а шестый изобретается…: некто име сто рублев в купечестве един год, и приобрете ими токмо 7 рублей, и паки отдал в купечество 1000 рублев на 5 годов, колико ими приобрящет, и ты твори сице, поставив почину тройнаго правила:
год год
100 –––––– 1 –––––– 7 –––––– 1000 –––––– 5
И умножай два перечня иже от левыя руки между собою, также прочыя три иже к правой руке, такожде между собою порядком умножай, и произведение их раздели тем произведением еже от дву первых произведеся: яко же зде». [там же]
О возможности использования задач такого рода в процессе обучения мы еще поговорим, а пока, следуя правилу, получим верный ответ:
(7·1000·5):(100·1) = 350 (р.).
Во времена С.И. Шохор-Троцкого еще сохранилась традиция решения задач по правилам. Наиболее известным учебником арифметики того времени был учебник А.П. Киселева (первое издание в 1884 г.). Чтобы читатель получил представление о методике изложения материала, связанного с задачами на тройное правило, в этом учебнике, смог представить себе практику обучения школьников решению задач на прямую и обратную пропорциональность в то время, приведем несколько выдержек из 9-го издания этого учебника (1896 г.). Наши комментарии в тексте выделены курсивом.
Простое тройное правило.
Задачи на это правило решаются способом пропорций или приведением к единице.
Задача. 8 аршин сукна стоят 30 руб.; сколько стоят 15 аршин этого сукна?
С п о с о б п р о п о р ц и й. Обозначим буквою x стоимость
15-ти арш. сукна и расположим числа так:
Количество аршин. Стоимость их.
8 арш. . . . . . . . 30 руб.
15 » . . . . . . . x »
Так как стоимость сукна пропорциональна количеству аршин, то
x : 30 = 15 : 8.
Откуда: x = 30·15/8 = 56 1/4 руб.
П р и в е д е н и е к е д и н и ц е. Чтобы решить задачу этим способом, узнаем сначала, сколько рублей стоит 1 аршин (от этого самый способ наз. приведением к единице). Ход решения для ясности расположим строчками:
8 арш. стоят 30 руб.
1 арш. стоит 30/8 руб.
8 арш. стоят 30/8 ·15 = 56 1/4 руб.
Заметим, что изложить материал в учебнике можно было бы проще. Ведь второй способ решения задачи является всего лишь другой записью решения по действиям:
1) 30 : 8 = 30/8 (руб.); 2) 30/815 = 56 (руб.)
Таким способом, но с выражением стоимости сукна в копейках, учащиеся должны были уметь решать задачу еще до изучения действий с дробями. Способ приведения к единице с намеренным сохранением сократимых дробей был необходим для изложения решения задачи на сложное тройное правило, для «окончательной формулы», для обучения школьников последовательному изменению сначала одной величины (как здесь), а потом и нескольких величин (как при решении задач на сложное тройное правило).
Также двумя способами (сначала с помощью пропорции, потом приведением к единице) решена и задача на обратную пропорциональность.
Способ решать такие задачи, в которых дано по одному соответствующему значению двух величин, прямо или обратно пропорциональных, а требуется найти, какое значение примет одна из них, если другая получит новое данное значение, наз. простым тройным правилом.
Далее приведена задача на сложное тройное правило, сложность которой превышает потребности первоначального обучения – здесь было бы достаточно взять три величины, а не четыре (то есть взять задачу на пятерное правило, как у Л.Ф. Магницкого, а не на «семиричное»).
Сложное тройное правило.
Задача. Для освещения 18 комнат в 48 дней издержано 120 фун. керосина, причем в каждой комнате горело по 4 лампы. На сколько дней достанет 125 фунт. керосина, если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет гореть по 3 лампы?
С п о с о б п р о п о р ц и й. Расположим данные этой задачи в две строки:
18 комн. – 48 дн. – 120 фун. – 4 лампы
20 » – х » – 125 » – 3 »
Если оставить без изменения число фунтов и ламп (эти величины взяты в скобки), то можно найти x1 – число дней, соответствующих 20 комнатам, решив задачу на простое тройное правило.
18 комн. – 48 дн. – 120 фун. – 4 лампы
20 » – х1 » – 120 » – 4 »
х1 = 48·18/20 = 216/5 (дней).
Далее заменим 120 фунтов на 125, не меняя других данных задачи:
20 комн. – 216/5 дня – 120 фун. – 4 лампы
20 » – х2 » – 125 » – 4 »
х2 = 216·125/5·120 = 45 (дней).
Теперь заменим 4 лампы на 3 лампы:
20 комн. – 45 дн. – 125 фун. – 4 лампы
20 » – х » – 125 » – 3 »
х = 45·4/3 = 60 (дней).
Способ решать такие задачи, когда данных величин более двух, наз. сложным тройным правилом.
П р и в е д е н и е к е д и н и ц е. … Расположим, для удобства, данные и искомое числа так, чтобы x стояло в последнем справа столбце:
18 комн. 120 фун. 4 лампы 48 дн.
20 » 125 » 3 » x »
Теперь узнаем, какое окажется число дней, если будет освещаться 1 комната, керосина будет 1 фунт и в каждой комнате будет 1 лампа. Это мы узнаем, приводя к 1 постепенно одно условие за другим.
18 комн. 120 фун. 4 лампы 48 дн.
1 » 120 » 4 » 48·18 »
1 » 1 » 4 » 48·18/120 »
1 » 1 » 1 » 48·18·4/120 »
Теперь будем постепенно заменять единицы числами, заданными в вопросе задачи:
1 комн. 1 фун. 1 лам. 48·18·4/120 дней.
20 » 1 » 1 » 48·18·4/120·20 »
20 » 125 » 1 » 48·18·4·125/120·20 »
20 » 125 » 3 » 48·18·4·125/120·20·3 »
Остается полученную формулу сократить и вычислить.
О к о н ч а т е л ь н а я ф о р м у л а. При достаточном навыке в решении задач на сложное тройное правило можно сразу писать окончательную формулу для x. Покажем, как это делается. Возьмем решенную выше задачу:
18 комн. – 48 дн. – 120 фун. – 4 лампы
20 » – х » – 125 » – 3 »
Число дней было бы 48, если бы освещалось 18 комнат; если бы освещалась только одна комната, то дней было бы 48·18, а при освещении 20 комнат дней должно быть 48·18/20 (при одинаковых прочих условиях). Такое число дней было бы при условии 120 фунтов керосина; если бы керосина был 1 фунт, то число дней было бы 48·18/20·120, а при 125 фунтах керосина оно должно быть 48·18·125/20·120. Такое число дней было бы при условии 4-х ламп; при 1 лампе оно было 48·18·125·4/20·120, а при 3 лампах оно должно быть:
x = 48·18·125·4/120·20·3 , или x = 48·18/20·125/120·4/3.
Правило. Чтобы получить искомое число, достаточно данное значение той же величины умножить последовательно на отношения данных значений остальных величин, беря отношение нового значения к прежнему, если величина прямо пропорциональна той, значение которой отыскивается, и прежнего значения к новому, когда величина обратно пропорциональна той, значение которой отыскивается.
Запоминать и безошибочно применять это правило было, видимо, не так уж просто. Обратим внимание на то, что к окончательной формуле предполагалось переходить «при достаточном навыке в решении задач на сложное тройное правило» двумя первыми способами. Стоит ли удивляться, что такое обучение было сложным и малополезным для учащихся, вызывало возражения у учителей и методистов. Так, например, в программе для I и II ступени семилетней школы единой трудовой школы 1921 года достаточно определенно записано: «Все же остальные «правила» представляют собою пережитки прошлого и чепуху даже не натуральную, а искусственную». И дальше: «Сложное тройное правило охватывает коллекцию искусственных задач, которые давно следует выбросить из школьного обихода вследствие их бессмысленности».
Столь резкая категоричность авторов программы, видимо, была связана не столько с самими задачами (их условия вполне можно было приблизить к опыту ребенка), сколько с малополезной методикой обучения школьников решению задач «по правилам». Приведенные выше фрагменты текста из учебника А.П. Киселева дают представление о методике изложения интересующего нас материала в дореволюционных учебниках. Заметим, что в переработанном в 1938 г. варианте учебника задачи на сложное тройное правило все же сохранились и разбору одной такой задачи – сразу на «семеричное» правило – посвящено чуть больше страницы учебника. Однако здесь рассматривается только «окончательная формула» и правило не формулируется. Очевидно, что это изменение не решило проблему использования задач рассматриваемого типа.
Лишь упростив методику использования такого рода задач, можно с пользой для дела сохранить в практике школы целый класс традиционных задач. Как мы увидим позже, многие из них могут иметь достаточно близкое к практике содержание, а проведение подготовительной работы при обучении решению задач на простое тройное правило и построение цепочки задач от простого к сложному повысят доступность задач этого типа. Правда, остается нерешенным вопрос: нужно ли обучать всех учащихся решению таких задач? Ответ на него зависит от того, в чем мы видим практическую ценность обучения решению текстовых задач – только в обучении решению встречающихся в практике задач или, кроме того, в развитии мышления школьников в процессе решения самых разнообразных, в том числе и искусственных, задач. Достижению второй цели вполне может способствовать использование в учебном процессе задач на сложное тройное правило. Разумеется, требование уметь решать такие задачи не может быть обязательным для всех учащихся, но участие в разборе их решение, тренировка в различении прямой и обратной пропорциональностей будут полезны каждому из них.
Что же касается использования задач на прямую и обратную пропорциональность в современных учебниках, то в учебнике Н.Я. Виленкина и др. прямой и обратной пропорциональным зависимостям отведен пункт 22. В нем содержится 18 задач. Причем, начиная с образцов в учебном тексте, соответствующие значения величин выражаются десятичными дробями или натуральными числами, отношения которых не выражаются целыми числами. Это затрудняет обучение. Кроме того треть задач – это задачи на проценты. При первоначальном обучении применению пропорций лучше разделить трудности: изучать пропорции отдельно от десятичных дробей и процентов. В следующих пунктах учебника время от времени встречаются задачи «на пропорцию», но их немного и большинство из них также легко решить без пропорций.
Таким образом, сами пропорции ненамного обогащают арсенал способов решения задач, используемых школьниками в процессе изучения всего курса математики 5–6 классов, а без нарастания сложности задачи на прямую и обратную пропорциональность не оказывают желаемого влияния на развитие школьников. На небольшом числе несложных однотипных задач не всегда удается достичь еще одной важной цели – научить школьников хорошо различать прямую и обратную пропорциональности.
Мы не утверждаем, что в былые времена задачи на прямую и обратную пропорциональность использовались намного эффективнее. Но все же более разнообразные задачи, включая задачи «на сложное тройное правило», оставляли учителю возможность для развития наиболее сильных учащихся. Вот почему мы рекомендуем учителям использовать в своей работе со всеми учащимися, особенно с наиболее подготовленными из них, эти теперь уже практически забытые задачи. Разумеется, мы упростим их включение в учебный процесс и внесем необходимые коррективы в методику обучения их решению. Мы вовсе не предлагаем учить всех школьников решению таких задач, как задача про керосиновые лампы, и именно таким способом, который был показан выше. Быть может, эту задачу надо сделать последней в цепочке задач, решая которые ученик сможет не только понимать решения, предлагаемые учителем, но и самостоятельно продвигаться вперед от простого к сложному. Такая работа была бы полезнее топтания на месте при решении однотипных задач одинаковой сложности, она позволила бы дать учащимся хорошую тренировку в различении прямой и обратной пропорциональности. С чего же надо начинать?
Во-первых, надо научить школьников решать пропорции. Основной способ их решения должен опираться на основное свойство пропорций. Когда эта цель будет достигнута, то можно показать использование свойств пропорций для упрощения их решения. Например, для решения пропорции
х/5 = 1/10 можно правую и левую части равенства умножить на 5 или поменять местами средние члены пропорции.
Во-вторых, нужно научить школьников выделять в условиях задач две величины, устанавливать вид зависимости между ними.
В-третьих, нужно научить их по условию задачи составлять пропорцию.
Тем самым учащиеся освоят минимальный круг умений, предусмотренный действующей программой по математике. Только после этого для подготовки к решению более сложных задач на пропорциональные величины (сложное тройное правило) нужно показать учащимся способ решения изученных задач вообще без пропорций. Пусть требуется решить задачу:
– Со скоростью 80 км/ч товарный поезд прошел 720 км. Какое расстояние пройдет за то же время пассажирский поезд, скорость которого 60 км/ч?
Путь пропорционален скорости при постоянном времени движения, значит, с уменьшением скорости в 80/60 раза путь уменьшится в 80/60 раза.
720 : 80/60 = 540 (км).
Таким же приемом решается задача, если скорость не уменьшилась, а увеличилась, если величины не прямо, а обратно пропорциональны. Разумеется, первому применению этого приема должны предшествовать вопросы, задаваемые при решении предыдущих задач: во сколько раз увеличилась (уменьшилась) эта величина? Первые ответы на них должны выражаться целыми числами, а потом дробями, всегда получаемыми делением большего значения величины на меньшее. Только после того как учащиеся научатся определять, как изменится значение второй величины при соответствующем изменении первой, можно переходить к решению задач сначала с двумя величинами (тройное правило), потом с тремя и четырьмя величинами (сложное тройное правило).