Предпрофильная подготовка по учебникам серии «МГУ-школе»

26.04.2017

Последние 10-15 лет школьное математическое образование в России претерпевает существенные изменения, связанные с проводимой Министерством образования и науки РФ реформой. Линия на урезание программы по математике и учебных часов, отводимых на ее изучение, привела к тому, о чем все эти годы предупреждало школьное и математическое сообщество: уровень математической подготовки учащихся упал, за ним стал снижаться и профессиональный уровень учителей. В последнее время стало ясно, что проводимая реформа не отвечает долгосрочным интересам России, снижает ее конкурентноспособность в изменяющемся мире.

В своих выступлениях Президент России говорил о том, что будущее России за высокими технологиями. Министр образования и науки РФ А. Фурсенко на праздновании Международного дня учителя 4 октября 2006 г. в Лужниках заявил, что Россия строит экономику, основанную на знаниях. На Международной конференции «Новая экономика, знание, технологии» 9 октября 2006 г. он заявил, что в настоящее время темпы экономического роста в стране неудовлетворительны, и во многом это связано с падением качества образования. При этом он отметил, что главная проблема образования заключается в том, что его качество падает, и падает сильно. (МК, 16.10.2006.)

Сказанного достаточно, чтобы опять вернуться к вопросу «Куда ведет реформа школы?»

Поскольку одним из достижений реформы школы считается создание профильной школы, то сначала надо сказать несколько слов именно о ней.

Профильная школа между прошлым и будущим

Прежде всего, напомним, что идее профильных классов в России около 100 лет. Первые программы для профильных классов публиковались и обсуждались в педагогической печати накануне первой мировой войны. Их реализация в школьной практике по понятным причинам была отложена. К идее профильной школы вернулись относительно недавно в процессе начавшейся реформы школы. Если 100 лет назад говорили о необходимости трех профилей, то теперь число профилей перевалило за десяток. Разнообразие профилей — вплоть до животноводческого — объясняется просто: на школу пытаются переложить задачу начального профессионального обучения, которую уже не решает система профессионального образования.

В пореформенной школе в профильном физико-математическом классе на основной курс математики, за который учитель и ученик отчитываются на экзамене, запланировано отводить не 8 (как прежде в физматклассе), а 6 недельных часов. А предпрофильные 8 – 9 классы первоначально вообще не предусматривались концепцией математического образования. Учебники для них одно время даже были исключены из федерального комплекта. При профильном обучении знания, выходящие за пределы основного курса, предполагалось добирать на курсах по выбору. Это что-то вроде факультатива, который к тому времени благополучно умер. Чтобы подчеркнуть отличие этих курсов от факультативов, для них придумали название: «элективные курсы», что и означает «курсы по выбору».

Не будем утомлять читателей перечислением тех недоуменных вопросов, которые возникали у учителей, преподавателей вузов, представителей науки в связи с проводимой реформой школы. Не будем приводить и аргументы противников именно такой реформы школы, какую мы имеем, — они достаточно широко известны. Подведем главный итог: реформа математического образования в России — в том виде, в каком она замышлялась — «не пошла». Школа не пошла за специально отобранными «представителями школьной общественности», которые почти единогласно поддержали в известном высоком собрании введение 12-летки. Временно эта идея отвергнута. Первоначальный вариант стандартов по математике провален в Государственной Думе, переработанный вариант стандартов введен в школьную практику приказом министра В.М. Филиппова и под него переработали учебники математики. Про этот стандарт В.А. Болотов сказал: «У нас стандарт, который мы не смогли отстоять против математического лобби. Не смогли вычистить». Новый вариант стандартов обещают ввести к 2010 г. Опять предполагают ввести 12-летку. А до тех пор профильные классы остаются в «подвешенном» состоянии — нормативная база для них не проработана.

Что же касается так называемых предпрофильных классов, то с ними неясностей еще больше. Школа долго и упорно не замечала «отмену» 8 – 9 классов с углубленным изучением математики и продолжала по отмененным министерством учебникам готовить детей к углубленному изучению математики в старших классах. Через несколько лет после опубликования концепции и начала собственно реформирования школьного математического образования в министерских кругах сделали шаг назад: заговорили о предпрофильных классах. Но что это такое и чем они отличаются от классов с углубленным изучением отдельных предметов, мало кто знает.

Как не потерять школьное математическое образование навсегда

Из сказанного выше ясно, что для сохранения уровня школьного математического образования в стране в период неопределенности с профильным и предпрофильным обучением, для сохранения уровня квалификации учителей математики необходимо следовать известному принципу «Не навреди!» То есть, насколько возможно, сохранять в преподавании математики уровень, сложившийся в школах — в общеобразовательных классах и классах с углубленным изучением математики. Пусть даже теперь обучение в этих классах будет названо универсальным и профильным соответственно.

Если раньше рассматривались, чаще всего, классы математические и физико-математические, то теперь появляется большее разнообразие в профилях и в требованиях к математическому аппарату, которым должны владеть учащиеся. Мы считаем, что математика едина, что нет отдельной математики для биолога, геолога или экономиста. То есть общая часть содержания курсов математики для этих классов близка к 100 % содержания программы для традиционных классов с углубленным изучением математики. А отличия в специальной подготовке или специальных требованиях, связанных с содержанием специализации, вполне могут быть обеспечены курсами по выбору, о которых пока еще тоже нет устоявшихся представлений. То есть имеющийся опыт работы в классах с углубленным изучением математики дает нам представление о том общем в содержании математической подготовки учащихся всех профилей, в которых предъявляются повышенные, по сравнению с общеобразовательной программой, требования к математической подготовке школьников. Этот уровень надо беречь, а мы уже начали его стремительно утрачивать.

Говоря о профильном и предпрофильном обучении, надо не забывать о той базе, на которой будет строиться это обучение. Надо подумать, по какой программе-минимум надо обучать учащихся до предпрофильного класса, чтобы это обучение не закрывало учащимся дорогу в предпрофильный и профильный классы. Об этом уже давно сказано в «Примерной программе по математике» 1918 года: «Программа-минимум строится не с тем, чтобы дать все знания и умения, необходимые для будущего работника — специалиста в области математики или будущего техника и т. д., но она проводится таким образом, чтобы мыслительные приемы и практические умения, достигаемые таким курсом-минимум, были бы такого рода, чтобы тем, кто выберет своей специальностью математику или технику, пришлось бы в соответствующем направлении доучиваться, а не переучиваться». Слова, выделенные нами в цитируемом тексте, актуальны и поныне. Преподавание математики в предпрофильных классах (и до них) надо строить так, чтобы в случае необходимости школьников требовалось чему-то доучивать, а не переучивать. Это означает, что понятийный аппарат учебников до «предпрофиля», в «предпрофиле» и в «профиле» должен быть максимально согласован.

Достижению такой цели могут способствовать учебники для 5-7 классов, хорошо согласованные как с учебниками для предпрофильных 8-9 классов, так и с учебниками для профильных 10-11 классов. Одним из вариантов решения проблемы может стать использование учебников «Арифметика, 5-6», «Алгебра, 7-9» «Алгебра и начала анализа, 10-11» серии «МГУ-школе» авторского коллектива академика С.М. Никольского.

Обучение до «предпрофиля» по учебникам «Арифметика, 5-6»

Если школа рассчитывает, что ее учащиеся 5 – 6 классов со временем должны составить основу профильных классов с углубленным изучением математики, то чтобы их не пришлось переучивать на старшей ступени, чтобы подготовить их понятийный аппарат, их мышление и речь для дальнейшего эффективного обучения математике и другим предметам, надо в 5 классе позаботиться об основательном повторении и систематизации изученного в начальной школе. По учебнику [1] это можно сделать при изучении первой главы. В этой главе особое внимание уделено использованию законов арифметических действий для рационализации вычислений, решению текстовых задач «на сложение и вычитание», «на умножение и деление», «на части» и т. п. арифметическими способами.

Учебникам для 5 – 6 классов возвращено название «Арифметика». Этим подчеркнута значимость основательного изучения арифметики до изучения систематических курсов алгебры и геометрии, а также уважение к традициям отечественного математического образования.

Арифметика — стержень курса математики для 5 – 6 классов и фундамент всей школьной математики и смежных дисциплин. Правильное её изучение приводит не только к умению вычислять, но и к умению логически мыслить. Поэтому необходимо основательное изучение арифметики каждым учеником школы независимо от её профиля и образования, которое он будет получать в дальнейшем.

Внутренняя логика арифметики диктует порядок изучения основного учебного материала. Существенной особенностью учебников является расположение учебного материала в естественной логической последовательности, позволяющей сделать изучение материала более глубоким, экономным и строгим. Из всех возможных схем изложения материала в учебниках выбрана та, которая отвечает научным представлениям о расширении понятия числа и в то же время учитывает возрастные особенности учащихся 5 – 6 классов, количество учебных часов, отведенных программой на курс математики в этих классах. Так, в частности, обыкновенные дроби изучаются в 5 классах в полном объеме до десятичных, которые изучаются в 6 классе; целые числа изучаются отдельно — до отрицательных дробей, что позволяет учащимся освоиться с идеей знака числа в более простой ситуации; после чего изучаются рациональные числа; наконец, остается освоить запись некоторых из рациональных чисел в виде десятичных дробей и научиться действовать с ними; такая схема изложения материала позволяет интенсифицировать процесс обучения.

Принципиальной особенностью учебников является то, что они не «натаскивают» ученика, они ориентированы не только на формирование навыка, а учат действовать осознано. Если традиционно в 5 – 6 классах обучение больше ориентировано на вопрос «как?», на действия по образцу (а иногда даже на вопрос «зачем?»), то в учебниках серии «МГУ-школе» большое внимание уделено вопросу «почему?», имеющему большой развивающий потенциал.

Учебники серии «МГУ-школе» ориентированы на более высокие, чем формирование вычислительных навыков, цели: на формирование теоретического мышления и простейших доказательных умений, вычислительных умений, опирающихся на понимание сути вопроса, а не на схожесть алгоритмов вычислений, на развитие мышления и речи учащихся в процессе изучения арифметики и решения текстовых задач.

Известно, что спорам о необходимости обоснованного изложения арифметического материала не одна сотня лет. Ещё Л.Эйлер писал: «Если арифметика без оснований и доказательств показываться будет, то оная не довольна ни к разрешению всех случаев, ни к поощрению человеческого разума, о чем наипаче надлежало бы стараться». По его мнению, в арифметике надо учеников «приучать праведное основание и причину видеть», и через это они «приобвыкнут к основательному размышлению».

В учебниках вводятся элементы доказательств некоторых утверждений, при этом доказательства проводятся на конкретных примерах. Так, в частности в учебнике для 5-го класса проводится доказательство признаков делимости натуральных чисел и коммутативности сложения дробей.

Для решения текстовых задач, в основном, используются арифметические способы, применение уравнений к решению таких задач отнесено на вторую половину 6 класса. Основной целью решения текстовых задач арифметическими способами является развитие умения делать логически правильные выводы на основе анализа имеющихся данных задачи. Авторы считают, что это пока наиболее эффективный способ развития логического мышления и речи учащихся, что, в конечном счете, повышает эффективность обучения.

Ведущей идеей учебников является идея формирования понятия числа, как длины отрезка, а точнее — как координаты произвольной точки координатной оси.

В учебниках уделено достаточно внимания алгебраическому и геометрическому материалу, который принято изучать в 5 – 6 классах. Но этот материал расположен так, что он не мешает развитию арифметических идей.

В учебниках имеются нестандартные развивающие задачи, старинные задачи. Это позволяет значительно расширить возможности для развития мышления и речи учащихся, разнообразить приемы решения задач, расширить их представления о способах решения задач в далекие времена, может способствовать развитию школьников, формированию у них интереса к решению задач и к самой математике. Работа по учебникам [1], [2] способствует улучшению успехов учащихся в решении олимпиадных задач.

Обучение в «предпрофиле» по учебникам «Алгебра, 7–9»

Учебники [3] – [5] содержат весь материал программ, как для классов с обычной программой по математике, так и для классов с углубленным изучением математики, поэтому их можно использовать и в тех, и в других классах.

В учебниках сохранена систематичность изложения, но уровень изложения материала учитель может менять в зависимости от уровня подготовки конкретного класса и целей обучения.

Для учебников алгебры возможны два способа распределения учебного материала по годам обучения. Первый — в каждом классе давать понемножку буквенных выражений, уравнений, неравенств, функций и т. п., так как школьникам якобы скучно долго изучать один и тот же вопрос. При использовании такого способа распределения учебного материала страдают научная аккуратность и строгость изложения, появляются излишний концентризм, порочные логические круги, недомолвки и несуразности, что в первую очередь сказывается на обучении и воспитании наиболее сильных учащихся.

Так происходит, например, когда действительные числа рассматриваются после изучения тождеств, функций и их графиков, когда графический способ решения уравнений, опирающийся на непрерывность функции, применяется для квадратичной функции до введения действительных чисел. Реализация этого первого подхода к построению курса алгебры в процессе обучения чаще ориентированы на формирование навыков.

Но есть и второй способ распределения учебного материала по годам обучения, основанный на его внутренней логике. Он диктует последовательность появления в учебниках тех или иных вопросов, позволяет в каждом учебном году ставить свою главную научную задачу. Этот второй способ, принятый в учебниках серии «МГУ–школе», позволяет излагать материал в строгой логической последовательности без ненужных повторов и недомолвок, более строго, позволяет сделать изложение даже сложных вопросов ясным и доступным. Учебники обеспечивают системную подготовку по предмету, требует меньше, чем обычно, времени, ориентируют процесс обучения на формирование осознанных умений. Как показывает опыт работы по ним, интерес к предмету возникает у учащихся не от многообразия тем, а от того, что они имеют возможность «вжиться» в каждый элемент содержания, постепенно доводя изучаемый материал до полного понимания.

В учебниках [3] – [5] изложение учебного материала логически более стройное, без ненужного концентризма. Это позволяет каждый раз сосредотачиваться на одном вопросе и поэтому изучить его более глубоко и в то же время более экономно. В учебниках алгебры серии «МГУ – школе» материал расположен так, что отдельные темы изучаются один раз и в полном объеме, чтобы потом к ним не возвращаться в теоретической части учебника. Дальнейшее закрепление и повторение, а иногда и развитие изученного ведется через линию упражнений — через задания для повторения, имеющиеся в конце каждой главы. Изложение материала связанное — подряд излагаются большие темы; нет чересполосицы мелких вопросов, нарушающих логику изложения крупных тем.

Курс алгебры в 7 классе начинается темой «Действительные числа», подводящий итог предшествующему изучению арифметики и в то же время закладывающей основы для дальнейшего изучения математики.

Этот материал должен сформировать у учащихся представление о действительном числе, как о длине отрезка. Это дает возможность легко объяснить, например, что график линейной функции есть прямая и дает возможность в дальнейшем значительно упростить рассуждения, связанные с построением графиков квадратичной и других функций, с определением квадратного корня, т.к. числовая ось перестала быть «дырявой» — каждой её точке соответствует действительное число.

При таком построении  курса  изучение алгебраических выражений и функционального материала будет иметь полноценный научный фундамент. Раннее введение действительных чисел в школьных учебниках предпринимается впервые, доступность сведений о действительных числах в учебнике подтверждена многократно, в том числе и в многолетнем авторском эксперименте.

Алгебра играет в математике большую роль, теперь существует даже тенденция «алгебраизации» математики. Наряду с фундаментальной ролью внутри математики алгебра имеет и прикладное значение. Достаточно отметить её выходы в физику, кибернетику, математическую экономику. Поэтому изучение алгебры в школе является важной частью фундамента естественнонаучного образования.

Школьный курс алгебры для 7 – 9 классов на самом деле лишь наполовину является алгеброй, а другая его половина приходится на вопросы математического анализа, изучаемые традиционно в курсе алгебры (длина отрезка, действительные числа, функции). Поэтому в школьном курсе алгебры желательно различать эти составляющие и, во всяком случае, излагать алгебраические вопросы алгебраическими методами. Например, к буквенным выражениям часто подходят как к функциям многих переменных (функциональный подход), хотя естественнее говорить о них как о множестве объектов, подчиненных явно выписанным законам (алгебраический подход).

Поэтому при изучении темы «Алгебраические выражения» авторы считают необходимым оставаться на чисто алгебраической точке зрения. Мы не смотрим на буквенное выражение, как на функцию от числовых значений входящих в него букв. Одночлен определяется как произведение некоторых чисел и букв, многочлен – как сумма одночленов, алгебраическая дробь как отношение многочлена к ненулевому многочлену. Приводятся правила, которым они подчинены. Например, в одночлене можно менять местами множители, в многочлене можно приводить подобные члены, алгебраическую дробь можно сократить на ненулевой многочлен и т.д.

В учебниках [3] – [5] достаточно внимания уделено решению уравнений, неравенств и их систем, построению графиков элементарных функций, решению текстовых задач с помощью уравнений, а также решению задач в общем виде, что необходимо для изучения курсов геометрии и физики.

Обучение в «профиле» по учебникам «Алгебра и начала анализа, 10–11»

Учебники [6], [7] были написаны в то время, когда было две программы: 1) для обычных классов и 2) для классов с углубленным изучением математики; они содержат материал обеих этих программ. Сейчас министерством образования и науки РФ утверждены стандарты среднего (полного) общего образования 2-х уровней: 1) базисный уровень и 2) профильный уровень.

Учебники [6], [7] содержат весь материал, включенный в оба эти стандарта. Таким образом, учебники могут быть использованы в классах любых профилей.

Авторы считают принципиально важным иметь общий учебник, как для базового уровня, так и для профильного уровня. Это позволяет учащимся переходить, без особых трудностей из класса с одним профилем в класс с другим профилем, а учителю, работающему в классах разных профилей, ведя обучение по одному учебнику, в рамках одной авторской концепции, лишь менять в зависимости от класса глубину погружения в теоретические и технические подробности и пропускать пункты учебника и задачи, предназначенные для другого профиля. При этом у учителя остается возможность реально осуществлять уровневую дифференциацию обучения, а у учащегося возможность обучаться на том уровне, который соответствует его жизненным планам.

В учебниках [6], [7] приведены различные варианты тематического планирования.

Учебник для 10 класса включает следующий материал: действительные числа, рациональные уравнения и неравенства, корень степени n, степень положительного числа, логарифмы, основные формулы тригонометрии, и тригонометрические функции, показательные логарифмические и тригонометрические уравнения и неравенства.

Учебник для 10 класса охватывает почти весь материал по алгебре и начала анализа, необходимый для поступления в вузы со средним уровнем требований по математике.

Учебник для 11 класса включает все вопросы программы, связанные с исследованием функций и построением их графиков, с производной и первообразной и общими методами решения уравнений, неравенств и их систем. Здесь углубляются знания учащихся по ранее изученным вопросам до уровня, необходимого для поступления в вузы, предъявляющим повышенные требования к математической подготовке школьников.

Как показывает практика, изучение способов решения сложных уравнений, неравенств и систем с помощью неравносильных переходов, описанных в главе II учебника [7], способствует улучшению технической подготовки учащихся к выпускному экзамену, ЕГЭ, а также к конкурсным экзаменам.

Нацеленность учебников на подготовку учащихся к поступлению в вузы подчеркнута тем, что оба учебника завершаются разделами Задания для повторения, в которые включены задачи из выпускных школьных экзаменов, а также из конкурсных экзаменов прошлых лет с указанием вузов, в которых предлагались эти задания.

Литература

[1] Арифметика. Учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. – М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 6-е изд. – 2006 (учебник издан в 4-х частях).

[2] Арифметика. Учебник для 6 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. – М.: Просвещение, 4-е изд., дораб. – 2006.

[3] Алгебра. Учебник для 7 кл. общеобразовательных учреждений /С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. – М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 5-е изд. – 2006.

[4] Алгебра. Учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений /С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. – М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 3-е изд. – 2006.

[5] Алгебра. Учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений. /С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин.  – М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 3-е изд. – 2006.

[6] Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразоват. учреждений /С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин.  М.: Просвещение, 5-е изд. дополненное – 2006. – 432 с.

[7] Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразоват. учреждений / С.М.Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. – М.: Просвещение, 5-е изд.– 2006.

Примечание. Информация об учебниках (рецензии, отзывы учителей, примерное тематическое планирование), дидактических материалах и пр. см. на сайте «Математика. Школа. Будущее» (www.shevkin.ru).

Заметки на полях «Комментариев» А.Г.Мордковича к моей статье «Сорок три»

26.04.2017

Ниже приведен полный текст А.Г. Мордковича, требующий комментариев. Он был опубликован в журнале «Вестник учебной и детской литературы» (№ 3, 2006). Чтобы исправить пару оплошностей, допущенных мною в обзоре его учебников, вовсе не требовался столь пространный текст. Хватило бы нескольких строчек, но цель у него другая. Ему нужно бросить тень на обзор, в котором указано на математические и методические неточности, им допущенные, да так, чтобы представить автора обзора непорядочным человеком, замечания которого злонамеренны, а значит, не достойны внимания читателей журнала. Ему нужно переключить внимание читателей с моих критических высказываний на обсуждение каких угодно проблем. Наши комментарии даны после инициалов А. Ш. и выделены шрифтом.

А.Г. Мордкович

(доктор педагогических наук, профессор, Заслуженный деятель науки РФ, лауреат Премии Президента РФ в области образования, зав. кафедрой математического анализа Московского городского педагогического университета)

Наука или учебный предмет.
Комментарии к статье А.В. Шевкина «Сорок три»

В журнале «Вестник учебной и детской литературы» (№ 1, 2006) помещена статья А.В.Шевкина «Сорок три. Обзор федерального перечня школьных учебников по математике на 2006/07 учебный год». «Наш обзор, — пишет автор, —  является навигатором в море школьных учебников. С его помощью учитель может узнать, какие учебники рекомендованы министерством и чем они отличаются друг от друга. А если учителя заинтересует какой-то учебник, то надо разыскать его и все полагающееся к нему дидактическое и методическое обеспечение. Изучить, вникнув во все детали».

 К сожалению, сам автор статьи не всегда следует своему же совету «изучить, вникнув во все детали». Об этом, в частности, свидетельствует колонка статьи, посвященная «анализу» моих учебников «Алгебра 7-9», что вынуждает меня сделать некоторые комментарии.

Из статьи А.В.Шевкина следует, что самые плохие учебники – это учебники А.Г.Мордковича. Странно, что педагогическая общественность до сих пор этого не понимает: тиражи моих учебников на порядок больше тиражей учебников А.В.Шевкина, а члены моего авторского коллектива за их создание удостоены Премии Президента РФ в области образования. Вот и пытается автор обзора сбалансировать ситуацию на книжном рынке.

А. Ш. Ничего подобного. Есть учебники похуже, и их авторы тоже лауреаты и победители конкурсов. Одно другого не исключает! А.Г. убеждает читателя в хорошем качестве своих учебников, упоминая большие тиражи и награды, полагая, видимо, что читатель так наивен, что не знает о зависимости тиражей учебников от пробивных способностей автора и его издателя, от их умения заинтересовать чиновников на местах, от того, на какую аудиторию рассчитаны учебники. Неужели «попса» лучше классической музыки только потому, что у последней аудитория не так многочисленна.

Мы пишем свои учебники, стараясь повышать уровень математической подготовки школьников и квалификацию учителей, стараясь сохранить достойное образование в стране. А.Г. пишет в расчете на более массовую аудиторию, которая удовлетворится правдоподобными рассуждениями и симуляцией доказательств, «водой» в учебнике и прочими изобретениями А.Г. Является ли коммерческий успех учебников А.Г. доказательством состоятельности его концепции — это вопрос спорный. А фраза о сбалансировании книжного рынка — ключевая фраза всей его статьи. Он даже не может предположить, что меня действительно волнует проблема обучения школьников по некачественным учебникам, проблема снижения уровня образования в стране. А книжный рынок сбалансируется сам собой без моего вмешательства, когда поймет, какие результаты получаются от работы по тому или иному учебнику. Рынок уже реагирует на эти результаты. Возможно, это и вызывает беспокойство А.Г.

1) А.В. Шевкин пишет: «Автор (имеется в виду А.Г.Мордкович) излишне свободно обращается с понятиями. Они зачастую сначала используются, а потом определяются. Это не неточность, это концепция…. Сначала появляется линейная функция (как частный вид линейного уравнения), потом функция y = x² и др., после этого определяется понятие «функция», а в 9 классе это понятие еще раз уточняется». Автора обзора, «привыкшего к аккуратному и точному изложению материала в учебнике математики», явно раздражают некоторые вольности речи в моих учебниках, отход от законов формальной логики. Довольно странная позиция  для учителя математики с более чем 30-летним стажем, каковым является автор обзора. Попробуем объясниться.

А. Ш. Чего же здесь странного, если автор обзора привык к аккуратному и точному изложению материала и не находит его в учебнике уважаемого А.Г.Мордковича? Здесь бы остановиться и сказать, в чем автор обзора ошибся. Вместо этого А.Г. читает лекцию о своей концепции учебников, против которой я не возражаю, потому что это его система взглядов.

Лет 10-15 назад считалось, что главное в школьном обучении математике — повысить так называемую научность, что в конечном итоге свелось к перекосу в сторону формализма и схоластики, к бессмысленному заучиванию формул. Когда педагогическая общественность начала это осознавать, стало крепнуть (хотя и не без борьбы) представление о том, что школьная математика не наука, а учебный предмет со всеми вытекающими отсюда последствиями. В учебном предмете не обязательно соблюдать законы математики как науки, зачастую более важны законы педагогики и особенно психологии, постулаты теорий развивающего обучения.

А. Ш. Это слабое место в концепции А.Г. Мне не известен ни один специалист, который считал бы школьную математику наукой, а не учебным предметом. С кем воюет А.Г., доказывая обратное, я не знаю. Но опираясь на этот постулат, он разрешает себе писать учебники вне правил логики, даже в тех случаях, когда логику легко сохранить, что всегда предпочтительнее.

Самые трудные вопросы для учителя математики — как и когда должен он вводить на уроке то или иное сложное математическое понятие; как правильно выбрать уровень строгости изложения того или иного материала.

Начнем с определений. Если основная задача учителя — обучение, то он имеет право давать формальное определение любого понятия тогда, когда сочтет нужным. Если основная задача учителя — развитие, то следует продумать выбор места и времени (стратегия) и этапы постепенного подхода к формальному определению на основе предварительного изучения понятия на более простых уровнях (тактика). Таковых уровней в математике можно назвать три:

– наглядно-интуитивный, когда новое понятие вводится с опорой на интуитивные или образные представления учащихся;

– рабочий (описательный), когда от учащегося требуется уметь отвечать не на вопрос «что такое», а на вопрос «как ты понимаешь»;

– формальный.

А. Ш. А.Г. с таким пафосом противопоставляет основные задачи учителя — обучение и развитие, будто не догадывается, что возможна куда более традиционная формулировка этой основной задачи: развитие в процессе обучения (без умаления целей обучения). Это у него не случайная оговорка, это центральный пункт его концепции, позволяющий ему пренебрегать математической точностью при изложении учебного материала в учебнике математики. Я же не против. Поэтому, высказывая свою точку зрения, в обзоре так и пишу: «Пусть о важности (или пустячности) наших замечаний судит читатель — в меру своего согласия (или несогласия) с нашими требованиями к учебнику математики».

Стратегия введения определений сложных математических понятий в наших учебниках базируется на положении о том, что выходить на формальный уровень следует при выполнении двух условий:

– если у учащихся накопился достаточный опыт для адекватного восприятия вводимого понятия, причем опыт по двум направлениям — вербальный — опыт полноценного понимания всех слов, содержащихся в определении, — и генетический —  опыт использования понятия на наглядно-интуитивном и рабочем уровнях;

– если у учащихся появилась потребность в формальном определении понятия.

То или иное понятие математики практически всегда проходило в своем становлении три указанные выше стадии (наглядное представление, рабочий уровень восприятия, формальное определение), причем переход с уровня на уровень зачастую был весьма длительным по времени и болезненным. Не учитывать этого нельзя, ибо то, что в муках рождалось в истории математики, будет мучительным и для сегодняшних детей. Надо дать им время пережить это, не спеша переходить с уровня на уровень. Поэтому, в частности, существенной ошибкой, на наш взгляд, является традиция предлагать определение функции не подготовленным для этого учащимся 7-го класса. В наших учебниках это понятие «созревает» с 7-го по 9-й класс. Поначалу, пока изучаются простейшие функции (линейная, обратная пропорциональность, квадратичная и т.д. — в нашей программе это материал 7-8 классов), следует отказаться от формального определения функции и ограничиться описанием, не требующим заучивания. Ничего страшного в этом нет, о чем свидетельствует и история математики. Многие математические теории строились, развивались, обогащались все новыми и новыми фактами и приложениями, несмотря на отсутствие определения основного понятия этой теории. Можно строить теорию, даже достаточно строгую, и при отсутствии строгого определения исходного понятия —  во многих случаях это оправданно с методической точки зрения.

Итак, в отличие от сложившихся традиций мы не вводим в 7-м классе определение функции, хотя работаем с функциями и в 7-м, и в 8-м классе очень много. И только в 9-м классе, проанализировав накопленный учащимися опыт в использовании понятия функции и в работе со свойствами функции в курсе алгебры 7-го и 8-го классов, мы убеждаем их в том, что у них появилась и потребность в формальном определении понятия функции.

А.В.Шевкин правильно заметил, что в моем учебнике для 7-го класса сначала появляется линейная функция, потом функция y = ax² и др. Но он абсолютно неправ, когда пишет, что «после этого определяется понятие «функция», а в 9 классе это понятие еще раз уточняется». Нет никакого определения функции в моих учебниках ни в 7-м, ни в 8-м классе, оно дается один раз – в 9-м классе, это именно определение, а не «уточнение».

А. Ш. Вот здесь А.Г. абсолютно прав. Сокращая и обобщая более полный текст обзора, я допустил совсем не трагическую оплошность, исправление которой не требует такого объема текста, который А.Г. выплескивает на читателя. А все почему? Ему нужно показать неубедительность моих замечаний по его учебникам, а других слабых мест в моей критике нет. Между тем, в учебниках А.Г. для 7 и 8 класса хоть и нет «общего» определения понятия «функция», но есть определения двух функций: «Этот частный вид линейного уравнения (речь идет об уравнении y = kx + m) будем называть  линейной функцией» (7 класс, с. 113). «Функцию y = ax² + bx + c, где a, b, c — произвольные числа называют  квадратичной функцией» (8 класс, с. 70). В учебнике для 8 класса А.Г. определяет возрастающую и убывающую функции (с. 215). Мне и в голову не могло прийти, что, не сказав, что такое «функция», можно и нужно давать определения возрастающей и убывающей функции. Возможно, я решил, что проглядел находящееся где-то в книге определение. Не перепроверил — и ошибся. Нужно согласиться с А.Г.Мордковичем, что моя фраза «после этого определяется понятие «функция», а в 9 классе это понятие еще раз уточняется» неточная. Точнее было бы сказать так: «после этого понятие «функция» используется, а в 9 классе это понятие, наконец, определяется».

Что касается свойств функций, то следует подчеркнуть, что фактически весь 7-й класс мы работаем с учащимися на наглядно-интуитивном уровне, весь 8-й класс — на рабочем уровне и только в 9-м классе выходим на формальный уровень.

Новый математический термин и новое обозначение должны появляться мотивированно, только тогда, когда в них возникает необходимость (в первую очередь в связи с появлением новой математической модели). Немотивированное введение нового термина провоцирует запоминание без понимания (и, следовательно, без развития).

А. Ш. Можно подумать, что в своем обзоре я призывал к немотивированному введению новых терминов. Кстати, поймет ли ученик термин «возрастающая функция» и как это повлияет на развитие ученика, если ему в угоду концепции А.Г. не сказали, что такое «функция» — это еще вопрос. А мотивировкой введения новых терминов А.Г. так увлечен, что в его введениях к учебникам написал: «Именно потому из традиционных для любого обучения вопросов что? как? зачем? в данном учебнике на первое место ставится вопрос зачем?» Удивительно, но главный вопрос для российской ментальности — вопрос почему? — оказался у А.Г. нетрадиционным для обучения. Это следствие его надуманной психолого-педагогической концепции школьного учебника математики.

Несколько слов о выборе уровня строгости в учебном предмете, где, в отличие от науки, мы не обязаны все доказывать. Более того, в ряде случаев правдоподобные рассуждения или рассуждения, опирающиеся на графические модели, на интуицию, имеют для школьников более весомую развивающую и гуманитарную ценность, чем формальные доказательства. В нашем курсе все, что входит в программу, что имеет воспитательную ценность и доступно учащимся, доказывается. Если формальные доказательства мало поучительны и схоластичны, они заменяются правдоподобными рассуждениями. Наше кредо: с одной стороны, меньше схоластики, меньше формализма, меньше “жестких моделей”, меньше опоры на левое полушарие мозга; с другой стороны, больше геометрических иллюстраций, больше наглядности, больше правдоподобных рассуждений, больше “мягких моделей”, больше опоры на правое полушарие мозга. Преподавать в постоянном режиме жесткого моделирования — легко, использовать в преподавании режим мягкого моделирования — трудно; первый режим — удел ремесленников от педагогики, второй режим — удел творцов.

А. Ш. Если творец не умеет формальные доказательства сделать поучительными и развивающими мышление ученика там, где это сделать легко, если он заменяет их правдоподобными рассуждениями и симулирует доказательства, то он вредит образованию детей и уровню собственной квалификации. В этом надо отдавать себе отчет.

В школьном математическом образовании сегодня можно выделить три проблемы:  школьников не приучают к самостоятельному добыванию информации, к чтению учебной литературы; выбирая между обучением и развитием, отдают предпочтение более легкому — обучению;  увлекаясь формальной стороной дела, гипертрофированно занимаются развитием только левого полушария мозга учащегося. Мои учебники нацелены на решение этих проблем: доступное и подробное изложение материала приучает школьников к чтению учебной литературы и к самостоятельному добыванию информации, ориентировано на развитие; активное использование наглядности и опоры на интуицию способствует гармоничному развитию обоих полушарий мозга учащегося.

А. Ш. В статье, посвященной уточнению всего лишь двух фраз в моем обзоре, А.Г. так пафосно вступается за разностороннее развитие учащихся, что у читателя может сложится впечатление, что автор обзора  как раз и является сторонником повышении «так называемой научности» во вред развитию учащихся. А это не так.

 2) А.В.Шевкин пишет: «По математическому содержанию они (имеются в виду учебники А.Г.Мордковича) мало отличаются от учебников под ред . С.А.Теляковского и Ш.А.Алимова и др.». Интересно, а какие учебники «по математическому содержанию» сильно отличаются от упомянутых старых учебников, коль скоро все они пишутся под одну и ту же программу? Почему именно моим учебникам брошен этот упрек? 

А. Ш. Какое «праведное» возмущение! А.Г. делает вид, что не понимает о чем идет речь. А в моей статье показано, что в учебниках А.Г., в отличие от учебников упомянутых авторов, существенно страдает логика изложения материала там, где ее легко было соблюсти. Ведь математическое содержание учебников, это не только список изучаемых вопросов. Математик А.Г. делает вид, что последовательность изложения этих вопросов в учебнике математики не важна. А критиковал я именно негодную последовательность развития материала в его учебниках, а не список изучаемых тем.

3) А.В.Шевкин пишет: «Остается загадкой, почему автор (опять-таки, имеется в виду А.Г.Мордкович) в каждом учебнике сохраняет предисловие с весьма недружественными заявлениями об учебниках других авторов, математическая сторона в которых не так уязвима для критики. В прошлом обзоре мы писали об этом. Повторим только изречение Г.Форда: «Не ругайте конкурентов, совершенствуйте собственную продукцию».

Действительно, в изданиях моих учебников 1997- 2003 годов в Предисловии для учителя была фраза: «Не секрет, что нынешние учебники школьники не читают, редко читают их и учителя». Вот и все «весьма недружественные заявления» (признаю, что фраза неудачна, хотя и недалека от истины). Начиная с издания 2004 года этой фразы в моих учебниках нет, стало быть, нет ее и в учебниках, включенных в федеральный перечень, а потому неуместно упоминание о ней в обзоре, посвященном федеральному перечню на 2006/07 учебный год.

А. Ш. Вот здесь А.Г. прав. В 1997 г. в газете «Первое сентября» было опубликовано интервью с ним «Учебники бывают холодными и теплыми». Там были такие удивительные отзывы об учебниках его предшественников: «До сих пор все учебники были написаны так, что читать их было нельзя. А если нельзя читать, то невозможно было обсуждать». Там же он говорил о своих учебниках: «Почему же так много теории? Да потому, что у меня 40 % информации, а 60 % — «воды», то есть рассуждений об изучаемом, об особенностях математического языка, различные отступления, замечания и т.д. Учебник написан нормальным человеческим языком, его можно читать в отличие от ныне существующих, где нет нормального языка, а есть свод инструкций.»

Ничто не предвещало изменения позиции А.Г. в этом вопросе, да она и не изменилась. Помните: «фраза неудачна, хотя и недалека от истины»? Может быть, поэтому я не обратил внимание на то, что упомянутую выше фразу он действительно снял.

4) Говоря об учебниках К.С.Муравина и др., А.В.Шевкин отмечает, что они «строятся с опорой на функциональный подход, … отдают дань математическому языку и математическим моделям…. Упражнения разделены по уровням сложности». Я с этим согласен. Но почему автор обзора не заметил (не захотел заметить?), что математический язык и математическая модель – ключевые слова в моих учебниках, его идейный стержень? Почему автор обзора не отметил (не захотел отметить?) основное отличие моих учебников от остальных — приоритет функционально-графической линии. Почему, наконец, он не подчеркнул (не захотел подчеркнуть?), что в каждом параграфе наших задачников имеются упражнения четырех уровней трудности и что в  каждом блоке однотипных упражнений четко выдерживается линия постепенного нарастания трудности? Вероятные ответы на эти вопросы – в конце статьи.

А. Ш. Как А.Г. нагнетает напряженность: не захотел заметить? не захотел отметить? не захотел подчеркнуть? Он во всем видит мою злонамеренность, а объясняется все очень просто. «Вода» про математические модели и математический язык в исполнении А.Г. требовала более подробного разговора, а в отведенном объеме мне хотелось сделать более важные замечания, которые автор мог бы учесть, если он хотел бы совершенствовать свои учебники.

5) Из статьи А.В.Шевкина следует, что лучшие учебники – это учебники серии «МГУ – школе» С.М.Никольского и др., которые  «начинают единственную завершенную «сквозную» линию учебников для 5-11 классов, написанную одним авторским коллективом. Ее отличает большое внимание к последовательности и обоснованности изложения материала… Авторы учебников внимательно относятся к вопросу «Почему?»… и т.п. (далее следует много хвалебных слов).

А.В.Шевкин лукавит, когда говорит о «единственной завершенной «сквозной» линии учебников для 5-11 классов, написанной одним авторским коллективом». Авторский коллектив под моим руководством имеет свою сквозную линию учебников для 5-11 классов, причем полностью оснащенную разнообразным методическим обеспечением — книги для учителя, контрольные и самостоятельные работы, рабочие тетради, тесты (кстати, я не уверен, что все это есть в той «единственной сквозной линии», о которой говорит А.В.Шевкин).

А. Ш. Здесь вышел просто конфуз. Я пишу «одним авторским коллективом» в смысле «одни и те же авторы» (у него в каждом комплекте новые соавторы), а А.Г. возмущается, что его коллектив тоже написал «сквозную» линию. Разве он меня опроверг?

Завершая свою статью, повторю изречение Г.Форда, которое было приведено в обзоре  А.В.Шевкина и упомянуто выше: «Не ругайте конкурентов, совершенствуйте собственную продукцию».

А. Ш. Завершая свои заметки на полях «Комментариев» А.Г. Мордковича к моей статье, отмечу, что в стране делается слишком много для подрыва школьного математического образования, плохое качество которого скажется очень сильно на многих сторонах нашей жизни. Достойно сожаления, что математик А.Г. Мордкович не радеет за сохранение традиционных ценностей школьного математического образования, оберегая свои учебники от критики всеми доступными ему способами. Бог ему судья!

 

Ох, уж эти средние…

26.04.2017

Андрей Тоом,

профессор факультета статистики Федеральный Университет Пернамбуко Бразилия

E-mail: toom@de.ufpe.br, andretoom@yahoo.com

 Web site: http://www.de.ufpe.br/~toom/

 

В последние годы я много ездил по разным странам и всюду рекламировал русское математическое образование. Особенно я хвалил обилие текстовых задач в русской школе и то, как тщательно эти задачи сформулированы. В общем, так оно и есть, но бывают досадные исключения. Вот об одном из них я хочу рассказать. Посмотрите на следующую задачу:

 

1. Директор предприятия часто ведёт международные переговоры по телефону. Одна минута разговора с Белоруссией стоит 3 р. 30 к., с Францией – 13 р. 90 к., с Китаем – 15 р. 50 к. Сколько стоили его переговоры, если состоялось 5 разговоров с Белоруссией, 3 разговора с Францией и 2 разговора с Китаем? Продолжительность каждого разговора в среднем 3 мин.

 

Эта задача стала бы вполне хорошей, если бы из неё выкинули слова «в среднем». Однако, как говорится, из песни слова не выкинешь. Эта задача включена под номером 15 на стр. 16 в учебник математики для 4 класса, часть вторая, написанный М.И. Моро, М.А. Бантовой, Г.В. Бельтюковой, С.В. Степановой, С.И. Волковой, изданный в Москве в издательстве «Просвещение» в 2004 году и рекомендованный Министерством образования Российской Федерации. Как видите, солидное издание, и выкидывать из него слова по своему усмотрению мы не имеем никакого права. Раз ученики четвёртого класса должны решать эту задачу, давайте и мы попытаемся её решить.

 

Прежде всего, мы должны уяснить себе, что означает фраза «Продолжительность каждого разговора в среднем 3 мин.» На это любой статистик вам скажет, что надо сложить продолжительности всех разговоров за какой-то период времени и поделить эту сумму на число разговоров. Результат этого деления и составит среднюю продолжительность. Однако, любой статистик добавит, что те или иные конкретные разговоры могут иметь продолжительность резко отличающуюся от средней. Так что знание средней продолжительности не говорит нам ничего о продолжительности тех конкретных разговоров, о которых говорится в задаче. Например, мы можем предположить, что директор – человек экономный и в течение года тратил на каждый разговор ровно минуту, только вот те конкретные десять разговоров, о которых идёт речь в задаче, были настолько важны, что он потратил час на каждый из них. При этом средняя продолжительность одного разговора будет равняться трём минутам, если общее число разговоров равнялось 295. (Проверьте!) Общая стоимость перечисленныx в условии разговоров в этом случае составит астрономическую сумму в 5352 р.

 

А можно предположить, что те десять разговоров, которые названы в условии – как раз самые короткие, типа «Привет! – Привет! – Как дела? – Всё нормально. – Ну, будь здоров. – Пока!» Пусть каждый из этих разговоров длился всего пол-минуты, а все остальные длились по четыре минуты. Тогда, если всего разговоров было 35, средняя продолжительность одного – ровно три минуты, а вот суммарная стоимость перечисленных выше разговоров – всего 44 р. 60 к. Делая разные предположения, совместимые с условием задачи, можно получить и много других ответов. Какой из них верный – неизвестно. А может быть, все верные.

 

Попробуем истолковать условие по-другому: предположим, что фраза «продолжительность каждого разговора в среднем» означает среднюю продолжительность именно тех разговоров, которые упомянуты в задаче. Однако, и в этом случае задача неразрешима, потому что продолжительности конкретных разговоров могут сильно отличаться друг от друга. Например, вполне могло быть так, что директор, в целях экономии, говорил с Францией и Китаем каждый раз только одну минуту, а с Белоруссией позволил себе поболтать – говорил каждый раз пять минут. В этом случае продолжительность каждого разговора в среднем – 3 мин, а общая стоимость разговоров – 155 р. 20 к. Однако, возможно, что по каким-то причинам каждый разговор с Францией и Китаем длился пять минут, а с Белоруссией – только одну минуту. В этом случае продолжительность каждого разговора в среднем тоже 3 мин., но стоимость его переговоров выше – 380 р. Какой из этих ответов правильный – неизвестно. А можно получить и много других ответов. Так чего же от нас хотят авторы и министерство? Не знаю. Я, профессор факультета статистики, не могу решить эту задачу. А десятилетние дети могут? Ясно, что в этом случае и авторы и рецензенты отнеслись безответственно к своему делу.

 

Впрочем, может быть эта странная задача – только досадная случайность? Оказывается, нет. Вот задача 132 на стр. 26 той же книги:

 

2. Два пловца спрыгнули одновременно с лодки и поплыли по реке в противоположных направлениях: первый со средней скоростью 90 м/мин, второй – 40 м/мин. Сколько метров проплывёт второй пловец, когда первый проплывёт 270 м? Сделай чертёж и реши задачу, обратную данной. Составь и реши обратную задачу.

 

Ну, во–первых, последние две строчки повторяют друг друга. Это к вопросу о внимательности авторов и рецензентов. Теперь о главном: что такое средняя скорость? Ну, это каждый знает: средняя скорость – это весь путь, делённый на время затраченное, чтобы его проделать. Отсюда следует очень важный вывод: говорить о средней скорости можно только тогда, когда движение уже закончено. Поэтому говорить о том, что пловец поплыл с такой-то средней скоростью – бессмысленно. Средняя скорость появится только тогда, когда он куда-нибудь приплывёт. Так как же решать эту задачу? Кто знает…

 

Обратите внимание, что нам предлагают к тому же ещё и сделать чертёж – очевидно, график, показывающий, где находятся пловцы в зависимости от времени. Но в том-то и дело, что сделать его невозможно. Если бы пловцы плыли с постоянными скоростями, такой график был бы возможен и для каждого пловца это была бы прямая линия. Однако нам говорят, что пловцы плыли с такими-то средними скоростями, значит, их движение могло быть неравномерным, следовательно, линии, изображающие их движение, могут быть кривыми. Черти любые загогулины – не ошибёшься. Как видим, эта задача тоже показывает безответственность и авторов и рецензентов.

 

Сделаем ещё одну отчаянную попытку понять эту задачу. Забудем на время, что речь идёт о четвёртом классе и назовём средней скоростью пловца в любой момент времени путь, который он проплыл к этому моменту времени, делённый на время, прошедшее от начала процесса до этого момента. В этом случае, поскольку нам дано, что средняя скорость постоянна, мы можем вывести, используя математический анализ, что и мгновенная скорость пловца (т.е. производная пути по времени) тоже постоянна. Тогда зачем было огород городить? Сказали бы с самого начала, что каждый пловец плывёт с такой-то скоростью, и была бы хорошая задача.

 

Сколько же в этой книге задач, испорченных бездумным употреблением слова «средний»? Я не считал, но знаю, что не один десяток. То и дело нам сообщают среднюю скорость лыжника (задача 78 на стр. 14), поезда (задача 91 на стр. 20), мотоциклистов (задача 105 на стр. 22), самолёта (задача 121 на стр. 24), всадников (задача 144 на стр. 28), но не сообщают, к какому отрезку пути эта средняя скорость относится. По-видимому, по мысли авторов средняя скорость – это что-то вроде волшебной палочки – она годится для любого участка пути. А что на самом деле происходит на уроках, которые ведутся по этой книге? Подозреваю, что и учителя и ученики просто мысленно выбрасывают эти «средние» и решают задачи так, как будто этих слов вовсе нет. Хорошо это или плохо? Это хорошо потому, что найден выход из безвыходного положения, в которое безответственные работники просвещения поставили учеников и учителей. А плохо потому, что дети приучаются невнимательно и неуважительно относиться к тексту. Сейчас в разных странах образователи очень озабочены тем, как неправильно ученики воспринимают подчас условия задач. Интересующимся советую почитать отличную статью (на английском языке) немецкого исследователя Кристофа Зельтера «Сколько лет капитану?» – Christoph Selter, “How old is the captain?”, которую вы легко найдёте в Интернете, используя Google для поиска по словам “selter old captain”. Пора бы озаботиться этим и в России.

 

И последний вопрос: зачем авторы так испортили свою собственную книгу, у которой есть и немалые достоинства? Почему бы им просто не вычеркнуть все эти «средние»? Я подозреваю, что они увлеклись модным стремлением сделать свои задачи более реалистичными, приблизить их к реальной жизни – любой ценой. Эта тенденция уже причинила немалый вред образованию во многих странах, особенно в США. Интересующиеся могут почитать мои статьи на русских сайтах и на моём сайте. Однако, задачи, решаемые в школе, не могут быть реалистичными в буквальном смысле слова. Вы не можете принести в класс все те вертолёты, самолёты, ящики с морковью и многое другое, о чём говорится в текстовых задачах. В школе, да и вообще в науке, мы всегда говорим о моделях действительности. Некоторые из этих моделей очень ценны, например понятие равномерного движения. Все модели упрощают действительность, но это не страшно. Главное то, что в пределах этих моделей мы должны быть честными: требовать от учеников только тех ответов, которые вытекают из условий. Если никакой конкретный ответ не вытекает из условия задачи, необходимо признать, что эта задача неразрешима. А что на самом деле происходит в тех школах, где занятия ведутся по этой книге? Боюсь, что на практике большинство учеников приучается писать не то, что логически вытекает из условия задачи, а то, чего хочет учитель. Но это же явный вред! Одна из важнейших задач математического образования именно в том и состоит, чтобы тренировать детей в распознавании точного смысла слов.

 

Теперь предположим, что найдётся особенно въедливый ученик (будущий Зенон или Гёдель), который заметит, что условие задачи, строго говоря, допускает много различных ответов и заявит об этом в классе. Согласится ли с ним учитель? Вряд ли. Помилуйте – на одной стороне какой-то настырный шкет, а на другой – учебник, рекомендованный самим министерством! Всё ясно?

Автобиографические заметки

26.04.2017

Андрей Тоом

 

Я родился 12 апреля 1942 года в Ташкенте, столице Узбекистана, тогда входившего в состав СССР, а теперь независимого государства. Война шла на подступах к Москве и всё её население было эвакуировано на восток. С 1944 по 1989 год я жил в Москве. Мой отец Леон Тоом работал как переводчик с эстонского и других языков, а также писал стихи, которые не были опубликованы при его жизни. Моя мать Наталия Антокольская иллюстрировала детские книги. Мои родители были заняты, и я проводил много времени в комнате своей бабушки, дававшей огромное количество репетиторских уроков по всем предметам, так что у меня было много школьных знаний ещё до школы. Помню, что уроки грамматики были для меня похожи на уроки математики и так же интересны. Я и теперь считаю, что изучение грамматики в школе чрезвычайно полезно не только в прагматических целях. Думаю, что исключительно слабая математическая подготовка американских учащихся не в последнюю очередь обусловлена тем, что их не учат грамматике.

 

В 1949 году я пошёл в школу № 69 города Москвы и закончил её в 1959 году. Моим учителем математики в старших классах был знаменитый Александр Абрамович Шершевский по прозвищу «Нос», один из лучших учителей математики в Москве того времени. Он сумел преодолеть мою инертность и настоять, чтобы я участвовал в математических олимпиадах, организованных Московским университетом (на которых я получил одну третью премию и два похвальных отзыва), и ходил на математические кружки, которые вели студенты университета. Я выбрал кружок, где самым активным руководителем был Александр Моисеевич Олевский, которого мы звали Сашей. Большинство кружков занимались в основном решением задач олимпиадного типа (что совсем неплохо), но Саша был увлечён строгими доказательствами математического анализа (епсилон-дельта рассуждениями) и для меня это было как раз то, что надо. Я считаю, что именно на этом кружке я стал профессиональным математиком.

 

Сразу после окончания школы я участвовал в первой международной математической олимпиаде в Румынии и получил третью премию. В то же лето я поступил на механико-математический факультет МГУ. Следуя примеру профессоров, я считал своим почётным долгом с первого же курса вести кружок для школьников и участвовать в организации математических олимпиад. Моими ближайшими друзьями стали студенты, участвовавшие в этой деятельности. Нигде в мире я больше не встречал такой заботы профессиональных математиков о передаче знаний, умений и энтузиазма следующим поколениям, как в России. Как и другие выходцы из России, я вожу память об этой заботе с собой. С тех пор прошло сорок пять лет, и не было ни одного года, когда я не внёс какой-нибудь вклад в математическое образование.

 

Мне всегда нравилась дискретная математика. Особенно мне понравились лекции Олега Борисовича Лупанова с его ясным стилем и в 1962 году я попросил его стать моим научным руководителем. Он согласился и предложил мне несколько задач на выбор. В частности, он рассказал мне результат Карацубы о сложности умножения двух многозначных чисел и предложил его улучшить. В тот же день у меня появилась идея, как это сделать. Тут как раз начались зимние каникулы, которые я, как обычно, провёл на даче у своего деда, катаясь на лыжах. За две недели я практически написал статью, которая была опубликована в Докладах Академии Наук. Это была моя первая публикация в профессиональной математике. (До этого я выпустил только сборник подготовительных задач к олимпиаде.) Теперь этот метод известен как метод Тоома-Кука или Тоом3 (Toom-Cook, Toom3). Андрей Николаевич Колмогоров, которому принадлежала постановка этой задачи, заинтересовался моей работой и приглашал участвовать в своих проектах: писать статьи для журнала «Квант» и преподавать в летнем математическом лагере и организованном им Физико-Математическом Интернате.

 

Мне хотелось работать на стыке математики с другими науками. Это желание привело меня на семинар под руководством Ильи Иосифовича Пятецкого-Шапиро, я поступил в аспирантуру под его руководством и выполнил несколько работ по процессам с локальным взаимодействием (процессам с частицами, клеточным автоматам), за которые в 1972 году получил премию Московского Математического Общества для молодых учёных, а в 1973 году – кандидатскую степень. Процессы с локальным взаимодействием и их применение к естественным наукам остаются моим главным предметом исследования до сих пор. В семидесятых годах мы думали, что такие процессы могут быть полезны как математические модели биологических явлений. Теперь я думаю, что биологические явления слишком сложны, чтобы моделировать их таким образом. Однако, как модели физических явлений эти процессы вполне годятся. Кроме того, такие процессы могут помочь при конструировании вычислительных систем. В интернете вы можете найти ссылки на «правило Тоома» (Toom rule). Хотя это правило появилось в работе Пятецкого-Шапиро и Оли Ставской, я имею на него некоторое право, так как впервые доказал наиболее важное его свойство – неэргодичность при малом параметре шума. Впрочем, я продолжаю интересоваться и алгоритмами – в сочетании со случайными процессами.

 

Ещё не закончив аспирантуру, я поступил на работу в межфакультетскую лабораторию под руководством Израиля Моисеевича Гельфанда и под его влиянием стал помогать Заочной Математической Школе, для которой написал несколько заданий и пособий. Официально работа в этой лаборатории не включала преподавательских обязанностей, но я по доброй воле участвовал во многих образовательных проектах.

 

Кроме того, меня интересовали гуманитарные науки. В начале семидесятых годов на какой-то конференции я прослушал доклад Володи Лефевра и был очарован его умением логически рассуждать в гуманитарной области и плодотворной идеей многократной рефлексии. Под его влиянием я опубликовал несколько работ на стыке психологии, теории игр и литературоведения.

 

В 1985 году я познакомился на одном домашнем семинаре со Стёпой Пачиковым и как только он организовал клуб «Компьютер», я стал его постоянным преподавателем. Работа в этом клубе дала мне богатую пищу для размышлений о том, как дети учатся. Я сказал выше, что стал математиком на математическом кружке, то есть в неформальной обстановке, где моё присутствие никак не регистрировалось и я не получал никаких отметок. Нечто подобное произошло с моими детьми. В последние три года пребывания в России, когда я преподавал в компьютерном клубе, мой сын Антон был там учеником. Обстановка была крайне неформальная, и именно в такой обстановке Антон стал по существу программистом. Когда мы ехали на метро домой, он мне говорил: «Сегодня я понял, чем goto отличается от gosub» или «Сегодня я научился обращаться со стрингами». Несколько лет спустя, когда мы жили в Сан Антонио, моя дочь Настя посещала клуб любителей живописи. Плата была – только на поддержание помещения. Все остальные члены клуба были старше её и охотно делились с ней всем, что умели. Там Настя стала художником, хотя не получила никакого диплома. Потом она окончила престижный художественный колледж и получила диплом, но считает, что там она ничему не научилась.

 

Меня неоднократно приглашали посетить иностранные университеты, но в течение многих лет партком МГУ не дал мне принять ни одно из этих приглашений. Только в 1989 году мне неожиданно разрешили принять приглашение Эррико Презутти посетить университет в Риме. Чтобы не мотаться туда-сюда и каждый раз зависеть от прихоти парткома, я из Рима направился прямо в Ратгерский Университет в США, куда у меня было приглашение от Джоела Лебовица. Находясь в Америке и используя одно приглашение за другим, я вызвал к себе жену и детей, мы подали на политическое убежище и с первого захода получили его. Однако, получить постоянное место работы было не так просто: разваливалась коммунистическая система и на запад хлынул поток русских и восточно-европейских учёных в поисках работы. Служащие консулатов чурались советских паспортов. Из-за невозможности получить визу, я не мог принять приглашения в другие страны. К тому же вскоре после моего приезда в США китайские власти устроили расстрел на площади Тянь-Ань-Мынь и все пятьдесят тысяч известных своим прилежанием китайских аспирантов, находившихся в тот момент в США, подали на политическое убежище и стали искать работу. Мои коллеги делали всё, чтобы обеспечить мне хотя бы временную работу по специальности. Вслед за Лебовицем, Петер Гач пригласил меня в Бостонский Университет, где я провёл 1990-1991 учебный год, преподавая теорию алгоритмов аспирантам факультета информатики (computer science). Затем я был приглашён на 1991-1992 учебный год в Техасский Университет в Остине.

 

С 1992 по 1997 год я преподавал в католическом Колледже, а затем Университете Воплощённого Слова в городе Сан Антонио. Средний уровень студентов был крайне низкий и руководители университета считали, что знающие математики им не нужны. Однажды в этом университете открылась вакансия и он получил больше ста заявлений. Два самых сильных заявления были от недавних иммигрантов из России: оба с большим количеством печатных работ. Их обоих немедленно отвергли, что меня не удивило. Удивило меня другое. Когда комиссия выбрала трёх лучших из оставшихся кандидатов и представила их на рассмотрение декану и он увидел, что вынужден выбирать из трёх математиков, каждый из которых компетентнее, чем он сам, декан объявил, что у нас в сущности достаточно преподавателей и закрыл конкурс. Впоследствии он принимал на работу безо всякого конкурса людей совсем без публикаций, едва способных читать базовые курсы.

 

В другом университете я сам всё напортил. Меня пригласили прочесть лекцию для студентов, чтобы принять меня на работу, если лекция будет удачной. Я выбрал тему «Действительные числа» и предложил своим слушателям голосовать по вопросу о том, меньше ли единицы бесконечная десятичная дробь 0,999999… Подавляющее большинство проголосовало, что меньше, включая вице-президента университета, сидевшего среди студентов. Ещё в одном университете я тоже всё напортил. Мне позвонили оттуда и предложили читать «бизнес-калькулюс». Я ответил, что студенты, которые берут курс с таким названием, обычно не знают щкольной математики, и вот её-то им и надо преподавать. Потом тот, кто пытался меня туда устроить, журил меня на ломаном русском языке: «Андрей, ты угрозил их существованию». Он имел в виду, что тамошние профессора только и умели преподавать, что отвратный бизнес-калькулюс. Все эти годы многие из тех, кто брал на работу, были менее компетентны, чем лучшие из тех, кого они могли взять, и они избегали брать лучших. Некоторые приезжие умели притвориться глупее, чем они были. Некоторые выбрасывали добрую половину из списка своих публикаций и благодаря этому получали работу. Слово «overqualified», то есть излишне квалифицированный, было у всех на слуху как истинная причина многих отказов.

 

На протяжении всех этих лет я расширял свой кругозор, читая книги по психологии математического образования. О теориях и влиянии Торндайка и Дьюи на американское образование я читал ещё в России, но только приехав в США, я воочию убедился, каким глубоким и в некоторых отношениях губительным было это влияние. Я участвовал в нескольких дискуссионных листах, предназначенных для обсуждения проблем математического образования по электронной почте. В течение нескольких лет я был особенно активен в листе под названием math-teach. В этом листе ведётся полная регистрация сообщений, они доступны в Интернете и там можно вести поиск по ключевым словам. Это весьма любопытное чтение. Участие в этих дискуссиях дало мне очень много для понимания психологии американских учителей и деятелей образования. Мои собеседники высказывали мысли, которые казались им самоочевидными, не замечая того, что они как попугаи повторяли положения теорий весьма сомнительного свойства. Например, в России слово «арифметика» воспринимается вполне нормально. В США его избегают, боятся показаться провинциальными. В результате даже студенты университетов не умеют решать простые арифметические задачи попросту, в уме, им приходится вводить буквенные обозначения, составлять таблицы. Помню, как в одном американском университете студенты с трудом решали текстовую задачу составляя таблицу и вдруг одна китаянка подошла к доске и решила задачу в одну строчку. Все были поражены.

 

В России присутствие, даже обилие текстовых задач в курсах арифметики и алгебры всем привычно. В США отношение к текстовым задачам – болезненное, решать их ни учителя, ни ученики не умеют и оправдываются тем, что эти задачи не нужны, так как не встречаются в повседневной жизни. Впрочем, применять математику к физике большинство американцев тоже не умеют. На лекции по калькулюсу я решил одну механическую задачу, а потом сказал: этот же результат можно получить из закона сохранения энергии. Молчание. Я попросил: «Кто слышал хоть что-нибудь о законе сохранения энергии – поднимите руку». В группе был один иностранный студент, и он единственный поднял руку. Дело в том, что в американском образовании не проводится различия между важным и второстепенным. Американские школьники должны выбирать из огромного числа возможностей, и никто не скажет им, что один предмет важнее другого. Впрочем, все предметы преподаются так плохо, что выбор, пожалуй, действительно неважен.

 

Сейчас в США идёт упорная борьба за введение хоть каких-нибудь стандартов в образовании. Десять лет назад эта борьба ещё даже и не начиналась, поэтому отсутствие национальной программы образования казалось большинству американцев само собой разумеющимся. Когда я высказывал аргументы в пользу такой программы, мои собеседники объясняли это тем, что я приехал из недемократической страны.  

 

В США я научился лучше ценить русское математическое образование, казавшееся мне банальным, пока я не знал никакого другого. Когда в России я вёл математические кружки, я принимал как сами собой разумеющиеся базовые знания и умения своих учеников. Что бы я делал, если бы мои ученики не умели выполнять простейшие алгебраические преобразования – не знаю. Скорее всего, кружок пришлось бы закрыть. Преподавая в Америке, я столкнулся нос к носу с тем фактом, что люди не рождаются с математическими знаниями, что их надо систематически учить и что в России это делается неплохо, а в Америке – спустя рукава. На основании опыта преподавания математики в университетах США я опубликовал несколько статей, резко критикующих американское математическое образование. Почти все эти статьи и их русские переводы имеются на моём сайте.

 

В то же время меня весьма радушно приглашали в Бразилию. С 1998 года я работаю в Бразилии – сначала в Университете Сао Пауло, а теперь – в Федеральном Университете Пернамбуко. Я стараюсь делать здесь лучшее из того, чему меня научили в Москве – хорошую науку и хорошее образование в органической связи друг с другом. Здесь есть талантливая молодёжь, нуждающаяся в научном руководстве, и мой вклад весьма заметен. И это правда, хоть я и говорю это шутливым тоном, что я – единственный специалист по теории вероятностей во всей северной половине Бразилии – на территории большей, чем Англия, Германия, Италия и Франция вместе взятые. Мой интерес к математическому образованию тоже оказался ко двору. Меня уже несколько раз приглашали выступать с циклом лекций на тему «Сравнение школьного математического образования в Бразилии и других странах». В этих лекциях я подчёркиваю организованность и другие достоинства русского образования по сравнению с бразильским и американским.

 

Думаю, что имею право включить сюда ещё один аспект моей деятельности. Моим дедом был известный поэт Павел Григорьевич Антокольский (1896-1978). Его поэма «Сын» выразила горе миллионов родителей, чьи сыновья погибли, сражаясь на Отечественной войне. Я несколько лет занимался его литературным наследием. Ещё при жизни Антокольского возникла угроза его архиву и профессиональной библиотеке, а после его смерти она усугубилась. С гордостью могу сказать, что благодаря мне архив поэта был сохранён, что было нелегко. В 1986 году я организовал несколько вечеров памяти Павла Антокольского. Кроме того, я сыграл очень активную роль в подготовке сборника воспоминаний о нём. Сборник получился интересным и был быстро раскуплен. Одна из статей в нём – моя, и её читали с интересом. Я готовлю новый вариант этих воспоминаний, который появится на моём сайте. Вместе с моей женой Аней мы продолжаем публиковать и Павла Антокольского и Леона Тоома (1921-1969).

 

В сентябре 2004 года по приглашению расположенного в Москве Независимого Университета я посетил Россию после пятнадцатилетнего отсутствия. В некоторых отношениях Россия и Бразилия похожи: две большие неорганизованные страны с огромным потенциалом и кучей проблем. Но есть и различия. Образование в Бразилии гораздо хуже, чем в России, и наука слабее. С этим может быть связано то, что в Бразилии учёных ценят больше, чем в России. Уровень студентов в Независимом Университете – один из высочайших в мире, в Бразилии их бы старались удержать всеми силами, однако дипломы Независимого Университета не признаются российским правительством, как будто власти хотят всех вытолкнуть за границу.

 

На моём сайте http://www.de.ufpe.br/~toom вы можете найти многие из моих статей, включая статьи на русском языке, а также полный список моих публикаций на английском и португальском языках. У меня есть два электронных адреса:  toom@de.ufpe.br и andretoom@yahoo.com

 

Ресифе, январь 2005.

Между детством и математикой. Текстовые задачи в математическом образовании

26.04.2017

А. Тоом

 

Как должны мы обучать наших детей, чтобы помочь им стать компетентными, продуктивными членами современного общества? Цель этих заметок – обсудить этот вопрос. Мы сконцентрируемся на том периоде жизни, который приходится примерно на средние и старшие классы школы, когда детство уже позади, но профессиональное использование математики ещё невозможно. Этот период, по-видимому, является критическим для успеха или неуспеха в строгом абстрактном мышлении: одни получают призы на олимпиадах, других математика только путает и пугает. Наш основной тезис заключается в том, что хорошее преподавание текстовых задач играет неоценимую роль в этот период.

 

Поскольку текстовые задачи – наш главный предмет, необходимо сначала определить, что мы имеем в виду. Чтобы держаться как можно ближе к точному смыслу слов, я предлагаю договориться, что нетекстовая задача — это задача, сформулированная с использованием только математических символов и технических выражений типа «Решите уравнение…». Соответственно, текстовая задача — это задача, использующая нематематические слова для передачи математического смысла. Поскольку на школьном уровне нет места для сложных формализмов профессиональной математики, нетекстовые задачи, имеющие дело с формализмами, сводятся к упражнениям, необходимым, но скучноватым. Неудивительно, что интересные задачи, доступные на этом уровне, — это по большей части текстовые задачи.

 

Есть важное сходство между детской игрой и всеми аспектами современной культуры: в обоих случаях необходимо творческое воображение. С одной стороны, вся жизнь ребёнка — это непрерывная игра воображения, с другой — все аспекты современной цивилизации включают воображение. Когда мы идём в театр или кино или в картинную галерею или читаем книгу, мы воображаем некоторые события, сознавая в то же время, что они нереальны. Современная математика — не исключение: воображение необходимо не только для того, чтобы её развивать, но уже для того только, чтобы её понимать. Разумеется, школа не должна прерывать то общее, что есть у детства и культуры, а именно творческую игру воображения. Когда учитель географии говорит своим ученикам «Сегодня мы будем путешествовать по Африке», все нормальные дети понимают, что эти слова не следует толковать буквально: это будет воображаемое путешествие. Аналогичное взаимопонимание имеет место, когда учитель литературы говорит «Сегодня мы проведём урок в компании Гамлета» или учитель биологии говорит «Давайте заглянем внутрь живой клетки». Функция школы — расширять мир детей, вводить в него факты, образы, идеи, законы, явления выходящие за рамки их личного опыта и повседневного быта. В школе, не менее чем повсюду, ученики должны иметь воображение и применять его. Математика — не исключение из этого правила. Когда учитель говорит «У Пети было десять яблок, три из которых он дал Маше», все дети понимают, что это абстрактные Петя и Маша и абстрактные яблоки. Это понимание необходимо детям, чтобы изучать математику, науку об абстракциях. Теперь посмотрим на следующую задачу:

«Самолёт взлетает и направляется на восток со скоростью 350 миль в час. В то же время взлетает другой самолёт и направляется на запад со скоростью 400 миль в час. Когда расстояние между ними достигнет 2000 миль?»

Я не вижу ничего порочного в этой лёгкой задаче. По-моему, она годится в классе и даже имеет некоторые достоинства. Например, её можно использовать для демонстрации идеи относительного движения, помогающей решить её без алгебры: в системе координат, связанной с одним самолётом, другой движется со скоростью 350 + 400 = 750 миль в час, поэтому время, необходимое, чтобы увеличить расстояние на 2000 миль равно 2000/750 часов = 2 часа 40 минут. Однако, несколько лет назад эта задача была упомянута в Учителе Математики (11) со следующим уничижительным комментарием: «Всякий нормальный ученик должен спросить: А кому это надо? Никому нет дела кроме учителя алгебры, задающего такие задачи, и ученика, которому нужна отметка. Наша программа и без того слишком перегружена, чтобы включать такие причуды» (12, с. 159). Меня очень беспокоит этот комментарий, и это дело принципа. Мы можем обойтись без этой или любой другой конкретной задачи, иногда необходимо что-то исключить из программы, но мы не должны одобрять вопросы типа «А кому это надо?» вместо умственного усилия, особенно на страницах журнала, посвящённого образованию.

 

Согласно моему опыту, лишь немногие ученики спрашивают «А кому это надо?» вместо того, чтобы решить простую задачу, и эти немногие уже в беде: на учёте в психдиспансере или в милиции. Очевидно, тот «нормальный» ученик, который спрашивает «А кому это надо?», делает это потому, что не может её решить. А вот это уже по-настоящему страшно, особенно если мы вспомним, что этот ученик направляется в колледж. Я решительно не хочу, чтобы моих детей, да и любых детей учили подобным образом. Но быть может, вместо этой задачи нам предлагают другую, лучшую? Давайте посмотрим на следующую задачу, якобы показывающую, почему важно изучать алгебру (13, с.34):

«Игрок ударил бейсбольный мяч, когда он был в 3 футах от земли. Мяч прошёл на 4 фута выше другого игрока 6 футов ростом, находящегося в 60 футах от первого. Затем мяч был пойман третьим игроком на расстоянии 300 футов, в 5 футах над землёй. На каком расстоянии от первого игрока мяч достиг максимальной высоты, и какова эта максимальная высота?»

Чтобы решить эту задачу, мы должны предположить, что траектория мяча — парабола (то есть, пренебречь сопротивлением воздуха), ввести некоторую координатную систему и описать траекторию уравнением, например,

                                                y (x) = k(x – b)² + m,

где y — высота, x — расстояние от первого игрока по горизонтали и земля предполагается плоской. Тогда y (0) = 3, y (60) = 10 и y (300) = 5, откуда можно найти k, b и m. Эта задача труднее, чем предыдущая, но я не считаю, что она лучше. Уж во всяком случае, она не более реалистична. Как и всякая школьная задача, она создаёт воображаемую ситуацию, сообщает некоторые данные о ней и требует вывести ответ из этих данных. Как обычно, эта воображаемая ситуация не является реальной в буквальном смысле. Как все эти расстояния по горизонтали и вертикали были измерены в пылу игры? Зачем нам знать максимальную высоту и на каком расстоянии от первого игрока она была достигнута? Никакого ответа на эти вопросы не дано. Для традиционных текстовых задач это нормально и обычно, но в другой статье Залман Усыскин назвал традиционные текстовые задачи фальшивыми и сказал, что они не нужны, так как есть много «подлинных приложений» (11, с. 158, 159). Ему не следовало бы употреблять такое оскорбительное слово, даже если бы он был прав, но он и неправ к тому же. Идеализация реальности, сведение её к определённой формальной системе с конечным, чётко определённым набором параметров и отношений между ними и выяснение всевозможных вопросов об этой системе, — это суть научного моделирования и ничего фальшивого в этом нет. Что же касается «подлинных приложений», мы только что видели образчик.

 

Почему такая заурядная, даже несколько громоздкая задача была выбрана для такой обязывающей цели? Подождите немножко… заметьте, что это задача про бейсбол… многие дети любят играть в бейсбол… у меня есть догадка: вероятно, автор надеется убедить их, что алгебру важно изучать, потому что она им пригодится в игре в бейсбол! Другие задачи из той же статьи подтверждают эту догадку: все они на такие привлекательные темы, как кругосветное путешествие, марширующий оркестр и рок-музыка. Очевидно, по замыслу автора, это делает их интересными. В этом пункте я заявляю протест. Для меня математическая задача интересна и педагогически полезна благодаря её внутренней математической структуре. Я решительно возражаю против попытки привлечь учеников к математике, делая вид, что она помогает играть в бейсбол, организовывать марширующие оркестры или наслаждаться рок-музыкой. Это лживое обещание.

 

Я придумал много задач и не делал секрета из того, что это математические задачи. Прежде всего я заботился об их математическом содержании. В придачу к этому я мог сделать задачу забавной. Например, следующую задачу я придумал для Российской Заочной Школы (4, задача 1-23):

«Математик шёл по берегу домой вверх по течению реки, держа в руках палку и шляпу. Он шёл со скоростью, в полтора раза превосходившей скорость течения. На ходу он бросил шляпу в воду, перепутав её с палкой. Скоро он заметил свою ошибку, бросил палку в воду и побежал назад со скоростью вдвое большей той, с которой он шёл вперёд. Как только он поравнялся со шляпой, он мгновенно достал её из воды и пошёл домой с прежней скоростью. Через 40 секунд после того, как он достал свою шляпу из воды, он поравнялся с палкой, плывущей по течению ему навстречу. Насколько раньше он пришёл бы домой, если бы не перепутал палку со шляпой?»

Эта задача понравилась некоторым ученикам и учителям, хотя она, очевидно, не является «подлинным приложением». Решить её можно так. Обозначим через v скорость течения и t время в минутах, которое он бежал назад. Тогда расстояние, которое он пробежал назад, равно 3vt, расстояние, которое он прошёл вперёд от того места, где он выудил шляпу, до того, где он встретил плывущую палку, равно ³/_2v × ²/₃ = v и расстояние, которое проплыла палка, пока он её не встретил, равно v(t + ²/₃). Следовательно, мы можем написать уравнение

                                                         3vt = v + v (t + ²/₃),

где v сокращается и мы получаем, что t = ⁵/₆ мин. Теперь посчитаем потерянное время. Оно состоит из двух частей, из которых первая (t) вдвое меньше второй (2t), так как одно и то же расстояние он прошел назад вдвое медленнее, чем бежал вперёд. Следовательно, общее потерянное время равно 3t = 2,5 мин.

У этой задачи, в отличие от предыдущей, есть вот какое интересное свойство: решая её, мы вынуждены были ввести одну лишнюю переменную, в данном случае v, значение которой невозможно найти, но зато эта переменная сокращается. Вместо этого мы могли бы ввести специальную единицу длины, чтобы сделать скорость течения равной единице. Другой класс задач, имеющих это полезное свойство, известен как задачи на работу. Вот пример:

Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, каждый в известное время, а именно А может выполнить эту работу в три недели, В — в три раза большую работу в 8 недель и С — в пять раз большую работу в 12 недель. Требуется узнать, за какое время они могут закончить эту работу совместно.

Ньютон включил эту задачу в свой учебник, а Пойа процитировал её (6, с. 71). Решение основано на хорошо известном (нереалистичном) предположении, что продуктивность каждого работника постоянна. Мы можем принять ту работу, о которой говорится в задаче за единицу, и назвать её «заданием». Тогда продуктивность А составляет ¹/₃ задания в неделю, продуктивность В равна ³/₈задания в неделю и продуктивность С равна ⁵/₁₂ задания в неделю. Когда они работают вместе, продуктивности складываются и суммарная продуктивность равна

                                                                                ¹/₃ + ³/₈ + ⁵/₁₂ = ⁹/₈.

Тогда время, которое им понадобится, равно одному заданию делённому на ⁹/₈ заданий в неделю, что даёт ⁸/₉ недели. Почему Ньютон и Пойа считали такие задачи полезными? Вот ответ (6, с. 83):

 Зачем нужны словесные задачи? Я надеюсь, что шокирую лишь немногих математиков, утверждая, что самая важная частная задача математического образования в средней школе — это научить составлять уравнения для решения словесных задач. В пользу высказанного мнения, безусловно, имеются сильные аргументы. При решении словесных задач с помощью уравнений учащийся осуществляет перевод реальной обстановки на математический язык и при этом убеждается на опыте, что математические понятия можно связать с действительностью, хотя эти связи и нужно тщательно разрабатывать.

Обратите внимание на то, что Пойа называет «реальной обстановкой», в буквальном смысле не реально. Очевидно, Пойа привык думать, что у всех есть воображение и высоко ценил традиционные текстовые задачи. Он был бы очень удивлён, если бы кто-то назвал их фальшивыми в его присутствии, и я полностью с ним согласен: я уверен, что традиционные текстовые задачи очень полезны.

Другая странная, но распространённая идея состоит в том, что текстовые задачи более однородны, чем нетекстовые. Например, влиятельные «стандарты» (18, сводка изменений в содержании и на чём делается упор в курсе математики 9-12 классов) рекомендуют уменьшить внимание «типовым текстовым задачам» и ни разу не упоминают типовые нетекстовые задачи или нетиповые текстовые задачи. Эта рекомендация показывает, что авторы чувствуют, что что-то неладно с преподаванием текстовых задач, но не в силах проанализировать, что именно. Они ни слова не уделяют тому, как их преподавать. Или, может быть, прилагательное «типовые» означает какую-то плохую манеру преподавания? Что же касается типов задач, то они повсюду. Дайте мне задачу, которую вы считаете нетиповой, и я сделаю её типовой, придумав десять похожих задач. Фактически, я часто делаю именно это в практике преподавания: сначала я решаю задачу на доске, затем я даю похожую задачу для решения в классе, затем я задаю похожую задачу на дом, затем я даю похожую задачу на контрольной. Все эти этапы (часто их даже больше) необходимы, в противном случае многие студенты не усвоят метод.

Фактически, на школьном уровне гораздо больше различных текстовых эадач, чем нетекстовых. Текстовые задачи резко увеличивают разнообразие задач, решаемых в школе. В дополнение к тем немногим формализмам чистой математики, которые доступны в школе, текстовые задачи приносят с собой целый мир образов: монеты, пуговицы, спички и орехи, время и возраст, работу и производительность, расстояние и скорость, длину, ширину, периметр и площадь, поля, ящики, бочки, мячи и планеты, цены, проценты, долги и скидки, объёмы, массы и смеси, корабли и течения, самолёты и ветер, насосы и бассейны и многое другое. Для детей это неоценимый опыт — распознавать те формальные характеристики этих образов, которые следует принять во внимание, чтобы решить задачу.

По меньшей мере, столь же важно, на мой взгляд, то, что, решая текстовые задачи, дети должны уяснить себе и перевести на язык математики великое множество глаголов, наречий и прочих частей речи, обозначающих действия и взаимоотношения между объектами, таких как положить, дать, взять, принести, наполнить, опорожнить, двинуть, встретить, догнать, больше, меньше, позже, раньше, до, после, от, до, между, навстречу, прочь и т. п. Хотя я говорю «дети», я фактически имею в виду большой диапазон возрастов, включая студентов младших курсов колледжей и университетов, для которых всё это может быть совсем нелегко (10).

Как возникла эта странная идея об однородности текстовых задач? Я думаю, что некоторые педагоги и администраторы, будучи недостаточно компетентными, чтобы справиться с разнообразием текстовых задач, свели их к немногим типам, и этот вторичный феномен, порождённый некомпетентностью педагогов, а не потенциалом самих текстовых задач, противоположный самой их сути, был неоднократно ошибочно принят за неотделимое свойство текстовых задач.

Например, влиятельная «Программа действий» рекомендует (1, с. 3): «Определение того, что значит решить задачу, не должно быть ограничено конвенциональной манерой “текстовых задач”». Что подразумевали авторы под «конвенциональной манерой “текстовых задач”»? Быть может, ту удручающую манеру преподавания, которая всё ещё царит на многих уроках и которая порождена плохой подготовкой учителей? Кто знает? Во всяком случае, они выразили свои мысли в такой туманной форме, что никакое осмысленное действие не могло быть предпринято на основе их рекомендаций. Теперь уже не секрет, что некоторые учителя математики слишком плохо знают математику. В свете этого, одобрять высказывания типа «А кому это надо?» особенно опасно, потому что некоторые учителя могут использовать это как предлог.

К сожалению, оскорбительное отношение к текстовым задачам проявляется не только в (11). Например, вторая глава в остальном здравой книги (2) наполнена грубыми насмешками в адрес текстовых задач. Очевидно, Моррис Клайн не стал бы так легкомысленно паясничать, если бы не был уверен заранее, что некоторым читателям это понравится. Не так давно член дискуссионной группы, переписывающейся по электронной почте, предложил определить текстовые задачи как такие, которые даются с целью вызвать коленный рефлекс у учеников. Когда я возразил, что лучше использовать термин «текстовые задачи» согласно смыслу слов, то есть применять его к задачам, содержащим слова, не являющиеся математическими терминами, этот профессиональный образователь очень удивился и признал, что моё предложение было новым для него.

Создаётся впечатление, что текстовые задачи почти всегда преподавались настолько плохо, что большинство учащихся не могли отделить сами текстовые задачи от отвратной манеры преподавания. Ральф Рейми — один из тех, кто сумел это сделать (7): «Я был послушным учеником и делал то, что мне велели, а велели мне помещать определённые числа в определённые клеточки таблицы и делали мы это для настолько ограниченного круга задач, что их можно было все запомнить. Это шло с трудом, и впоследствии я понял, как легки были эти задачи, но поскольку мне говорили, как их делать, и поскольку меня хвалили, я это и делал, без малейшего проблеска понимания. Понимание не возникло даже, как это бывает в изучении иностранных языков, когда составляешь из слов предложения и спрягаешь глаголы, постепенно овладевая языком. С алгеброй у меня так не получилось, и когда я одолел её впоследствии и увидел, какими идиотскими были мои школьные упражнения, это произошло не благодаря таблицам, которые я заполнял раньше. Беда была не в задачах, не в идее «типов». Беда была в преподавании».

Первые сорок лет моей жизни я провёл в России, где присутствие, даже обилие текстовых задач в математическом образовании всегда принималось как само собой разумеющееся. Сборник задач П.А. Ларичева для 6-8 классов (3), употреблявшийся, когда я учился в школе, содержит множество текстовых задач. В то время я думал, что это заурядный сборник задач. Теперь, после нескольких лет преподавания американским первокурсникам, многие из которых не могут справиться даже с простыми текстовыми задачами, я удивляюсь высокому уровню и качеству работы П.А. Ларичева. Если бы выпускники американских школ умели решать все задачи из его сборника, они были бы лучше подготовлены, чем многие из тех, кого в настоящих условиях допускают к калькулюсу. В частности, книга П.А. Ларичева включает много исторических задач, например, такую (3, с. 37):

Летело стадо гусей, а навстречу им летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, сто гусей!» — «Нас не сто гусей, — отвечает ему вожак стада, — если бы нас было столько, сколько теперь, да ещё столько, да полстолька, да четверть столька, да ещё ты, гусь, с нами, так тогда нас было бы сто гусей». Сколько было в стаде гусей?

Должен ли я пояснять, что мы решали эту задачу без калькуляторов и двумя способами — арифметически и алгебраически? Русские сборники для начальной школы тоже полны текстовых задач. Эти книги написаны так, чтобы подготовить детей к решению более трудных задач в последующие годы. Вот пример (5, с. 190):

При ремонте дома нужно покрасить 150 рам. Один маляр может это сделать за 15 дней, а другой — за 10 дней. За сколько дней могут выполнить эту работу оба маляра, работая вместе?

Эта задача может рассматриваться как подготовительная к задаче Ньютона. Из данных прямо следует, что первый маляр может покрасить 10 рам в день, а второй — 15 рам в день. Значит, вместе они покрасят 10 + 15 = 25 рам в день. Следовательно, им нужно 150:25 = 6 дней. Решающий момент здесь, как и во всех задачах на работу, это понять, какая величина аддитивна. Это одна причина того, почему задачи на работу полезны. Некоторые ученики наивно складывают 15 дней и 10 дней и получают в ответе 25 дней. Крайне важно, как учитель реагирует на такие неверные предложения. Он должен спокойно заметить, что этот ответ противоречит здравому смыслу, потому что когда два человека работают вместе, они закончат раньше, чем если бы работал только один. Здесь мы попадаем в область педагогического мастерства, которое определяется прежде всего тем, как учитель реагирует на неверные или частично неверные решения. Умелый учитель советует ученикам использовать здравый смысл, который таким образом постепенно превращается в профессионализм. В последующих классах ученики решают похожие, но более трудные задачи, так что их умения строятся одно на другом. В 6-8 классах уже предлагаются задачи, в которых данные обозначаются буквами, например (3, с. 166):

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить заказ в t дней. Первый рабочий может сделать эту работу в a дней. Во сколько дней мог бы выполнить заказ второй рабочий, работая один?

Если текстовые задачи так полезны в России, почему они не могут быть столь же полезны в Америке? Этому мешает определённая теория. Я назову её теорией непереноса. Согласно этой теории, дети не могут переносить идеи, методы и умения от одного задания, одной задачи, ситуации к другой и, следовательно, их стоит учить решать только такие задачи, которые они встретят в ежедневной жизни. Американские специалисты в области образования слепо верят в эту фантастическую теорию, а всем прочим людям на земле она практически неизвестна. Эту теорию выдвинул Эдвард Торндайк примерно сто лет назад. В 1926 году он опубликовал книгу, имевшую большое влияние, в которой писал (9, с. 154): «Задачи решаются в школе ради их решения в жизни. При прочих равных условиях, задачи, в которых ситуация реальна, лучше, чем задачи, где она описана словами. При прочих равных условиях, задачи, которые могли бы действительно возникнуть в здравой и разумной жизни, лучше, чем задачи-подделки и простые головоломки».

Торндайк не приводит примеров «задач-подделок», но из его аргументации можно понять, что это уничижительное выражение относится ко всем задачам, не имеющим буквального подобия в ежедневной жизни. Но тогда вся современная математика — подделка! Следуя своим идеям, Торндайк включил в свою книгу главу под названием «Нереальные и бесполезные задачи», которую начал следующим образом (9, с. 258): «В предыдущей главе было показано, что примерно половина вербальных задач, даваемых в стандартных курсах, — не подлинные, поскольку в реальной жизни их ответ не понадобился бы. Очевидно, не следует, разве что ради количества, так связывать алгебраическую работу с никчёмностью».

Обратите внимание: Торндайк думал, что когда детям дают задачу, которую они не могут встретить в ежедневной жизни, они испытывают чувство никчёмности. Весь мой учительский опыт говорит мне, что интерес детей к математическим задачам не предопределён их прямой применимостью к ежедневной жизни. Он имеет гораздо более сложные причины. Нередко мои ученики с интересом решали задачи, чья формулировка была фантастической или шуточной. В этой связи давайте рассмотрим следующие две задачи.

У Маши в копилке сорок монет, некоторые однокопеечные, остальные пятикопеечные, на общую сумму один рубль. Сколько у неё монет каждого типа?

В клетке находятся кролики и фазаны; у всех у них вместе 100 ног и 36 голов. Сколько фазанов и сколько кроликов в клетке?

Что делает эти задачи особенно полезными в преподавании, это то, что их можно решать разными способами, в том числе без алгебры. Например, задачу про копилку можно решить так. Сначала предположим, что все монеты однокопеечные. Тогда в копилке 40 коп., что на 60 коп. меньше, чем нужно. Теперь заметим, что каждый раз, когда мы заменяем одну однокопеечную монету на пятикопеечную, содержимое копилки увеличивается на 4 коп. Значит, чтобы увеличить его на 60 коп., надо такую замену произвести 60:4 = 15 раз. Значит, в копилке 15 пятикопеечных монет и 40 – 15 = 25 однокопеечных. Этот ответ можно проверить вычислением 25 + 15^.5 = 100 коп. = 1 р.

Что касается задачи с кроликами и фазанами, она включена в (3, с. 90) как «старинная китайская задача». Пойа включил похожую задачу в (6, с. 46). От одного учителя я услышал очаровательный способ объяснять детям её решение. Вообразим, что все кролики стоят на задних лапках. Тогда число ног, стоящих на земле, равно удвоенному числу голов, а именно 72. Остальные 28 ног — это передние лапы кроликов. Значит, число кроликов вдвое меньше, а именно 14. Тогда число фазанов 36 – 14 = 22. Согласно всему моему опыту, нормальные дети любят такие задачи и не спрашивают «А кому это надо?» или «Когда же мы применим это к повседневной жизни?» Кроме того, все нормальные дети замечают, что, несмотря на различное оформление, задача про копилку и задача про кроликов и фазанов похожи и, если решил одну из них, то решать другую становится легче.

К чести Торндайка заметим, что он признаёт, что некоторые из тех задач, которые он называет нереальными и бесполезными, могут заинтересовать «учеников особенно способных и интересующихся математикой» (с. 259). Многие жемчужины математики могли бы послужить примерами этого, например иррациональность квадратного корня из двух или бесконечность множества простых чисел. Однако, Торндайк упоминает только несколько исторических задач, включая вот эту: «Есть кадамба цветок; на один лепесток пчёлок пятая часть опустилась. Рядом тут же росла вся в цвету сименгда, и на ней третья часть поместилась. Разность их ты найди, трижды их ты сложи, на кутай этих пчёл посади. Лишь одна не нашла себе места нигде, всё летала то взад, то вперёд, и везде ароматом цветов наслаждалась. Назови теперь мне, подсчитавши в уме, сколько пчёлок всего здесь собралось?»

Я могу засвидетельствовать, что в этом Торндайк прав: есть ученики, интересующиеся такими задачами. Когда я спросил Юлия Ильяшенко, теперь профессора математики, как он заинтересовался математикой, он вспомнил эту задачу (включённую в (3, с. 167)).

Идеи Торндайка критиковались не раз. В частности, Выготский писал (14, с. 233): «… для опровержения гербартианской концепции Торндайк прибег к экспериментированию над крайне узкими, специализированными и притом элементарнейшими функциями. Он упражнял испытуемого в различении длины линейных отрезков и потом изучал, как это обучение влияет на умение различать величину углов. Само собой разумеется, что никакое влияние не могло быть здесь обнаружено».

Выготский провёл свои собственные эксперименты, которые показали, что, когда мы имеем дело с высшими умственными функциями, такими как изучение арифметики и родного языка, перенос имеет место. В этой связи Выготский говорил о другом важном понятии: умственной дисциплине (которую он называл «формальной дисциплиной»). Понятия переноса и умственной дисциплины так тесно связаны, что практически невозможно принять одно и отвергнуть другое. Хорошо известно, что математика, преподаваемая в школе, по большей своей части не имеет буквального применения в ежедневной жизни. Поэтому, говоря о важности математического образования, мы не можем обойтись без понятия умственной дисциплины, охватывающего все небуквальные, непрямые и отдалённые результаты школьного образования. Критикуя Торндайка, Выготский писал (14, с. 231-232): «Отчасти неразработанность самой теории формальных дисциплин, а главным образом, несоответствие её практического осуществления задачам новейшей буржуазной педагогики привели к разгрому всего учения о формальной дисциплине в теории и практике. Идеологом здесь выступил Торндайк, который в ряде исследований пытался показать, что формальная дисциплина есть миф, легенда, что обучение не имеет никаких отдалённых влияний, никаких отдалённых последствий для развития. Торндайк пришёл в результате этого исследования к полному отрицанию существования тех зависимостей между обучением и развитием, которые верно предчувствовала, но в высшей степени карикатурно изобразила теория формальной дисциплины. Но положения Торндайка убедительны только в той мере, в какой они касаются карикатурных преувеличений и искажений этого учения. Ядра его они не затрагивают и тем более не уничтожают».

Концепции Торндайка и Выготского ведут к совершенно различным выводам для математического образования, включая роль текстовых задач в нём. Давайте перечислим некоторые из них.

 

1) Если Торндайк прав и умственной дисциплины не существует, то задачи, решаемые в школе, должны быть идентичны тем, которые ученики могут встретить в жизни в настоящем или будущем. Однако, профессии в наше время очень специализированы и невозможно предсказать, кто выберет какую профессию. Более того, если бы даже мы могли каким-то образом предсказать, что такой-то ученик станет, скажем, компьютерным программистом, мы всё же не могли бы учить его тому конкретному языку программирования, который он будет использовать, потому что этот язык наверняка ещё не придуман. Те, кого учили Бейсику, потом программировали на Паскале или Фортране, а те, кого учили Паскалю, теперь программируют на С++. Если бы умственная дисциплина была только мифом, то все годы их учёбы были бы потрачены зря, но многие считают, что это не так. Некоторые даже думают, что решение математических задач, скажем геометрических задач на построение, также полезно будущим программистам. Это можно понять только приняв понятие умственной дисциплины: если она существует, то перенос возможен и продуктивен. Встретив новую задачу, дети могут воскликнуть: «Это похоже на задачу, которую мы уже решали, только с другими словами и числами». Иначе говоря, они способны замечать структурное сходство между задачами и переносить умения и идеи, развитые при решении одних, на другие, более сложные. Именно к этому я всегда стремлюсь как преподаватель.

2) Если умственная дисциплина не существует, то текстовые задачи должны восприниматься буквально, как утверждения о реальности. Например, задача с монетами имеет смысл только как прототип поведения в ситуации с реальными монетами, задача о кроликах и фазанах имеет отношение только к кроликам и фазанам и т.п. Данные задачи должны быть такими, какие имеются в реальности, и вопросы должны быть такими, на какие мы обычно должны отвечать в ежедневной жизни. В этом случае задачи группируются в типы согласно их оформлению: задачи с монетами, кроликами или работой. Если же, напротив, умственная дисциплина существует, то важнее всего внутренняя математическая структура задач, тогда как монеты, кролики и т. п. — это лишь поверхностное оформление. В этом случае мы хотим, чтобы дети научились решать задачи с произвольными данными и отвечать на произвольные вопросы, а не только те, которые они встречают в ежедневной жизни. В противном случае, дети не смогут совершить следующий шаг, от числовых данных к данным обозначенным буквами. Это означает также, что числовым данным нет нужды быть громоздкими, потому что им нет надобности выглядеть так, как будто они взяты из конкретной реальной ситуации.

3) Если перенос невозможен, то взаимодействие между математикой и другими школьными предметами, например физикой, невозможно и не стоит о нём заботиться. Именно это мы обычно наблюдаем в американских публичных школах, где предметы изолированы друг от друга. Если же, напротив, Выготский прав и различные школьные предметы взаимодействуют, то имеет смысл координировать программы по математике и физике, чтобы математические понятия применялись в физике и обратно. В русских школах это делается систематически.

 

Когда я читал «Психологию алгебры» Торндайка (9), у меня было странное впечатление. С одной стороны, несомненны упорство и трудолюбие Торндайка. С другой стороны, он, по-видимому, не имел понятия о сущности математики. Все мои одноклассники, все мои ученики, все дети, которых я когда-либо встретил, знали, что яблоки из задачи — не то же самое, что реальные яблоки. Но Торндайк этого не знал! У меня такое впечатление, что, потратив много времени на эксперименты с животными, Торндайк проникся убеждением, что живые существа совершают усилия только ради некоторой материальной награды и некритически перенёс эту идею на людей. Каждый родитель знает, что дети спонтанно любопытны и что у них есть фантазия, и что они любят волшебные сказки и фантастические истории, но Торндайк, по-видимому, не знал этого. Каждый родитель знает к тому же, что детям нравятся контрафактуальные утверждения и образы, часто (неточно) называемые «абсурдными» или «бессмысленными». Льюис Кэрролл и многие другие авторы разработали эту тему с большим успехом, но Торндайк рассуждает так, как будто он никогда об этом не слышал!

Сегодня те карикатурные преувеличения, связанные с понятием умственной дисциплины, которые упоминал Выготский, почти забыты. На смену им пришли столь же карикатурные преувеличения в противоположном направлении. Пример: в последние годы среди профессоров образования стало употребляться новое выражение: «задачи реального мира». Никто не знает, что в точности значит эта фраза, и разные авторы используют её в разных, подчас противоречащих друг другу смыслах. Во всяком случае, ясно, что «задачи реального мира» весьма далеки от той важной и хорошо известной части математики, которая традиционно называется «прикладной математикой». Прикладная математика нуждается в точности, потому что имеет дело с суровой реальностью, тогда как «задачи реального мира», предлагаемые в образовательной литературе, часто туманны и хаотичны и нам говорят, что у них много ответов (но никогда не говорят сколько). Чтобы работать в прикладной математике, умственная дисциплина ещё как необходима, тогда как разговоры о «задачах реального мира» часто сочетаются с отрицанием умственной дисциплины.

 

Что будущим математикам необходимо изучать математику, это очевидно. Давайте зададим другой вопрос: почему важно изучать математику тем, кто не станет математиком? Зачем нужна математическая грамотность? Одна причина в том, что мы читаем и пишем и считаем для своих ежедневных практических нужд. Есть, однако, и другая причина: грамотный человек — это иной тип человека, чем неграмотный. Грамотность и её аналоги, включая математическую грамотность, не просто удобные приспособления. Они открывают их владельцу новые перспективы. Грамотный человек, в частности математически грамотный человек, не только лучше отвечает на старые вопросы, но задаёт и новые вопросы. Математическая грамотность включает способность и привычку осуществлять абстрактные замыкания, выходящие за пределы сиюминутной нужды. Непрофессионалы часто считают математические абстракции трудными, и они по-своему правы, но абстракции не были бы нужны, если бы они не были лёгкими в некотором другом отношении. Действительно, решить абстрактную задачу легче (если вы на это способны), чем возиться с каждым частным случаем. Этот контраст хорошо виден в случае текстовых задач. Для математиков они так легки, что некоторые (например, Моррис Клайн (2)) не понимают их важности. С другой стороны, для людей с неразвитым абстрактным мышлением (некоторые из которых к сожалению преподают математику) текстовые задачи невероятно трудны. Происходит это потому, что каждый тип текстовых задач — это маленькое замыкание: как только вы усвоили общую идею, вы можете применять её ко многим частным случаям. Таким образом, текстовые задачи дают попробовать вкус абстрактной работы каждому, кто может справиться с ними. Давайте учить всех детей решать их.

 

(1) An Agenda for Action. Recommendations for School Mathematics of the 1980s. NCTM, Reston, VA, 1980.

(2) Kline, M. Why Johnny can’t add: the failure of the new math. New York, St. Martin Press, 1973.

(3) Ларичев П. А. Сборник задач по алгебре. Часть первая для 6-8 классов. Москва, Учпедгиз, 1961.

(4) Заочные математические олимпиады. Н. Васильев, В. Гутенмахер, Ж. Раббот, А. Тоом. 2-е издание, Москва, Наука, 1986.

(5) Математика 4. Учебник для четвёртого класса начальной школы. Под редакцией Ю. М. Колягина. Москва, Просвещение, 1992.

(6) Пойа, Д. Математическое открытие. Москва, Наука, 1970.

(7) Raimi, R. Частное сообщение по электронной почте.

(8) Curriculum and evaluation standards for school mathematics. NCTM, March 1989.

(9) Thorndike, E. The psychology of algebra. The Macmillan Company, New York,1926.

(10) Тоом А. Как я учу решать текстовые задачи. М.: Математика. 2004, № 47 (перевод с португальского).

(11) Учитель математики – Mathematics teacher – главный журнал для преподавателей математики в старших классах школы в США.

(12) Usiskin Z. What should not be in the algebra and geometry curricula of average college-bound students? Mathematics Teacher, v. 88, n. 2. February 1995, pp. 156-164.

(13) Usiskin Z. Why is algebra important to learn? American Educator, v. 19, n. 1, Spring 1995, pp. 30-37.

(14) Выготский Л. Мышление и речь. Собрание сочинений в 6 томах. Москва, Педагогика. Том 2, 1982.

 

Комментарий автора для русского издания. Оригинал статьи опубликован как Andre Toom. Between childhood and mathematics: word problems in mathematical education. Humanistic Mathematics nеtwork journal, Issue #20, July 1999, pp. 25-32, 44. Перевод статьи на русский язык выполнен автором.

А. В. Шевкин. Августовские тезисы

26.04.2017

К конференции учителей математики ЮАО Москвы

 

Я получил задание от своего окружного методиста сказать несколько слов (минут на 15-20) о стандартах и примерных федеральных программах, об учебниках для профильной школы на августовской конференции учителей математики. Мне бы хотелось еще коснуться нового этапа реформы и новых веяний в оплате труда учителя. Сказать по затронутым темам что-либо полно в отведенное время практически невозможно, поэтому ограничусь тезисами, и укажу источники, где эти темы освещены подробнее.

 

1) Стандарты еще не приняты Думой, они подписаны В.М.Филипповым перед уходом с поста министра образования. Они имеют статус отраслевого закона, опубликованы в журнале «Математика в школе» (№ 4/04), а до того были помещены на сайте «Математика. Школа. Будущее» (адрес: www.shevkin.ru).     

 

2)  Цель стандартов. Провозглашаемые цели повторять не буду, о них можно прочитать у «реформаторов». Но есть и подспудные цели, которые не объявляют открыто. Дело в том, что образование, при условии бесплатности и равного доступа к нему, перемешивает социальные слои общества, а «реформаторы» стремятся через образование закрепить социальное неравенство, сложившееся в результате той приватизации, которую нам провели. Так что бедным — усеченное по содержанию основных предметов и по обеспечению «часами» образование для бедных и уроки болтологии, а богатым — нормальное образование, но за деньги. Эта деятельность идет вразрез со статьей 43 Конституции РФ, пункты 1 и 2 которой гласят:

 

1. Каждый имеет право на образование.

 

2. Гарантируются общедоступность и бесплатность дошкольного, основного общего и среднего профессионального образования в государственных или муниципальных образовательных учреждениях и на предприятиях.

 

Мы же понимаем, что изуродованное до неузнаваемости бесплатное и общедоступное образование перестает быть образованием в полном смысле этого слова.

 

Что предлагают «реформаторы»? Они говорят: дети перегружены, не усваивают 40% информации — урезайте 40% содержания обучения! Вы думаете это по недомыслию? Нет! «Не усваивают» это только повод для урезания, которое и является целью реформаторов.

Под фальшивым предлогом заботы о больных и слабых общедоступное бесплатное образование урезают для всех — для здоровых и сильных в том числе! И по математике, и по русскому языку, и по литературе — основополагающим предметам!

Это мы уже проходили. Петр Аркадьевич Столыпин считал, что «создавая законы, необходимо иметь в виду разумных и сильных, а не пьяных и слабых». Если бы послушали П.А.Столыпина, то разумные и сильные смогли бы прокормить не только себя, но и за счет налогов поддержать пьяных и слабых. Но беда в том, что разумные и сильные не смогли бы быть зависимыми от власти, от ее указаний, где и что сеять и т.п. Этого власти не могли допустить ни под каким предлогом. Здоровых и сильных назвали «кулаками». Их уничтожили как класс. А результат? О нем хорошо сказал Уинстон Черчилль: «Я думал, что умру от старости, но, когда я узнал, что Россия, которая кормила всю Европу, стала покупать хлеб, я понял, что умру от смеха…». (Обе цитаты из статьи Е.Батуриной (КП, 18.08.2004). Но нам-то с вами не до смеха.

 

В образовании делают то же самое. Создают стандарты для больных и слабых, ссылаясь на мифическую перегрузку школьников. Но даже этой объявленной цели не достигают! Урезав математическое образование от 1 до 9 класса в содержании и в часах, они перенесли много вопросов в старшую школу, добавили туда — как обязательные вопросы — элементы комбинаторики с биномом Ньютона, элементы теории вероятностей и статистики. Перегрузили, а потом разрешили некоторые вопросы не изучать, выделив их курсивом. Например, понятие степени с действительным показателем можно не изучать, а свойства этой степени изучать надо. Это недоразумение, но далеко не единственное.

 

Вы спросите, зачем это сделали? Отвечаю. Содержание образования для бесплатной общедоступной школы сократить побоялись. Вся работа велась без связи с Академией наук РФ, не хотели скандала. Зато теперь, когда пройдет эксперимент, и мы же с вами скажем, что в отведенное время заданный объем содержания невозможно изучить качественно, у «реформаторов» появится аргумент к более решительным действиям. В соответствии с «пожеланиями трудящихся» нам урежут программу «для всех».

 

Вот тогда, наконец, «реформаторы» получат страстно желаемую ими общедоступную и бесплатную тупиковую школу вроде ЦПШ (церковно-приходская школа) или дореволюционного городского училища, дававшего высшее начальное образование (!), с которым, разумеется, в университеты не брали. Нам строят модель школы, не перемешивающей социальные слои. Действительно, почему дети и внуки бедного должны конкурировать в университете с детьми и внуками богатого? Умный и здоровый, да еще хорошо образованный не сможет быть зависимым от власти богатых. Так что важность школы, проводящей социальную селекцию, «реформаторы» понимают! Они хотят превратить систему общедоступного бесплатного образования в систему навязанного невежества, а о пользе для государства и общества в равных для всех шансах на получение образования они давно перестали думать. «Реформаторов» трудно заподозрить в защите интересов бедных слоев населения, к которым относятся и учителя, у которых тоже есть дети и внуки.

 

Стандарты, если уж их делать как следует, должны быть ориентированы на сильных, старательных и здоровых, но должны содержать критерии, по которым можно было бы определить, получил ли образование слабый, ленивый или больной. Эти критерии могут быть и разумными, и гуманными. Можно даже изменить нашу пятибалльную систему так, чтобы «двойка» считалась положительной отметкой — зачем нам две отрицательные отметки? Подробно это предложение изложено в статье «Московские “двоечники“ могут спать спокойно, согласно Закону “Об общем образовании в Москве“» («Математика», № 23/04). Тогда, усовершенствовав еще и систему управления образованием, мы получили бы нормально ориентированную систему образования — без вранья и липовых «троек». Систему, дающую крепкое образование сильным, старательным и здоровым, которые будут обеспечивать себя, поддерживая через налоги слабых, ленивых и больных — одним государство будет платить пенсии, другим пособие по безработице. Ну а что будет, если мы сильных и здоровых будем учить как слабых и больных — вы и без меня знаете. Дадим еще один повод нашим «друзьям» помирать от смеха.

 

3)  Теперь о федеральных программах. Еще год назад в статье «Заметки на полях доклада академика Э.Д.Днепрова» (размещена на том же сайте) я предсказывал, что «реформаторы» поводят-поводят нас по пустыне стандартов и приведут опять к программам. Об этом говорил и сам Э.Д.Днепров — как о перспективе. Так что разговор о федеральных программах меня радует. До недавних пор считалось, что каждая школа, чуть ли не каждый учитель вольны писать свою программу в рамках стандартов, а это разрушало образовательное пространство страны. Может быть начинается возвращение на круги своя? Но кроме разговора пока ничего нет. Таких программ не читал.

4)  Несколько слов об учебниках для профильной школы. В статье «Об учебниках для профильной школы», в газете «Первое сентября», № 33/04, мы с М.К.Потаповым высказали идею о том, что для работы в профильной школе пригодятся учебники, рассчитанные на несколько уровней обучения. Эти учебники не должны содержать весь без исключения новый материал, «приживаемость» в школе которого еще не ясна. Но кто нас слушает? Министерство уже дало задание привести все учебники в соответствие со стандартами. Им не жалко портить учебники! Обновленный вариант статьи будет опубликован в журнале «Математика в школе» (№ 7/04).

 

Я лично считаю, что построение профильной школы в обязательном порядке с определенного года — не рядом, а вместо общеобразовательной школы — преступно. Это эксперимент с неизвестным результатом. Если он не удастся, то отступать будет некуда — общеобразовательная школа уже будет разрушена.

 

Идея многоуровневых учебников подробно изложена в брошюре «Разработка концепции многоуровневого учебника и ее реализация в учебниках серии «МГУ-школе», которая имеется на сайте. Эта работа (концепция и ее реализация) авторского коллектива академика С.М.Никольского выдвинута на соискание премии Президента РФ в области образования. Решения по премии еще нет, я готов к тому, что оно будет отрицательным — уж очень сильно мы везде критикуем «реформу» образования. Я не буду считать это провалом, буду гордиться, что мехмат МГУ выдвигал нашу работу на высокую премию. Как и теперь горжусь, что дважды номинировался на звание «Заслуженный учитель» (спасибо моей родной школе № 679).

 

5) Теперь о втором этапе реформы — он касается реформирования системы оплаты труда учителя. Утомлять вас подробностями не буду, так как три страницы моих комментариев «Еще одна степень свободы для образования — по Пинскому» к статье Анатолия Аркадьевича в «УГ» (01.06.04) и ссылка на его статью есть на сайте. Тем более что я вам уже кое-что рассказал. Заинтригую только эпиграфом, заимствованным у В.С.Черномырдина: «Нас никто не может упрекнуть в том, что у нас хорошие помыслы». И скажу, что платить обещают не за количество уроков, а за количество и качество услуг, предоставляемых населению.

 

6)  Так как скоро нам с вами идти в школу, то закончить хочется на лирической ноте. Я прочитаю вам подходящее к нашему случаю стихотворение замечательного директора Нелидовской школы-интерната, где я учился в 60-е годы — Михаила Николаевича Максимовского.

 

Заветное

 

Звонят звоночки школьные —

Звонок!

Звонок!

Звонок!

С урока. На контрольную.

И снова на урок.

Какими бы усталыми

мы ни были в тот час —

Торопимся с журналами

В свой непутевый класс.

«Злодеи» унимаются,

 

И в классе тишина,

И сказка начинается,

И быль чудес полна,

И солнце отражается

От школьного окна.

 

Нет, это не идиллии —

От них мы далеки!

Но в этом классе были мы,

Но этот класс любили мы,

Сердцами заплатили мы

За школьные звонки!

 

Поздравляю вас с наступающим учебным годом и желаю вам здоровья, производной от которого станут успехи — ваши и ваших учеников.

Еще одна степень свободы для образования — по Пинскому

26.04.2017

«Нас никто не может упрекнуть
в том, что у нас хорошие помыслы».
В.С.Черномырдин

1 июня 2004 г. «Учительская газета» опубликовала программную статью Еще одна степень свободы, или Как “открыть” образование. Кому же адресовал ее член Российского общественного совета развития образования А.А.Пинский? Видимо, учителям. Чему посвятил? Реформированию образования, школьного в том числе.

Давайте вспомним, как все начиналось совсем недавно. Говорили о реформе образования, о 12-летке, ЕГЭ, ГИФО, потом о модернизации, стандартах, профильной школе… Общество и учительство не спросили о сути предлагаемых реформ и их перспективах (если бы спросили, то очень многого и многозатратного можно было бы избежать). Из того, о чем говорили, ничего не сделали толком: 12-летка не прошла, ЕГЭ вот-вот развалится… Здесь возможны два пути. Можно спросить с того, кто все это спланировал, осуществил с колоссальной растратой бюджетных средств, учительских сил и нервов, понять, в чем состояла ошибка, кто за нее отвечает… и только тогда планировать следующий этап работы, стараясь избежать уже допущенных ошибок. А можно «замотать» разговор об ошибках, навязав обществу новый виток реформ под прикрытием трескучих и непонятных фраз вроде «институциональная реформа образования». Поставить новые и непонятные задачи.

Первый путь необходим, если заботиться об общественном благе, а второй неизбежен, если стараться уйти от ответственности за содеянное с образованием и заботиться о благе личном. Так можно обеспечить себя работой на много лет вперед — ведь без того, кто поставил непонятные задачи, не разобраться!

А.А.Пинский совсем не удивляет меня своим нежеланием идти по первому пути. Ему хочется еще поуправлять реформой образования — еще не все задачи решены так, как задумано. Анатолий Аркадьевич говорит нам о еще одной степени свободы для образования, а мне видится, что стоит он у открытой могилы отечественной бесплатной общедоступной школы и говорит: «Она обрела еще одну степень свободы»…

Но нет! Школа и образование пока еще живы — вопреки заботам «реформаторов»! И это главная их ошибка. Они явно не рассчитывали на такую живучесть. Не удалось быстро обанкротить школьное образование, урезав его до неузнаваемости, доведя до уровня церковно-приходской школы. Не удалось окончательно разогнать нищенской зарплатой знающих себе цену сильных учителей. Ошибочка вышла, учителя еще держатся. Ладно, возьмем их измором, — решили «реформаторы», — навяжем им конкуренцию и оплату по количеству и качеству предоставленных услуг. Это при условии, что не существует методики определения качества труда учителя по результату, показанному учеником — уж очень этот результат зависит от особенностей ученика — его отношения к учебе, способностей, состояния здоровья и т.п.

Итак, они решили начать с нового слова — известно же: сначала было слово… Этим новым словом явилась ИНСТИТУЦИОНАЛЬНОСТЬ в самых разных формах. В статье идет речь о глубокой институциональной реформе образования, о необходимости институциональной модернизации системы, упоминаются идеи институционального обеспечения возможностей выбора, вопрос институциональной трансформации старшей школы, утверждается, что система образования институционально устарела. Почему бы в газете для учителей не сказать проще, «по-нашему, по-неученому». Нет, проще никак нельзя, потому что сказать-то нечего!

Вы спросите, почему это Анатолий Аркадьевич в своей статье так часто цитирует Президента? Отвечу: провозглашать новый этап реформы образования без анализа результатов первого этапа в сложившихся условиях можно только с опорой на авторитет Президента, рейтинг которого пока еще высок. У Президента отчета никто не спросит, но только наивные люди полагают, что сказанное Президентом о реформе образования сочинено им же самим без помощи консультантов из общественного совета развития образования, каковым и является Анатолий Аркадьевич! Так что ссылается он, скорее всего, на свои же слова, освящая их именем Президента. Дальновидно, но как-то не благородно по отношению к Президенту!

Что же предлагает Анатолий Аркадьевич, чего еще он хочет сделать с нашим образованием? Давайте прочитаем, не различая по указанной выше причине слова Президента, выделенные автором, и слова самого автора обсуждаемой статьи. Сначала автор говорит: «Новая повестка дня образовательной реформы… должна иметь своей основой систему принципиальных установок по вопросам образования Президента России. Некоторые из этих установок уже начали осуществляться, но реализация фундаментальных, системообразующих тезисов президента пока еще далека от завершения».

И дальше вместо анализа причин провала первого этапа реформы (назовем вещи своими именами!), то есть вместо объяснения, почему не решена прежняя задача, он ставит новую: «По словам Президента, образование является той сферой, где необходимо значительно “расширять действие экономических механизмов”.

При этом ставится новая цель — повышение качества образовательных услуг, оказываемых людям учебными заведениями. А оно и так растет! Растет потому, что система управления образованием работает без обратной связи, точнее, заказывает и получает только радующую ее искаженную информацию, которая не может быть иной в условиях лживости системы оценивания учебных успехов учащихся! Об обратной связи автор статьи тоже пишет. Но кто же мешал ему на первом этапе реформы начать с реформирования системы управления образованием, системы сбора данных, системы учета труда в сфере образования и его оплаты, системы оценки ученического труда? Вот и прячется А.А.Пинский за спину Президента, чтобы не признавать, что реформу начали не с того, с чего следовало бы начинать: «Президент утверждает, что для решения задачи роста качества образовательных услуг “сегодня уже мало механически наращивать финансовые вложения” в сферу образования. Должен быть изменен сам экономический механизм, что влечет за собой необходимость институциональной модернизации системы, а именно: “Финансировать надо не само учреждение, не учебное заведение, как таковое. Платить надо за качество и количество оказываемых услуг. <…> Это не просто, но это один из наиболее эффективных путей решения проблемы”. Президент еще раз подчеркивает: «Важно ощутимо поднять качество услуг, которые социальная сфера (в том числе, и образование) оказывает гражданам. Для этого необходимо модернизировать механизм финансирования социальной сферы. Деньги должны поступать социальным учреждениям (соответственно — и образовательным в том числе) не просто за то, что они числятся в бюджетной ведомости, а за оказание конкретным людям услуг должного содержания и качества”. При этом, конечно же, “мы должны и будем сохранять бесплатную сферу социального обеспечения — в образовании и медицине — как базовую. Параллельно будем развивать платные социальные системы — для той категории людей, которые хотят и могут платить”.

Интересно, кто это дезинформировал Президента о механическом наращивании финансовых вложений в образование? Вложения в реформаторов образования, в стандарты, в ЕГЭ, в непродуманные эксперименты на детях — это не вложения в образование, это вложения в порчу образования. Растрата средств поражает своим размахом и изобретательностью. Так при реформировании Федерального экспертного совета в рамках подкомпонента «Повышение качества учебников» израсходовали 497 тыс. долларов США, программа «Реорганизация Федерального экспертного совета» потребовала 200 тыс. долларов США, на «Реформу учебного книгоиздания» получено 19,7 млн. долларов США
(И. Стрелкова, 11.06.2003, «Правда»). Это при том, что учителя много лет находятся за чертой бедности, школьные здания разваливаются и горят. О каком механическом наращивании финансовых вложений Вы говорите? Вы пишете про рост расходов консолидированного бюджета на образование в последние 3-5 лет, но мы в школе никакого роста не ощущаем. Мы знаем о кратном снижении государственных образовательных расходов по сравнению с критикуемым Вами временем социализма. Мы знаем, что государство перекладывает бремя расходов за поддержание зданий школ и их оборудование на родителей учащихся — мы же сами вынуждены собирать с них деньги на парты и ремонт классов! Да и с чего бы гореть школьным зданиям в массовом порядке при надлежащей государственной заботе?

А теперь очень хочется спросить у Анатолия Аркадьевича по поводу цитируемых им высказываний: если предлагаемые Вами меры способны улучшить содержание и поднять качество образовательных услуг, предоставляемых конкретным людям, то почему захотят платить за образовательные услуги те, кто может платить? За то, что положено бесплатно, платить никто не будет! Чтобы создать рынок образовательных услуг, Вам требуется создать никчемное бесплатное образование «для всех» и чего-то стоящее платное «для тех, кто может платить». Только явно объявить такую цель Вам мешает отсутствие общественного согласия с нею. Вот Ваша настоящая цель, вот почему Вы разрушаете общедоступное бесплатное образование под видом разгрузки учащихся. Вот почему Вы строите профильную школу не рядом, а вместо общеобразовательной! Вам хочется ускорить движение системы образования в заданном направлении, и Вы ссылаетесь на Президента: “Трудно и медленно формируется у нас рынок услуг. <…> Крайне медленно у нас идут преобразования в социальной сфере. Затягивание реформ здравоохранения, образования по-прежнему не позволяет нам в полной мере обеспечить надлежащее качество этих услуг”.

Ваша забота о качестве образовательных услуг в бесплатной общедоступной школе лицемерна. Вы вместе с Э.Д.Днепровым заняты «усечением» общедоступного образования вовсе не потому, что школьники перегружены, а потому, что, «усекая» общедоступное образование «для всех», Вы стремитесь к созданию упомянутого Вами рынка образовательных услуг «для тех, кто может платить». Впрочем, об этом Вы тоже пишете, напуская туману: «Главная цель — рост качества образовательных услуг за счет становления социально ориентированного образовательного рынка, при сохранении ведущей регулирующей роли государства». Теперь скажу несколько слов о рынке и конкуренции, которые Вы собираетесь ввести, не пересмотрев систему стимулов ученического и учительского труда. Они с образованием сыграют ту же роль, которую на нашей памяти сыграло ускорение с ослабленной социалистической экономикой. Быть может, именно такую цель Вы и ставите?

На всякий случай Вы открещиваетесь от собственных мыслей: «При этом, конечно же, идея рыночной организации вовсе не тождественна идее приватизации учебных заведений». Только не надо упрекать своих оппонентов в спекуляции мнимой тождественностью понятий “рынка” и “приватизации”. Вы же проговариваетесь пару раз на 2,5 страницах текста про не устраивающую Вас тотальную организационно-правовую форму «учреждение». А нам известно, что предложение «реформаторов» перейти от формы «учреждение» к форме «предприятие» как раз и преследовало, как конечную цель, приватизацию образования.

Вы пишете о важнейшей задаче построения системы образования, открытой обществу. Вот и начните с себя! Откройте обществу информацию о способах реформирования образования на первом этапе, о закулисных механизмах подготовки и принятия решений, о неподготовленных экспериментах на детях, о бюджете реформы и (не)целесообразности его расходования! Старинная просьба «Врачу! Исцелися сам!» остается актуальной и в наши дни.

Хочется верить в искренность Ваших призывов к расширению прямого участия общественности в управлении учебными заведениями, но мешает вопрос: Вы серьезно верите, что поставленные Вами задачи позволит решить общественное управление церковно-приходской школой, в которую Вы стараетесь превратить общедоступную общеобразовательную школу, доставшуюся нам от прошлого? Или общественное управление нужно Вам именно для того, чтобы окончательно добить прежнюю школу?

Не буду хитрить: я и не ожидал прочитать у господина А.А. Пинского что-то действительно полезное для образования, так как знаю, что Анатолий Аркадьевич и не собирается поднимать общедоступное бесплатное образование, обрушенное за последние годы. Об этом он чудесным образом проговорился в кулуарах одного обсуждения в «Новой газете» в 2001 г. Вот как описал этот диалог участник разговора А.М.Шкроб: «В перерыве я говорил с Пинским и понял, что он имел в виду. Он согласился. Более того, он даже развил эту мысль. Они хотят не школу лучше, они хотят школу другую… А цель такая, что нам больше не нужна та школа, которая существует, и не потому, что там учат слишком много математике, а потому, что слишком много математики не нужно сейчас выпускникам. Им некуда приложить эту математику. Пинский сказал, что в постиндустриальном обществе, каким, например, является Америка, большая часть населения обслуживает меньшую часть. Понимается в сфере услуг. Ну зачем им это знать. Действительно, Америка, которая собирает специалистов, перекупает в сущности их со всех концов земли, вероятно, может себе позволить такую роскошь [иметь плохое массовое образование. — А.Ш.]. Я полагаю, что те школьники, которые сейчас пойдут в школу, должны будут восстанавливать, пользуясь старой терминологией, народное хозяйство, восстанавливать промышленность, которая разрушена за последние годы. И когда я ему это сказал, он говорит: помилуйте, зачем, ведь есть же международная кооперация? Нам это не нужно больше».

Откровеннее не скажешь! Целью реформирования и «усечения» образования является закрепление за Россией статуса второразрядного сырьевого придатка постиндустриальных стран. Что же на этот счет Вы не запаслись цитатой Президента? Или Президент думает иначе и не догадывается об истинных целях нового этапа реформы, который Вы начинаете, прикрываясь его именем?

Так нужно ли идти по пути, указанному А.А. Пинским, к упомянутой последней степени свободы для бесплатной общедоступной школы? Или сначала надо послушать отчет «реформаторов» перед независимой комиссией о проделанной работе, обратив особое внимание на связь оплаты их труда с количеством и качеством услуг, оказанных ими системе образования? Жаль, что «реформаторы» не догадались начать “расширять действие экономических механизмов” с себя, начать платить себе “за качество и количество оказываемых услуг”. Тогда бы мы имели другую реформу образования.

Дополнения

1) Через десять дней после написания первого варианта этой статьи довелось мне читать лекции учителям математики на курсах повышения квалификации в Региональном центре развития образования в Великом Новгороде (по-старому: в Институте усовершенствования учителей). На лекции, посвященные работе по новым учебникам, не смогли приехать многие учителя из дальних районов области. Они хотели бы приехать, потому что уже работают по этим учебникам, но не смогли, так как проезд на курсы, проживание в городе теперь не оплачивают. Приехали на курсы лишь те, кто смог оплатить проезд, т.е. из ближних к Великому Новгороду районов. Замечу, что теперь время, затраченное учителем на повышение квалификации, вычитается из его педагогического стажа: чем больше учитель учится, чтобы повысить качество своей работы, тем позже он получит пенсию по выслуге лет, тем больше он потратит денег из своей нищенской зарплаты на проезд, питание, проживание в городе!

В известном мне районе Новгородской области мизерные деньги на методическую литературу не платят уже полгода, а зарплату задерживают на две, три и более недель. Теперь об обязанностях классного руководителя. Одна учительница рассказала, что в их школе классный руководитель обязан не только собрать с родителей деньги на ремонт, но и сделать ремонт класса. Такова ситуация вовсе не в одном районе. Хорошо «реформаторам» говорить о росте финансовых вложений в образование, да еще упрекать учителя в недостаточном качестве его работы, но что они сделали для того, чтобы создаваемые ими «финансовые механизмы» не обкрадывали учителя, не ухудшали его и без того безрадостную жизнь?

2) Упомянутый выше Э.Д.Днепров тоже отличился в упомянутой выше дискуссии. Тоже сравнением нашего образования с американским. Вчитайтесь и вдумайтесь в слова идеолога стандартов, навязанных школе: «Я приведу только один пример. У нас понятий по физике за весь школьный курс 1300, в Англии — 600, в Штатах — 300. Нобелевских лауреатов по физике почему-то больше в Соединенных Штатах. Нас, что устраивает такое содержание образования? Оно предельно устарело». Эти потрясающие выводы, выходящие за пределы нормальной логики, принадлежат одному из руководителей реформы образования, бывшему министру образования, академику РАО — даже неловко комментировать! Почему Э.Д. Днепрова нельзя было близко допускать к образованию, вы поймете, прочитав мою статью Заметки на полях доклада академика Э.Д.Днепрова, написанную с ним «в соавторстве».  

А. В. Шевкин. Образование, которое мы можем потерять

26.04.2017

Уважаемые посетители сайта!

Первое издание книги «Образование, которое мы можем потерять» вышло мизерным тиражом 4200 экземпляров, второе (дополненное) еще меньшим — 3700. Если вас интересует этот уникальный документ, то вы можете не ограничиваться выборочным пересказом важных мест, приведенных в моей рецензии Достойны ли мы богатства, которое пока что имеем? для газеты «Первое сентября» или обсуждениями, ссылки на которые мы приводим ниже, а обратиться к источнику.

Чтение книги укрепит вас в мысли, что еще не все потеряно, что образование некогда великой в этом отношении державы еще не проиграно окончательно.
Да, «реформаторы» образования считают, что нам не нужно так много образования, будто бы не знают, что образования не бывает слишком много. Об этом симпатично проговорился в кулуарах собрания, организованного «Новой газетой», один из идеологов «реформы» А.А.Пинский. Передаю суть диалога приблизительно:
— Нам нужно образование, чтобы восстановить промышленность.
— Зачем? Ведь есть международное разделение труда…
Вдумайтесь! Один из влиятельнейших консультантов прежнего министра образования считал, что восстанавливать обрушенное образование незачем!
Действительно, зачем России претендовать на роль сверхдержавы в образовании, что очень реально потому, что еще живы учителя, которые помнят, как надо учить правильно? Россия может оставаться Большой Верхней Вольтой с Ржавыми Ракетами. В этом качестве она уже не составит конкуренции ведущим мировым державам, претендующим на право управления миром и рассматривающим Россию как свой сырьевой придаток. Отмечу, что разведанных запасов нефти в России осталось на 19 лет при сохранении сегодняшних темпов добычи. Что будем делать лет через 20, когда от образования в России (а значит, от высоких технологий, эффективной обороны и пр.) останутся одни воспоминания?

А кто дал А.А.Пинскому и В.М.Филиппову право говорить от имени всей России?

Разве мы провели референдум? Разве большинство граждан нашей страны согласилось на роль Большой Верхней Вольты с Ржавыми Ракетами? От чьего имени «реформаторы» творят свое дело, зарабатывая свои деньги здесь и сейчас? Кто в нашей стране их уполномочил? То, что их деятельность поддерживают за рубежом, подтверждено награждением орденом Почетного легиона нашего бывшего министра образования). Это должно настораживать думающего россиянина!

Впрочем, не будем навязывать свою точку зрения. Читайте первоисточник: Образование, которое мы можем потерять.

Обсуждение книги и реакцию на нее смотрите здесь:

http://bashkortostan.km.ru/magazin/view.asp?id=0C0C1177A52E47299EA1641D9C60FA1D

http://www.phys.msu.ru/rus/about/sovphys/ISSUES-2002/5(30)-2002/obrazovanie-kotoroe

http://www.openrussia.info/index.php3?&id=2947

http://www.rseu.ru/Academy/Archives/172-173/enso.htm

http://www.mathsoc.spb.ru/forum/reform02.html  

И. Ф. Шарыгин. Об утечке мозгов

26.04.2017

Несколько лет тому назад меня пригласили на телевидение принять участие в какой-то телепередаче. Со стороны тех, кто меня пригласил, это была явная глупость. Но еще большую глупость совершил я, приняв это приглашение. Передача называлась, кажется, «Добрый день». Программа, в которой я принимал участие, была посвящена двум темам. Вначале говорили об отъезде наших молодых девушек за рубеж, принявшем в последнее время массовый характер (эту часть передачи я просидел за ширмой). Затем обсуждали так называемую «утечку мозгов».

Принимавший участие в передаче известный писатель выступал в качестве эксперта по обеим вопросам. Само соединение этих двух, столь далеких (на первый взгляд) тем показалось мне забавным. Я даже попытался съязвить, мол, наконец-то проблема утечки мозгов вышла на серьезный уровень и даже поставлена в один ряд с волнующей всех «утечкой … этого самого» (я не смог подобрать нужного слова, то есть нужного и приличного).

Конечно, нет ничего глупее, чем принимать участие в теледискуссиях. При этом, чем важнее обсуждаемая тема, тем бессмысленнее сама дискуссия и ничтожнее результат. В моем случае все обсуждение темы происходило в течение 10(!)минут. Сначала известный писатель заявил, что не видит ничего плохого в означенной «утечке». Произнес даже какие-то слова в качестве аргумента. Я же настолько опешил от этого заявления, что начал выкрикивать что-то нечленораздельное, пока меня не остановила ведущая.

И вот теперь по прошествии нескольких лет я решил вернуться к этой теме, которая, к сожалению, все еще актуальна. А может, стала еще более актуальной. Наблюдая за многочисленными шоу-дискуссиями, шоу-конкурсами по телевизору, убеждаешься в том, что «утечка мозгов» уже дает конкретные и видимые результаты.

Кроме того, означенная тема имеет самое непосредственное отношение к статье, к которой она прилагается, иллюстрируя и развивая основные положения статьи.

Начну с того, что напомню немного историю. «Утечка мозгов», это процесс, который начался примерно 40 лет назад во времена Советского Союза. Прошла «оттепель», слегка приоткрылся «железный занавес» и в образовавшуюся щель не то чтобы хлынул, но потек небольшой поток из новоэмигрантов. Поток этот направлялся в Израиль. Перевалочным пунктом служила Вена. Кому-то удавалось прямо из Вены, минуя Израиль, попасть в США. Но многие все же добиралось именно до Израиля и либо оседали там, либо позднее перебирались в другую страну.

Впрочем, назвать начавшийся процесс «утечкой мозгов» было бы неправильно. Пропускная способность канала была ничтожно мала. Надо было получить приглашение с «той » стороны, то есть из Израиля и доказать, что ты «еврей» в каком-то колене или что твой ближайший родственник еврей. Некоторые специально, чтобы иметь возможность уехать, женились на еврейках. Власти также не раздавали налево и направо разрешения на выезд. Стандартным поводом для отказа было наличие допуска к секретным работам. Возникло целое сообщество так называемых «отказников».

Кроме того, профессиональный уровень большинства отъезжающих был не столь высок, чтобы о них сожалеть. Очень многие попросту не состоялись в профессиональном плане и пытались придать себе вес участием в умеренных политических акциях и движении диссидентов. Эту первую после оттепели волну эмиграции можно определить, как еврейско-диссидентскую.

Власти иногда использовали образовавшийся канал, чтобы избавиться от некоторых одиозных личностей (безусловно, пользовались им и спецслужбы, но здесь ничего, кроме догадок). Так, например, руководство страны долго не могло решить проблему известного философа Александра Зиновьева. Одно время ему предлагали эмигрировать в Израиль. Александру Александровичу даже пришлось доказывать в райкоме, куда его пригласили, что он не еврей (рассказ самого Зиновьева.) Ему поверили и нашли другой способ избавиться. И еще одно важное обстоятельство. В первое время все уезжающие должны были оплатить затраты на свое образование. Не могу сказать, поскольку не знаю, как зависела сумма выплаты от учебного заведения и стажа работы по специальности. Важен факт.

Мировая общественность усмотрела в этом требовании нарушение прав человека, и под давлением этой самой общественности оно было отменено. Когда это точно произошло, сказать затрудняюсь. Итак, процесс, который нынче мы называем «утечкой мозгов», длится уже примерно четыре десятилетия, целое поколение. «Мозги» — это всего лишь часть общего эмиграционного потока, исходящего из России. С приходом эры «демократии» размеры этой части значительно выросли. Уезжают молодые, талантливые и образованные люди. Почему? Что нужно ученому? По сути, ему нужно очень мало и даже всего лишь возможность заниматься любимым делом. Но именно этой возможности ученые сегодняшней России не имеют. О какой науке может идти речь, если жизнь превращается в сплошную борьбу за существование. Прямо как в первобытные времена.

Честно говоря, я не слишком хорошо представляю нынешнюю ситуацию в полной мере, а более или менее знаком c тем, что происходит в науках математических, в том числе и в математическом образовании. Особое и выигрышное положение математики состоит в том, что для занятий математикой и для обучения ей не нужно дорогостоящее и специальное оборудование. Возможно, в этом состоит одна из причин, почему Россия все еще сохраняет высокий уровень и математического образования и математической науки (плюс, конечно, традиции и люди). А этот высокий уровень является в свою очередь причиной продолжающейся «утечки» ученых и специалистов, получивших математическое образование в России. Это также доказывает, что, несмотря на очевидное снижение уровня математического образования в стране в своей высшей элитарной части оно по-прежнему является одним из лучших в мире, причем реально, а не только потенциально. Количество уехавших математиков и ученых смежных специальностей я боюсь даже оценивать. На любой международной Конференции по математике или математическому образованию вы можете встретить «бывший наш народ», причем количество этих «бывших» обычно намного превышает число делегатов из нынешней России. В последние десятилетия (полтора-два) процесс утечки несколько изменился. Во-первых, возраст уезжающих ученых значительно снизился. Представители старшего и среднего поколения, пожелавшие уехать, давно уехали. Уезжают теперь выпускники ведущих Вузов, не успевшие отработать и одного дня. Уже начали уезжать выпускники школ, причем лучшие, победители различных олимпиад. Убежден, что из числа победителей математических олимпиад самого высокого уровня (Международных, Всероссийских) последних 15-20 лет уехало из России не менее половины.

В условиях Глобализации наиболее развитые страны предпочитают размещать некоторые предприятия (заводы, фабрики) в отсталых странах, где рабочая сила более дешевая. И готовить себе высококлассных специалистов (по некоторым специальностям) они также любят в странах, где уровень жизни невысок, но имеется хорошая Система Образования. Это намного дешевле, чем готовить специалистов у себя. В Москве уже есть учебные заведения, выпускники которых чуть ли не поголовно уезжают в США. И это учебные заведения именно физико-математического направления. (Говорят, что один выпуск лучшей физико-математической школы Москвы, школы № 57, целиком, хотя и не сразу, перебрался за океан. Московский Независимый Университет готовит специалистов почти исключительно для дальнего зарубежья.)

А во-вторых, большое распространение в последние годы получила, если так можно выразиться, полуэмиграция. Здесь имеется много разновидностей и оттенков, и стричь всех под одну гребенку не следует. С одного края находятся ученые, работающие в основном в России и время от времени выезжающие за рубеж, причем не только в развитые страны, чтобы немного пополнить семейный бюджет. С другого — наоборот, ученые, в основном проживающие с семьями на Западе, работающие и преподающие там, но изредка возвращающиеся на родину, чтобы отдохнуть и напомнить о себе. Эти последние, как правило, занимают очень высокие, руководящие посты в России и ни в коем случае не собираются их терять.

Продолжающаяся «утечка мозгов» хорошо иллюстрирует многие тезисы основной статьи.

Хорошее Образование представляет собой дорогостоящий рыночный продукт. Впрочем, рыночным продуктом является не столько само Образование, сколько люди, его получившие (в сиюминутном истинно рыночном понимании). Прибыль дает не автомобильный завод, а производимая им продукция.

Но если продолжить эту автомобильную аналогию, то получается абсолютно бредовая картина. Предположим, в некоторой стране имеется означенный завод. Он построен на деньги налогоплательщиков. Все выпускаемые модели разработаны местными инженерами и изготовлены из собственных материалов. Все они высокого качества (речь идет не о России). На внутреннем рынке выпускаемые заводом автомобили стоят достаточно дорого (пока не важно, кто платит за них), зато на внешнем — отдаются бесплатно. Абсурд!

Но именно это происходит в сфере российского Образования. Мне могут возразить, что сравнение неправомерно. Там автомобили, а здесь человек со всеми его правами и свободами. И опять двойной стандарт. Причем многократно двойной. Возьмем хотя бы футболистов и прочих спортсменов. Конечно, получаемые ими деньги несравнимы с зарплатами ученых. Но важно другое. Классный и даже не очень классный футболист является собственностью хозяина клуба. У него имеется четкая рыночная стоимость (у каждого своя), в соответствии с которой он продается и покупается.

Я вовсе не хочу, чтобы в подобном положении оказались и ученые. Но все же, неужели подготовить классного ученого легче и дешевле, чем хорошего футболиста?

Далее! К своим собственным выпускникам США относятся куда как бережнее и расчетливее. Если ты получил образование за счет штата или федерального правительства, то изволь сначала отработать затраченные на тебя деньги, можно и просто их вернуть, а уж потом гуляй, где хочешь.

Безусловно, внутри страны образование должно быть бесплатным, точнее, оплачиваться Государством. И при этом Государство должно требовать со всех уезжающих полную компенсацию своих затрат на образование. Если, конечно, к моменту отъезда, человек эти затраты не окупил.

Наши западники и демократы любят ссылаться на зарубежный опыт: во всем мире так, а у нас… Поступлю также.

Сегодня в России заработная плата ученого или преподавателя самая низкая в мире и в относительном и в абсолютном исчислении. (Возможно кое-где на постсоветском пространстве положение еще хуже, но это там, где уже нет ни образования, ни науки.) Это нельзя объяснить ни экономическими интересами, ни действием рыночных механизмов. Значит, это политика.

Для сравнение можно взять Китай. Это страна бедная. Возможно, в расчете на душу населения Китай беднее России. Но в Китае черта бедности определяется образованием. Человек, получивший высшее образование, по уровню благосостояние соответствует среднему классу. Причем по меркам международным. Заработная плата профессора в Китае обеспечивает ему достаточно высокий уровень жизни. В России же грузчик при овощном магазине получает больше профессора. Российские ученые выталкиваются за рубеж огромным разрывом в материальном, социальном и моральном положении ученого здесь и там. Я полагаю (и это хорошо вписывается в теорию), что разрыв создан искусственно и искусственно же поддерживается. Такая ситуация соответствует классовым интересам Всемирного Интернационала Богатых. Сегодня положение усугубляется еще и тем, что начинается серьезное расслоение внутри научного сообщества России. И это также очень опасно.

Привести конкретные, как сейчас принято говорить, цифры (вот еще один распространенный англицизм: в русском языке понятия число и цифра строго разграничены, в английском языке слово ’number» означает и число и цифру) я не могу, но полагаю, что интеллектуальные потери России сопоставимы с потерями в настоящей горячей войне. Их, конечно, можно оценить и, как принято, в денежном эквиваленте. И здесь речь идет о сотнях миллиардов, конечно же долларов. Только надо иметь в виду, что помимо прямых потерь, есть еще потери и косвенные. При этом косвенность может быть разного уровня. Здесь и наши ученики, получившие худшее, чем могли бы образование, и ученики этих учеников.

Надо не забывать, что наши потери оборачиваются приобретениями для США и их партнеров, увеличивая и без того огромную разность потенциалов. И еще одно, далеко не самое незначительное обстоятельство. Уезжают молодые люди в расцвете сил и даже просто начинающие жить. Здоровые, хорошо развитые интеллектуально и физически, как правило, непьющие. Происходит генетическое ограбление нации. Так что авторы упомянутой в начале телевизионной программы, объединившие столь разные темы, похоже, были не так уж и не правы.  

И. Ф. Шарыгин. Нужна ли школе 21-го века Геометрия?

26.04.2017

Вступление. Развивая мысль Пуанкаре, высказанную еще в начале 20-го столетия, доводя ее в некотором смысле до абсурда, Владимир Арнольд в конце того же столетия говорит: «Математика — это часть физики». Соглашаясь с этой формулой, я все же хотел бы ее продолжить: «А физика — часть геометрии».

И вновь вернемся к началу прошлого столетия. Великий французский архитектор Корбюзье как-то воскликнул: «Все вокруг геометрия!». Сегодня уже в начале 21-го столетия мы можем повторить это восклицание с еще большим изумлением. В самом деле, посмотрите вокруг — всюду геометрия! Современные здания и космические станции, авиалайнеры и подводные лодки, интерьеры квартир и бытовая техника, микросхемы и даже рекламные ролики. Воистину, современная цивилизация — это Цивилизация Геометрии. Геометрические знания и умения, геометрическая культура и развитие являются сегодня профессионально значимыми для многих современных специальностей, для дизайнеров и конструкторов, для рабочих и ученых. И уже этого достаточно, чтобы ответить на вопрос: «Нужна ли в 21-м веке Геометрия в школе?» И все же сегодня мы отчетливо слышим голоса, призывающие, если и не полностью исключить геометрию из школьных программ, то, по крайней мере, значительно сократить программу по Геометрии. При этом голоса эти раздаются и со стороны людей, причисляющих себя (я полагаю, по недоразумению) к профессиональному математическому сообществу. И если де юре Геометрия пока еще сохраняется в (российской) школе, то де факто она почти исчезла. Знакомство же с материалами ЕГЭ вынуждает нас убрать это самое «почти». И вообще, система тестирования несовместима с Геометрией.

Поэтому приходится несколько подробнее ответить на вопрос, зачем нужна школьная Геометрия?

Об Образовании и устройстве мира

Говоря о целях, которые реализуются при изучении того или иного предмета, мы должны исходить из общих целей Системы Образования. А здесь главными являются две: воспроизводство существующей в стране социальной системы и ее развитие. И в зависимости от уровня развития страны и даже просто от качества жизни основной массы жителей ведущей целью является либо первое, либо второе. Понятно, что в этом месте расходятся главные цели образования для стран с высоким уровнем развития и стран отстающих. Проще говоря, для богатых и бедных стран. Понятно также, что копирование слаборазвитыми странами систем образования стран высокоразвитых приведет к сохранению сложившейся иерархии между странами, а значит, стратегически полезно именно странам с наиболее высоким уровнем развития.

Глобализация экономики, создание единой общемировой рыночной системы привели к резкой поляризации в мировой цивилизации. В результате значительной разности потенциалов между полюсами возникли мощные потоки: от одного полюса к другому следуют ресурсы всех видов, природные, людские, интеллектуальные, а обратно направляется готовая продукция и управляющие сигналы. При этом «добавленная стоимость» целиком остается на одном из полюсов, увеличивая эту разность потенциалов. Однако общемировой образовательный ландшафт не совсем соответствует ландшафту экономическому. Да и Система Образования плохо подчиняется рыночному управлению. И в этом таятся определенные угрозы существующей иерархии мира.

Что же касается непосредственно Геометрии, следует заметить, что она является очень мощным средством развития личности в самом широком диапазоне. Возможно, именно по этой причине в странах, где качество жизни большей части населения высоко, Геометрия обычно изучается на очень низком уровне. Ведь Геометрия развивает свойства личности (творческое развитие, нравственное воспитание, независимость суждений и поведения) весьма привлекательные с общечеловеческих позиций, но при широком их распространении угрожающие стабильности отдельно взятому даже процветающему сообществу (страшно подумать, что случиться, если к власти придут творчески думающие и высоконравственные люди).

Даже среди дисциплин математического цикла Геометрия выделяется своим вольнодумством, неким особым свободолюбивым характером, нежеланием подчиняться стандартам, нормам, алгоритмам и даже логике. Поэтому можно понять стремление руководителей разных мастей и уровней ограничить программы по Геометрии, сузить пространство ее учебных целей. («Целью обучения Геометрии является логическое развитие учащихся».)

А с другой стороны, само Образование является элементом рынка. И при разумном подходе страны, не очень преуспевающие в экономике, но с хорошей Системой Образования могут использовать ее элементы на внешнем рынке и помочь себе тем самым экономически. В условиях все той же глобализации Россия могла бы выступать не только в качестве поставщика сырья богатым странам, но и предоставлять услуги по развитию математического образования. Российское математическое образование пока еще котируется в мире. (Кстати, торговля российским математическим образованием уже давно развернулась по всему миру, но дивиденды получают просто отдельные ловкие люди, зачастую просто присвоившие себе не принадлежащую им интеллектуальную собственность.) И возможно, именно школьная Геометрия могла бы здесь сыграть ведущую роль.

В последнее время внимание ученых математиков и специалистов в области математического образования все больше и больше привлекает Элементарная Геометрия. И, на мой взгляд, здесь лидерство России наиболее заметно. Похоже, именно в Геометрии особо заметен евразийский характер русской культуры. В истории Геометрии ярко видны две ветви, западная и восточная. Западная Геометрия строилась по Евклиду, а затем по Декарту. Здесь во главу угла ставились точные логические конструкции, систематичность, общие теории. Восточная Геометрия опиралась на наглядность, Геометрия была скорей элементом Культуры, Искусства, даже Культа, нежели наукой. И эти две ветви тесно переплелись в России, географически и геометрически служившей мостом между Западом и Востоком. Само положение России наиболее благоприятствовало развитию Синтетической Геометрии, которая сегодня особенно привлекает специалистов. И я убежден, что в области преподавания Геометрии мы занимаем лидирующее положение в мире. Нам есть, что предложить миру. Пока есть.

И эти два обстоятельства — несоответствие устройства Мировой Системы Образования экономическому устройству мира и ее рыночные возможности и определяют наблюдаемое сегодня стремление единственной оставшейся супердержавы взять под контроль Общемировую Систему Образования. В первую очередь математического, ведь именно математическое образование интернационально в своей основе (имеет «ртутный» характер) и оказывает самое большое влияние на развитие Земной Цивилизации. И поэтому не следует удивляться тому, что все руководство в различных международных структурах, занимающихся проблемами математического образования, оказалось в руках представителей этой самой супердержавы, в которой, по общему мнению, математическое образование едва ли не худшее в мире.

И в конце этого раздела я хочу сказать, возможно, не совсем по делу, несколько слов в связи с проходящей в России реформой-модернизацией среднего образования. По мнению многих специалистов, это не реформы и не модернизация, а разрушение сложившейся системы образования. Так в чем же дело? Почему реформы продолжаются и поддерживаются на самом высоком уровне? Неужто там сидят люди уж совсем ничего не понимающие? По этому поводу высказывалось много мнений. Добавлю одно соображение.

В Советском Союзе сложилась хорошая Система Образования, основной целевой установкой которого было творческое развитие учащегося (что, признаемся, весьма странно для тоталитарного режима). Математическое Образование же в Советском Союзе чуть ли не официально признавалось лучшим в мире. И я убежден, что именно Система Образования была фундаментом всех значимых побед Советского Союза (индустриализация, Война, атомная бомба, выход в Космос) и она же стала одной из главных причин, приведших к распаду Советского Союза (не буду заходить здесь слишком далеко и вычленять особо роль Геометрии). Ее сохранение на прежнем уровне может стать источником постоянно действующей угрозы для новой, а по сути перекрасившейся старой номенклатуры. И дважды повторять не приходится, инстинкт самосохранения у номенклатуры развит посильней, чем у зверя. А возможностей для соединения у номенклатур разных стран гораздо больше, чем у пролетариев.

Воспитание геометрией

Целью изучения геометрии, конечно, является знание. Но следует признать, что эта цель по отношению к геометрии второстепенна, поскольку большинство школьных геометрических знаний не востребовано ни в практической жизни человека, ни даже в научной деятельности.

Более важно, что геометрия есть феномен общечеловеческой культуры. Некоторые теоремы геометрии являются одними из древнейших памятников мировой культуры. Человек не может по-настоящему развиться культурно и духовно, если он не изучал в школе геометрию; геометрия возникла не только из практических, но и из духовных потребностей человека.

История человечества пишется в трех книгах. Это История Вражды, история войн, революций, мятежей и бунтов. Из них большею частью складывается История Государства. Это История Любви. Ее пишет Искусство. И это История Мысли человеческой. История Геометрии не только отражает историю развития человеческой мысли. Геометрия издавна является одним из самых мощных моторов, двигающих эту мысль. Возникшая несколько тысячелетий тому назад Теория конических сечений, пополненная открытыми Кеплером законами, вымостила дорогу человечества в Космос. (Кстати, о прикладном и практическом значении Геометрии).

Геометрия, да и математика в целом представляет собой очень действенное средство для нравственного воспитания человека. В романе «Война и мир», характеризуя старшего князя Болконского Николая, Л.Н.Толстой пишет: «Он говорил, что есть только два источника людских пороков: праздность и суеверие, и что есть только две добродетели: деятельность и ум. Он сам занимался воспитанием своей дочери и, чтобы развить в ней обе главные добродетели, давал ей уроки алгебры и геометрии и распределил всю ее жизнь в беспрерывных занятиях».

Научной и нравственной основой курса геометрии является принцип доказательности всех утверждений. И это единственный школьный предмет, включая даже предметы математического цикла, полностью основанный на последовательном выводе всех утверждений. Людьми, понимающими, что такое доказательство, трудно и даже невозможно манипулировать. В то время как власть никогда не утруждает себя доказательствами. (Отсюда совет тем, кто хочет стать политиком, идти во власть: не занимайтесь геометрией.)

Какая геометрия?

Итак, вроде все ясно, Геометрия — один из важнейших предметов, причем не только среди предметов математического цикла, но и вообще среди всех школьных предметов. Ее целевой потенциал охватывает необычайно широкий ареал, включает в себя чуть ли не все мыслимые цели образования. Так почему же еще продолжаются споры о роли и месте Геометрии в школе?

Следует сказать, что спор по поводу школьной геометрии напоминает порой известный спор из чеховских «Трех сестер»: «Черемша – лук. Чихиртма – мясо». Спорят о разных предметах. И поэтому, когда мы пытаемся ответить на вопросы: Нужна ли в 21-м веке школьная Геометрия? Зачем будет нужна в школе Геометрия? — необходимо пояснять, о какой Геометрии идет речь. Есть Геометрия и геометрия.

Перефразируя известное высказывание Толстого, мы можем сказать: «Хорошие курсы Геометрии могут быть построены разными способами, плохие же большею частью очень похожи друг на друга». Есть три основных способа уничтожить Геометрию и соответственно три основных типа курсов анти (лже, псевдо) геометрии. Причем, несмотря на различие подходов, соответствующие учебники схожи друг с другом, они плохо структурированы, написаны на скверном языке, и литературном и изобразительном, изобилуют логическими неувязками. Самое удивительное, что логические пробелы и проколы характерны для курсов, претендующих чуть ли не на абсолютную логическую строгость, концептуально построенных на формально-логической (аксиоматической) основе. Такие курсы весьма распространены в российской школе. Характерные признаки: множество чисто формальных определений, зачастую делающих определяемое понятие неузнаваемым; длительная возня с первоначальными понятиями, в результате чего в течение чуть ли не половины курса школьник не узнает ничего нового; обилие многословных рассуждений, а точнее пустых сочетаний слов, выдаваемых за рассуждения, доказывающих очевидные факты и делающих этот очевидный факт абсолютно непонятным, а самое главное, дискредитирующих саму идею доказательства. Подобные курсы быстро и надежно убивают всякий интерес к предмету. Как говаривал незабвенный Николай Озеров, «Такой хоккей нам не нужен».

Следующей разновидностью псевдогеометрии являются курсы практическо-прикладного типа. При этом практическая направленность понимается в узко утилитарном смысле. Все содержание сводится к небольшой подборке формул для вычисления длин, площадей и объемов. Подобные курсы были распространены в России на заре советской власти, а сегодня они характерны для западной школы, в частности, американской (насколько мне известно). Исторически подобные курсы оправдывает этимология слова «геометрия». Но геометрия уже давно вышла за узкие рамки «землемерия». Да и практическая деятельность людей ставит перед ними сегодня совершенно иные практические задачи, в том числе и геометрические. Далеко не «землемерные». И получается, что обе рассмотренные разновидности геометрических курсов не соответствуют заявленной концепции: формально-логические содержат формально-логические ошибки, а практически-прикладные не дают знаний и умений, полезных в прикладной и практической деятельности.

И если с этими двумя типами геометрических курсов все понятно, то с третьей разновидностью, которую я тоже причисляю к антигеометрии, все не столь однозначно. Речь идет о «королевском» пути в Геометрии, указанном Декартом. Созданный им метод координат позволяет, как полагал его создатель, среднему и даже посредственному человеку достичь высот, доступных ранее лишь особо одаренным. Кто-то из последующих классиков заметит, что «он покрыл Геометрию паршой алгебраических формул». Надо признать, что координатный метод позволяет единообразно решать самые трудные геометрические задачи. Даже среди победителей международных олимпиад встречаются школьники, владеющие, по сути, лишь одним координатным методом, но владеющие им виртуозно, способные решить этим методом чуть ли не любую из предлагаемых на олимпиадах геометрических задач. (И здесь, кстати, следует сделать серьезное замечание по поводу качества геометрических задач на современных математических олимпиадах.) И все же я убежден, метод координат (наряду с тригонометрией) является одним из самых действенных методов борьбы с геометрией, и даже уничтожения геометрии. И вреден он на всех этажах школьного образования, и для слабых школьников и для самых способных. Что касается слабых, отстающих или попадающих по тем или иным причинам в категорию отстающих по математике школьников, то здесь опасность чрезмерной алгебраизации достаточно очевидна. Большей частью в этой группе находятся дети, которые плохо считают, с трудом понимают и запоминают формулы и т.д. Для этих детей Геометрия могла бы стать предметом, за счет которого они могли бы повысить свой статус в классе, компенсировать недостатки общематематического развития. А вместо этого она ложится на них дополнительным грузом, причем на ту же чашу весов, где находится и алгебра, вынуждает заниматься неинтересной и трудной для них деятельностью.

А чем же опасна подобная алгебраическо-координатная геометрия для одаренных детей. Дело в том, что координатный метод, алгебраический метод оставляют в стороне геометрическую суть изучаемой геометрической ситуации. Воспитывается исполнитель, решающий заданную конкретную задачу. Не меньше, но и не больше. Не развивается геометрическая и даже математическая интуиция, столь необходимая математику-исследователю. Возможно, именно поэтому (отчасти) победители международных олимпиад не так уж часто становятся высококлассными учеными. Однако координатный метод очень удобен, он универсален, его легко формализовать, тренировать, и прочее и прочее. И пока на международных олимпиадах сохранится нынешний стиль (качество задач, способы проверки и оценки), пока целью ведущих стран будет оставаться «победа любой ценой», учебники по «координатной геометрии» будут одними из самых востребованных школьных учебников, во всяком случае, при обучении сильных школьников (одаренных?).

Безусловно, тремя этими разновидностями вовсе не исчерпывается плохая геометрия. Нередко встречаются всевозможные логическо-практические смеси, рядом возникают модернистские и даже постмодернистские интегрированные естественнонаучные курсы. Но еще раз подчеркну, все эти курсы легко узнаваемы. И чтобы их узнать, достаточно прочитать оглавление и пролистать учебник.

Итак, какой не должна быть Геометрия, более или менее понятно. А какой же она должна быть? Не думаю, что возможен полный ответ на этот вопрос. Даже представления об идеальном курсе у разных людей, и простых и великих, различны. Но идеалы, как известно, недостижимы. Да и не следует объяснять другим, каким должен быть этот курс, как бы ты сам его написал, если бы умел. «Сделай сам».

И все же одно мне кажется бесспорным. Вспоминая изречение Брежнева «Экономика должна быть экономной» (с моей точки зрения абсолютно верное утверждение и даже вовсе не бессмысленное), я говорю: «Геометрия должна быть геометрической» (а не аналитической или алгебраической). Это означает, что главным действующим лицом Геометрии должна быть фигура (на плоскости треугольник и окружность), а главным средством обучения рисунок, картинка. Геометрия, впрочем, как и алгебра, является носителем собственного метода познания мира. Овладение этим методом — важнейшая цель образования.

И еще одно утверждение по этому поводу, вполне очевидное для меня, но с которым не все, наверное, согласятся, хочу добавить. Учебник по геометрии не должен сводиться лишь к выстраиванию геометрической теории. Процесс изучения Геометрии включает самые разнообразные виды деятельности. В том числе и даже в первую очередь — решение задач. Задача — это не только умения, это и элемент знания. Ученик должен ознакомиться с определенным набором достаточно трудных геометрических задач, освоить некоторые геометрические методы, научиться решать задачи, следуя известным образцам. Кстати, именно в этом и состоит, по сути, процесс обучения алгебре. Мы показываем ученику методы, приемы, сообщаем алгоритмы, которые трудно, почти невозможно найти самостоятельно. В Геометрии, в отличие от Алгебры, подобных алгоритмов, очень мало, почти нет. Почти каждая задача по Геометрии является нестандартной. Поэтому при обучении возрастает значение опорных задач, сообщающих полезный факт, либо иллюстрирующих метод или прием. Я полагаю недопустимым предлагать задачи на минимальном уровне, на тройку. Задача должна быть нормальной задачей, а оценивать мы должны, сколь далеко ученик ушел от полного нуля и приблизился к полному решению. (Кстати, именно так обычно оцениваются задачи на олимпиадах и вступительных экзаменах.)

Геометрия при обучении одаренных и отстающих детей Одной из важнейших социально-педагогических задач, стоящих сегодня перед системой образования, является задача дифференцированного обучения, обучения детей с разным уровнем развития и различными способностями. И здесь очень важна роль геометрии. Геометрия становится одним из немногих (единственным?) универсальных средств, в равной мере работающим на различных этажах Образования, включая крайние, и даже особенно на крайних: при обучении одаренных детей и при обучении отстающих детей.

Следует иметь в виду, что два обозначенных множества (одаренные и отстающие дети) имеют вовсе не нулевое пересечение. Большинство из нас (я имею в виду не рядовых учителей, а математиков, занимающихся проблемами образования), большею частью имеют дело именно с одаренными детьми. Но многие дети попадают в разряд отстающих (по математике) вследствие плохих программ по математике, неудачных методик и даже конфликта с учителем. И здесь возникает важнейшая общественно-педагогическая задача: помочь им вовремя избавиться от ярлыка. Ведь среди них нередко встречаются и одаренные дети. Но, наверное, еще более общественно и социально важной задачей является проблема реабилитации детей действительно отстающих в своем развитии.

Свои корректирующие и развивающие функции Геометрия реализует различным образом на разных этапах школьного образования. (Я исхожу не из того, что есть на самом деле, а из того, что, по моему мнению, должно быть. Как сказал Бродский: «Не в том суть жизни, что в ней есть, но в вере в то, что в ней должно быть.») В первой школьной половине (с 1-го по 6-класс) Геометрия, по сути, является разновидностью физкультуры, Интеллектуальной Физкультурой. И включиться в занятия Геометрией можно в любой момент. А это, признаемся, не типично для математики. Здесь большею частью даже небольшой пропуск по болезни или по иной причине, не знание или не понимание одной темы может привести к отставанию, которое нелегко ликвидировать.

С 7-го класса в российской школе по традиции (и я не вижу причин отказываться от этой традиции) начинается систематический курс геометрии или курс Систематической Геометрии. И здесь уже исчезает либерализм, присущий предшествующему этапу. Курс выстраивается в жесткой последовательности (возможно, различной для разных учебников) и выпадение одного звена разрушает эту последовательность. (Кстати, курс алгебры, наоборот, распадается на отдельные темы.) Что надо сделать, чтобы систематический курс смог охватить разные категории учащихся? Здесь, на мой взгляд, необходимо уделить особое внимание первому, начальному этапу (7-й класс). Хорошо, если мы имеем дело с ребенком, который познакомился с хорошей Геометрией в предыдущих классах. Если же нет, то нашей первой задачей является задача заинтересовать. И эта задача вступает в серьезное противоречие с требованием «систематичности»: мы изначально рассматриваем ученика как своего рода «чистый лист» (с точки зрения геометрических знаний), который следует заполнить в определенной последовательности. Мы не имеем права использовать уже имеющиеся у него знания, знания «со стороны», и даже апеллировать к «здравому смыслу». И возникает опасность не то, что не развить интерес к Геометрии, но, наоборот, отбить всякий интерес, привить идиосинкразию к ней.

Но все же я убежден, что задача «заинтересовать» на первом этапе вполне решаемая. Главные инструменты: красивая картинка, хорошая задача и живой язык. Мы должны достаточно долго держать открытой дверь в Геометрию, заманивая туда ученика. Надо постараться в некотором смысле развить в нем зависимость от Геометрии, интеллектуальную, психологическую а, может, и физиологическую (?). И тогда мы легче сумеем решить задачу второго этапа систематического курса: научить. На третьем, последнем этапе (я имею в виду цикл с 7-го по 9-й классы) в числе прочих возникает важная методическая задача «повторить». На этом этапе мы имеем возможность компенсировать оставшиеся пробелы и пропуски и (что самое главное) показать ученику Геометрию целиком, в виде единого и готового здания, которое мы в течение трех лет строили.

Но роль Геометрии при обучении математике не исчерпывается собственно Геометрией. Широкое использование геометрии в негеометрических разделах школьного курса может значительно улучшить общематематическую подготовку школьников. Геометрические интерпретации позволяют лучше понять вывод алгебраических формул, правил и законов арифметики, сделать их наглядными, более понятными, запомнить их.

Психико-физиологической основой, позволяющей Геометрии в равной степени и развивать детей одаренных и реабилитировать детей отстающих, является выявленная физиологами функциональная ассиметрия головного мозга человека.

Оказывается, наши полушария по разному думают. Левое ведает логическим, алгоритмическим мышлением. Работает левое полушарие лишь во время бодрствования. Когда человек спит, оно выключается. Правое отвечает за чувственную, образную сферы нашего сознания. Правое полушарие функционирует постоянно. Наши сновидения — продукт деятельности правого полушария. Некоторые из известных методик обучения математике чрезмерно перегружают левое полушарие. Это очень опасно именно на ранних ступенях школьного обучения и особенно в отношении детей с доминирующим правополушарным типом мышления, а таких детей довольно много, возможно даже, подавляющее большинство. В результате, мы имеем учебные перегрузки, стрессы и даже неоправданную дебилизацию некоторых учеников, которые начинают отставать в своем интеллектуальном развитии. Широко известно, что переучивание левши может привести к ослаблению его умственных возможностей. Переучивание же «интеллектуального левши» может привести и вовсе к трагическим последствиям.

Отсюда можно сделать вывод, и этот вывод уже подтвержден практикой, что при широкой геометризации школьной математики на ее начальных ступенях значительно сокращается число отстающих, лучше усваиваются и негеометрические разделы. У детей развивается воображение, а тем самым значительно возрастает творческий потенциал.

Геометрия очень важна для полноценного физиологического (не только интеллектуального) развития ребенка. Уже сам процесс занятий геометрией имеет большое развивающее значение. Геометрия является первичным видом интеллектуальной деятельности, как для всего человечества, так и для отдельного человека. Мировая наука начиналась с геометрии. Ребенок, еще не научившийся говорить, познает геометрические свойства окружающего мира. Многие достижения древних геометров (Архимед, Аполлоний) вызывают изумление у современных ученых, и это несмотря на то, что у них полностью отсутствовал алгебраический аппарат. И, продолжая аналогию между общечеловеческим и индивидуальным, замечу, что геометрические возможности детей младшего и среднего возраста почти не зависят от уровня их математической подготовки.

И теперь отдельно несколько тезисов о работе с математически одаренными школьниками.

Работа с математически одаренными детьми состоит из трех этапов: заинтересовать, выявить (отобрать), научить. Здесь я хочу подчеркнуть, что этап «заинтересовать» может длиться чуть ли не до окончания школы. Очень важна роль геометрии на первых двух этапах. Посредством геометрии можно заинтересовать математикой многочисленные категории школьников, даже не очень хорошо обученных (об этом я уже говорил). И опять же, посредством геометрического материала мы можем отбирать детей именно талантливых, а не специально обученных.

В основе работы с одаренными детьми должен лежать парный принцип: демократизм и элитарность. С одной стороны, мы должны дать возможность получить полноценное образование детям всех социальных слоев, на всех этапах обучения оставляя открытыми двери для талантливых детей (демократизм). А с другой, — обеспечить высокий уровень подготовки одаренных детей, чтобы создать подлинную научную элиту. Талантливость и обученность — вот два критерия отбора в эту элиту. Геометрия прекрасно соответствует сформулированному принципу. Нередки случаи, когда прекрасно подготовленный олимпиадный профессионал не справляется на олимпиаде с геометрической задачей, и именно эту задачу, чуть ли не единственную, решил не подготовленный специально школьник. Многие задачи олимпиад высокого уровня просто непонятны не только обычным школьникам, но и рядовым учителям. Единственное, что еще соответствует на олимпиадах содержанию школьных программ, это задачи по геометрии. Кроме того, олимпиада, особенно в своей геометрической части, если, конечно, она разумно выстроена, нередко дает возможность проявить себя и не слишком успевающим по школьной программе детям.

Следующий принцип работы с одаренными детьми — комфортность и многоступенчатость. Система олимпиад, являющаяся важнейшим элементом работы с одаренными детьми, да и сам процесс обучения нередко образуют достаточно жесткую конкурентную среду. И эта среда может самым губительным образом воздействовать на психически не подготовленного ребенка. А ведь психика именно одаренных детей особенно ранима. Поэтому очень важно для каждого одаренного школьника определить ту ступень, на которой он может комфортно работать. Слишком высокий уровень может оказаться для него просто непосильным. В результате ребенок потеряет уверенность в себе. Одновременно не следует одаренному школьнику задерживаться на слишком низком для себя уровне. Он может остановиться в развитии. Особенно четко эта иерархичность и многоступенчатость видна в системе олимпиад. Разрыв между школьной и международной олимпиадой необычайно велик. Геометрия является тем стержневым предметом, который соединяет всю эту многоступенчатую систему. Кроме того, геометрия дает возможность талантливому ребенку развиваться постепенно, препятствует искусственным ранним скачкам, форсированию развития, из-за которого мы нередко теряем талантливую молодежь. (Куда девались многочисленные вундеркинды, о которых еще несколько лет тому назад с восторгом писали наши газеты?)

В области геометрии достигает своего наименьшего значения расстояние между математической наукой и школьной математикой. Некоторые самые современные достижения профессиональных математиков-геометров могут быть вполне доступно изложены школьникам. И сами эти достижения, и соответствующие идеи могут стать источником олимпиадных задач. Причем не только для старших школьников. А с другой стороны, геометрия дает возможность одаренным детям уже на школьной скамье начать заниматься полноценными научными исследованиями, а не их имитацией, что нередко бывает на школьных научных конференциях. И здесь могут проявить себя дети не олимпиадного типа.

Геометрия способствует полноценному эмоциональному развитию ребенка. Как показывают исследования психологов, эмоциональное развитие является основой общеинтеллектуального развития. Его составной частью является эстетическое воспитание. Именно геометрия предоставляет огромные возможности для эстетического развития, эстетического воспитания. В математике мы достаточно четко можем отличить красивое решение от просто решения. Но особенно часто понятие красивое решение мы связываем с геометрическими задачами. Хороший математик, просто ученый должен обладать достаточно развитым эстетическим чувством. А о том, насколько важно создание хорошего эмоционального фона при работе с отстающими детьми можно и не говорить. Я могу привести много примеров, иллюстрирующих сказанное, но ограничусь одним.

В мае 2001 года мне позвонила учительница из города Чебоксары. Она рассказала следующую историю. В начале учебного года у нее в классе появился второгодник. Новый ученик по геометрии был на полном нуле (как и вообще по математике), а упомянутая учительница особое внимание уделяла именно геометрии. (Вынужден признаться, что занималась она по моему учебнику, почему и позвонила мне.) Учительница дала ученику учебник и заставила того начать изучать геометрию с самого начала. Короче говоря, этот ученик на проходившей в городе в апреле 2001-го года математической олимпиаде получил вторую премию.

Геометрия в 21-м веке, Что нового? Человечество вступило в Новый Век. Посмотрим вокруг, что происходит? Здание земной цивилизации значительно выросло за последние десятилетия и продолжает стремительно расти. Деятели образования в разных странах предпринимают отчаянные, но тщетные попытки угнаться за ростом этого здания. Заметно выделяются два пути решения проблемы: модернизация (в узком смысле) и дифференциация. При этом зачастую и модернизация, и дифференциация понимаются очень примитивно. В чем смысл предложений “модернизаторов” от образования?

Поскольку сегодня в мире возникло много новых профессий, много новых видов человеческой деятельности и даже наук, возникли новые информационные технологии, следует потеснить в школе старые и традиционные предметы, заменив их современными. Что же касается математики, то необходимо сократить, прежде всего, Геометрию (частично или полностью), как предмет устаревший, почти не изменившийся за последние несколько тысячелетий, мало используемый в практической жизни. А вместо нее ввести современные разделы: математический анализ, теорию вероятностей и прочее. Что здесь плохого?

Дело в том, что образовательные процессы подчиняются строгим биологическим законам и ускорить их невозможно, подобно тому, как нельзя ускорить процесс вынашивания плода, который в своем развитии проходит этапы, совершенно не нужные с точки зрения взрослой особи. Не существует такого скоростного лифта, который мог бы вознести ребенка или даже молодого человека сразу на верхние этажи здания цивилизации. Такие попытки в образовании, в том числе и математическом, уже делались и неоднократно, но все они кончались плачевно.

Чем выше здание, тем прочнее должен быть фундамент. Человек, получивший хорошее фундаментальное образование, гораздо быстрее приспособится к условиям современной жизни, сумеет найти в ней свое место, чем тот, кто поверхностно познакомился с многочисленными современными предметами, научился нажимать кнопки сложных приборов, не понимая сути происходящих в них процессов. Владение же геометрическим методом очень полезно современному человеку, так как позволяет ему быстро и наглядно понять суть сложного явления, дать ему ясную интерпретацию.

Дифференциация в образовании (в широком смысле модернизация включает в себя дифференциацию) задает несколько иной путь решения возникшей перед современным обществом проблемы. Школа, в первую очередь, в старшем звене становится специализированной, возникают школы различного типа: гуманитарные, физико-математические, биологические, даже музыкально-спортивные и бог знает какие. С одной стороны, это необходимо. Но, с другой, — чрезмерное дробление может привести к полному распаду школы. Уже реальностью становится дифференциация школы по региональному принципу. А это для России не просто опасно, но смертельно опасно. Поэтому для России очень важны стержневые школьные предметы, которые должны противостоять возрастающим центробежным силам. Одним из таких предметов является математика.

Чрезмерная дифференциация на школьном уровне может помешать ее выпускникам в будущем реализовать свои основные общечеловеческие права, право на свободное передвижение, право на выбор профессии. Как показывают недавние социологические исследования, человеку в течение жизни приходится неоднократно, до 25 раз менять профессию.

Кроме того, это в муравейнике можно посредством питания выращивать по заказу солдат или рабочих, производителей или прислугу. Человечество не муравейник. Кем станет человек в будущем, на школьной скамье решить трудно. Даже ставить такую задачу — безнравственно. И мы вновь приходим к выводу о необходимости усиления именно фундаментальной подготовки выпускников наших школ. И этот принцип фундаментальности выдвигает на первое место именно математическое образование. А внутри этого математического образования все более важную роль должно играть геометрическая составляющая, благодаря таким качествам, как наглядность и универсальность. И все же полностью отказываться от принципов дифференциации не следует. Здесь важно уловить разумную грань, за которой образование распадается на отдельные феодальные хозяйства. Возможно, для математики достаточно обойтись всего лишь двумя разновидностями. Не вдаваясь в детали, замечу, что математические курсы, основанные на принципах наглядности, на геометрических идеях дают возможность дать полноценное (или достаточное) математическое образование представителям самых далеких от математики специальностей (гуманитариям, но не только).

Заметным явлением сегодняшней цивилизации стал компьютер. И здесь особо следует сказать о взаимоотношениях между геометрией и компьютером. С одной стороны, геометрический тип рассуждений наименее поддается компьютеризации. (А отсюда, в частности, следует, что его сохранение и развитие особенно важно именно в настоящее время.) Геометрия остается одной из немногих сфер интеллектуальной деятельности, где человек еще не проиграл соревнование компьютеру. А с другой, — компьютер является очень полезным инструментом в геометрических исследованиях. С его помощью можно экспериментально обнаруживать новые интересные геометрические факты. Человеку же остается важнейшая роль — эти факты доказывать (всего лишь!). При этом в геометрическую деятельность с использованием компьютеров могут включаться школьники и сильные и слабые (с точки зрения математики), технари и гуманитарии. И получается, что первонаука, которой является геометрия, получила новый толчок к развитию, как образовательный предмет и как наука, благодаря самым современным компьютерным технологиям. Важнейшим фактом и фактором современной жизни является научно-техническая революция, которая, вопреки смыслу слова революция, стала постоянно действующим явлением. Резко возросли психологические и интеллектуальные нагрузки на человека, на его мозг, причем с самого раннего возраста. И нагрузки эти не равномерны, они разбалансированы, значительно перегружается левое полушарие. Отсюда стрессы, нервные и психические заболевания, начинающие разрушать организм ребенка еще до его рождения.

Скорость изменения окружающей среды, среды обитания столь велика, что человек не успевает приспособиться к этим изменениям просто как биологический вид. В последнее время все большее влияние получает в обществе движение в защиту окружающей среды. Люди очень озабочены тем, какие продукты питания они потребляют, естественные или синтезированные, экологически чистые или же содержащие химические добавки и прочее и прочее. Но пора создавать и движение в защиту образовательной среды, нужны глубокие исследования по экологии образовательной среды.

Для нормального развития ребенку необходимо полноценное питание. Для нормального интеллектуального развития необходима разнообразная интеллектуальная пища. Сегодня математика, особенно геометрия, является одним из немногих экологически чистых и полноценных продуктов, потребляемых в системе образования. Геометрия может и должна стать предметом, с помощью которого мы можем сбалансировать работу головного мозга, улучшить функциональное взаимодействие между полушариями. Геометрия — витамин для мозга.

Но Геометрия — это продукт, который должен быть приготовлен очень умелым кулинаром. Иначе она может не только утратить свои питательные качества, но и принести вред организму.

… И замкнулся круг. То есть может замкнуться. Геометрия, стоявшая у колыбели человеческого разума, может помочь сегодня человеку сделать еще один скачок в своем развитии. Интеллектуальном, духовном и нравственном. Надо не упустить эту возможность.

Публикуется по тексту, полученному от автора 15.12.2003 г.

Дополнение. Статья опубликована в журнале «Математика в школе», 24/004.