Все задачи из данного раздела являются необязательными в том смысле, что не нужно добиваться от всех учащихся умения их решать. Используйте их настолько, насколько это будет интересно вашим учащимся, насколько вы сумеете организовать учебную деятельность школьников, способствующую их развитию. Первые задачи хороши для фронтальной работы с классом,. После работы с ними учащиеся выучиваются лучше различать прямую и обратную пропорциональность, испытывают меньше затруднений с задачами на простое тройное правило.
278.* 3 курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 кур за 12 дней?
Учащиеся очень удивятся, когда узнают, что «очевидный» ответ «12 яиц» неверен. Решение первой задачи из этого раздела лучше разобрать коллективно, быть может, после домашнего обдумывания. Наводящие вопросы даны в разделе «Ответы и советы». Записав кратко условие задачи:
кур дней яиц
3 3 3
12 12 х,
в ходе диалога нужно выяснить, во сколько раз увеличилось число кур (в 4 раза); как при этом изменилось число яиц, если число дней не изменилось (увеличилось в 4 раза); во сколько раз увеличилось число дней (в 4 раза); как при этом изменилось число яиц (увеличилось в 4 раза). В результате число яиц равно:
x = 3·4·4 = 48.
279.* 100 синиц за 100 дней съедают 100 кг зерна. Сколько килограммов зерна съедят 10 синиц за 10 дней?
280.* 3 маляра за 5 дней могут покрасить 60 окон.
а) Сколько маляров надо поставить на покраску окон, чтобы они за 2 дня покрасили 64 окна?
б) Сколько окон покрасят 5 маляров за 4 дня?
в) За сколько дней 2 маляра покрасят 48 окон?
281.* а) 2 землекопа за 2 ч выкопают 2 м канавы. Сколько землекопов за 5 ч выкопают 5 м канавы?
б) 10 насосов за 10 мин выкачивают 10 т воды. За сколько минут 25 насосов выкачают 25 т воды?
282.* Курсы иностранного языка арендуют в школе помещения для занятий. В первом полугодии за аренду 4 классных комнат по 6 дней в неделю школа получала 336 р. в месяц. Какой будет арендная плата за месяц во втором полугодии за 5 классных комнат по 5 дней в неделю при тех же условиях?
283.* Из«Арифметики»Л.Ф.Магницкого. Некто имел 100 р. в купечестве 1 год и приобрел ими только 7 р. А когда отдал в купечество 1000 р. на 5 лет, сколько ими приобретет?
284.* Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Если писец может за 8 дней написать 15 листов, сколько понадобится писцов, чтобы написать 405 листов за 9 дней?
285.* Старинная задача. Переписчик в течение 4 дней может переписать 40 листов, работая по 9 ч в день. Во сколько дней он перепишет 60 листов, работая по 12 ч в день?
286.* У хозяйки спросили:
— Хорошо ли несутся Ваши куры?
— Считайте сами, — был ответ, — полторы курицы за полтора дня несут полтора яйца, а всего у меня 12 кур.
Сколько яиц несут куры в день?
287.* а) В первой бригаде землекопов 4 человека — они за 4 ч выкопали 4 м канавы. Во второй бригаде землекопов 5 человек — они за 5 ч выкопали 5 м канавы. Какая бригада работает лучше?
б) У первой хозяйки 3 курицы за 3 дня снесли 6 яиц, а у второй хозяйки 4 курицы за 4 дня снесли 8 яиц. У какой хозяйки лучше несутся куры?
288.* Старинные задачи. а) На содержание 45 человек издержано в 56 дней 2040 р. Сколько нужно издержать на содержание 75 человек в продолжение 70 дней?
б) На напечатание книги, содержащей по 32 строки на странице и по 30 букв в строке, нужно 24 листа бумаги на каждый экземпляр. Сколько нужно листов бумаги, чтобы отпечатать эту книгу в том же самом формате, но чтоб на странице было 36 строк и в строке 32 буквы?
Рассмотрим более сложные задачи с четырьмя и даже шестью величинами. Их можно задать в качестве необязательного домашнего задания наиболее сильным учащимся, которые любят распутывать головоломные задачи.
289.* Из «Арифметики» А.П. Киселева.
а) Для освещения 18 комнат в 48 дней издержано 120 фунтов керосина, причем в каждой комнате горело по 4 лампы. На сколько дней достанет 125 фунтов керосина, если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет гореть по 3 лампы?
б) На 5 одинаковых керосинок, горевших 24 дня по 6 ч ежедневно, израсходовано 120 л керосина. Насколько дней хватит 216 л керосина, если 9 таких же керосинок будут гореть по 8 ч в день?
290.* Старинная задача. Артель землекопов в 26 человек, работающая машинами по 12 ч в день, может вырыть канал в 96 м длины, 20 м ширины и 12 дм глубины в течение 40 дней. Какой длины канал могут вырыть 39 землекопов, работая в течение 80 дней по 10 ч в день, если ширина канала должна быть 10 м, глубина 18 дм?
Задачу 290 С.И. Шохор-Троцкий считал не удовлетворяющей жизненным условиям и не подходящей для школьной практики, он рассматривал ее в своей «Методике арифметики» (1935 г.) «для себя». Применим усовершенствованную нами «окончательную формулу». В сильном классе этот способ можно показать учащимся, но только при их активном участии в решении — в противном случае работа будет бессмысленной. Ниже записано краткое условие задачи и дано рассуждение, параллельно которому на доске может вестись постепенно дополняемая запись, показанная справа.
Дл. Чел. Дн. Час. Шир. Гл.
96 26 40 12 20 12
х 39 80 10 10 18
Длина канала увеличится от
увеличения числа человек в 39/26 раза, х = 96·39/26
от увеличения числа дней в 80/40 раза х = 96·39/26·80/40
и от уменьшения ширины в 20/10 раза; х = 96·39/26·80/40 .
Длина канала уменьшится от
уменьшения числа часов в 12/10 раза и х = 96·39/26·80/40·20/10:12/10
и от увеличения глубины в 18/12 раза: х = 96·39/26·80/40·20/10:12/10:18/12 .
Окончательно имеем: х = 320. Это означает, что 39 землекопов могут вырыть канал длиной 320 м.
Задачи 246–250 предполагают получение ответа с опорой на опытные представления учащихся, они нацелены на подготовку к введению понятий прямой и обратной пропорциональности.
При решении первых задач полезно подчеркнуть, что стоимость покупки определяется по формуле
стоимость = цена · количество
и проследить, как при увеличении (уменьшении) одной величины в несколько раз изменяется вторая величина при неизменной третьей. Аналогичная работа с задачами 249–250 проводится по формуле
путь = скорость · время.
246.о За несколько одинаковых карандашей заплатили 80 к. Сколько нужно заплатить за такие же карандаши, если их:
а) в 2 раза больше? б) в 2 раза меньше?
247.о За несколько одинаковых карандашей заплатили 80 к. Сколько нужно заплатить за такое же количество карандашей, каждый из которых:
а) в 2 раза дороже? б) в 2 раза дешевле?
248.о Имеются деньги на покупку 30 карандашей.
а) Сколько тетрадей можно купить на те же деньги, если тетрадь дешевле карандаша в 2 раза?
б) Сколько ручек можно купить на те же деньги, если ручка дороже карандаша в 10 раз?
249. Велосипедист за несколько часов проехал 36 км.
а) Какое расстояние пройдет за то же время пешеход, скорость которого в 3 раза меньше скорости велосипедиста?
б) Какое расстояние проедет за то же время мотоциклист, скорость которого в 5 раз больше скорости велосипедиста?
250. Некоторое расстояние велосипедист проехал за 3 ч.
а) За сколько часов это расстояние пройдет пешеход, скорость которого в 3 раза меньше скорости велосипедиста?
б) За сколько часов это расстояние проедет мотоциклист, скорость которого в 5 раз больше скорости велосипедиста?
Наблюдения, полученные учащимися при решении задач 246–250, нужно использовать при формировании понятий прямой и обратной пропорциональностей.
Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз вторая увеличивается во столько же раз.
Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз вторая уменьшается во столько же раз.
Далее, опираясь на опыт решения задач 246–250 и определения, учащиеся должны ответить на вопросы заданий 251–254. Здесь следует постоянно обращать их внимание на то, какие величины изменяются, а какие – нет. В случае затруднений нужно обращаться к конкретным числовым данным.
251.о Какова зависимость между:
1) ценой одного карандаша и стоимостью нескольких карандашей при постоянном их количестве?
2) количеством карандашей и их стоимостью при постоянной их цене?
3) количеством карандашей и их ценой при постоянной их стоимости?
252.о Какова зависимость между:
1) скоростью и расстоянием при постоянном времени движения?
2) временем и расстоянием при постоянной скорости?
3) временем движения и скоростью при постоянном пути?
253.о Какова зависимость между:
1) Количеством тракторов и площадью, которую они вспашут за 1 день?
2) Числом дней работы трактора и площадью, которую он вспашет?
3) Количеством тракторов и числом дней, за которые они вспашут поле?
254.о 1) Покупают одинаковые тетради. Какова зависимость между количеством тетрадей и стоимостью покупки?
2) Расстояние между городами можно проехать на велосипеде или на мотоцикле. Какова зависимость между временем и скоростью движения?
Работу над заданиями 251–254 надо обобщить, заметив, что если три величины связаны равенством а = b·с, то при постоянном произведении множители обратно пропорциональны, а при постоянном множителе другой множитель и произведение прямо пропорциональны. Этот факт нужно рассмотреть применительно к формулам:
стоимость = цена · количество,
путь = скорость · время,
работа = производительность · время.
Перейдем к решению задач с помощью пропорций. Первая из них содержит целые значения первой величины, отношение которых тоже целое число.
255. За 6 ч поезд прошел 480 км. Какой путь прошел поезд за первые 2 ч, если его скорость была постоянна?
Разумеется, эту и многие следующие задачи учащиеся могут решить «по-старому» – подавлять такие решения не следует, но перед учащимися нужно ставить цель решить задачу новым способом, а предлагаемые решения по действиям использовать для сравнения способов решения. При этом нужно обязательно
отметить, что еще встретятся задачи, в которых «старый» способ не сработает.
Для нового способа решения потребуется краткая запись условиязадачи:
В процессе устного обсуждения выясняем, что время и путь уменьшились в одно и то же число раз, так как при постоянно скорости эти величины прямо пропорциональны. Здесь и далее уменьшение величины показываем стрелкой вниз, а увеличение стрелкой вверх.
256. Для варки варенья из вишни на 6 кг ягод берут 4 кг сахарного песку. Сколько килограммов сахарного песку надо взять на:
1) 12 кг ягод? 2) 3 кг ягод?
257. 1) В 100 г раствора содержится 4 г соли. Сколько граммов соли содержится в 300 г раствора?
2) В 4000 г раствора содержится 80 г соли. Сколько граммов соли содержится в 200 г раствора?
258. Расстояние между двумя городами пассажирский поезд прошел со скоростью 80 км/ч за 3 ч. За сколько часов товарный поезд пройдет то же расстояние со скоростью 60 км/ч?
В краткой записи условия задачи стрелки показывают, что скорость уменьшилась, а время увеличилось в одно и то же число раз. Разумеется, стрелки можно ставить в обратном направлении — от меньшего значения к большему. Однако удобнее направление стрелок связать с увеличением (вверх) и уменьшением (вниз) величины. Чтобы учащиеся лучше освоили прием составления пропорций, надо постоянно задавать вопрос: «Во сколько раз увеличилась (уменьшилась) первая величина? Тогда число, дающее ответ, будет находиться делением большего значения величины на меньшее (в направлении стрелок). На первых порах это число должно быть целым, позднее — дробным.
Цель задаваемого вопроса двоякая: помочь учащимся определить вид зависимости и подготовить их к усвоению нового приема решения тех же задач — без пропорций, необходимого для решения задач на сложное тройное правило.
259. 5 маляров могли бы покрасить забор за 8 дней. За сколько дней покрасят тот же забор:
1) 10 маляров? 2) 1 маляр?
Заметим, что эту задачу можно решить без пропорции, но для этого придется ввести не очень удобные «человеко-дни»:
1) 5·8 = 40 (человеко-дней) потребуется на всю работу;
2) 40:10 = 4 (дня).
Пропорции позволяют обойтисьбезчеловеко-дней.
В задаче 259, как и во многих других задачах, предполагается, что все работники трудятся с одинаковой производительностью и не мешают друг другу. Это желательно каждый раз оговаривать, чтобы учащиеся внимательнее относились к такого рода условиям.
Чтобы у них не сложилось впечатление, будто зависимость бывает только двух видов – прямой или обратной пропорциональностью, полезно рассмотреть провокационные задачи, в которых зависимость имеет другой характер. Так если в задаче 260 пропорциональность числа пойманных карасей и времени рыбной ловли весьма проблематична, то в задаче 261 уж точно такой зависимости нет – это нужно подробно разобрать с учащимися.
260. За 2 ч поймали 12 карасей. Сколько карасей поймают за 3 ч?
261. 1) Три петуха разбудили 6 человек. Сколько человек разбудят пять петухов?
2) Трое пошли – три гвоздя нашли. Четверо пойдут – много ли найдут?
3) Когда Вася прочитал 10 страниц книги, то ему осталось прочитать еще 90 страниц. Сколько страниц ему останется прочитать, когда он прочитает 30 страниц?
Зависимость числа прочитанных страниц книги и числа оставшихся страниц часто принимают за обратную пропорциональность, так как чем больше страниц прочитано, тем меньше осталось прочитать. Обратите внимание детей на то, что увеличение одной и уменьшение другой величины происходит не в одно и то же число раз. Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть данный пример. В книге 10 + 90 = 100 страниц.
Если прочитано 10 стр., то осталось прочитать 90 стр.
» » 30 » » » 70»
Рассмотрим еще две задачи, в которых зависимость между величинами часто принимают за прямую пропорциональность. К первой из них в разделе «Ответы и советы» приведено решение, которое желательно разобрать с учащимися.
262.* Пруд зарастает лилиями, причем за неделю площадь, покрытая лилиями, удваивается. За сколько недель пруд покрылся лилиями наполовину, если полностью он покрылся лилиями за 8 недель?
263.* Некоторый вид бактерий размножается со скоростью 1 деление в минуту (каждую минуту бактерии раздваиваются). Если посадить 1 бактерию в пустой сосуд, то он наполнится за 1 ч. За какое время наполнится сосуд, если в него сначала посадить 2 бактерии?
До сих пор мы рассматривали задачи, в которых отношение двух известных значений одной величины было целым числом. В следующих задачах оно часто выражается дробью. Как и раньше, здесь следует постоянно задавать вопрос: «Во сколько раз увеличилась (уменьшилась) величина?» В случае затруднения нужно просить учащихся округлить данные и дать ответ сначала приближенно, а потом точно. Так для задачи 264 учащиеся могут сказать: «Количество сукна увеличилось примерно в 16/8 = 2 раза, а точнее в 14/8 раза». Такая примерная оценка изменения величины полезна не только для лучшего определения вида зависимости и получения верного ответа, но и для подготовки к решению задач на сложное тройное правило.
264. 8 м сукна стоят столько же, сколько стоят 63 м ситца. Сколько метров ситца можно купить вместо 12 м сукна?
265. Старинная задача. В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 ч. Нужно узнать, сколько косцов за 3 ч выпьют такой же бочонок кваса?
266. 1) Из «Арифметики» А.П. Киселева. 8 аршин сукна стоят 30 р.; сколько стоят 15 аршин этого сукна?
2) Со скоростью 80 км/ч товарный поезд прошел 720 км. Какое расстояние пройдет за то же время пассажирский поезд, скорость которого 60 км/ч?
267. 1) Грузовой автомобиль со скоростью 60 км/ч проехал расстояние между городами за 8 ч. За сколько часов то же расстояние проедет легковой автомобиль со скоростью 80 км/ч?
2) Бригада из 4 человек выполнила задание за 10 дней. За сколько дней выполнит то же задание бригада из 5 человек?
Задачи 276 (1, 2) можно решить, вычислив расстояние между городами, и объем всей работы в «человеко-днях».
268. 1) Автомобилист заметил, что со скоростью 60 км/ч он проехал мост через реку за 40 с. На обратном пути он проехал мост за 30 с. Определите скорость автомобиля на обратном пути.
2) Автомобилист заметил, что со скоростью 60 км/ч он проехал тоннель за 1 мин. За сколько минут он проехал бы этот тоннель на скорости 50 км/ч?
269. Две шестеренки сцеплены зубьями. Первая, имеющая 60 зубьев, за минуту делает 50 оборотов. Сколько оборотов за минуту делает вторая, имеющая 40 зубьев?
Рассмотренных выше задач вполне достаточно, чтобы учащиеся научились различать прямую и обратную пропорциональность, составлять пропорции и решать их. Если эта цель будет достигнута раньше, то нет нужды решать все задачи полностью — решения части из них можно доводить до составления пропорций или отложить для повторения.
Если до пропорций десятичные дроби уже изучены, как это происходит в учебнике Н.Я. Виленкина и др., то самое время использовать задачи из учебника. Если же учащиеся хорошо освоили применение пропорций, то им можно показать способ решения тех же задач без пропорций, показанный выше. Применим его к задаче 264.
Количество сукна увеличилось в 12/8 раза, значит, денег во второй раз было в 12/8 раза больше, на них можно купить ситца в 12/8 раза больше:
x = 63·12/8= 94,5.
270. За одно и то же время токарь обтачивает 6 деталей, а его ученик – 4 детали.
1) Сколько деталей обточит ученик за то же время, за которое токарь обточит 27 деталей?
2) Сколько времени потратит ученик на задание, которое токарь выполняет за 1 ч?
271. За одно и то же время пешеход прошел 6 км, а велосипедист проехал 18 км.
1) Сколько километров проедет велосипедист за то же время, за которое пешеход пройдет 10 км?
2) Сколько времени потратит велосипедист на тот путь, который пешеход пройдет за 2 ч?
272. Из «Арифметики» А.П. Киселева. 8 человек рабочих оканчивают некоторую работу в 18 дней; во сколько дней окончат ту же работу 9 человек, работая так же успешно, как и первые?
273.* а) Шесть маляров выполнят работу за 5 дней. Сколько еще маляров надо пригласить, чтобы все вместе они выполнили ту же работу за 3 дня?
б) Двое рабочих могут выполнить задание за 10 дней. Сколько еще рабочих надо пригласить, чтобы все вместе они выполнили ту же работу за 4 дня?
274.* Старинная задача. Десять работников должны кончить работу в 8 дней. Когда они проработали 2 дня, то оказалось необходимым кончить работу через 3 дня. Сколько еще нужно нанять работников?
275. Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Некий господин позвал плотника и велел двор построить. Дал ему 20 человек работников и спросил, в сколько дней построят они его двор. Плотник ответил: в 30 дней. А господину надобно в 5 дней построить и ради того спросил он плотника: сколько человек тебе надо иметь, дабы с ними ты построил двор в 5 дней; и плотник, недоумевая, спрашивает тебя, арифметик: сколько человек ему надо иметь, чтобы построить тот двор в 5 дней?
276.* Старинная задача. Взяли 560 человек солдат корма на 7 месяцев, а приказано им на службе быть 10 месяцев; и захотели людей от себя убавить, чтобы корма хватило на 10 месяцев. Спрашивается, сколько человек надо убавить.
277. 1) Старинная задача. Одна артель плотников, состоящая из 28 человек, может построить дом в 54 дня, а другая – из 30 человек — в 45 дней. Какая артель работает лучше?
2) Одна бригада, состоящая из 3 человек, может вырыть колодец за 12 дней, а другая — из 4 человек — за 10 дней. Какая бригада работает лучше?
Задачи, решаемые с помощью пропорций, по традиции изучаются в курсе арифметики 5–6 классов. Считается, что именно в этом возрасте учащиеся должны научиться решать пропорции, ознакомиться с двумя практически важными зависимостями — прямой и обратной пропорциональностями, научиться их различать и решать соответствующие задачи. Изучение пропорций и указанных зависимостей мало связано с потребностями самого арифметического курса или с потребностями обучения решению задач в 6 классе — в учебниках нет задач на прямую и обратную пропорциональность, которые нельзя было бы решить без пропорций. Однако, использование пропорций имеет большое значение для последующего изучения математики. В учебниках 6 класса часто и задачи на проценты предлагается решать с помощью пропорций. Хотя, на наш взгляд, решение задач на проценты не нуждается в применении пропорций.
Рассмотрим прием решения задач на пропорции, который, видимо, принадлежит учителям химии, утомленным плохим знанием учащимися процентных расчетов. Он сводится к совету: в записи
400 г раствора — 100 %
20 г соли — x %
отделите двумя чертами числовые данные в двух строках, сблизьте две черточки до получения знака
« = » и решите полученную пропорцию:
400/20 = 100/х .
Иногда в процессе решения пропорция не фиксируется в явном виде. Например, в пособии для учащихся «500 задач по химии» (Просвещение, 1981) дана краткая запись решения:
б) 32 г серы соединяются с 32 г кислорода, а
х г » 8 г »
x = 32·8/32 = 8 (г).
в) 32 г серы соединяются с 48 г кислорода, а
х г » 8 г »
x =32·8/48 = 5,33(г).
Как видим, здесь пропорции остались «за кадром», учащиеся могут умножать и делить числа «крест-накрест». Ничего предосудительного в таком способе оформления решения нет, им вполне можно пользоваться при решении большого числа однотипных задач на уроках химии. Правда, мы бы не стали применять громоздкий общий прием в очевидном случае «б» и использовать знак « = » вместо « ≈ » в случае «в». Но мы уверены, что если учащийся не разбирается в пропорциях и не может объяснить смысл своих действий, то решение задач по образцу дает мало пользы его для развития.
Химикам хорошо! Они имеют дело с прямой пропорциональностью. А учащиеся 6 класса (особенно пропустившие объяснение учителя) иногда приносят из дома такой способ решения первой задачи без пропорции: «перемножим числа крест-накрест: 20 умножим на 100, x – на 400, приравняем полученные результаты и найдем x». Таких учащихся трудно учить применению пропорций, так как они считают более простым свой способ, но эта трудность легко снимается после попыток решать способом «крест-накрест» задачи на обратную пропорциональность.
Отметим, что правило «умножай и дели крест-накрест» сродни правилам, которые применяли в старину при решении арифметических задач. Воспользуемся этим обстоятельством и вернемся еще раз к истории вопроса. Но сначала уточним терминологию.
В давние времена для решения многих типов задач существовали специальные правила их решения. Знакомые нам задачи на прямую и обратную пропорциональность, в которых по трем значениям двух величин нужно найти четвертое, назывались задачами на тройное правило (простое тройное правило). Если же для трех величин были даны пять значений и требовалось найти шестое, то правило называлось пятерным. Аналогично для четырех величин существовало «семиричное» правило. Эти правила назывались еще задачами на сложное тройное правило.
Во вводной статье к первому параграфу нашей книги мы привели фрагмент из книги И. Бёшенштейна (1514 г.), в котором отражено почти мистическое отношение обучающих к тройному правилу, а само изложение материала имеет ярко выраженный рецептурный характер. Обучение по правилам было широко распространено и в России. Желая описать методику обучения решению задач времен Л.Ф. Магницкого, сошлемся на С.И. Шохор-Троцкого, который в своей «Методике арифметики для учителей средних учебных заведений» писал: «Насколько преизобиловали правилами книги по арифметике встарину – можно судить по весьма почтенному для своего времени труду Леонтия Магницкого… В книге первой… кроме множества правил о целых и дробных числах, изложены правила, называемые автором «подобными» (ныне называемые тройными)… автор различает: правило тройное в целых, правило тройное в долях, правило тройное сократительное, правило «возвратительное» (обратно-пропорциональное), правило пятерное, правило «семиричное»…, а затем, в виде применения этих правил, предлагает ряд «статей»: статью тройную торговую («в целых» и «в долях»), тройную торговую о куплях и продажах, тройную торговую в товарных овощах и «с вывескою» (то есть о вычислении тары товара), о «прикупах» и о «накладах», «вопросную» о тройном правиле, «вопросную же со времены», «деловую в тройном правиле», торговую «меновную в тройном правиле»… [26]
Далее С.И. Шохор-Троцкий приводит фрагмент из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого, из которого хорошо видно, что рецептурный стиль изложения материала, характерный для более ранних европейских источников, в первом российском учебнике арифметики еще не был преодолен. В этом фрагменте, посвященном применению пятерного правила, сначала дается определение правила и пример на его применение (текст задачи здесь выделен курсивом), потом рецепт для получения ответа; в других случаях рекомендуется поступать так же.
«Пятерное правило есть, егда случаются таковые сметы творити, яже не могут иным чином или правилом уразуметися, токмо через сие пятерное или пятиперечневое, глаголется же и тройно-сугубое… понеже пять перечней [чисел] в правиле поставляется, а шестый изобретается…: некто име сто рублев в купечестве един год, и приобрете ими токмо 7 рублей, и паки отдал в купечество 1000 рублев на 5 годов, колико ими приобрящет, и ты твори сице, поставив почину тройнаго правила:
год год
100 –––––– 1 –––––– 7 –––––– 1000 –––––– 5
И умножай два перечня иже от левыя руки между собою, также прочыя три иже к правой руке, такожде между собою порядком умножай, и произведение их раздели тем произведением еже от дву первых произведеся: яко же зде». [там же]
О возможности использования задач такого рода в процессе обучения мы еще поговорим, а пока, следуя правилу, получим верный ответ:
(7·1000·5):(100·1) = 350 (р.).
Во времена С.И. Шохор-Троцкого еще сохранилась традиция решения задач по правилам. Наиболее известным учебником арифметики того времени был учебник А.П. Киселева (первое издание в 1884 г.). Чтобы читатель получил представление о методике изложения материала, связанного с задачами на тройное правило, в этом учебнике, смог представить себе практику обучения школьников решению задач на прямую и обратную пропорциональность в то время, приведем несколько выдержек из 9-го издания этого учебника (1896 г.). Наши комментарии в тексте выделены курсивом.
Простое тройное правило.
Задачи на это правило решаются способом пропорций или приведением к единице.
Задача. 8 аршин сукна стоят 30 руб.; сколько стоят 15 аршин этого сукна?
С п о с о б п р о п о р ц и й. Обозначим буквою x стоимость
15-ти арш. сукна и расположим числа так:
Количество аршин. Стоимость их.
8 арш. . . . . . . . 30 руб.
15 » . . . . . . . x »
Так как стоимость сукна пропорциональна количеству аршин, то
x : 30 = 15 : 8.
Откуда: x = 30·15/8 = 56 1/4 руб.
П р и в е д е н и е к е д и н и ц е. Чтобы решить задачу этим способом, узнаем сначала, сколько рублей стоит 1 аршин (от этого самый способ наз. приведением к единице). Ход решения для ясности расположим строчками:
8 арш. стоят 30 руб.
1 арш. стоит 30/8 руб.
8 арш. стоят 30/8 ·15 = 56 1/4 руб.
Заметим, что изложить материал в учебнике можно было бы проще. Ведь второй способ решения задачи является всего лишь другой записью решения по действиям:
1) 30 : 8 = 30/8 (руб.); 2) 30/815 = 56 (руб.)
Таким способом, но с выражением стоимости сукна в копейках, учащиеся должны были уметь решать задачу еще до изучения действий с дробями. Способ приведения к единице с намеренным сохранением сократимых дробей был необходим для изложения решения задачи на сложное тройное правило, для «окончательной формулы», для обучения школьников последовательному изменению сначала одной величины (как здесь), а потом и нескольких величин (как при решении задач на сложное тройное правило).
Также двумя способами (сначала с помощью пропорции, потом приведением к единице) решена и задача на обратную пропорциональность.
Способ решать такие задачи, в которых дано по одному соответствующему значению двух величин, прямо или обратно пропорциональных, а требуется найти, какое значение примет одна из них, если другая получит новое данное значение, наз. простым тройным правилом.
Далее приведена задача на сложное тройное правило, сложность которой превышает потребности первоначального обучения – здесь было бы достаточно взять три величины, а не четыре (то есть взять задачу на пятерное правило, как у Л.Ф. Магницкого, а не на «семиричное»).
Сложное тройное правило.
Задача. Для освещения 18 комнат в 48 дней издержано 120 фун. керосина, причем в каждой комнате горело по 4 лампы. На сколько дней достанет 125 фунт. керосина, если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет гореть по 3 лампы?
С п о с о б п р о п о р ц и й. Расположим данные этой задачи в две строки:
18 комн. – 48 дн. – 120 фун. – 4 лампы
20 » – х » – 125 » – 3 »
Если оставить без изменения число фунтов и ламп (эти величины взяты в скобки), то можно найти x1 – число дней, соответствующих 20 комнатам, решив задачу на простое тройное правило.
18 комн. – 48 дн. – 120 фун. – 4 лампы
20 » – х1 » – 120 » – 4 »
х1 = 48·18/20 = 216/5 (дней).
Далее заменим 120 фунтов на 125, не меняя других данных задачи:
20 комн. – 216/5 дня – 120 фун. – 4 лампы
20 » – х2 » – 125 » – 4 »
х2 = 216·125/5·120 = 45 (дней).
Теперь заменим 4 лампы на 3 лампы:
20 комн. – 45 дн. – 125 фун. – 4 лампы
20 » – х » – 125 » – 3 »
х = 45·4/3 = 60 (дней).
Способ решать такие задачи, когда данных величин более двух, наз. сложным тройным правилом.
П р и в е д е н и е к е д и н и ц е. … Расположим, для удобства, данные и искомое числа так, чтобы x стояло в последнем справа столбце:
18 комн. 120 фун. 4 лампы 48 дн.
20 » 125 » 3 » x »
Теперь узнаем, какое окажется число дней, если будет освещаться 1 комната, керосина будет 1 фунт и в каждой комнате будет 1 лампа. Это мы узнаем, приводя к 1 постепенно одно условие за другим.
18 комн. 120 фун. 4 лампы 48 дн.
1 » 120 » 4 » 48·18 »
1 » 1 » 4 » 48·18/120 »
1 » 1 » 1 » 48·18·4/120 »
Теперь будем постепенно заменять единицы числами, заданными в вопросе задачи:
1 комн. 1 фун. 1 лам. 48·18·4/120 дней.
20 » 1 » 1 » 48·18·4/120·20 »
20 » 125 » 1 » 48·18·4·125/120·20 »
20 » 125 » 3 » 48·18·4·125/120·20·3 »
Остается полученную формулу сократить и вычислить.
О к о н ч а т е л ь н а я ф о р м у л а. При достаточном навыке в решении задач на сложное тройное правило можно сразу писать окончательную формулу для x. Покажем, как это делается. Возьмем решенную выше задачу:
18 комн. – 48 дн. – 120 фун. – 4 лампы
20 » – х » – 125 » – 3 »
Число дней было бы 48, если бы освещалось 18 комнат; если бы освещалась только одна комната, то дней было бы 48·18, а при освещении 20 комнат дней должно быть 48·18/20 (при одинаковых прочих условиях). Такое число дней было бы при условии 120 фунтов керосина; если бы керосина был 1 фунт, то число дней было бы 48·18/20·120, а при 125 фунтах керосина оно должно быть 48·18·125/20·120. Такое число дней было бы при условии 4-х ламп; при 1 лампе оно было 48·18·125·4/20·120, а при 3 лампах оно должно быть:
x = 48·18·125·4/120·20·3 , или x = 48·18/20·125/120·4/3.
Правило. Чтобы получить искомое число, достаточно данное значение той же величины умножить последовательно на отношения данных значений остальных величин, беря отношение нового значения к прежнему, если величина прямо пропорциональна той, значение которой отыскивается, и прежнего значения к новому, когда величина обратно пропорциональна той, значение которой отыскивается.
Запоминать и безошибочно применять это правило было, видимо, не так уж просто. Обратим внимание на то, что к окончательной формуле предполагалось переходить «при достаточном навыке в решении задач на сложное тройное правило» двумя первыми способами. Стоит ли удивляться, что такое обучение было сложным и малополезным для учащихся, вызывало возражения у учителей и методистов. Так, например, в программе для I и II ступени семилетней школы единой трудовой школы 1921 года достаточно определенно записано: «Все же остальные «правила» представляют собою пережитки прошлого и чепуху даже не натуральную, а искусственную». И дальше: «Сложное тройное правило охватывает коллекцию искусственных задач, которые давно следует выбросить из школьного обихода вследствие их бессмысленности».
Столь резкая категоричность авторов программы, видимо, была связана не столько с самими задачами (их условия вполне можно было приблизить к опыту ребенка), сколько с малополезной методикой обучения школьников решению задач «по правилам». Приведенные выше фрагменты текста из учебника А.П. Киселева дают представление о методике изложения интересующего нас материала в дореволюционных учебниках. Заметим, что в переработанном в 1938 г. варианте учебника задачи на сложное тройное правило все же сохранились и разбору одной такой задачи – сразу на «семеричное» правило – посвящено чуть больше страницы учебника. Однако здесь рассматривается только «окончательная формула» и правило не формулируется. Очевидно, что это изменение не решило проблему использования задач рассматриваемого типа.
Лишь упростив методику использования такого рода задач, можно с пользой для дела сохранить в практике школы целый класс традиционных задач. Как мы увидим позже, многие из них могут иметь достаточно близкое к практике содержание, а проведение подготовительной работы при обучении решению задач на простое тройное правило и построение цепочки задач от простого к сложному повысят доступность задач этого типа. Правда, остается нерешенным вопрос: нужно ли обучать всех учащихся решению таких задач? Ответ на него зависит от того, в чем мы видим практическую ценность обучения решению текстовых задач – только в обучении решению встречающихся в практике задач или, кроме того, в развитии мышления школьников в процессе решения самых разнообразных, в том числе и искусственных, задач. Достижению второй цели вполне может способствовать использование в учебном процессе задач на сложное тройное правило. Разумеется, требование уметь решать такие задачи не может быть обязательным для всех учащихся, но участие в разборе их решение, тренировка в различении прямой и обратной пропорциональностей будут полезны каждому из них.
Что же касается использования задач на прямую и обратную пропорциональность в современных учебниках, то в учебнике Н.Я. Виленкина и др. прямой и обратной пропорциональным зависимостям отведен пункт 22. В нем содержится 18 задач. Причем, начиная с образцов в учебном тексте, соответствующие значения величин выражаются десятичными дробями или натуральными числами, отношения которых не выражаются целыми числами. Это затрудняет обучение. Кроме того треть задач – это задачи на проценты. При первоначальном обучении применению пропорций лучше разделить трудности: изучать пропорции отдельно от десятичных дробей и процентов. В следующих пунктах учебника время от времени встречаются задачи «на пропорцию», но их немного и большинство из них также легко решить без пропорций.
Таким образом, сами пропорции ненамного обогащают арсенал способов решения задач, используемых школьниками в процессе изучения всего курса математики 5–6 классов, а без нарастания сложности задачи на прямую и обратную пропорциональность не оказывают желаемого влияния на развитие школьников. На небольшом числе несложных однотипных задач не всегда удается достичь еще одной важной цели – научить школьников хорошо различать прямую и обратную пропорциональности.
Мы не утверждаем, что в былые времена задачи на прямую и обратную пропорциональность использовались намного эффективнее. Но все же более разнообразные задачи, включая задачи «на сложное тройное правило», оставляли учителю возможность для развития наиболее сильных учащихся. Вот почему мы рекомендуем учителям использовать в своей работе со всеми учащимися, особенно с наиболее подготовленными из них, эти теперь уже практически забытые задачи. Разумеется, мы упростим их включение в учебный процесс и внесем необходимые коррективы в методику обучения их решению. Мы вовсе не предлагаем учить всех школьников решению таких задач, как задача про керосиновые лампы, и именно таким способом, который был показан выше. Быть может, эту задачу надо сделать последней в цепочке задач, решая которые ученик сможет не только понимать решения, предлагаемые учителем, но и самостоятельно продвигаться вперед от простого к сложному. Такая работа была бы полезнее топтания на месте при решении однотипных задач одинаковой сложности, она позволила бы дать учащимся хорошую тренировку в различении прямой и обратной пропорциональности. С чего же надо начинать?
Во-первых, надо научить школьников решать пропорции. Основной способ их решения должен опираться на основное свойство пропорций. Когда эта цель будет достигнута, то можно показать использование свойств пропорций для упрощения их решения. Например, для решения пропорции х/5 = 1/10 можно правую и левую части равенства умножить на 5 или поменять местами средние члены пропорции.
Во-вторых, нужно научить школьников выделять в условиях задач две величины, устанавливать вид зависимости между ними.
В-третьих, нужно научить их по условию задачи составлять пропорцию.
Тем самым учащиеся освоят минимальный круг умений, предусмотренный действующей программой по математике. Только после этого для подготовки к решению более сложных задач на пропорциональные величины (сложное тройное правило) нужно показать учащимся способ решения изученных задач вообще без пропорций. Пусть требуется решить задачу:
– Со скоростью 80 км/ч товарный поезд прошел 720 км. Какое расстояние пройдет за то же время пассажирский поезд, скорость которого 60 км/ч?
Путь пропорционален скорости при постоянном времени движения, значит, с уменьшением скорости в 80/60 раза путь уменьшится в 80/60 раза.
720 : 80/60 = 540 (км).
Таким же приемом решается задача, если скорость не уменьшилась, а увеличилась, если величины не прямо, а обратно пропорциональны. Разумеется, первому применению этого приема должны предшествовать вопросы, задаваемые при решении предыдущих задач: во сколько раз увеличилась (уменьшилась) эта величина? Первые ответы на них должны выражаться целыми числами, а потом дробями, всегда получаемыми делением большего значения величины на меньшее. Только после того как учащиеся научатся определять, как изменится значение второй величины при соответствующем изменении первой, можно переходить к решению задач сначала с двумя величинами (тройное правило), потом с тремя и четырьмя величинами (сложное тройное правило).
В этот раздел включено небольшое число задач, в решении которых используются десятичные дроби. Мы предполагаем, что их решение позволит учащимся закрепить второй способ нахождения части числа и числа по его части (соответственно умножением и делением на дробь) и подготовиться к решению задач на проценты.
222. 1) Вася сказал, что у них в классе 35 учащихся и девочки составляют 2/3 всех учащихся. Папа заметил, что такого не может быть. Почему?
2) Известно, что 8/15 класса учатся на «4» и «5». Сколько учащихся может быть в классе?
3) Известно, что 3/5 класса девочки и 1/7 из них отличницы. Сколько учащихся в классе?
4) Известно, что 1/8 класса отличники, а 3/5 класса — девочки. Сколько учащихся в классе?
223. Старинная задача. Мастер сплавил 3 куска серебра в 1/4 фунта, в 1/6 фунта и в 1/8 фунта, сделал из него ложки и продал их. Сколько получил он денег, если фунт серебра ценил в 24 р., да за работу взял 8 р.?
224. 1) Ставка учителя математики составляет 18 уроков в неделю. Какую часть ставки имеет учитель, ведущий: 18 уроков? 24 урока? 27 уроков в неделю?
2) У преподавателя музыки обучаются игре на фортепиано четверо старших и семеро младших школьников. Какую часть ставки имеет преподаватель музыки, если на ставку у него должно быть 9 старших или 12 младших школьников?
225. 1) Книга и тетради стоят 12 р. Стоимость тетрадей составила 0,4 стоимости всей покупки. Сколько стоят тетради?
2) Конфеты и печенье стоят 70 р. Стоимость конфет составила 0,3 стоимости всей покупки. Сколько стоят конфеты?
226. 1) Папе 40 лет. Возраст сына составляет 0,3 возраста отца. Сколько лет сыну?
2) Бабушке 60 лет. Возраст мамы составляет 0,6 возраста бабушки. На сколько лет бабушка старше мамы?
227. 1) В книге 300 страниц. Прочитали 0,6 всей книги. Сколько страниц осталось прочитать?
2) В коллекции было 200 марок. За год их число увеличилось на 0,2 первоначального числа. Сколько марок стало в коллекции?
228. 1) Бригада заасфальтировала 10 км шоссе, что составило 0,2 всего расстояния между двумя городами. Определите это расстояние.
2) Туристы прошли пешком 8 км, что составило 0,4 длины всего маршрута. Какова длина маршрута?
229. а) Найдите 0,6 числа 240.
б) Найдите 0,7 числа 280.
230. а) Найдите число, 0,6 которого равны 240.
б) Найдите число, 0,7 которого равны 280.
1) В магазин привезли 600 роз и гвоздик. Число роз составило 0,4 числа всех цветков. Сколько гвоздик привезли в магазин?
2) Потратили 0,2 от 540 р. Сколько рублей осталось?
3) Потратили 0,3 имевшейся суммы денег, осталось 210 р. Сколько денег было первоначально?
232. 1) В коллекции было 240 значков. За год их число увеличилось на 0,3 первоначального числа. Сколько теперь значков в коллекции?
2) В банк положили 400 р. За год вклад увеличится на 0,3 этой суммы. Какой станет сумма вклада через год?
3) Увеличьте число 810 на 0,5 этого числа.
233. 1) За 1/4 и 1/5м ленты заплатили 18 р. Сколько стоит 1 м ленты?
2) За 1/2м тесьмы заплатили на 6 р. больше, чем за 1/5м такой же тесьмы. Сколько стоит 1 м тесьмы?
3) Старинная задача. За 11 копеек куплены одна пятириковая (в 1/5 фунта) и одна шестириковая (в 1/6 фунта) стеариновые
свечи. Сколько стоит фунт стеариновых свечей?
234.* У Саши на дне рождения было 5 друзей. Первому он отрезал 1/6 часть пирога, второму 1/5остатка, третьему 1/4 того, что осталось, четвертому 1/3 нового остатка. Последний кусок Саша разделил пополам с пятым другом. Кому достался самый большой кусок?
Заметим, что при решении задачи 234 школьники чаще всего начинают с обозначения всего пирога через х (или через 1) и пускаются в долгие вычисления. Если ваши учащиеся поступят так же, не надо мешать им в полезном упражнении, результат которого легко проверить с помощью рис. 7. Пусть пирог разделен на 6 равных частей. Первому дали 1/6 пирога — 1 кусок, осталось 5 кусков; второму дали 1/5 от этих 5 кусков, то есть такой же кусок и т. д. В результате все получили поровну. Здесь надо подчеркнуть, что поиску решения задачи часто помогает схематический рисунок.
235.* 1) В нашем классе есть певцы и танцоры. Известно, что 1/5 всех певцов еще и танцует, а 1/4танцоров еще и поет. Кого у нас в классе больше: певцов или танцоров?
2) В делегации иностранных гостей 1/6 говорящих по-английски говорит и по-немецки, а 1/5говорящих и по-немецки говорит и по-английски. Кого в делегации больше: говорящих по-немецки, или говорящих по-английски?
3) В делегации иностранных гостей 1/8 англичан знала немецкий язык, а 1/7 немцев знала английский язык. Кого в делегации больше: немцев или англичан? Можно ли ответить на этот вопрос?
Решению задачи 235 (1) существенно поможет рис. 8, а вот с задачей 235 (3) труднее. Здесь 1/8англичан и 1/7 немцев — это не одна и та же группа людей. Поэтому ответить на поставленный вопрос нельзя. Условию задачи могут удовлетворять различные количества англичан и немцев.
236. Легковая машина может проехать расстояние между двумя городами за 31/3 ч, а грузовая — за 5 ч. Машины выехали из этих городов одновременно навстречу друг другу. Через сколько часов после начала движения они встретятся?
237.* Древнеримская задача (II в.) Некто, умирая, завещал: если у моей жены родится сын, то пусть ему будет дано 2/3 имения, а жене остальная часть. Если же родится дочь, то ей — 1/3, а жене — 2/3. Родилась двойня — сын и дочь. Как разделить имение?
Из условия задачи следует, что мать должна получить в 2 раза больше, чем дочь, а сын — в 2 раза больше, чем мать. Дочери достанется 1 часть, матери — 2, сыну — 4, то есть 1/7, 2/7 и 4/7 имения соответственно.
238.* Из Акмимского папируса (VI в.) Некто взял из сокровищницы 1/13. Из того, что осталось, другой взял 1/17. Оставил же в сокровищнице 150. Мы хотим узнать, сколько было в сокровищнице первоначально?
239.* Старинная задача (Индия, XI в.)
Есть кадамба цветок,
На один лепесток
Пчелок пятая часть опустилась.
Рядом тут же росла
Вся в цвету сименгда
И на ней третья часть поместилась.
Разность их ты найди,
Ее трижды сложи
И тех пчел на Кутай посади.
Лишь одна не нашла
Себе места нигде
Все летала то взад, то вперед и везде
Ароматом цветов наслаждалась.
Назови теперь мне,
Подсчитавши в уме,
Сколько пчелок всего здесь собралось.
Было бы неплохо, если бы учащиеся смогли подсчитать число пчелок устно, как этого требует условие задачи.
240.* Старинная задача (Армения, VII в.). Один купец прошел через три города, и взыскали с него в первом городе пошлины половину и треть имущества, во втором городе половину и треть [с того, что осталось], и в третьем городе снова взыскали половину и треть [с того, что у него было]; и когда он прибыл домой, у него осталось 11 дахеканов [денежных единиц]. Итак, узнай, сколько всего дахеканов было вначале у купца.
241.* Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Некто пришел в ряд, купил игрушек для малых ребят: за первую игрушку заплатил 1/5 часть всех своих денег, за другую 3/7 остатка от первой покупки, за третью игрушку заплатил 3/5 остатка от второй покупки, а по приезде в дом нашел остальных в кошельке денег 1 р. 92 к. Спрашивается, сколько в кошельке денег было и сколько за которую игрушку денег заплачено.
Начнем решение задачи с конца, постепенно заполняя рис. 9,накоторомвсясуммаизображенаввидепрямоугольника.192к. — это 1 – 3/5= 2/5 второго остатка, который равен 192:2/5= 480 к. Эта сумма составляет 1 – 3/7 = 4/7 первого остатка, который равен 480: 4/7 = 840 к. Эта последняя сумма составляет 1 – 1/5 = 4/5 всей суммы, которая равна 840: 4/5 = 1050 к., или 10 р. 50 к.
242.* Старинная задача. Надгробная надпись на могиле Диофанта имеет следующее содержание: «Диофант провел шестую часть своей жизни в детстве, двенадцатую — в юности, после седьмой части, проведенной в бездетном супружестве и еще пяти лет, у него родился сын, умерший по достижении половины числа лет жизни отца, после чего Диофант прожил только 4 года». Сколько лет жил Диофант?
Задачу о возрасте Диофанта можно решить с помощью уравнения. Мы вовсе не исключаем такой возможности, но и арифметическое решение не представит большого труда, если заметить, что1/6 , 1/12 и 1/7 возраста Диофанта и еще 4 + 5 = 9 лет приходятсянаполовинуеговозраста,которуюонпрожилдорождения и после смерти своего сына. То есть 9 лет составляют 1/2 – ( 1/6 + 1/12 + 1/7 ) = 3/28 возраста Диофанта, который прожил 9: 3/28 = 84 года.
243.* Старинная задача. Смешано два сорта кофе: 101/2 пуда первого сорта по шести гривен за фунт и 21 пуд второго сорта по 12 р. за пуд. Что стоит фунт смеси?
244.* Задача Метродора. Корона весит 60 мин (греческая мера) и состоит их сплава золота, меди, олова и железа. Золото и медь составляют 2/3, золото и олово 3/4, золото и железо 3/5 общего веса. Определить вес каждого металла в отдельности.
Сначала определим, сколько мин приходится на каждую из упомянутых в условии задачи частей.
1) 60 ·2/3 = 40 (мин) — масса золота и меди;
2) 60 ·3/4 = 45 (мин) — масса золота и олова;
3) 60 ·3/5 = 36 (мин) — масса золота и железа.
Сумма полученных результатов превышает массу короны на удвоенную массу золота.
Завершим § 2 примером, подтверждающим своеобразный закон сохранения занимательных задач: их недостаток в учебниках восполняется в газетах и журналах. Это измененная в первой строке задача С. Сатина (Крокодил, 1990, № 34).
Этот раздел начинается знакомыми задачами. Новое в их решении заключается в том, что теперь вместо рассуждений типа «Бассейн можно наполнить за 3 ч, значит, в каждый час наполняется 1/3 бассейна» или «В каждый час наполняется 1/2 бассейна, значит, бассейн можно наполнить за 2 ч» учащиеся будут писать действия: 1:3 = 1/3 и 1:1/2 = 2. При этом каждый раз предполагается и устно оговаривается, что объем бассейна (расстояние, выполненная работа и т. п.) принимается за единицу.Отметим, что без такого перехода к делению учащимся будет сложно решать задачи с дробными ответами (№№ 207, 211 и др.).
201. 1) Через первую трубу бассейн можно наполнить за 3 ч,
через вторую за 6 ч. Какую часть бассейна наполнит каждая труба за 1 ч?
2) За 1 ч первая труба наполняет 1/3 бассейна, а вторая — 1/6 бассейна. Какую часть бассейна наполняют обе трубы за 1 ч совместной работы? За сколько часов наполнится бассейн через обе трубы?
3) Через первую трубу можно наполнить бак за 10 мин, через вторую — за 15 мин. За сколько минут можно наполнить бак через обе трубы?
202. Старинная задача. Путешественник идет из одного города в другой 10 дней, а другой путешественник тот же путь проходит за 15 дней. Через сколько дней встретятся путешественники, если выйдут одновременно навстречу друг другу из этих городов?
Задачи 203 (а–в) составлены с таким расчетом, чтобы показать, что различные по фабуле задачи могут отражать одну и ту же арифметическую ситуацию, могут иметь один и тот же способ решения.
203. а) Через первую трубу бассейн можно наполнить за 20 ч, а через вторую — за 30 ч. За сколько часов наполнится бассейн через обе эти трубы?
б) Один ученик может убрать класс за 20 мин, а второй — за 30 мин. За сколько минут они могут убрать класс, работая вместе?
в) Грузовая машина может проехать расстояние между двумя городами за 30 ч, а легковая — за 20 ч. Машины одновременно выехали из этих городов навстречу друг другу. Через сколько часов они встретятся?
204. На птицеферму привезли корм, которого хватило бы уткам на 30 дней, а гусям — на 45 дней. Рассчитайте, на сколько дней хватит привезенного корма и уткам, и гусям вместе?
Завершая цепочку задач рассматриваемой серии, приводящих к сложению дробей, можно напомнить учащимся задачу 112 (б). Желательно обратить внимание учащихся на то, что эта задача уже была ими решена (№ 201 (3)). При этом объем бака не учитывался. Это означает, что задача 112 (б) содержит лишнее условие — объем бака. Учащимся нужно предоставить возможность убедиться в том, что от замены числа 600 на 300 или любое другое число ответ не меняется. Здесь, конечно, нужна оговорка: Мы предполагаем, что при уменьшении объем бака, например, в 2 раза скорость вытекания воды тоже уменьшается в 2 раза. Решения с различными числовыми данными нужно обсудить устно, записать одно из них с краткими пояснениями на доске и использовать его для сравнения с новым способом решения. Например:
1) 600:10 = 60 (л) — наполнится за 1 мин через I кран;
2) 600:15 = 40 (л) — наполнится за 1 мин через II кран;
3) 60 + 40 = 100 (л) — наполнится за 1 мин через оба крана;
4) 600:100 = 6 (мин) — наполнится бак через оба крана.
Разумеется, несколько случайных проб, в результате которых получен ответ «6 минут», еще не доказывают утверждения «В этой задаче ответ не зависит от объема бака». Для его доказательства учитель может прибегнуть к помощи букв. После решения 2–3 задач с различными числовыми данными можно привести аналогичное решение с буквой. При этом буква выступает не как переменная (что далеко от опыта ребенка данного возраста), а как неизвестное число.
Пусть объем бака x л, тогда
1) x:10 = x/10 (л) — наполнится за 1 мин через I кран;
2) x:15 = x/15 (л) — наполнится за 1 мин через II кран;
3)x/10 + x/15 = x/6(л) — наполнится за 1 мин через оба крана;
4)x: x/6= 6 (мин) — наполнится бак через оба крана.
Здесь нужно подчеркнуть, что вместо числа x можно было взять число 300, 200 или любое другое число — в каждом случае в последнем действии дробь сократится на это число. Значит, ответ не зависит от выбора числа x.
205. а) Заготовленных материалов хватит для работы двух цехов в течение 10 дней, или одного первого цеха — в течение 15 дней. На сколько дней хватило бы этих материалов для работы одного второго цеха?
б) Два тракториста вспахали поле за 6 ч совместной работы. Первый тракторист мог бы один вспахать то же поле за 10 ч. За сколько часов второй тракторист мог бы вспахать это поле?
206. Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь в 10 дней. Спрашивается, в сколько дней жена его отдельно выпьет ту же кадь.
Учащимся можно показать старинное решение задачи:
За 140 дней человек выпьет 10 бочонков, а вместе с женой за 140 дней они выпьют 14 бочонков. Значит, за 140 дней жена выпьет 4 – 10 = 4 бочонка. Один бочонок она выпьет за 140:4 = 35 дней.
Разумеется, для решения этой задачи было бы проще взять 70, а не 140 дней.
207.* Старинная задача. (Китай, II в.) Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?
Условие задачи 208 провоцирует «сбой» — решение по шаблону в ситуации, когда никакой совместной работы не происходит.
208.* Одна бригада может выполнить задание за 9 дней, а вторая — за 12 дней. Первая бригада работала над выполнением этого задания 3 дня, потом вторая бригада закончила работу. За сколько дней было выполнено задание?
Решение задачи можно оформить так:
1) 1:9 = 1/9 (задания) — выполнит I бригада за 1 день;
2) 1/9·3 = 1/3 (задания) — выполнила I бригада за 3 дня;
3) 1 – 1/3= 2/3 (задания) — выполнила II бригада;
4) 1:12 = 1/12 (задания) — выполнит II бригада за 1 день;
5) 2/3 : 1/12 = 8 (дней) — работала II бригада;
6) 3 + 8 = 11 (дней) — затрачено на выполнение задания.
Два первых действия можно заменить одним (3:9 = 1/3), определив, какую часть работы выполнит I бригада за 3 дня.
209.* Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Они встретились через 40 мин после выхода, а через 32 мин после встречи первый пришел в В. Через сколько часов после выхода из В второй пришел в А?
210.* Из пункта А в пункт В выехала грузовая машина. Одновременно с ней из пункта В в А выехала легковая машина. Грузовая машина через 2 ч после начала движения встретила легковую и еще через 3 ч прибыла в пункт В. Сколько времени потратила легковая машина на путь из В в А?
211.* Старинная задача. (Армения, VII в.). В городе Афинах был водоем, в который проведены три трубы. Одна из труб может наполнить водоем за 1 ч, другая, более тонкая, — за 2 ч, третья, еще более тонкая, — за 3 ч. Итак, узнай, в какую часть часа все три трубы вместе наполняют водоем.
Обратите внимание на то, что задачи 22 (а, б) полностью воспроизводят арифметическую ситуацию предыдущей задачи — те же числовые данные, но иной сюжет и вопрос.
212.* Старинные задачи. а) Лошадь съедает воз сена за месяц, коза — за два месяца, овца — за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?
б) Лев съел овцу за один час, волк съел овцу за два часа, а пес съел овцу за три часа. Спрашивается, как скоро они втроем съели бы овцу.
Заметим, что старинное решение задачи 212 (б), приведенное в математической рукописи, основано на предположении, что лев, волк и пес едят овец в течение 12 часов. [10, с. 45] Тот же прием использует автор рукописи для решения следующей задачи.
213.* Старинная задача. Четыре плотника хотят построить дом. Первый плотник может построить дом за 1 год, второй — за 2 года, третий — за 3 года, четвертый — за 4 года. Спрашивается, за сколько лет они построят дом при совместной работе.
В 12 лет каждый плотник в отдельности сумеет построить: первый 12 дворов, второй — 6 дворов, третий — 4, четвертый — 3. Таким образом, за 12 лет они могут построить 25 дворов. Следовательно, один двор все вместе они сумеют построить за 365·12/25 = 175 дней.
Приведенные способы решения задач стоит показать детям для того, чтобы подчеркнуть важную мысль: авторы решений применяли такие нереалистичные, хоть и остроумные, рассуждения, видимо, потому, что не умели действовать с дробями.
214.* Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, при этом А может выполнить ее один раз за 3 недели, B три раза за 8 недель, C пять раз за 12 недель. Спрашивается, в какое время они смогут выполнить эту работу все вместе. (Считать в неделе 6 рабочих дней по 12 ч).
Более сложным продолжением рассматриваемой серии задач являются задачи на движение по реке.
215.* Катер проплывает некоторое расстояние по озеру за 6 ч, а по течению реки — за 5 ч. Сколько времени потребуется плоту на такое же расстояние?
Покажем решение первой задачи из этой серии. Примем все расстояние за 1, тогда за 1 ч катер проходит по течению 1/5, а по озеру 1/6 всего расстояния; по течению на 1/5 – 1/6 = 1/30 расстояния больше — это и есть часть расстояния, на которую в час течение сносит все предметы. Значит, то же расстояние плот проплывет за 30 ч. Без пояснений решение можно записать так:
1) 1:5 = ; 3) 1/5 – 1/6 = 1/30;
2) 1:6 =1/6; 4) 1: 1/30= 30.
Труднее всего здесь объяснить результат третьего действия. Объяснение можно упростить, введя букву.
Пусть х км — данное расстояние, тогда
1) x:5 = x/5 (км/ч) — скорость катера по течению;
2) x:6 = x/6 км/ч — скорость катера в стоячей воде;
3) x/5 – x/6 = x/30 (км/ч) — скорость течения;
4) x: x/30 = 30 (ч) — потребуется плоту на такое же расстояние.
216.* Расстояние между двумя пристанями по течению катер проходит за 8 ч, а плот — за 72 ч. Сколько времени потратит катер на такой же путь по озеру?
217.* Лодка проплыла некоторое расстояние по озеру за 4 ч. Такое же расстояние плот проплывает по реке за 12 ч. Сколько времени затратит лодка на тот же путь по течению реки? против течения?
218.* а) Моторная лодка проходит расстояние между двумя пунктами А и В по течению реки за 2 ч, а плот — за 8 ч. Какое время затратит моторная лодка на обратный путь?
б) Плот плывет от А до В 40 ч, а катер — 4 ч. Сколько часов катер плывет от В до А?
219.* а) Теплоход от Киева до Херсона идет трое суток, а от Херсона до Киева четверо суток (без остановок). Сколько времени будут плыть плоты от Киева до Херсона?
б) Из Нижнего Новгорода в Астрахань теплоход плывет 5 суток, а обратно 7 суток. За сколько суток из Нижнего Новгорода в Астрахань приплывут плоты?
в) Расстояние между двумя пунктами пароход проходит вниз по течению реки за 2 ч, а вверх по течению — за 3 ч. За сколько часов между теми же пунктами проплывет бревно?
Рассмотрим решение задачи 219 (а). Пароход в сутки проходит по течению реки 1:3 = 1/3 пути, а против течения 1:4 = 1/4 пути. Вычтем 1/4 из 1/3, получим 1/12, но это еще не «скорость течения» — полученный результат надо поделить на 2. Плоты за сутки проходят 1/24 пути, значит, весь путь пройдут за 1: 1/24 = 24 дня.
Эту задачу, как и большинство задач данной серии, можно решить, обозначая буквой все расстояние (работу и т. п.). Такой алгебраический прием не приводит к уравнению, но позволяет проще объяснить отдельные шагирешения.
Пусть x км — расстояние от Киева до Херсона, тогда скорость парохода по течению x/3 км/сут., против течения x/4 км/сут.
220.* 1) Первая и вторая бригады могли бы выполнить задание за 9 дней; вторая и третья бригады — за 18 дней; первая и третья бригады — за 12 дней. За сколько дней это задание могут выполнить три бригады, работая вместе?
2) В бассейн проведены три трубы. Через первые две трубы бассейн наполняется за 1 ч 10 мин; через первую и третью трубы он наполняется за 1 ч 24 мин; а через вторую и третью за 2 ч 20 мин. За сколько минут наполнится бассейн через все три трубы?
3) По условию задачи 220 (1) определите, за сколько дней третья бригада сможет выполнить то же задание, работая отдельно?
Приведем решение задачи 220 (1):
1) 1:9 = 1/9 (задания) — выполняют I и II бригады за 1 день;
2) 1:18 = 1/18 (задания) — выполняют II и III бригады за 1 день;
3) 1:12 = 1/12 (задания) — выполняют I и III бригады за 1 день;
4) (1/9 + 1/18 + 1/12):2 = 1/8 (задания) — выполняют три бригады за 1 день совместной работы;
5) 1: 1/8 = 8 (дней) — время выполнения задания тремя бригадами.
221.* 1) За 1 ч прогулочный катер может проплыть 10 км против течения или 15 км по течению реки. На какое наибольшее расстояние он может удалиться от пристани и вернуться обратно во время часовой прогулки?
2) Швейный цех выпускает за смену 300 джинсовых курток или 600 джинсовых брюк. Сколько джинсовых костюмов, состоящих из куртки и брюк, может выпустить швейный цех за смену?
Рассмотрим решение задачи 221 (1). На 1 км по течению и 1 км против течения катер тратит 1/10 + 1/15 = 1/6ч. Тогда за 1 ч катер можетудалитьсяотпристанина1: 1/6= 6 км и вернуться обратно.
Задачу 221 (2) можно решить двумя способами.
I способ.На одну куртку тратится 1/300, а на одни брюки 1/600 смены, т. е. на один костюм тратится 1/300 + 1/600 = 1/200 смены, поэтому за смену швейный цех выпустит 1: 1/200 = 200 костюмов.
II способ. По условию задачи, на одну куртку тратится вдвое больше времени, чем на одни брюки, следовательно, вместо 100 курток цех может пошить 200 брюк. Тогда за смену цех выпустит 300 курток или 200 курток и 200 брюк, то есть 200 костюмов.
181. 1) Стороны прямоугольника 3/5 м и 2/3 м. Вычислите его площадь.
2) Каждый день турист проходит 1/3 намеченного маршрута. Какую часть маршрута он пройдет за 2 дня; за 1/2 дня; за 3/4 дня?
3) Метр ткани стоит 9 р. 60 к. Сколько стоит 3/4 м; 2/3 м ткани?
4) Старинная задача. Некто за 3/4 аршина сукна заплатил 3 алтына. Сколько надо заплатить за 100 аршин такого же сукна?
182. Старинная задача. Некто купил 96 гусей. Половину гусей он купил, заплатив по 2 алтына и 7 полушек за каждого гуся. За каждого из остальных гусей он заплатил по 2 алтына без полушки. Сколько стоит покупка?
183. а) Найдите 2/5 числа 60.
б) Найдите 3/7 числа 42.
После того как учащиеся научатся умножать дроби и освоят применение этого действия для решения простых задач, им нужно показать обоснование нового способа решения задачи 183 (а) на нахождение части числа: 60:5· 2 = 60/5· 2 = 60· 2/5 = 60·2/5
Сформулируем новое правило нахождения части числа:
Чтобы найти часть числа, выраженную дробью, можно число умножить на данную дробь.
Это правило учащиеся также могут формулировать для конкретных случаев: чтобы найти 2/5числа 60, можно число 60
умножить на 2/5.
184. Что больше: 1) 3/5 от 45 м или 4/5 от 30 м?
2) 2/3 от 3/5 м или 3/5 от 2/3 м?
185. 1) Уменьшите 90 р. на 1/3 этой суммы.
2) Увеличьте 15 р. на 2/5 этой суммы.
Решениезадачи 185 (1) учащимся знакомо. Его полезно записать по действиям:
1) 90 ·1/3= 30; 2) 90 – 30 = 60;
Потом составить выражение 90 – 90 ·1/3 для решения задачи; вынести общий множитель 90 за скобки и выяснить с учащимися смысл действия 1 – 1/3. Теперь можно рассмотреть второй способ решения:
1) 1 – 1/3= 2/3; 2) 90· 2/3 = 60.
Задача 185 готовит учащихся к решению соответствующих задач на проценты, а понимание смысла действий 1 – 1/3 и 1 + 2/5 потребуется им при решении многих задач на дроби и проценты. Аналогичные задачи легко составят и сами учащиеся, только желательно пользоваться «именованными» числами, чтобы не провоцировать действия типа 90 – 1/3 (см. № 185 (1)).
186.* Число 200 увеличили на 1/10 этого числа, полученный результат уменьшили на его 1/10. Получилось ли снова число 200? Ответ обосновать.
Задача 186 знакомит учащихся с ситуацией, с которой им лучше освоиться до того момента, когда она встретится при решении задач на проценты.
187. а) Найдите число, 2/5 которого равны 60.
б) Найдите число, 3/11 которого равны 99.
После того как учащиеся научатся делить дроби и освоят применение этого действия для решения простых задач, им нужно показать обоснование нового способа решения задачи 187 (а) на нахождение числа по его части:
60:2· 5 = 60/2· 5 = 60· 5/2 = 60· 5/2= 60: 2/5.
Сформулируем новое правило нахождения числа по его части:
Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, можно эту часть разделить на данную дробь.
И это правило учащиеся могут формулировать для конкретных случаев: чтобы найти число, 2/5которого равны 60, можно 60 разделить на 2/5.
188. 1) За 4 дня похода израсходовали 2/5 всех запасенных продуктов. На сколько дней было запасено продуктов?
2) На стоянке автомашин было 15 «Жигулей». Они составляли 3/5 всех автомашин. Сколько всего автомашин было на стоянке?
189. а) Число уменьшили на 3/10 этого числа, получилось 210. Найдите число.
б) Задумали число, увеличили его на 1/7 задуманного числа и получили 56. Какое число задумали?
190. Столб вкопали в землю на 2/9 его длины. Он возвышается над землей на 1 м 40 см. Определите длину столба.
191. Половина книг школьной библиотеки — учебники. Шестая часть всех учебников — учебники математики. Какую часть от всех книг составляют учебники математики?
192. К классе 18 мальчиков и 16 девочек, 2/9 мальчиков и 1/4 девочек занимается в литературном кружке. Сколько учащихся класса занимается в литературном кружке?
193. а) У мальчика было 24 р. Он потратил 1/4 этой суммы и 1/2 остатка. Сколько денег он потратил?
б) Туристы прошли за три дня 48 км. В первый день они прошли 1/4 всего расстояния, а во второй день 5/9 остатка. Сколько километров они прошли в третий день?
194. 1) В магазин привезли арбузы. До обеда магазин продал 2/5, после обеда — 1/3 привезенных арбузов, и осталось продать 80 арбузов. Сколько арбузов привезли в магазин?
2) Некто израсходовал половину своих денег и 1/3 остатка. После этого у него осталось 6 р. Сколько денег было у него первоначально?
195. Задача Бхаскары (Индия, XII в.). Из множества чистых цветков лотоса были принесены в жертву: Шиве — третью долю этого множества, Вишну — пятую и Солнцу — шестую; четвертую долю получил Бхавани, а остальные шесть цветков получил уважаемый учитель. Сколько было цветков?
196. Старинная задача. Капитан на вопрос «Сколько людей имеет он в своей команде?» ответил, что 2/5 его команды в карауле, 2/7 в работе, 1/4 в лазарете, да еще 27 человек налицо. Спрашивается число людей его команды.
197.* Из «Азбуки» Л.Н. Толстого. Мужик вышел пешком из Тулы в Москву в 5 ч утра. В 12 ч выехал барин из Тулы в Москву. Мужик идет 5 верст в каждый час, а барин едет 11 верст в каждый час. На какой версте барин догонит мужика?
198.* Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Два почтальона А и В нахoдятся друг от друга на расстоянии 59 миль. Утром они отправляются друг другу навстречу. А проходит в два часа 7 миль, В — в три часа 8 миль, но В выходит часом позднее, чем А. Сколько миль пройдет А до встречи с В?
199. Задача Герона Александрийского (I в.). Бассейн емкостью 12 кубических единиц получает воду через две трубы, из которых одна дает в каждый час кубическую единицу, а другая в каждый час — четыре кубические единицы. В какое время наполнится бассейн при совместном действии обеих труб?
200. Нужно проверить 360 тетрадей диктанта. Один учитель может проверить их за 15 ч, другой — за 10 ч, третий — за 6 ч. За сколько часов они проверят тетради втроем?
В реальном учебном процессе требуется не так много задач на сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями — здесь будет достаточно задач из учебника. Больше внимания мы уделим задачам, при решении которых вся величина принимается за единицу. Причем сначала представлять ее лучше как 2/2, 3/3 и т.п. величины.
163. Девочка прочитала 2/5, потом еще 1/5 книги. Какую часть книги она прочитала?
164. Туристы прошли 1/7, потом еще 3/7 всего маршрута. Какую часть маршрута им осталось пройти?
165. Два тракториста скосили 5/9 луга, причем первый тракторист скосил 2/9 луга. Какую часть луга скосил второй тракторист?
166. Первый тракторист вспахал 2/7 поля, второй — 3/7 поля. Вместе они вспахали 10 га. Определите площадь поля.
167. Решите задачи 150 (а–в), используя вычитание дробей.
168. Решите задачи 154 (1–2), используя вычитание дробей.
169. 1) На ветке сидели воробьи. Когда третья часть воробьев улетела, то их осталось 6. Сколько воробьев было на ветке первоначально?
2) Некто израсходовал 3/4 своих денег и у него осталось 200 р. Сколько денег у него было?
3) В первый день туристы прошли 2/5 намеченного маршрута, а во второй день оставшиеся 15 км. Какова длина маршрута?
4) У Васи в коллекции 200 марок. За последний год число марок в коллекции увеличилось на 1/4. Сколько марок было в коллекции год назад?
170. До обеда токарь выполнил 2/8 задания, после обеда — 3/8 задания, после чего ему осталось обточить 24 детали. Сколько деталей он должен был обточить?
171. Из «Арифметики» Л.Н. Толстого. Муж и жена брали деньги из одного сундука, и ничего не осталось. Муж взял 7/10 всех денег, а жена 690 р. Сколько было всех денег?
Советуем обратить внимание на задачи 172–173, допускающие несколько способов решения. Необходимые рекомендации даны в разделе «Ответы и советы».
172. Решите двумя способами задачи из египетских папирусов.
1) Количество и его четвертая часть дают вместе 15. Найти
количество.
2) Число и его половина составляют 9. Найти число.
173. Составьте задачу, аналогичную египетским задачам, и решите ее двумя способами.
Начиная со следующей задачи в решениях встречаются сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Если этот материал в 5 классе не изучался, то оставшиеся задачи, связанные с дробями, следует отложить до 6 класса.
174. а) В каждый час первая труба наполняет 1/2 бассейна, а вторая — 1/3 бассейна. Какую часть бассейна наполняют обе трубы за 1 ч совместной работы?
б) Первая бригада может выполнить в день 1/12 задания, а вторая — 1/8 задания. Какую часть задания выполнят две бригады за 1 день совместной работы?
в) Легковая машина в час проезжает 1/10 расстояния между городами, а грузовая — 1/12 этого расстояния. На какую часть этого расстояния сближаются за 1 ч машины при движении навстречу друг другу?
175. а) Два тракториста за 1 день совместной работы вспахали 2/3 поля. Первый тракторист вспахал 1/2 поля. Какую часть поля вспахал второй тракторист?
б) Две машины, едущие навстречу друг другу, приблизились за 1 ч на 1/3 расстояния между двумя городами. Первая машина проехала 1/8 этого расстояния. Какую часть всего расстояния проехала вторая машина?
в) Через две трубы за каждый час наполняется 1/3 бассейна. Через первую трубу за 1 ч наполняется 1/10 бассейна. Какая часть бассейна наполняется за 1 ч через вторую трубу?
176. Из бочки вылили сначала 1/2 находившейся в ней воды, потом 1/3, 1/15 и 1/10. Какую часть воды вылили?
177.* Я отпил полчашки черного кофе и долил ее молоком. Потом я отпил 1/3 чашки и долил ее молоком. Потом я отпил 1/6 чашки и долил ее молоком. Наконец, я допил содержимое чашки до конца. Чего я выпил больше: кофе или молока?
178. Старинные задачи. 1) Два пешехода вышли в одно время навстречу друг другу из двух деревень. Первый может пройти расстояние между двумя деревнями за 8 ч, а второй за 6 ч. На какую часть расстояния они приближаются за 1 ч?
2) Для постройки купальни наняты три плотника; первый сделал в день 2/33 всей работы, второй 1/11, третий 7/55. Какую часть всей работы сделали все они в день?
3) Для переписки сочинения наняты 4 писца; первый мог бы один переписать сочинение в 24 дня, второй в 36 дней, третий в 20 и четвертый в 18 дней. Какую часть сочинения перепишут они в один день, если будут работать вместе?
179. 1) Машинистка перепечатала третью часть рукописи, потом еще 10 страниц. В результате она перепечатала половину всей рукописи. Сколько страниц в рукописи?
2) Старинная задача. Прохожий, догнавший другого, спросил: «Как далеко до деревни, которая у нас впереди?» Ответил другой прохожий: «Расстояние от той деревни, от которой ты идешь, равно третьей части всего расстояния между деревнями, а если еще пройдешь 2 версты, тогда будешь ровно посередине между деревнями». Сколько верст осталось еще идти первому прохожему?
180. Задача Адама Ризе (XVI в.). Трое выиграли некоторую сумму денег. На долю первого пришлось 1/4 этой суммы, на долю второго 1/7, a на долю третьего 17 флоринов. Как велик весь выигрыш?
В процессе решения задач 149–156 надо подвести учащихся к пониманию правила нахождения части числа:
Чтобы найти часть числа, выраженную дробью, можно это число разделить на знаменатель дроби и полученный результат умножить на ее числитель.
Разумеется, это правило учащиеся могут формулировать лишь для конкретных ситуаций: чтобы найти 3/4 числа 24, можно это число разделить на знаменательдроби4иполученный результат умножить на числитель 3.
149. а) На ветке сидели 12 птиц; 2/3 их числа улетели. Сколько птиц улетело?
б) В классе 32 учащихся; 3/4 всех учащихся каталось на лыжах. Сколько учащихся каталось на лыжах?
150. а) Велосипедисты за два дня проехали 48 км. В первый день они проехали 2/3 всего пути. Сколько километров они проехали во второй день?
б) Некто, имея 350 рублей, потратил 5/7 своих денег. Сколько денег у него осталось?
в) В тетради 24 страницы. Девочка исписала 5/8 числа всех страниц тетради. Сколько осталось неисписанных страниц?
151. Старинная задача. Купивши комод за 36 р., я потом вынужден был продать его за 7/12 цены. Сколько рублей я потерял при этой продаже?
152. Автотуристы за три дня проехали 360 км; в первый день они проехали 2/5, а во второй день — 3/8 всего пути. Сколько километров проехали автотуристы в третий день?
153. 1) В драмкружке занимаются 24 девочки и несколько мальчиков. Число мальчиков составляет 3/8 числа девочек. Сколько учащихся занимается в драмкружке?
2) В коллекции имеется 45 юбилейных рублевых монет. Число 3-х и 5-ти рублевых монет составляет 2/9 числа рублевых монет. Сколько всего юбилейных монет в 1, 3 и 5 рублей в коллекции?
Задачи 154–156 учащиеся должны решать, находя сначала указанную часть величины, а потом увеличивая или уменьшая эту величину на найденную часть. Другой способ решения будет показан позже.
154. 1) Уменьшите 90 рублей на 1/10 этой суммы.
2) Увеличьте 80 рублей на 2/5 этой суммы.
155. В прошлом месяце цена товара составляла 90 р. Теперь она понизилась на 3/10 этой суммы. Какова теперь цена товара?
156. В прошлом месяце зарплата составляла 400 р. Теперь она увеличилась на 2/5 этой суммы. Какова теперь зарплата?
В процессе решения задач 157–158 и следующих задач нужно подвести учащихся к пониманию и правильному применению правила нахождения числа по его части:
Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, можно эту часть разделить на числитель дроби и полученный результат умножить на ее знаменатель.
Формулировка этого правила сложна из-за необходимости
как-то называть число, которое у нас названо «частью». Эту трудность вынуждены обходить и авторы учебников. Так в учебнике И.В. Барановой и З.Г. Борчуговой правило формулируется лишь для конкретных случаев: чтобы найти число, 3/5 которого составляют 90 км, надо 90 км разделить на числитель дроби 3 и полученный результат умножить на знаменатель дроби 5. [3]
Именно в таком виде им могут пользоваться учащиеся. Правда, говоря о числе, лучше не использовать наименований, так как число и величина не одно и то же. Позднее в том же учебнике на с. 226 формулируется общее правило, в котором применяемому нами термину «часть» соответствует оборот «число, ей соответствующее», что вряд ли проще.
157. а) 120 р. составляют 3/4 имеющейся суммы денег. Какова эта сумма?
б) Определите длину отрезка, 3/5 которого равны 15 см.
158. а) Сыну 10 лет. Его возраст составляет 2/7 возраста отца. Сколько лет отцу?
б) Дочери 12 лет. Ее возраст составляет 2/5 возраста матери. Сколько лет матери?
На покупку овощей хозяйка израсходовала 6 р., что составило 1/6 имевшихся у нее денег. Затем она купила 2 кг яблок по 7 р. за килограмм. Сколько денег у нее осталось после этих покупок?
160. Отец купил сыну костюм за 24 р., на что израсходовал 1/3 своих денег. После этого он купил несколько книг, и у него осталось 39 р. Сколько стоили книги?
161. Сыну 8 лет, его возраст составляет 2/9 возраста отца. А возраст отца составляет 3/5 возрастадедушки. Сколько лет дедушке?
162.* Из папируса Ахмеса (Египет, ок. 2000 г. до н. э.).
Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают:
— Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада?
Первый раздел содержит задачи, в которых встречаются слова «половина», «треть» и т. п. — это большей частью знакомые учащимся задачи на нахождение доли числа и числа по его доле. Здесь же для упрощения записей появляется обозначение долей в виде дроби. Так как это новый для учащихся материал, то следует обратить внимание на усвоение ими понятий «числитель» и «знаменатель», на правильное чтение и употребление дробей.
123.о а) Сколько минут содержится в половине, в трети, в четверти часа?
б) Сколько сантиметров содержится в половине, в четверти, в пятой части метра?
124. Туристы проехали на автобусе 48 км, потом они прошли пешком половину того расстояния, что проехали на автобусе. Какое расстояние преодолели туристы на автобусе и пешком?
125. В тетради 24 страницы. Сколько чистых страниц осталось в тетради, если исписали четверть всех страниц?
126. У Алеши 80 марок, у Бори на 20 марок больше, у Вовы — третья часть числа всех марок первых двух мальчиков. Сколько марок у Вовы?
127. 1) В книге 60 страниц. Девочка прочитала в первый день половину, а во второй день — треть всех страниц. Сколько страниц ей осталось прочитать?
2) В книге 60 страниц. Девочка прочитала в первый день половину всех страниц, а во второй день — треть оставшихся. Сколько страниц ей осталось прочитать?
3) В мастерской было 960 м ткани. За месяц израсходовали треть всей ткани, причем на пошив платьев пошла половина израсходованной ткани. Сколько метров ткани пошло на пошив платьев?
128. Старинная задача (Франция, XVII – XVIII вв.). Трое хотят купить дом за 24000 ливров. Они условились, что первый даст половину, второй — одну треть, а третий — оставшуюся часть. Сколько даст каждый?
В такой формулировке эта задача из «Курса математики»
Ж.Озанама приведена Г.И.Глейзером. Та же задача у В.Д.Чистя-кова дана в иной редакции:
Трое хотят купить дом за 26000 ливров. Они условились, что первый даст половину, второй — одну треть, а третий — одну четверть. Сколько даст каждый? [25]
Здесь сумма 1/2 + 1/3 + 1/4 = 13/12 превосходит единицу, следовательно, 26000 ливров нужно разделить на части, пропорциональные указанным дробям или числам 6, 4 и 3. Эту задачу можно будет предложить учащимся, но значительно позже.
129.о За четыре дня похода туристы израсходовали половину запасенных продуктов. На сколько дней им хватит оставшихся продуктов? На сколько дней было запасено продуктов?
130. Из всех 36 белых грибов половину нашел папа, третью часть остатка — мама, а остальные белые грибы нашел сын. Сколько белых грибов нашел сын?
131. Мальчик прочитал 30 страниц, что составило треть всех страниц книги. Сколько страниц в книге?
132. Когда туристы прошли 12 км, то они подсчитали, что пройденная часть пути составляет треть оставшейся. Какова длина пути?
133. Половина учащихся класса участвовала в конкурсе чтецов, треть из них стала победителями. Сколько учащихся в классе, если победителей было 5?
134. Литровая бутылка, наполненная растительным маслом, весит 950 г. Когда из нее вылили половину масла, она стала весить 550 г. Сколько весит масло? Сколько весит пустая бутылка?
В следующих задачах будет встречаться обозначение долей с помощью дробей. Если к этому моменту учащиеся еще не знакомы с дробями, то необходимо объяснить им смысл этого обозначения.
135. Потратили 1/2 от 40 р. Сколько денег потратили?
136. Длина мотка веревки 27 м. От него отрезали 1/3 часть. Сколько метров веревки отрезали?
137. 1) Школьники собрали с одного участка 504 кг моркови, с другого в 3 раза меньше. 1/3 всей собранной моркови израсходовали. Сколько килограммов моркови израсходовали?
2) На сахарный завод привезли в первый день 633 т 600 кг свеклы, во второй день — в 2 раза меньше. Сколько сахара получится из всей свеклы, если масса сахара составляла 1/6 массы свеклы?
138. Столовая израсходовала за 4 месяца 3672 кг овощей: в первый месяц 1/3 этих овощей, во второй месяц — в 2 раза меньше, чем в первый, а остальные овощи — поровну в третий и четвертый месяцы. По сколько килограммов овощей расходовала столовая в третий и четвертый месяцы?
139.* Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Некто оставил в наследство жене, дочери и трем сыновьям 48000 рублей и завещал жене 1/8 всей суммы, а каждому из сыновей вдвое больше, чем дочери. Сколько досталось каждому из наследников?
Познакомимся с решением этой задачи у Л.Ф. Магницкого.
140.о а) Работу выполнили за 4 ч. Какую часть работы выполняли в каждый час?
б) Бассейн наполняется за 5 ч. Какая часть бассейна наполняется в каждый час?
в) Пешеход прошел некоторое расстояние за 6 ч. Какую часть этого расстояния он проходил в каждый час?
141.о а) Путник проходит в час 1/5 пути. За сколько часов он пройдет весь путь?
б) В каждый час труба наполняет 1/6 бассейна. За сколько часов она наполнит весь бассейн?
в) В каждый день выполняется 1/7 некоторого задания. За сколько дней будет выполнено задание?
142.о 1) Два путника вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 ч. На какую часть первоначального расстояния они сближались в каждый час?
2) Два путника вышли одновременно навстречу друг другу. Они проходят в каждый час 1/4 всего пути. Через сколько часов путники встретятся?
Задачи 140–142 имеют двойное назначение. С одной стороны, они помогают формированию понятия доли (части) величины, с другой — готовят к задачам «на бассейны». Эти задачи можно решать устно. Желательно при этом изображать расстояние (всю работу и т. п.) в виде отрезка и показывать ту его часть, которая соответствует 1 часу, 1 минуте и т. п.
143.о 1) Поезд проходит некоторое расстояние за 8 ч. Какую часть расстояния он пройдет за 1 ч; за 2 ч; за 3 ч; за 8 ч?
2) Из семи дней недели было три солнечных дня. Какую часть недели составляет один день? Какую часть недели составляют солнечные дни?
3) В магазин привезли 200 лампочек; 5 из них оказались неисправными. Какую часть числа всех лампочек составляют неисправные лампочки?
4) В букете было 4 розовых цветка и 3 белых. Какую часть всех цветов составляют белые цветы?
144.* 1) Алеша с папой стреляли в тире. Алеша из 10 выстрелов имел 5 попаданий, а папа из 5 выстрелов имел 3 попадания. Чей результат лучше?
2) Саша и Коля играли в баскетбол. Саша из 10 бросков имел 6 попаданий в кольцо, а Коля из 8 бросков имел 5 попаданий. Чей результат лучше?
Задачу 144 следует предложить учащимся после изучения сравнения дробей, причем мы советуем показать учащимся сравнение дробей с разными знаменателями и в том случае, если это не предусмотрено в учебнике 5 класса. Можно ожидать, что учащимся будет трудно самостоятельно найти решение, приводящее к сравнению дробей. Предложите им использовать уже знакомую идею уравнивания. Предположим, что папа выстрелил еще 5 раз и имел тот же результат — 3 попадания. Сколько всего попаданий будет у папы? Чей же результат лучше?
После обсуждения первого способа решения задачи можно перейти ко второму, задав вопросы: Какую часть всех выстрелов Алеши составляют попадания? Какую часть всех выстрелов папы составляют попадания? Как получить ответ на вопрос задачи?
В задаче 144 (2) для уравнивания числа бросков нужно будет взять общее кратное чисел 8 и 10, а для упрощения вычислений — их наименьшее общее кратное.
145. 1) На столе лежало несколько книг. Когда взяли половину всех книг и еще одну книгу, то осталось две книги. Сколько книг лежало на столе первоначально (рис. 4)?
Рис. 4
2)* Мама дала своим детям конфеты: дочери половину всех конфет и еще 1 конфету, сыну половину остатка и еще 5 конфет. Сколько всего конфет мама дала детям?
Рис. 5
3)* Старинная задача. Отец дает денег своим детям. Старшему — половину всего и 1 рубль, среднему — половину остатка и еще 1 рубль, младшему — половину остатка и еще 3 рубля. И таким
образом всю сумму раздал. Сколько было денег?
4)* Старинная задача. Крестьянин, покупая товары, сначала уплатил первому купцу половину своих денег и еще 1 рубль; потом уплатил второму купцу половину оставшихся денег да еще 2 рубля и, наконец, уплатил третьему купцу половину оставшихся денег да еще 1 рубль. После этого денег у крестьянина совсем не осталось. Сколько денег было у крестьянина первоначально?
При решении задачи 145 (1) стоит обратить внимание на то, что если из одного из двух равных чисел вычесть, а к другому прибавить третье число, то разность полученных результатов будет в два раза больше третьего числа. Это наблюдение нужно связать с известным учащимся правилом нахождения двух чисел по их сумме и разности. Оно поможет решить задачу: взяли книг на 2 больше, чем осталось.
При решении задачи 145 (2) можно изобразить количество всех конфет в виде отрезка, показать на немколичество конфет, данных дочери и оставшиеся конфеты (рис. 5). Можно попросить учащихся дополнить рисунок, показав на нем отрезок, соответствующий 5 конфетам, о которых идет речь в условии задачи. Дальше им будет нетрудно сообразить, что у мальчика было 10 конфет, а у девочки — на 2 больше. Такого рода схематические рисунки будут полезны и при решении следующих задач.
146. 1) У Васи есть три шоколадки. Он утверждает, что сможет взять половину всех шоколадок и еще полшоколадки, не ломая ни одной них. Сможет ли Вася выполнить свое обещание? Если сможет, то как (рис. 6)?
Рис. 6
2) В вазе лежало 5 яблок. Мальчик взял половину всех яблок и еще пол-яблока. Сколько яблок взял мальчик?
3) В коробке лежали карандаши. Сестра взяла половину всех карандашей и еще полкарандаша. Остальные 4 карандаша взял брат. Сколько карандашей было в коробке первоначально?
147.* Крестьянка продавала на рынке яйца. Первая покупательница купила у нее половину яиц и еще пол-яйца, вторая половину остатка и еще пол-яйца, а третья последние 10 яиц. Сколько яиц принесла крестьянка на рынок?
148.* Старинная задача. К табунщику пришли три казака покупать лошадей. «Хорошо, я вам продам лошадей, — сказал табунщик, — первому продам я полтабуна и еще половину лошади, второму — половину оставшихся лошадей и еще пол-лошади, третий также получит половину оставшихся лошадей с полулошадью. Себе же оставлю только 5 лошадей». Удивились казаки, как это табунщик будет делить лошадей на части. Но после некоторых размышлений они успокоились, и сделка состоялась. Сколько же лошадей продал табунщик каждому из казаков?
Начнем с небольшой исторической справки о задачах на дроби. Эти задачи являются древнейшими из дошедших до нас по письменным источникам; их решение было весьма сложной проблемой до тех пор, пока не изобрели обозначения для обыкновенных дробей, не разработали правила действий с ними. В Древнем Египте, например, существовали иероглифы только для обозначения дробей с числителем 1. Единственным исключением была дробь 2/3, для которой имелось соответствующее обозначение. Не случайно поэтому в тексте одной из задач папируса Ахмеса находим выражение «две трети от трети скота» (см. № 162) — выразить эту часть стада дробью 2/9 египтяне еще не могли. В том же папирусе Ахмеса встречается задание «Разделить 7 хлебов между 10 лицами», ответ к которому в современной записи можно выразить так: 2/3 + 1/30. Решение более сложных задач на дроби, аналогичных задаче 172, было для египтян довольно сложной проблемой.
Гораздо позже Анания Ширакаци (Армения, VII в.) записал ответ в одной из задач в виде:1/41/61/121/22, что выражает дробь 6/11, получающуюся сложением указанных дробей.
Таким образом, аликвотные дроби (с числителем 1) долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек, а правила действий с произвольными дробями разработаны «сравнительно недавно». Это обстоятельство как будто бы отразилось и на методике обучения решению задач на дроби. До сих пор методисты особо выделяют аликвотные дроби, называя их «долями», и различают терминологически, например, нахождение доли числа и дроби числа. Спору нет, изучение дробей должно начинаться с аликвотных дробей также как обучение решению составной задачи — с выделения его первого шага. Но ниоткуда не следует, что методическая терминология учителя должна доводиться до учащихся и быть их рабочей терминологией. Тем более, что теперь дробь не определяется как доля или совокупность нескольких долей, как это было в учебниках А.П. Киселева или И.Н. Шевченко. В противном случае с дробями, частями и долями будет трудно избежать вряд ли понятных ученикам формулировок вроде такой: «Вы умеете решать задачи на нахождение числа по заданной его доле. Научимся решать задачи на нахождение числа по заданной его дроби». [3, с. 167] Мы считаем малополезным для учащихся выделение «долей» из всех дробей и задач на нахождение доли числа и числа по его доле из соответствующих задач на дроби, так как в русском языке слова «доля» и «часть» являются синонимами. Слово «доля» употребляют и в тех случаях, когда часть не выражается аликвотной дробью. Имея в виду, что часть числа может быть выражена обыкновенной дробью (в том числе аликвотной), десятичной дробью или в процентах, мы будем говорить о нахождении части числа и числа по его части как общих задачах, частные случаи которых приводят к нахождению доли, процентов числа и обратным задачам. Это небольшое терминологическое уточнение позволит в дальнейшем подчеркнуть взаимосвязь способов решения простейших задач на дроби и проценты. Однако проблема не только в терминологии.
В прошлые годы задачам на дроби уделялось много внимания в начальной школе. Теперь в этом вопросе произошли существенные изменения, о которых не всегда знают учителя, работающие в 5–6 классах. Вернемся на несколько лет назад и рассмотрим задачи на дроби в учебнике математики для 3 (выпускного для начальной школы) класса 1976 года издания. Еще до раздела «Дроби» в нем имеется 8 задач на нахождение доли числа и 3 задачи на нахождение числа по его доле. Причем в первых задачах каждого типа доли записывались словами, а потом — с помощью дроби. Даже эти первые задачи были составными — в 3–4 действия. Правда, простые задачи, связанные с долями (в том числе и с обозначением долей в виде дроби) встречались до этого в учебнике для 2 класса.
В разделе «Дроби» после разнообразной работы по формированию самого понятия «дробь», знакомства с терминами «числитель», «знаменатель», после приведения дробей к новому знаменателю и сравнения дробей с разными знаменателями (все с опорой на рисунки) давался образец решения задачи на нахождение дроби числа в два действия. Дальше на 100 страницах учебника были разбросаны 32 задачи на нахождение дроби числа и 5 задач на нахождение числа по его доле (четыре из них составные). Чтобы читатель получил представление о быстроте нарастания сложности задач, приведем шестую после разобранного образца задачу на нахождение дроби числа и следующую за ней задачу на нахождение числа по его доле.
Автотуристы за три дня проехали 360 км; в первый день они проехали 2/5, а во второй день — 3/8 всего пути. Сколько километров проехали автотуристы в третий день?
Отец купил сыну костюм за 24 р., на что израсходовал 1/3 своих денег. После этого он купил несколько книг, и у него осталось 39 р. Сколько стоили книги? [14]
Разумеется, недостаток более простых задач и большие временные перерывы между задачами не позволяли добиваться хороших результатов в обучении, но эти и другие недостатки можно было легко устранить. Однако при переходе к четырехлетнему обучению в начальной школе произошла странная вещь — дроби вообще исчезли из учебников. Программа по математике 1988 года предусматривала обучение детей лишь нахождению доли числа и числа по его доле в 3 классе и решение задач на нахождение нескольких долей числа в 4 классе [20]. Но и это требование программы не было выполнено в новом комплекте учебников под редакцией Ю.М. Колягина. Если в учебнике для 4 класса содержится около 16 задач первого и 4 задач второго типа (в учебнике для 3 класса — 18 и 14 соответственно), то в нем нет ни одной задачи на нахождение нескольких долей числа. Таким образом, в начальной школе не предполагалось обучение школьников нахождению дроби числа и числа по его дроби.
Здесь нам хочется подчеркнуть, что требования программы 1988 года являлись шагом назад даже по сравнению с требованиями программы трехлетних начальных народных училищ, утвержденной в 1897 году, в которой на втором году обучения предполагалось знакомство учащихся с долями, а на третьем — вычисления с ними. В программе был указан «наибольший размер сведений о долях, какие могут быть допускаемы… : 1) нахождение одной или нескольких частей, которые сами выражаются целым числом; 2) нахождение таких частей единицы, которые наиболее употребительны в жизни (например, 1/2, 1/4, 1/8, 1/10, 1/5, 1/3, 1/6);
3) употребление нескольких из числа уже знакомых долей единицы, 4) образование целых из частей единицы и выражение целых в долях единицы; 5) сложение и вычитание одинаковых частей единицы; 6) повторение частей единицы несколько раз; 7) нахождение по целому части и по части целого, когда и данное, и искомое суть целые числа; 8) сложение и вычитание различных долей могут быть допущены только относительно употребительнейших в жизни случаев, например 1/2 с 1/8, и если ученики сейчас же угадывают, в каких долях может быть выражена сумма. Все эти упражнения могут быть допускаемы только при решении задач, без всяких теоретических объяснений и выводов».
Из одной крайности — обучения решению сложных и не всегда хорошо организованных в учебнике задач на дроби — начальная школа попала в другую. Теперь она выпускает детей не только не умеющих найти 2/3 числа, но и не видевших такое обозначение в учебнике. Все сказанное говорит за то, что в изучении задач на дроби в начальной школе произошли не самые лучшие изменения. При этом изложение материала, связанного с дробями, в учебниках 5 класса практически не изменилось. Этот методический просчет требует определенной компенсации.
Справедливости ради сделаем оговорку. В последнее время появилось много разных учебников для начальной школы, и в некоторых из них изучение дробей достаточно продвинуто. Например, в учебниках Н.Я. Виленкина и Л.Г. Петерсон для начальной школы «пройдены» почти все задачи на дроби. Думается, такое забегание вперед вряд ли оправдано. Оно ведь не сопровождается изучением теоретических сведений о дробях, как это принято в 5–6 классах. Следовательно, обучение может строиться только на подражании учителю.
С чего же нужно начинать работу с задачами на дроби? Очевидно, что сначала учащимся нужно напомнить задачи, которые они решали в начальной школе. При этом на первых порах доли должны задаваться словами: половина, треть, четверть и т.п. Потом — для упрощения чтения и записи — с помощью дробей. Знакомство с терминами «дробь», «числитель», «знаменатель», уяснение их смысла и назначения вполне могут проходить до специально организованной работы по учебнику, так как при решении первых задач сами дроби еще не воспринимаются учащимися как числа, над которыми нужно выполнять действия. Такие задачи есть в разделе 2.1 — их можно решать уже в первом полугодии 5 класса. Здесь же есть и задачи, готовящие учащихся к решению задач «на бассейны». Их решение будет способствовать углублению понимания учащимися смысла дроби.
В разделе 2.1 есть такая задача из раздела «Задачи повышенной трудности» учебника Н.Я. Виленкина и др. (1984 г.):
Колхозница продавала на рынке яйца. Первая покупательница купила у нее половину яиц и еще пол-яйца, вторая половину остатка и еще пол-яйца, а третья последние 10 яиц. Сколько яиц принесла колхозница на рынок?
С этой задачей связана история, которую стоит вкратце рассказать. Газета «Московский комсомолец» опубликовала 26.04.87 г. в разделе «Сатира & юмор» реплику В. Сумина, которую мы приводим с сокращениями: «Встречали вы в магазине, чтобы продавали по половине яйца? Нет? Я тоже. А на рынке — пожалуйста! Мы-то, взрослые, знаем, почему. Там целое яйцо не каждому и по карману. И дети пусть об этом знают, пусть! … А все-таки ушлый народец, эти продавцы!.. И как они умудряются? Я целый день потратил, сотню яиц извел, а пополам ни одного не разделил. Может, мне кто поможет, а?..»
Такой вот грустный получается юмор. Особенно, если учесть, что автор реплики окончил московскую физико-математическую школу № 2, славную своими победителями математических олимпиад различного уровня, и сам написал учебник для металлургических техникумов. Ну, — скажет читатель, — с кем не бывает! И мы бы согласились, да вот беда! После получения 11 писем читателей газета еще раз вернулась к обсуждению «Дела о яйце», напомнив содержание предыдущей публикации следующим образом: «Теперь — о реплике. В ней высказывается нехитрая и в общем-то, на наш взгляд, справедливая мысль, что учебник должен учить не только математике, но и отражать реальные отношения между людьми и предметами. В задаче № 1513 математическая логика вступила в противоречие с обыкновенным здравым смыслом. Математика утверждает, что пол-яйца и пол-яйца будет одно целое яйцо. Здравый смысл говорит, что ни одного…»
В завершение развернутой дискуссии газета опять предоставила слово В. Сумину, который прочитав письмо Н.Я. Виленкина, содержащее ответ «43 яйца», пишет: «…Это что же получается? Били-били яйцо, разбили пополам, всучили в таком виде покупателям (и где таких смирных отыскали-то?), а оно опять оказалось целым!» и т. д. в том же духе.
Трудно поверить, чтобы взрослые люди, зная ответ, не поняли всю бессмысленность развернутой «научной дискуссии». Трудно также поверить и в то, что это был розыгрыш (хоть это и «Сатира & юмор»). Видимо, дело здесь в другом. Весь сыр-бор разгорелся из-за буквального понимания операции «взять половину всех яиц и еще пол-яйца» и выполнения ее «физически» — в области тех величин и предметов, о которых идет речь в условии задачи. Если следовать такой логике, то нам, конечно же, не удастся из трех яиц взять половину и еще пол-яйца, т. е. два целых яйца. В этом смысле В. Сумин прав. Но так ли уж серьезно здесь обвинение математиков в отрыве от практики, ведь они решают практические задачи с помощью математических моделей — в данном случае арифметических операций с рациональными числами. Промежуточные результаты решения внутримодельной задачи могут не иметь интерпретации, приемлемой с точки зрения тех величин, о которых идет речь в условии задачи.
На практике часто приходится находить, например, 25 % от 36 человек. Первая операция приводит к результату 0,36 человека, но означает ли это что сама задача не отражает «реальные отношения между людьми и предметами» или не отвечает «обыкновенному здравому смыслу»? Совсем нет! Этот результат, скорее, показывает, что данную задачу лучше предлагать школьникам тогда, когда они научатся соединять два действия (36:100·25), не интерпретируя промежуточного результата, или получать тот же результат умножением 36 на 0,25. А до тех пор нужно находить 25 % от 36 метров, 36 рублей, 3600 человек и т.п., то есть от таких величин, сотая часть которых может быть легко истолкована.
Из следующего издания учебника (1990 г.) задача № 1513 была исключена (вместе с разделом «Задачи повышенной трудности»). Мы привели эту историю совсем не для того, чтобы развлечь читателя. Она затрагивает важные методические вопросы, связанные с взаимоотношением практической ситуации и ее арифметической модели, которые нам хотелось прокомментировать.
Задачи раздела 2.2 посвящены нахождению части числа и числа по его части. Первые задачи каждого из этих типов надо решать в 2 действия до тех пор, пока все учащиеся не уяснят себе назначение первого шага в решении. Потом эти действия объединяются в одно выражение.
Если по вашему учебнику умножение и деление дробей не изучаются в 5 классе, то следующий шаг в решении задач (нахождение части числа умножением на дробь и числа по его части делением на дробь) придется отложить почти на год. Решения задач из разделов 2.3 и 2.4 основываются на ранее изученном материале и умении выполнять действия с дробями. В 5 классе можно использовать только те из них, в решении которых требуется выполнить сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, а остальные задачи — годом позже. В 6 классе следует решать и задачи «на бассейны» (раздел 2.5) — классические задачи, известные с древнейших времен. Про них следует сказать отдельно.
Достойно сожаления, что в начале 70-х годов из учебников
математики 4–5 классов исчезли задачи, отражающие важнейшую, часто встречающуюся зависимость:
1/a + 1/b = 1/c. (1)
Впрочем, решение самих задач не требует восприятия зависимости между известными и неизвестными величинами в виде равенства (1). Но хотя бы из чисто практических соображений учащимся 5–6 классов необходимо решать задачи типа:
Через первый кран сосуд наполняется за 20 мин, а через второй — за 30 мин. За сколько минут можно наполнить сосуд через оба крана?
Ведь в 8 классе они встретятся с той же арифметической ситуацией, но иначе поставленным вопросом в задаче типа:
Через два крана сосуд наполняется за 12 мин. Известно, что через один первый кран сосуд наполняется на 10 мин быстрее, чем через один второй. За сколько минут можно наполнить сосуд через каждый кран в отдельности?
Отсутствие в учебном процессе первой задачи при наличии второй является просчетом, который необходимо устранить. Ведь для проверки решения второй задачи учащиеся должны составить ей обратную задачу (первую) и решить ее.
Есть и менее очевидные соображения за возвращение в учебный процесс задач «на бассейны». Когда их в свое время исключали, шла борьба против решения задач «по шаблону» — довольно странная борьба, если учесть, что по шаблону, по ранее показанным образцам решается большинство задач, и не только в математике. Кроме того задачи «на бассейны» критиковались за искусственность и оторванность от практики. Ведь в реальных ситуациях обычно бывают известны объем бассейна, который надо наполнить, задание, которое надо выполнить, расстояние, на которое должны приблизиться участники движения и т.п. Что здесь можно возразить?
Во-первых, ребенок не может сам открыть способы решения всех задач. Проблема заключается совсем не в том, чтобы вовсе избежать шаблонов — это невозможно, а в том, чтобы при изучении способов решения составных задач начинать не с демонстрации учащимся решения, а подводить их к «открытию» этого решения с помощью специально подобранных подготовительных задач.
Использование способов решения нескольких опорных задач и выстраивание из них решения составной задачи — это самостоятельная проблема, решение которой может способствовать развитию ребенка. На следующем этапе обучения эта составная задача сама может выступать как опорная, к которой ученик будет сводить решение более сложной составной задачи. Чтобы не создавать ситуаций, когда ученики запоминают шаги решения и даже воспроизводят их, но не понимают смысла каждого отдельного действия, нужно было изменить методику обучения, но этого-то как раз и не было сделано.
Во-вторых, ценность задач «на бассейны» и многих других типовых задач, решаемых арифметическими методами, заключается совсем не в непосредственной применимости на практике способов их решения. Думается, китайцы, составившие во II в. задачу о дикой утке и диком гусе, вылетевших одновременно навстречу друг другу от северного и южного морей (см. № 207), вряд ли имели в виду такую практическую пользу. Ценность арифметических способов решения задач заключается в их влиянии на развитие мышления ребенка, в конечном счете — в применимости на практике развитого мышления. Есть и другие соображения в пользу задач «на бассейны», связанные с лишними данными, введением отвлеченной единицы, общностью математической модели для различных практических ситуаций — на них мы остановимся в комментариях к решениям задач.
Покажем на примере обсуждаемых здесь задач «на бассейны» как можно выстроить систему задач, готовящую к решению составной задачи. Пусть мы хотим подвести учащихся к решению такой задачи:
Через первую трубу бассейн можно наполнить за 10 ч, а через вторую — за 15 ч. За сколько часов можно наполнить бассейн через обе трубы?
Приведем ее решение без пояснений:
1) 1:10 = 1/10; 3) 1/10 + 1/15 = 1/6;
2) 1:15 = 1/15; 4) 1:1/6 = 6.
Очевидно, что для самостоятельного выстраивания такого решения (в худшем случае — для его понимания) ученик должен научиться решать три задачи:
Бассейн наполняется за 10 ч. Какая часть бассейна наполняется за 1 ч?
В каждый час первая труба наполняет 1/10 бассейна, а вторая — 1/15 бассейна. Какую часть бассейна наполняют обе трубы за 1 ч совместной работы?
В каждый час труба наполняет 1/6 бассейна. За сколько часов она наполнит бассейн?
Сначала нужно научить школьников решать задачи A и C — для их решения не требуется выполнять деление. Достаточно, опираясь на понимание смысла дроби, проводить такие рассуждения:
Бассейн наполняется за 10 ч, значит, в час наполняется 1/10 бассейна.
В каждый час наполняется 1/6 бассейна, значит, весь бассейн наполнится за 6 ч.
По мере того как учащиеся будут осваивать действия с дробями, эти рассуждения можно заменять приведенными выше действиями, а после усвоения способа решения задачи B им можно предложить задачи-связки A ® B и B ® C и составную задачу с промежуточным вопросом:
Через первую трубу бассейн можно наполнить за 10 ч, а через вторую — за 15 ч. Какую часть бассейна наполняют обе трубы за 1 ч совместной работы?
В каждый час первая труба наполняет 1/10 бассейна, а вторая — 1/15 бассейна. За сколько часов наполнится бассейн, если открыть обе трубы?
Через первую трубу бассейн можно наполнить за 10 ч, а через вторую — за 15 ч. Какую часть бассейна наполняют обе трубы за 1 ч совместной работы? За сколько часов наполнится бассейн, если открыть обе трубы?
Для отработки решения каждой из предложенных задач желательно иметь достаточное число дублей с разными данными и фабулами, а для первой предъявляемой учащимся составной задачи — с промежуточным вопросом. Столь подробная и упорядоченная система задач должна быть составлена в интересах наиболее слабых учащихся, в работе с которыми лучше следовать известному принципу, сформулированному С.И. Шохор-Троцким: «Каждый раз надо стремиться к преодолению только одной трудности». [29]
Представляется более разумным и экономным, более гуманным по отношению к детям предлагать им «цепочки» задач, с помощью которых учитель может целенаправленно подводить учащихся к «открытию» решения составной задачи, учить их при поиске решения новой задачи опираться на хорошо усвоенные способы решения опорных задач. По таким «цепочкам» учащиеся смогут с большей самостоятельностью продвигаться от простых задач к сложным. При этом более подготовленные из них по указанию учителя могут идти вперед более крупными шагами, пропуская ненужные им дубли и промежуточные задачи и переходя к решению необязательных для всех задач. Такая организация работы с задачами повысит эффективность учебного процесса как с точки зрения его результата — научить детей определенным способам действий в определенных ситуациях, так и с точки зрения его влияния на их развитие. Когда же решение составной задачи будет усвоено, ее дубли и более сложные варианты можно предлагать учащимся в порядке повторения вперемешку с задачами других типов.
Описанный порядок организации задачного материала и подготовки учащихся к решению составных задач дает учителю достаточный простор в организации уроков и в создании ситуаций, в которых школьники будут учиться связывать порознь усвоенные приемы решения, комбинировать их при поиске решений новых задач. Этот порядок позволит учителю отказаться от практикуемого сейчас экстенсивного пути обучения — хаотичного предложения учащимся большого числа задач на разные темы в надежде на то, что до них когда-нибудь «дойдут» способы их решения. Этот порядок поможет учителю в обучении школьников решению текстовых задач занять более активную методическую позицию.
Быть может, задачам «на бассейны» мы уделили слишком много внимания. На их примере нам хотелось показать, что методические возможности традиционных арифметических способов решения задач далеко не исчерпаны, что опыт отечественной школы в обучении решению задач требует более внимательного изучения и использования. Кроме того, рассмотренные задачи входят в математический фольклор и ценны именно в этом своем качестве.
В § 2 мы продолжим работу по созданию «исторического фона» обучения, включая в сборник «старинные» задачи. Использование таких задач имеет целью расширение представлений учащихся о практике решения задач в старые времена и развитие у них интереса к предмету через знакомство с его историей. Тем самым преследуется еще одна важная цель: более активное и непосредственное изучение и освоение учащимися опыта предыдущих поколений в сфере деятельности, которой они занимаются.
В заключение отметим, что при решении основных задач на дроби использование десятичных дробей не вносит ничего нового, так как десятичные дроби являются иной записью некоторых из обыкновенных дробей. Считая изучение десятичных дробей после изучения обыкновенных дробей в полном объеме более естественным и оправданным, мы уделили больше внимания именно обыкновенным дробям — тому вопросу, который, в свете последних перемен в начальном обучении, нуждается в наибольшей поддержке. Кроме того, мы надеемся, что естественный порядок изучения обыкновенных и десятичных дробей в скором будущем вернется в школу.
Десятичные дроби впервые появляются в разделе 2.6. Мы предполагаем, что перед их решением учащиеся уже освоили нахождение части числа умножением и числа по его части делением на дробь. Эти задачи лучше использовать в 6 классе.
