Не спешите применять производную — 3
Рассмотрим задачу конкурсного экзамена 2002 года в МГИЭТ (Московский государственный институт электронной техники – технический университет).
В два сосуда налиты различные растворы соли, причем в первый сосуд налито 5 кг, а во второй —
20 кг. при испарении воды процентное содержание соли в первом сосуде увеличилось в p раз, а во втором сосуде — в q раз. О числах p и q известно только, что pq = 9. Какое наибольшее количество воды могло испариться из обоих сосудов вместе?
По условию задачи pq = 9, поэтому q = 9/p. Так как масса соли в первом сосуде осталась прежней, то если процентное содержание соли в нем увеличилось в p раз, то масса раствора уменьшилась в p раз. Аналогично масса раствора во втором сосуде уменьшилась в q раз. Тогда всего испарилось
5 + 20 – 5/p – 20/q = 25 – 5/p – 20p/9 кг воды.
Здесь с помощью производной нетрудно найти значение p, при котором функция f (p) = 25 – 5/p – 20p/9 достигает наибольшего значения. Не будем торопиться с применением производной. Заметим, что
25 – 5/p – 20p/9 = 25 – (5/p + 20p/9) = 25 – 10/3*(3/2p + 2p/3).
Теперь очевидно, что масса испарившейся воды будет наибольшей, если сумма 3/2p + 2p/3 будет наименьшей. Известно неравенство a + 1/a > 2 для положительных чисел, в котором равенство достигается при a = 1. Из истинности этого неравенства следует, что 3/2p + 2p/3 > 2 (здесь 3/2p > 0, так как p > 0), причем равенство достигается при 3/2p = 1 (при p = 3/2).
Следовательно, наибольшая масса воды, которая могла испариться из обоих сосудов вместе, равна
25 – 10/3 * 2 = 18 1/3 кг
Не спешите применять производную — 2
Шевкин А.В.
Рассмотрим еще одну задачу на максимум-минимум, которую можно решить без применения производной.
|
В пирамиде SABC ребра SA и BC перпендикулярны, SA = a, BC = b. Определите наименьшую площадь сечения пирамиды плоскостью, параллельной отрезкам SA и BC. |
Решение (Ёлкин С., 11 А, школа № 679 г. Москвы, 2005).
Так как через ребро AS, параллельное плоскости сечения, проходят плоскости SAB и SAC, пересекающие плоскость сечения по прямым KN и LM, то KN и LM параллельны AS. Тогда KN || LM. Аналогично доказывается, что KL || MN. Следовательно, четырехугольник MNKL является параллелограммом, а так как SA и BC перпендикулярны по условию, то этот параллелограмм является прямоугольником и его площадь есть MN х NK.
Обозначим n = KN:SA, k = MN:CB. Тогда KN = an и MN = kb, откуда SMNKL = abnk. Выразим k через n. Из рассмотрения пар подобных треугольников BKN и BSA, ANM и ABC получаем, что k = MN:CB = AN:AB = (AB – BN):AB = 1 – BN:AB = 1 – KN:SA = 1 – n. Тогда SMNKL = abnk = abn(1 – n) = ab(n – n2). Так как KN < SA, то 0 < n < 1.
Теперь очевидно, что площадь сечения будет наибольшей при том значении n, при котором выражение n – n2 достигает своего наибольшего значения на интервале (0; 1).
Рассмотрим функцию f (n) = n – n2 на интервале (0; 1). Это квадратичная функция, с отрицательным коэффициентом при n2, она достигает наибольшего значения в точке
n = 0,5, принадлежащей интервалу (0; 1).
Следовательно, площадь сечения будет наибольшей при n = 0,5, это наибольшее значение площади равно ab(0,5 – (0,5)2) = 0,25ab.
Ответ. 0,25ab.
