ЕГЭ: Перспективы и эволюция

26.04.2017

Введение единого государственного экзамена (ЕГЭ) вызывает неоднозначную реакцию у преподавателей. Особенно много претензий к ЕГЭ предъявляют математики. Серьёзные опасения о будущем математического образования, ориентированного на сдачу единого экзамена, были высказаны в статье доктора физико-математических наук В. С. Доценко «пятое правило арифметики» (см. «Наука и жизнь» № 12, 2004 г.). Хорошо аргументированная, содержащая яркие примеры из опыта преподавания автора во французской высшей школе, она была процитирована ректором МГУ академиком
В. А. Садовничим во время его встречи на телевидении с министром образования и науки А. А. Фурсенко, а на сайте журнала эту статью прочитали около 20 тысяч посетителей. Сегодня журнал возвращается к теме ЕГЭ, интересной всем, кому небезразличны вопросы образования и общего развития молодёжи.

Разя огнём, сверкая блеском стали,
Пойдут машины в яростный поход…

ИЗ ИСТОРИИ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ ПО МАТЕМАТИКЕ

Основная проблема ЕГЭ — не эффективность процедуры отбора, а влияние единого экзамена на образование в целом. По этому вопросу накоплен определённый экспериментальный материал, значение которого ещё не вполне осознало наше образованное общество. С него и начнём обсуждение, принося извинение за некоторую сухость текста. Но речь идёт о проблеме исключительной важности, содержательное обсуждение необходимо. Бросаться лозунгами здесь неуместно.

Читатель имеет возможность самостоятельно найти и другие работы по теме ЕГЭ.

Цели экзаменов вообще. Мы привыкли считать экзамен важным элементом образования. Основная цель обычного экзамена в вузе (скажем, семестрового) — дать возможность студенту ознакомиться с курсом, или, говоря формальным языком, составить целостный (или лишь более целостный) взгляд на предмет.

Экзамен нагружен большим количеством дополнительных функций, скажем, отсев, распределение стипендий, получение с какими-то целями информации об уровне успеваемости студента и многое другое. Все эти функции «учёта и контроля» часто заслоняют основную, положительную, цель экзамена в сознании участников и свидетелей «образовательного процесса». Но с точки зрения общей архитектуры образования все эти цели вторичны.

С другой стороны, семестровый экзамен несёт ещё одну положительную функцию — это один из механизмов обратной связи. Хороший преподаватель имеет возможность оценить степень эффективности его собственных усилий и уровень подготовки студента, понять, что прочитано хорошо, а что плохо, отследить места, трудные для студенческого восприятия. Одновременно коллеги, участвующие в приёме экзамена (и которым есть, с чем сравнивать), могут составить собственное мнение и о преподавателе тоже.

Об экзаменах вступительных. Здесь цели вполне ясны. Из уже имеющегося контингента абитуриентов вуза (института, университета, академии) отбираются по определённым критериям люди, наиболее пригодные для обучения данной специальности. То есть чисто «учётно-контрольных», положительных функций регулярных семестровых экзаменов вступительные экзамены лишены. Это очень важное обстоятельство, и его последствия подробно обсуждаются в данной записке.

С другой стороны, значение вступительного экзамена для человека значительно выше. Несдав-шие обычно есть, они, естественно, недовольны. Так или иначе, приёмные комиссии оказываются предметом жёсткого общественного давления. Это давление далеко не всегда справедливо и не всегда конструктивно. Например, «давящий» стремится добиться отнюдь не абстрактной справедливости, а «справедливости» в отношении себя лично. В частности, равнодействующая внешняя сила направлена на увеличение коррупции, а не на её снижение.

Но данные записки — не о коррупции, а о бедах, которых люди не замечают, втягиваясь в дискуссию на эту бесконечно богатую тему.

О РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ ОБЩЕСТВЕННОГО ДАВЛЕНИЯ

Прежде всего, приёмные экзамены должны быть «высокоюридичны» (в то время как обычные экзамены тем неформальнее, чем выше их уровень). По-видимому, идея высокой юридичности действует против устных экзаменов (последние когда-то были широко распространены, и часто им отдавалась решающая роль, затем они постепенно сходили на нет). Никуда не деться от того, что для устного экзамена имеет значение личность принимающего. Кроме того, на нём разным людям задаются разные вопросы — от этого тоже никуда не деться. Обвинения в отношении устных экзаменов, по определению, будут звучать громче, а «протокол», будучи неполным документом, уязвим для внешних атак. Наконец, на устных экзаменах в своё время проводились (в немногих местах, но проводились) и печальной памяти махинации.

Всё это так. Но в устных экзаменах есть и плюсы. Экзаменатор действительно имеет возможность проявить злую или неразумную волю. Но его воля с не меньшей вероятностью может оказаться и разумной. На моей памяти (1980-е годы, МИЭМ) устные экзамены по математике более адекватно соответствовали и школьной программе, и уровню поступавших, чем экзамены письменные (правда, тогда они как раз ничего не решали). Кроме того, в спектре вопросов устных экзаменов так или иначе проявляется воля большого числа людей. В этой ситуации экзамен сохраняет определённое разнообразие, а также возможность для положительной эволюции.

Перейдём к письменным экзаменам. Вариант экзаменационной контрольной должен быть высокосекретным. Это сужает до минимума круг лиц, причастных к её составлению. Если бы речь шла об однократном действии, то в этом не было бы ничего дурного. Но круг людей, влияющих на решения, сокращается до опасно малого количества. В затяжной перспективе это уменьшает возможности положительной эволюции и стандартизирует задачи.

Далее. Приёмная комиссия работает в очень агрессивной обстановке. Тот самый узкий «решающий круг» должен создаваться из людей с соответствующими боевыми качествами (это всё та же равнодействующая внешнего общественного давления). При этом прочих необходимых для данного дела достоинств им может уже не хватить.

Следующая деталь, на первый взгляд малозначительная. Существует точка зрения (весьма распространённая, причём на разных уровнях), что стандартизованный экзамен более справедлив и прост (к нему «легче готовиться»). Я не совсем понимаю, как именно это общественное мнение могло передаваться приёмным комиссиям (возможно, их руководители имели ту же точку зрения).

Вернёмся к этому перечню ещё раз. Требование юридичности справедливо и должно выполняться. Конечно же экзаменационная контрольная должна быть секретной. По всем остальным перечисленным пунктам (отмена устных экзаменов, сокращение числа «влияющих» лиц, стандартизация вариантов) вузам следовало бы оказать сопротивление ходу событий, казавшемуся естественным. В целом этого не произошло, что стало важным элементом кризиса системы вступительных экзаменов, обществом, однако, не замеченным.

Общий кризис советского общества начался в первой половине 1970-х годов (точнее, в недоброй памяти году 1968-м), он немедленно аукнулся и в такой «малой капле воды», как вступительные экзамены по математике. На фоне общего «укрепления руководящих кадров» не мог «остаться без внимания такой идеологически важный участок работы», как приёмные комиссии. И без внимания они не остались. Мне не хочется заниматься «обличением» (это ещё одна бесконечно богатая и интересная тема, оставим её), «крепкие кадры» (насколько автор мог наблюдать) были людьми, вполне обладавшими деловыми качествами. В том, что описывается ниже, важнейшую роль сыграла нехватка кругозора у этих людей и узость их круга.

ПРОЦЕСС ПОШЁЛ. ЧТО ПЛОХОГО В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ?

Около 1970 года были созданы замечательные варианты вступительных экзаменов по математике. Задачи для экзаменов всё время приходилось изобретать, это вполне серьёзная и непростая проблема. Но в тот момент был придуман универсальный способ: оказалось, что несколько сюжетов позволяют написать сколько угодно таких задач. А именно: тригонометрические уравнения, раскрывание модуля, логарифмические уравнения, уравнения с параметром (и всё это обогащённое поисками области допустимых значений) — я надеюсь, что часть читателей смутно помнят, что они это «долбили». Для составления вариантов не нужно большого труда, изобретательности, воображения, подключения к работе дополнительных интеллектуальных сил и прочего. Напомню, что цель приёмных экзаменов — отбор студентов из имеющихся абитуриентов, задача, которая в целом решалась неплохо (это личная точка зрения автора, пытаться обосновывать её не буду).

В 1973—1975 годах я был сознательным наблюдателем (а именно — старшеклассником) и помню (очень отчётливо помню) степень возмущения, которое тогда и чуть позже вызывалось этими вариантами. Это же не математика! К сожалению, люди, так говорившие, были бессильны, потому что экзаменационные комиссии уже были неприступными крепостями.

Прошло десять лет. В 1984 году я, молодой преподаватель, принимаю вступительные экзамены в МИЭМ. И опять — помню, потому что это тогда меня поразило, — мои коллеги воспринимали сие как само собой разумеющееся. Кому-то не очень нравилось, но не более. Так складываются традиции.

Что же плохого в тригонометрических уравнениях? Вообще-то, ничего. Когда-то их использовали как вспомогательное (вполне полезное и приятное, если знать меру) средство при изучении тригонометрии. В тот момент, когда тригонометрические уравнения стали неотъемлемой частью вариантов вступительных экзаменов, они соответственно стали одной из самых важных тем, которые необходимо разобрать для поступления в вуз. Тогда не существующая в природе глава математики стала обязательным предметом для желавших продолжать образование школьников. Я обращаю внимание: это происходило постепенно, и никто перехода не заметил.

А таких глав было несколько (частичный перечень см. выше). Так родилась новая отрасль человеческого знания — математика вступительных экзаменов. Единственная цель её существования — обеспечить функционирование приёмно-экзаменационной машины.

Я попытаюсь уточнить, чтобы меня не поняли превратно. В опрёделенной степени это математика, и опять-таки в определённой степени такие задачи содержательны. Но гипертрофированное внимание превращало их в новую сущность, и от школьников требовалось обучение этой новой сущности.

Небольшая вставка. Одним читателям сказанное может показаться очень странным, другим — чем-то малозначащим и от них далёким. Однако попытайтесь оценить, не происходили ли (с вами или в вашем окружении) какие-то странности со вступительными экзаменами именно по математике. Например, необходимость какой-то отдельной «подготовки», даже для человека, который и так всё знает и просто по своему уровню должен легко проходить над «планкой». Ведь это странно.

Не странна ли сложность вариантов при очевидно невысоком уровне поступающих (и поступивших) и при низком конкурсе? Многим ли из тех, кто «готовился в вуз», пошло в вузе на пользу то, что он учил при «подготовке»? А если нет, то и это странно. Не странна ли тогда роль «курсов по подготовке в вуз»? Не были ли странны задачи, которые приходилось решать?

Книжные магазины завалены «пособиями для поступающих». Мы к этому привыкли, но и это странно. Почему именно «пособия для поступающих», а не интересные поучительные книжки? А ведь раньше было наоборот.

Процесс, однако, обоюдный: «спрос рождает предложение». Но сам этот огромный спрос, в свою очередь, есть сигнал, важный для понимания сегодняшнего момента: человек более склонен «готовиться к экзамену», чем учиться.

РАЗВИТИЕ ВСТУПИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ «НА СВОЕЙ СОБСТВЕННОЙ ОСНОВЕ»

Теперь все поступавшие в вузы должны готовиться к экзамену по математике по новой программе, которая не была школьной программой, а процесс «подготовки к экзаменам» отделён от процесса собственно обучения (что это опасно, никто не заметил; автор в 1970-х годах таких речей не слышал и сам их не произносил). К тригонометрическим уравнениям абитуриенты уже были готовы. Экзаменаторам пришлось ответить усложнением задач, а следующему поколению абитуриентов — удвоить свои усилия. Далее процесс должен был раскручиваться до насыщения. Обратите внимание: стандартизация экзаменационных вариантов есть путь к их усложнению. Параллельно возникла общественная потребность в высококвалифицированных специалистах и учителях по новой науке. Они появились, и это было началом массового репетиторства.

Ещё немного личных воспоминаний; МИЭМ, 1980-е годы. Сложные варианты вступительных экзаменов и… ползущий на глазах вниз уровень приходящих в вуз студентов. Как будто они не учились в 9—10-х классах вообще. Отсутствие интереса к математике или просто враждебное к ней отношение. И ещё помню: институтские преподаватели, гневно и праведно обличавшие школу, власти, институтское начальство и выпускников…

Отстранимся от точки зрения «гневных праведников». Есть законы сохранения. Молодому человеку в 10-м классе предлагались для обучения две математики: элементарная школьная и вступительная. По существу, ему приходилось выбирать. И он выбирал то, что в первую очередь необходимо. Уже тогда в школьном образовании вступительная математика начала замещать элементарную. Уже к концу 1980-х под вступительную математику стали подгоняться школьные учебники. Это не единственная причина падения уровня математической подготовки абитуриентов в ту, уже далёкую эпоху, но одна из важных причин.

То, что было сказано выше — полбеды. Одна из особенностей задач вступительной математики — их антиэстетичность. Эти задачи несколько однообразны, казуистичны, с обилием мелочных подлянок (так называемых «подводных камней», я надеюсь, что часть читателей помнит хотя бы это выражение). Возможно, кто-то способен испытывать при этом удовольствие. Но типичная человеческая реакция — отрицательная. Антиэстетичность предмета не способствует желанию его изучать, а так как именно это, в понимании молодого человека, было математикой, то дальше началось отторжение образованного сообщества от математики. Впрочем, здесь были и другие причины.

К сожалению, то, что было лишь тенденцией в 1980-е годы, свершилось в 1990-е: вступительная математика вытеснила обычную из образования старшеклассников. И по странному совпадению около середины 1990-х математическое образование, школьное и вузовское, вошло в «штопор». Впрочем, и тут были дополнительные причины.

Обратите внимание! вступительные экзамены настолько важны, что их варианты, по неосторожности , некомпетентности или злой воле, могут начать формировать иной облик образования в старших классах, чем это предполагается официальной школьной программой.

Необходимо понять, что это не органический порок вступительных экзаменов, и оказать должное противодействие идущим негативным процессам. Автор не изучал подробно происходящее с другими предметами; знаю — были вузы, вводившие «вступительную физику местного значения», и вузы, предлагавшие по физике вполне хорошие варианты (с положительным обратным воздействием).

Как же это могло случиться? Когда оппозиционные математики ещё помнили про эту проблему (в 1970-е годы), её объясняли преднамеренной злой волей (автор лично склонен согласиться с тем, что в момент нажатия на «спусковой крючок» активная злая воля присутствовала). Позже в экзаменационных комиссиях присутствовало много лиц («секретарей»), в которых, с достаточными или нет основаниями, можно было видеть «злодеев» (по информации автора; но считать, что эта должность — «клеймо на человеке», опасно). По мнению автора, нет никаких оснований думать, что они проявляли злую волю. В целом они были деловыми людьми и отвечали перед вузом за качество набора. На это наложился ряд обстоятельств. Например, существовал снобизм математиков (представителей «науки наук»). С другой стороны, у тех, кому это не нравилось, мысли, что за стенами приёмных комиссий можно что-либо изменить к лучшему, почему-то не возникало. Почему — люди, заставшие то время, автора поймут.

Автор думает, что происходившее с вариантами в 1970—1980 годы (если не считать злой воли «на спусковом крючке») в своей основе было человеческой ошибкой. Казалось, что новый тип вариантов даёт универсальное решение проблемы, вообще-то объективно сложной (и год от года усложнявшейся). В итоге вузовские математики не увидели отрицательных последствий своей деятельности вне сферы непосредственной профессиональной ответственности.

В эпоху кратковременного оживления времён поздней перестройки вопрос о вступительных экзаменах по математике стал предметом борьбы, на первом плане оказался вопрос: почему на ряд математических факультетов страны не брали евреев. То, что в сфере экзаменов по математике накопилось и иное зло, в тот момент не обсуждалось. Скорее всего, вопрос о нём встал бы по прошествии небольшого времени, но дальше началась эпоха, всем нам памятная.

В 1990-е годы был ряд попыток реформировать структуру вариантов вступительных экзаменов. Например, появились варианты тестового типа (в том смысле, что задачи были очень простые, к вариантам ЕГЭ это не имеет никакого отношения). То, что автор видел, было неплохо, но следовало в русле тех же идей. Насколько автору известно, единственная дошедшая до реального дела попытка выйти из замкнутого круга традиций вступительной математики была предпринята на мехмате МГУ в 2002 году. К сожалению, она оборвалась со смертью её инициатора, Смурова Михаила Васильевича.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ЕГЭ

О борьбе с коррупцией и о том, чего за ней не видно. Единый государственный экзамен — идея довольно экстравагантная (я это дальше обсуждаю) и проводимая с завидной решительностью. Цели её организаторов автору данной статьи неизвестны (для примера, одно из возможных объяснений: целей нет, но средства выделены, их необходимо осваивать; типичный эффект работы по гранту).

Провести идею в жизнь можно было лишь потому, что система вступительных экзаменов оказалась в глубочайшем кризисе и общество по этому поводу сильно раздражено. Своё раздражение общество чаще всего формулирует словом «коррупция» с различными оттенками. Кстати, есть неточность в постановке вопроса — в проблеме неявно присутствует призыв в армию.

Итак, уже шесть лет назад началась обсуждаемая нами кампания с неизвестными целями. Чтобы добиться успеха, общество соблазняют лозунгом сокрушения коррупции в вузах.

Сама идея, что ЕГЭ будет именно победой над коррупцией (а не перераспределением доходов с отдалением получателей от собственно образования), нуждается в определённом обосновании. Но я предпочёл бы оставить обсуждение этого более компетентным авторам, равно как и обсуждение уровня коррупции в самом Министерстве образования и науки. Автор сделает лишь несколько замечаний.

Во-первых, для борьбы с коррупцией есть много средств.

Печально, что коррупция в вузах смогла принять открыто наглые формы именно в эпоху подготовки обсуждаемой реформы. То, что сейчас приходится слышать, всё время заставляет вспоминать анекдот про Штирлица: «А уж больно увёртлив». До 2000 года таких реакций не возникало.

Возможно, что переход к решительным мерам необходим. Но даже на пути полного или частичного изъятия у вузов контроля над экзаменами возможен ряд менее головокружительных, но зато конструктивных ходов. Нам же старательно (и успешно) навязывают идею: или — или. Об этом чуть ниже.

Нам сейчас говорят, что, вводя ЕГЭ, мы подражаем «цивилизованному миру». Как всем известно, в современном русском языке словосочетание «во всём цивилизованном мире так делают» означает «разумных доводов для того, на чём я настаиваю, нет». В идее теста много минусов. Но определённую область применимости тесты имеют. За прошедшие шесть лет была возможность выяснить, как на самом деле в «цивилизованном мире» тесты используются. К сожалению, такая идея даже не возникала.

Последнее и в определённом смысле главное. В кризисе находится не система вступительных экзаменов, а наше высшее образование в целом (что неизбежно, если учесть, что уже 14 -16 лет оно находится на «подножном корму»). Сейчас наши вузы представляют собой буквально «клубок неразрешимых проблем», из которых самая серьёзная, и на сегодняшний день, и стратегически, — кадровый кризис.

Широкому обществу, например, неизвестно, что научное, а также инженерно-технологическое образование высокого уровня находится у нас на грани, а точнее, в состоянии катастрофы. характерно, что внимание общества «зациклено» на предстоящей в 2009/10 учебном году полной победе над коррупцией.

О величине замаха. Первое, что поражает в ЕГЭ, — величина предлагаемой унификации. Даже большевики, любившие все унифицировать, до такого не додумались.

С другой стороны, наше общество за время того же большевизма могло бы получить иммунитет к излишней унификации. Мы ничему не учимся! Предлагается решить все проблемы отбора во все вузы одним унифицированным вариантом теста. В действительности любой его вариант способен адекватно производить отбор лишь в пределах ограниченной части спектра человеческих умений и способностей. Проблема принципиально усложняется, когда необходимо проводить отбор из групп, имеющих очень высокий уровень. В последнем случае даже составление одного варианта представляет задачу чрезвычайно тонкую (разумеется, большая часть общества с данной проблемой незнакома). Кстати, именно с этим связано сопротивление лучших вузов страны. Замечу, что «группы высокого уровня» немногочисленны, однако их значение для будущего страны непропорционально велико.

Задача составления сколько-нибудь удовлетворительного универсального варианта принципиально неразрешима. Автор понимает, что он не убедит этими словами сторонника ЕГЭ. Ниже он попытается привести более прямые доводы.

Но действительность сложнее. Возможности организовать проверку подобных работ нет. С одной стороны, интеллектуальных сил для этого объективно не хватает, а с другой, мы, по определению, не доверяем тем единственным пригодным организованным силам, которые в обществе есть (то есть вузовскому преподавательскому корпусу). Для проверки решений предлагается заменить людей на компьютеры, которые честны и неподкупны. Но дальше невозможность содержательной проверки сокращает до предела возможность ставить содержательные вопросы. В итоге оказывается, что вариант не из чего составлять. Небольшое отклонение от темы: вопросы некоей группы проверяет вручную «независимая структура»; если мы не доверяем преподавательскому корпусу, почему мы доверяем данной «структуре»?

Что из этого вышло? Ровно то, что должно было выйти.

Покойный Игорь Фёдорович Шарыгин, известный деятель нашего школьного образования, писал, что в вуз, может быть, не следовало бы принимать как раз тех, кто успешно ЕГЭ сдал. Возможно, что после нижеследующего обсуждения данное высказывание не покажется читателю экстравагантным (кстати, его статьи о современном кризисе есть в Интернете по адресу http://www.mccme.ru/edu/index.php?ikey=sharygin).

Но неудовлетворительность системы отбора, на которой во многом зациклена дискуссия, — не главная проблема единого государственного экзамена. Отныне образование в старших классах школы переключается на подготовку к тестам ЕГЭ. Именно его варианты, а вовсе не учебники и не учителя становятся определяющим фактором.

ЧТО ИМЕННО КОНТРОЛИРУЕТ ВАРИАНТ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ?

Король умер, да здравствует король! На первый взгляд неумолимо надвигающийся конец вступительной математики — факт сам по себе позитивный. Она не могла не сохранить «лучшие» традиции казуистики вступительной математики. Теперь её место занимает математика тестов ЕГЭ. Что появилось нового?

Что же именно контролирует ЕГЭ-вариант по математике. Сначала попытаюсь максимально популярно объяснить факт существования некоторых профессиональных проблем.

Представим себе, что какому-то человеку дали некий набор задач. Верно ли, что чем способнее человек, тем больше задач он решит? Верно ли, что чем лучше человек знает предмет, тем он лучше решит? Очевидно, что ответить на оба вопроса сразу положительно нельзя, потому что способности и познания вещи разные. Одним набором задач можно пытаться проверить первое, другим — второе.

Но познания — вещь относительная, и, прежде чем выдать набор задач, мы должны знать, какого именно уровня людей (а кстати, и какого именно типа) нужно оценивать. Попытаюсь сказать образно. Чтобы сделать прибор для разделения спектра электромагнитных волн, надо знать, в каком диапазоне частот (например, рентген, свет, радиоволны) мы должны работать.

На первый взгляд может показаться, что чем больше задач человек решил, тем выше его уровень. Но даже смысл этой фразы не ясен. Потому что есть много шкал. То, что выше по одной шкале, может быть ниже по другой.

Например, можно создать такой «идеальный» вариант по математике, когда «наивысшие успехи» окажутся у полуидиотов определённого склада (не у всех, а именно определённого склада). А блестящие математики покажутся серыми. Для этого нужно написать как можно больший и утомительный набор простых задач, вызывающих максимальное отвращение. Тогда «наивысший балл» покажет человек, у которого необходимый в подобных случаях рефлекс по каким-то причинам приторможен. Написать вариант по математике, который бы выдавал картину, в точности обратную реальной, невозможно (про другие предметы автор судить не берётся). Но «идеальный вариант» даёт наилучший подход к данной проблеме.

Я надеюсь, что читатель, видевший варианты единого государственного экзамена, смутно чувствует, что ЕГЭ вводит какую-то неочевидную шкалу ценностей (автор предпочёл бы, чтобы этот вариант был у читателя перед глазами — есть ряд вещей, которые и непрофессионал может заметить).

Можно пытаться угадывать, что именно контролирует тест ЕГЭ, но все ответы окажутся невпопад (есть какая-то случайная корреляция, но нет чётких зависимостей).

Способность к математике? Вариант к этому вполне индифферентен. Как «орёл-решка».

Знание математики? Отчасти, но в умеренной степени. Достаточно формальные задачи, скажем о логарифмах, можно научиться успешно решать, не понимая, что такое логарифм. Автор надеется, что этот эффект «успешного решения задачи» знаком всем преподавателям, но ещё лучше учащимся. Для этого нужно автоматически совершать «предписанные по уставу» действия. Более того, способность совершать автоматические операции предпочтительнее, чем знания, потому что размышление, по определению, занимает время. Кроме того, «на автомате» легче обходить упомянутые «подводные камни». С другой стороны, понимание даёт определённые плюсы на последнем этапе спринта, но надо ещё добежать до него и сохранить сознание.

Быстрота реакции? Это «теплее». Но на одной быстроте реакции вариант не решить, потому что нужно также умение быстро совершать автоматические операции.

Способность сохранять выдержку в экстремальных условиях? Лишь отчасти. Потому что величина «ставок» для разных людей разная, соответственно и ситуация экстремальна в различной степени. В этом смысле проверяется какая-то сумма степени выдержки со степенью безразличия.

Ещё одно замечание. Целей идеального варианта ни один вариант ЕГЭ достигнуть не может, потому что его задачи сложноваты. В остальном же он идейно близок к идеальному (см. выше).

А всё-таки — что именно контролирует ЕГЭ-вариант по математике? На заданный вопрос можно дать исчерпывающий ответ: данный вариант контролирует только способность к решению данного варианта.

Да, это абсурд (в смысле буквальном, без всякого эмоционального оттенка). Составители варианта (которые в данном случае «работают по гранту») обязаны последовательно стремиться к изначально нереализуемым целям и отчитываться за успешно проделанную работу. Предъявленный результат слабо зависит от их интеллектуальных, профессиональных, нравственных качеств (можно было сделать заметно хуже, а можно чуть лучше). Это неизбежная и предсказуемая плата за идею захватывающей дух унификации. Желая иметь вариант, контролирующий «всё на свете», мы с необходимостью получим вариант, ничего не контролирующий.

Теперь автор отвлечётся от точных рассуждений и позволит себе эмоциональный комментарий. Читатель может спросить: а как же такое может быть наяву? Автор, однако, напоминает, что на нашей памяти (в 1990-х, да и в 1970-х годах) было много событий, которых не могло быть наяву. Они однако же были. Чтобы сказать что-то, минимально затрагивающее лучшие чувства неизвестного ему читателя, автор напомнит историю с МММ, которой, очевидно, наяву тоже быть не могло.

Вернёмся к обсуждаемой теме.

Если такой вариант предложить один раз, то способности людей будут выяснены, каждый получит по заслугам, и дело этим ограничится. Но ЕГЭ — судьбоносное событие для значительной части школьников.

Школьное образование находится в сфере ответственности Министерства образования и науки. Обещая обществу и руководству страны различные плюсы от введения ЕГЭ, министерство должно было также сообщить, что варианты ЕГЭ отныне становятся определяющим фактором образования в 11 -м классе, и объяснить, в чём именно состоят смысл и цели грядущей явочным порядком серьёзной перестройки средней школы.

Сомнительно, что непосредственных составителей вариантов ЕГЭ вообще интересовала проблема обратного воздействия. Независимо от их взглядов и целей, никаких средств для её решения у них не было (равно как они не имели и средств для решения открыто поставленных целей).

Поэтому в качестве фактического суррогата школьной программы предлагается то, что у творцов варианта само собой получилось (читатель не должен подозревать членов данной творческой группы ни в чём дурном; для реализации злого умысла средств у них тоже немного; по личному мнению автора, составители были добросовестны).

ОБЩИЕ КОММЕНТАРИИ. ОБРАТНОЕ ДЕЙСТВИЕ ФОРМАЛИЗОВАННОГО ВАРИАНТА

Отвлечёмся пока от качества предъявленного нам продукта. Школьные и вузовские учебники в настоящее время так себе. Но содержат они обычно продуманные неформальные тексты, целью которых служит именно обучение. Представим себе, что мы сочинили чрезвычайно удачную (и принципиально важную для школьников или студентов) экзаменационную контрольную, дали её и адекватно проверили «знания». Допустим, что всё получилось лучше некуда. На следующий год мы говорим: на экзамене будет примерно такая же контрольная. В результате наши подопечные мало что будут знать. Они станут готовиться к стандартизованным задачам (и весь семестр помнить, что именно «им нужно») вместо того, чтобы разбираться в содержании, которое неформализуемо. Такой подход проявляется даже во вполне безобидных для студентов ситуациях, но он многократно усилится, если экзамен для них принципиально важен (здесь будут присутствовать и более тонкие эффекты, но в данном тексте не до изощрённых деталей).

И наша прекрасная сама по себе контрольная обернётся провокацией (с нашей же стороны).

ИТАК, НОВАЯ ШКОЛЬНАЯ ПСЕВДОПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ

А теперь уместно вспомнить о качестве предъявленного нам продукта. Куда именно ведёт развитие способностей к написанию ЕГЭ? Автор вынужден взять на себя разъяснения, от которых воздерживается министерство.

Условно говоря, есть три группы учащихся: те, кому всё равно, середнячки и максималисты.

В наилучшем положении окажется первая группа, которая свои способности развивать не станет.

Средняя группа пойдёт по пути упомянутой выше «автоматизации». Им ничего не интересно, в ходе разучивания они несколько отупеют, результаты обучения собственно математике будут нулевыми.

Максималисту придётся чему-то учиться, он станет терять интерес (потому что вариант неэстетичен ни внешне, ни внутренне), но продолжит работать. Результат обучения будет минимален. Именно эта группа подвергнется наиболее сильному воздействию ЕГЭ.

Направление общечеловеческого и культурного воздействия ЕГЭ в двух последних группах будет сходным: воспитание серости в чистом виде с тщательным контролем успеха на выходе.

«Разя огнём, сверкая блеском стали». Автор хотел бы предостеречь читателя от неправильных реакций по поводу последней фразы предыдущего раздела. Здесь возникает ещё один парадокс. Автор изложит его в образных терминах, читатель, в свою очередь, может попытаться перевести сказанное на более формальный язык.

ЕГЭ представляет собой могучую машину, а её экипаж облечён огромной властью. Но в определённом смысле эта власть — полная фикция. Дело в том, что её осуществляют путём издания варианта экзаменационного задания. Рамки, в которых находятся составители вариантов, настолько жёсткие, что вариант предопределён ими, а не желаниями «экипажа». Можно слегка менять внешность, но идейно всё будет тем же. Поэтому от желаний «экипажа» ничего не зависит.

Так вот, при всей своей мощи и блеске машина ЕГЭ лишена рычагов управления. Человеческая воля присутствовала только в принятии решения о ЕГЭ. Спусковой крючок спущен, действия машины (и результаты этих действий) от людей более не зависят.

ЕГЭ ПО РУССКОМУ ЯЗЫКУ. НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЙ

О трудностях русского языка. Авторам ЕГЭ нужно придумать много сложных вопросов по русскому языку. Что делать?

Грамматика русского языка вообще-то тщательно продумана, и подавляющее большинство правил имеет разумное происхождение. За их пределами остаются случаи, когда рациональный подход не даёт однозначного решения. Читатель, возможно, обращал внимание, что в старых книгах (а книги раньше редактировали с исключительной тщательностью) многие «трудные» слова написаны «неверно». Это просто означает, что в относительно недавнее время были приняты волевые решения в отношении ряда сомнительных случаев.

Следующее. Всех нас предупреждали в школе (и читатель, возможно, это помнит), что классики (например, Лев Толстой) неверно ставили запятые. В самом деле, структура предложения русского языка часто бывает весьма замысловатой. При наличных знаках препинания невозможно придумать логически стройную и одновременно объективно оправданную теорию пунктуации. Так как вводить дополнительные знаки препинания неразумно, приходится признать, что русская пунктуация в ряде случаев (всё же сравнительно редко) объективно проблематична. Часть её правил введена волевым образом. Кстати, в английском языке встречаются разночтения в словах, а правила пунктуации недавно ослаблены (автор просто сообщает, что возможны разные подходы к данной проблеме).

Далее. В русском языке присутствует довольно много «казусов», когда общепринятое правописание логически безусловно оправданно, но по тем или иным причинам человеку хочется сделать ошибку.

«Казусы» упомянутых трёх видов естественным образом должны притягивать составителей вариантов (иначе откуда брать задачи?). Как к этому относиться?

Хотелось бы, чтобы все были абсолютно грамотны. Возможно, хотелось бы, чтобы все следовали решениям филологического руководства (сложный вопрос, который вне компетенции автора). Это цели, к которым стоит стремиться, одновременно отдавая себе отчёт, что они недостижимы. Давайте исходить из реальности.

По-видимому, вопросы с казусами (всех трех типов) важны для людей, которые пойдут в редакторы, филологи, журналисты, учителя русского языка (так ли это на самом деле, автор судить не вправе).

Для остальных основная цель курса русского языка состоит в достижении общей грамотности (желательно «автоматической») и умения выражать свои мысли. Всё остальное — от лукавого. Конечно, хотелось бы, чтобы люди не делали ляпов и в «трудных случаях» тоже.

Далее повторяется ошибка, которая в свое время произошла в истории «вступительной математики». Казусы в математике («подводные камни»), как и в русском языке, могут быть, более того — в математике нет возможностей для волевых решений руководства. Но концентрация внимания на «казуистике» оказалась путём к деградации, и механизм этого был описан выше.

Гипертрофированное (именно гипертрофированное) стремление достигнуть правильного правописания в «трудных случаях» контрпродуктивно. Соответственно и данный параметр имеет отрицательное обратное действие на большинство людей.

Приведённые возражения, однако, довольно тонки и относятся к лучшей части тестовых задач ЕГЭ (потому что в них речь идёт о грамотности, и сами по себе эти вопросы в умеренных дозах допустимы). Значительная часть остальных задач написана для того, чтобы что-нибудь было написано.

Есть, например, много казуистики не для грамотности, а ради казуистики (типа: «в каком из слов буква «ё» стоит не по данному правилу; или предлагается «найти предложение с грамматической ошибкой»; или в одном из предложений сделана режущая глаз стилистическая ошибка и т.д. и т.п.). Приведём пример иного типа.

Разбор одной задачи. Вот вопрос из пробного теста, написанного одним моим знакомым.

Вопрос: каким видом синонимов являются слова «спрут» и «осьминог»?

Предлагаемые ответы: а) абсолютные синонимы; б) синонимы с оттенками смысла; с) синонимы с эмоциональными различиями.

Прежде всего, неясно, зачем вообще этот вопрос даётся. Потому что в буквальном смысле это скорее семантика. А тест — по русскому языку. То есть это типичный вопрос, предложенный потому, что непонятно, что ещё предлагать.

Обсудим содержание вопроса. Во-первых, правильным считается ответ а): синоним абсолютный.

Но слово «спрут» используется и в переносном смысле. Например, излишне горячий оппонент мог бы употребить слово «спрут» в отношении ЕГЭ. Но говорить о ЕГЭ «осьминог» ни его сторонник, ни противник не станут.

Далее. Может попасться школьник, который слышал, что слово «спрут» иногда прилагается к кальмару (легендарное морское чудовище «гигантский спрут» — это всамделишный вид кальмара; скорее всего, от него же пошли эпитеты к мафии). Но «осьминог» и «кальмар» — такие же «синонимы», как «кот» и «тигр». Конечно, они оба — близкие родственники, но определённую разницу между ними можно заметить.

В связи с этим ответ а) выглядит проблематично.

Теперь самое главное. Деление синонимов по типам достаточно условно. Ответ — а), б) или в) — имеет смысл лишь при наличии содержательных комментариев (которые в тесте не допускаются). Понятие «абсолютного синонима», очевидно, относительно.

Далее. Школьник мог слышать про «гигантского спрута», но мог и не слышать. Он мог даже слышать про «гигантского спрута», но в тот момент не задумываться над биологическими деталями (и вообще не иметь о них представления). Он имел право слышать или не слышать про «мафию» (во всяком случае, автор задачи о «мафии» не слышал). Поэтому контролируется соответствие между тем, что когда-то слышал конкретный школьник, и тем, что когда-то слышал составитель конкретного варианта.

ЕГЭ наяву в больших дозах переносится тяжело, и автор в этом месте остановится. В целом варианты по русскому языку и математике идейно близки; что же касается степени абсурда, то, на вкус автора, варианты по русскому более изысканны и освежающи и в этом смысле более соответствуют высоким стандартам ЕГЭ. Варианты по математике несколько сероваты и архаичны. Впрочем, «на вкус и цвет товарища нет», читатель может выяснить этот вопрос для себя сам.

О ПОСТАНОВКЕ ВОПРОСА

Далее. Некоторые меры могут быть объявлены как чрезвычайные, тогда они должны проводиться соответствующим образом и иметь ограниченный срок действия. В этом жанре, кажется, есть дополнительные возможности. Например, при фиксации «недочётов» определённого типа (утечка вариантов, участие ответственных лиц в помощи абитуриентам, выявленные прямые махинации и т. п.) можно на два года освобождать какой-либо хороший университет от обязанности самостоятельно проводить приёмные экзамены, одновременно предоставляя ему время для раздумий и самостоятельного поиска решений (и тем самым оказывая университету помощь в сложной для него ситуации). Автор не в состоянии понять, насколько последнее предложение конструктивно.

О самой постановке вопроса. Возможности организовать процесс образования зависят от обстановки и в обществе (политической, экономической, социальной, моральной и др.), и в образовании. Сейчас нам хотелось бы верить, что многое вокруг нас потихоньку улучшается, но образование (а также наука и технология) сейчас переживает период «инерции упадка» (что, возможно, скрыто от общества за «повапленными» фасадами). Ничего хорошего для будущего страны это не предвещает. Возможности для каких-либо глобально разумных решений в образовании сейчас ограничены, но такие решения необходимы.

Общество воспринимает переход к ЕГЭ как действие, вызванное отчаянной необходимостью, что-то вроде антикризисной меры. Но то, что делается, полностью противоречит идее антикризиснос^ти. А именно — медленно, настойчиво и последовательно вводится нечто, имеющее огромную разрушительную силу. Между тем правильной постановкой вопроса со стороны общества (и правящих кругов) было бы согласие на антикризисные меры сегодня с жёсткой установкой на поиск лучших решений в будущем (и, разумеется, с широким обсуждением сегодняшних «ходов» тоже). Такое впечатление, что делается всё, чтобы никаких возможностей для дальнейшей эволюции не допустить. В частности, закон о разумности вариантов ЕГЭ удалось провести через Думу.

И ещё о постановках вопросов. Наряду с проблемой коррупции есть проблема репетиторства как массового явления (которое с коррупцией связано, но это не одно и то же). Далее следует иметь в виду, что «частные уроки» (в которых никакого зла нет) и раздражающее всех репетиторство (буквально «репетитор» — это «повторятель») — явления не идентичные.

Само репетиторство (включая официальные «курсы по подготовке») особенно пышно расцвело за последние 17 лет на фоне символических зарплат в сфере образования (кстати, одна из возможных, но уже сильно запоздавших «чрезвычайных мер» — начать платить достойные зарплаты). Правящие круги видели в этом позитивное явление, а именно постепенный «переход к рыночным отношениям в образовании» и «развитие рынка образовательных услуг».

В действительности же репетиторство, как развитая параллельная система обучения, контрпродуктивно (в индивидуальных случаях положение бывает очень разным, но автор пишет о массовом явлении). Кстати, общее раздражение связано не только с тратой денег, но и с инстинктивным пониманием бесполезности данных «уроков». Дело в том, что система образования выставляет большое количество разных барьеров (экзамены, контрольные и т. п.), отчасти для пользы обучающегося, отчасти как средство отбора. Репетиторство направлено не на обучение, а на технику преодоления расставленных барьеров (что, кстати, позволяет ставить их всё выше и выше…). В итоге получается по Твардовскому: «Это вроде как машина «скорой помощи» идёт, сама едет, сама давит, сама помощь подаёт».

Однако различные подходы к решению подобных вопросов есть; есть, в частности, и западный опыт. В данном случае цель автора — лишь указать на проблему. Кстати, после введения ЕГЭ формы репетиторства лишь ухудшатся.

ЧТО ВПЕРЕДИ?

Механизм предстоящей реформы в средней школе. Автор описал то, что происходило со вступительной математикой. Прежде всего напомню, что вступительная математика — продукт формально доброкачественный, но не вполне (образно говоря, что-то вроде изысканных, но тяжёлых ботинок). Качество ЕГЭ обсуждалось выше.

Замещение программы старших классов вариантами ЕГЭ примет формы ещё более жёсткие, чем в случае со вступительной математикой. Охватит оно все предметы.

Вступительные экзамены по математике сохраняли какое-то разнообразие и проходили в стороне от школы. В тех условиях подготовка к ним не была прямой обязанностью учителя. Сейчас уже не так. Старшеклассников, желающих поступить в вуз, будут интересовать именно варианты ЕГЭ. В этом отношении на учителя станут оказывать давление. Но и учителю, если он желает добра ученикам, придётся «разучивать» тесты. Теперь появился «объективный» и «независимый» способ оценивать работу учителя. Нет сомнений, что он будет применён. Нет сомнений, что появятся передовики и начнётся соревнование. Хотят того сейчас учителя или нет.

Прохождение собственно школьной программы (которая вполне содержательна) требует от учителя определённых усилий. Разучивать варианты ЕГЭ проще. С их введением произойдет перераспределение коррупционных доходов вокруг образования, и частично они перейдут в школы. Это увеличит заинтересованность части учительского состава в ЕГЭ.

Несогласные окажутся в сложном положении. Протесты в школе против ЕГЭ долго продолжаться не будут. С каждым годом ЕГЭ станет проходить всё успешней. В не очень далёкой перспективе это может означать смену основных функций школы как социальной структуры. Во всяком случае, произойдёт отказ от тех функций, которые школа выполняла в XIX и отчасти в XX веке.

Желания участников лишь в небольшой степени будут движущей силой этих процессов. Основным будет то, что школе навяжут абсурд в качестве высшего стандарта, после чего школе придётся перестраиваться в соответствии с поставленными ей государством (или от имени государства) целями. Наша школа, к сожалению, сейчас находится в тяжёлом состоянии. Внутренних возможностей для сопротивления разрушительным процессам у неё немного. Реформа пройдёт ползучим образом, но такой путь значительно эффективнее, чем официально декларированные действия. И действительно, упомянутая реформа уже успешно идёт.

Заключительные замечания. Дума узаконила ЕГЭ как способ сдачи вступительных экзаменов в вузы. De facto это означает перестройку образования в старших классах с опасностью перерастания в глобальную ползучую самореформу школы. Столь большой власти узкой группы лиц над образованием история России ещё не знала. Возможно, что такого не знала и мировая история.

Звучит это печально, но одновременно отвлекает от сути дела, которая состоит в природе этой «власти». А именно, как автор пытался объяснить выше, «высокой властью» облечён «экипаж» машины, поведение которой, по сути, от его воли не зависит. В этом нет ни чуда, ни парадокса. Последовательная борьба за изначально абсурдные цели должна приводить к последствиям, этих целей достойным.

Что дальше? Хотелось бы верить, что в очередной раз хотели «как лучше». В определённом смысле это неважно. То, что получилось, далеко выходит за пределы понятия «как всегда». Незаметно, под общий шум и потасовки, произошло большое негативное событие общенационального и общегосударственного значения.

По всей россии, по всем старшим классам, по всем предметам запускается механизм контрпродуктивного образования. Его воздействие будет возрастать с течением времени: школьники и учителя оту-пеют от разучивания тестов, из школ уйдут лучшие преподаватели, возрастёт неприязнь и к школе, и к образованию….

Это только начало. Что будет дальше?
Даст бог — поживём, не дай бог — увидим.

Детальное описание иллюстрации: Поступающие в Московский университет обеспокоены: ректор МГУ академик В. А. Садовничий всегда был последовательным противником единого государственного экзамена. Но чиновникам от образования удалось сломить его сопротивление, и с этого года при поступлении в университет будут учитываться оценки ЕГЭ.

Пятое правило арифметики

26.04.2017

Уровень математической подготовки даже в развитых странах вызывает тревогу. Академик Владимир Игоревич Арнольд, например, считает, что школьное образование Франции, Англии и Америки просто гибнет в результате непродуманных реформ, проведенных там во второй половине XX века (см. «Наука и жизнь» № 12, 2000 г.). Умение пользоваться калькулятором привело к неумению мыслить аналитически и логически, понимать суть физических и математических задач (см. «Наука и жизнь» № 3, 2002 г.). О своем опыте преподавания в Парижском университете и размышлениях, связанных с ним, рассказывает доктор физико-математических наук Виктор Степанович Доценко.

 

Историки до сих пор спорят: как же могло получиться, что такие мудрые и образованные древние египтяне столь быстро разучились строить свои замечательные пирамиды? Все произошло на протяжении буквально нескольких поколений (на рубеже IV и V династий, около XXVI века до Р.Х.). И в самом деле, это была поразительная историческая катастрофа: веками учились, учились, по крохам совершенствовали мастерство, передавали все это из поколения в поколение, накапливали знания и опыт, потом выстроили свои три Великие пирамиды (Хеопса, Хефрена и Микерина) и вдруг разом все забыли, потеряли навык, умение и мастерство, перестали понимать элементарные вещи. Что особенно удивляет — это произошло как бы само по себе, безо всяких войн и нашествий варваров. Все, что было построено после, выглядело лишь как жалкое подобие Великих пирамид и сейчас представляет собой не более чем груду развалин.

Я теперь знаю, как такое может происходить: дело в том, что уже пятый год преподаю физику и математику в Парижском университете (Университет имени Пьера и Марии Кюри, известный также под именем «Paris VI», или «Jussieu»). Надо сказать, что Париж не последнее место на планете по уровню образования, а мой университет далеко не худший в Париже. Россия всегда несколько отстает от Запада, и, судя по тому, как энергично, а главное, во что нас реформирует родное Министерство образования, сейчас в Париже я могу наблюдать наше недалекое будущее. Сразу оговорюсь: я вовсе не претендую на роль «пророка из будущего» и поэтому буду стараться избегать обобщений. Мне все равно не по силам сравнивать средний уровень французского образования (о котором имею весьма смутное представление) со средним уровнем нынешнего российского образования (о котором тем более ничего не знаю). И если честно, вообще не понимаю, что такое «средний уровень образования». Я буду рассказывать только о своем личном опыте — так сказать, «что вижу, то и пою».

 

Сначала небольшая справка. Во Франции уже давно введен и действует «Единый государственный экзамен» (ЕГЭ), только называется он у них БАК (от слова «бакалавр»), но это сути не меняет. Мотивация введения французского БАКа была примерно та же, что и нашего ЕГЭ: чтобы поставить всех учеников в равные условия, чтобы свести на нет коррупцию на почве образования, чтобы унифицировать требования к выпускникам, ну и так далее. Короче, чтобы все было и по-честному, и по справедливости. Есть и отличие: у БАКа имеется несколько специализаций. Он может быть научным, когда приоритет (повышенный коэффициент) имеют экзамены по математике и физике; гуманитарным, когда приоритет отдается языкам, философии; экономическим и т. д. Человек, сдавший БАК, имеет право безо всяких вступительных экзаменов записаться в любой университет своего профиля (правда, только по месту жительства — прописка у французов очень даже имеется) и учиться в нем совершенно бесплатно (если не считать «комиссионного сбора» размером в три сотни евро в начале каждого учебного года). А если студент документально докажет, что доходы его семьи ниже определенного уровня, то может получать стипендию (совершенно независимо от своей успеваемости). Ученик, сдавший БАК с отметкой выше определенного уровня (больше чем 15 из 20), имеет право записаться на подготовительное отделение в одну из так называемых Гранд Эколь (самая известная из которых Эколь Нормаль Суперьер) — это что-то вроде элитных университетов, для поступления в которые после подготовительных курсов нужно выдержать еще и вступительные экзамены. Далее, в процессе учебы как в Гранд Эколь, так и в университете, в зимнюю и в весеннюю сессии происходит отсев. Если у студента сумма баллов всех экзаменов оказывается ниже определенного уровня, его выгоняют (или, в определенных ситуациях, оставляют на второй год). Отсев идет серьезный: в моем университете в первую зимнюю сессию выгоняют около 40 процентов студентов, в следующую — еще процентов 30 и т.д. В результате к концу второго года обучения остается едва ли четверть из тех, кто начинал учиться (фактически это растянутые на два года вступительные экзамены). Далее отсев тоже продолжается, хотя не столь интенсивно, и, наконец, венчают всю эту учебу два или три года так называемого ДEA, которое с некоторыми поправками соответствует нашей аспирантуре и которое, как и у нас, завершается (точнее, должно завершаться) диссертацией и ученой степенью. Естественно, что до этого уровня добираются только «самые-самые»… Ну и чтобы завершить это довольно скучное вступление, немного о себе: доктор физико-математических наук, профессор, занимаюсь теоретической физикой; в университете «Paris VI» преподаю математику и общую физику первокурсникам, а еще, в качестве «контрастного душа», читаю некий теоретический курс (уж не стану разъяснять о чем) и веду семинары для аспирантов последнего года Эколь Нормаль Суперьер (т. е. именно для тех, которые не только «самые-самые», но еще и «супер» и «экстра»).

 

Ну вот, как видите, система образования задумана как будто совсем неплохо, все устроено вполне разумно, и даже деньги на все это есть (французы, правда, все время тоже говорят, что денег на образование катастрофически не хватает, но это просто оттого, что они не знают, что значит не хватает на самом деле). И тем не менее могу сообщить тем, кто еще не знает, что «хотели, как лучше, а получилось, как всегда» бывает не только в России. Французское образование (и я подозреваю, что далеко не только французское) — яркий тому пример.

 

В силу специфики своей деятельности в своем дальнейшем повествовании я буду иногда вынужден апеллировать к экспертам в области высшей математики. Я имею в виду тех, кто знает все четыре правила арифметики, а также умеет складывать дроби и в общих чертах знаком с таблицей умножения. Части текста, для понимания которых требуются столь специфические знания, я выделю курсивом.

 

Так вот, в этом учебном году я обнаружил, что среди пятидесяти моих учеников-первокурсников (у меня две группы) восемь человек считают, что три шестых (3/6) равно одной трети (1/3). Подчеркну: это молодые люди, которые только что сдали «научный БАК», то есть тот, в котором приоритет отдается математике и физике. Все эксперты, которым я это рассказывал и которые не имеют опыта преподавания в парижских университетах, сразу же становятся в тупик. Пытаясь понять, как такое может быть, они совершают стандартную ошибку, свойственную всем экспертам: пытаются найти в этом логику, ищут (ошибочное) математическое рассуждение, которое может привести к подобному результату. На самом деле все намного проще: им это сообщили в школе, а они, как прилежные ученики (а в университет попадают только прилежные ученики!), запомнили. Вот и все. Я их переучил: на очередном занятии (темой которого вообще-то было производная функции) сделал небольшое отступление и сообщил, что 3/6 равно 1/2, а вовсе не 1/3, как считают некоторые из присутствующих. Реакция была такая: «Да? Хорошо…» Если бы я им сообщил, что это равно 1/10, реакция была бы точно такой же.

В предыдущие два учебных года процентов десять-пятнадцать моих студентов систематически обнаруживали другое, не менее «нестандартное» математическое знание: они полагали, что любое число в степени –1 равно нулю. Причем это была не случайная фантазия, а хорошо усвоенное знание, потому что проявлялось неоднократно (даже после моих возражений) и срабатывало в обе стороны: если обнаруживалось что-либо в степени -1, то оно тут же занулялосъ, и наоборот, если что-либо требовалось занулить, подгонялась степень -1. Резюме то же самое: их так научили.

 

Вот чему несчастных французских детей никак не могут по-настоящему научить, так это обращаться с дробями. Вообще, дроби (их сложение, умножение, а особенно деление) — постоянная головная боль моих студентов. Из своего пятилетнего опыта преподавания могу сообщить, что сколько-нибудь уверенно обращаться с дробями могли не больше десятой части моих первокурсников. Надо сказать, что арифметическая операция деления — это, пожалуй, самая трудная тема современного французского среднего образования. Подумайте сами, как объяснить ребенку, что такое деление: небось станете распределять поровну шесть яблочек среди троих мальчиков? Как бы не так. Чтобы рассказать, как учат делению во французской школе, я опять вынужден обращаться к экспертам. Пусть не все, но кое-кто из вас еще помнит правило деления в столбик. Так вот, во французской школе операция деления вводится в виде формального алгоритма деления в столбик, который позволяет из двух чисел (делимого и делителя) путем строго определенных математических манипуляций получить третье число (результат деления).

 

Разумеется, усвоить этот ужас можно, только проделав массу упражнений, и состоят эти упражнения вот в чем: несчастным ученикам предъявляются шарады в виде уже выполненного деления в столбик, в котором некоторые цифры опущены, и эти отсутствующие цифры требуется найти. Естественно, после всего этого, что бы тебе ни сказали про 3/6, согласишься на что угодно.

 

Разумеется, кроме описанных выше, так сказать, «систематических нестандартных знаний» (которым научили в школе) имеется много просто личных, случайных фантазий. Некоторые из них очень смешные. Например, один юноша как-то предложил переносить число из знаменателя в числитель с переменой знака. Другая студентка, когда косинус угла между двумя векторами у нее получился равным 8, заключила, что сам угол равен 360 градусов умножить на восемь, ну и так далее. У меня есть целая коллекция подобных казусов, но не о них сейчас речь. В конце концов, то, что молодые люди еще способны фантазировать, — это не так уж плохо. Думать в школе их уже отучили (а тех, кого еще не отучили, в университете отучат — это уж точно), так пусть пока хоть так проявляют живость ума (пока они, живость и ум, еще есть).

 

Довольно долго я никак не мог понять, как с подобным уровнем знаний все эти молодые люди сумели сдать БАК, задачи в котором, как правило, составлены на вполне приличном уровне и решить которые (как мне казалось) можно, лишь обладая вполне приличными знаниями. Теперь я знаю ответ на этот вопрос. Дело в том, что практически все задачи, предлагаемые на БАКе, можно решить с помощью хорошего калькулятора — они сейчас очень умные, эти современные калькуляторы: и любое алгебраическое преобразование сделают, и производную функции найдут, и график ее нарисуют. При этом пользоваться калькулятором при сдаче БАКа официально разрешено. А уж что-что, а быстро и в правильном порядке нажимать на кнопочки современные молодые люди учатся очень лихо. Одна беда — нет-нет да и ошибешься, в спешке не ту кнопочку нажмешь, и тогда получается конфуз. Впрочем, «конфуз» — это с моей, старомодной, точки зрения, а по их, современному, мнению — просто ошибка, ну что поделаешь, бывает. К примеру, один мой студент что-то там не так нажал, и у него получился радиус планеты Земля равным 10 миллиметрам. А, к несчастью, в школе его не научили (или он просто не запомнил), какого размера наша планета, поэтому полученные им 10 миллиметров его совершенно не смутили. И лишь когда я сказал, что его ответ неправильный, он стал искать ошибку. Точнее, он просто начал снова нажимать на кнопочки, но только теперь делал это более тщательно и в результате со второй попытки получил правильный ответ. Это был старательный студент, но ему было абсолютно «до лампочки», какой там радиус у Земли: 10 миллиметров или 6400 километров, — сколько скажут, столько и будет. Только не подумайте, что проблему можно решить, запретив калькуляторы: в этом случае БАК просто никто не сдаст, дети после школы вынуждены будут вместо учебы в университетах искать работу, и одновременно без работы останется целая армия университетских профессоров — в общем, получится страшный социальный взрыв. Так что калькуляторы трогать не стоит, тем более, что в большинстве случаев ученики правильно нажимают на кнопочки.

Теперь о том, как, собственно, учат математике и физике в университете. Что касается математики, то под этой вывеской в осеннем семестре изучаются три темы: тригонометрия (синусы, косинусы и т. д.), производные функций и несколько интегралов от стандартных функций — в общем, все то, что и так нужно было знать, чтобы сдать БАК. Но в университете, как это часто бывает, учат все сначала, чтобы научить, наконец, «по-настоящему».

 

Что касается тригонометрии, то ее изучение сводится к заучиванию таблицы значений синуса, косинуса и тангенса для стандартных углов 0, 30, 45, 60 и 90 градусов, а также нескольких стандартных соотношений между этими функциями. Старательные студенты, которых в действительности не так уж мало, все это знают и так. Однако вот ведь какая закавыка, я каждый год упорно задаю своим ученикам один и тот же вопрос: кто может объяснить, почему синус 30 градусов равен 1/2? Я преподаю уже пять лет, и каждый год у меня около пятидесяти учеников; так вот, из двухсот пятидесяти моих учеников за все время на этот вопрос мне не ответил ни один человек. Более того, по их мнению, сам вопрос лишен смысла: то, чему равны все эти синусы и косинусы (так же, впрочем, как и все остальные знания, которыми их пичкали в школе, а теперь продолжают пичкать в университете), — это просто некая данность, которую нужно запомнить. И вот каждый год я как последний зануда пытаюсь их в этом разубеждать, пытаюсь рассказывать, что откуда берется, какое отношение все это имеет к миру, в котором мы живем, тужусь изо всех сил рассказывать так, чтобы было интересно, а они смотрят на меня, как на придурка, и терпеливо ждут, когда же я наконец угомонюсь и сообщу им, что, собственно, нужно заучить на память. Своим большим успехом я считаю, если к концу семестра один или два человека из группы раз-другой зададут мне вопрос «почему?». Но достичь этого мне удается не каждый год…

 

Теперь производная функции. Милые эксперты, не пугайтесь: никакой теоремы Коши, никакого «пусть задано эпсилон больше нуля…» тут не будет. Когда я только начинал работать в университете, некоторое время ходил на занятия моих коллег — других преподавателей, чтобы понять что к чему. И таким образом я обнаружил, что на самом деле все намного-намного проще, чем нас когда-то учили. Спешу поделиться своим открытием: производная функции — это штрих, который ставится справа вверху от обозначения функции. Ей-богу, я не шучу — прямо так вот и учат. Нет, разумеется, это далеко не все: требуется заучить свод правил, что произойдет, если штрих поставить у произведения функций и т.п.; выучить табличку, в которой изображено, что этот самый штрих производит со стандартными элементарными функциями, а также запомнить, что если результат этих магических операций оказался положительным, значит, функция растет, а если отрицательным — убывает. Только и делов. С интегрированием точно такая же история: интеграл — это такая вот вертикальная карлючка, которая ставится перед функцией, затем даются правила обращения с этой самой карлючкой и отдельное сообщение: результат интегрирования — это площадь под кривой (и на кой им нужна эта площадь?..).

 

С преподаванием физики дела обстоят похоже, только рассказывать про это скучно — здесь не так много смешного. Потому очень кратко (просто для полноты картины): курс физики в первом семестре в Университете имени Пьера и Марии Кюри начинается почему-то с линейной оптики (при этом параллельно на лабораторных занятиях студенты зачем-то изучают осциллограф), затем — два занятия подряд они зубрят наизусть огромную таблицу с размерностями физических величин (то есть как выражается в килограммах, секундах и метрах, скажем, гравитационная постоянная и т. п.; замечу попутно — при этом они понятия не имеют, что такое гравитационная постоянная), затем — механика (столкновения шариков, равновесие сил и т. п.), и наконец венчает осенний семестр почему-то гидродинамика. Почему именно такая выборка — понятия не имею, возможно, это то немногое, что знает главный координатор (и лектор) нашей секции. Почему именно в таком порядке? Да, собственно, какая разница, в каком порядке все это зубрить…

 

Бедные Мария и Пьер Кюри… Они на том свете небось места себе не находят от стыда.

 

Попробую предложить отдаленную аналогию всей этой ахинеи для гуманитариев. Представьте себе, что программа университетского курса под названием «Русская литература» состоит из следующих разделов: 1. Творчество А. П. Чехова; 2. Лингвистический анализ произведений русских и советских писателей XIX и XX веков; 3. «Слово о полку Игореве»; 4. Творчество А. Платонова. И на этом все…

Что же касается аспирантов Эколь Нормаль Суперьер (то есть тех, которые «супер-самые-самые»), то здесь ситуация совершенно иная. Эти ребята прошли такой суровый отбор, что ни вольных фантазеров, ни тем более разгильдяев здесь уже не встретишь. Более того, и с дробями у них все в порядке, и алгебру они знают прекрасно, и еще много-много всего, что им полагается знать к этому возрасту. Они очень целеустремленные, работоспособные и исполнительные, и с диссертациями у них, я уверен, будет все в полном порядке. Одна беда — думать они не умеют совершенно. Исполнить указанные, четко сформулированные преподавателем манипуляции — пожалуйста, что-нибудь выучить, запомнить — сколько угодно. А вот думать — никак. Эта функция организма у них, увы, атрофирована полностью. Ну а кроме того, теоретическую физику они, конечно, не знают совершенно. То есть они, конечно, знают массу всевозможных вещей, но это какая-то пестрая, совершенно хаотичная мозаика из массы всевозможных маленьких «знаний», которые они с успехом могут использовать, только если вопросы им приготовлены в соответствии с заранее оговоренными правилами, совместимыми с этой мозаикой. Например, если такому аспиранту задается некий вопрос, то ответом на него должно быть либо «знание А«, либо «знание В«, либо «знание С«, потому что если это ни А, ни В, ни С, он станет в ступор, который называется «так не бывает». Хотя, конечно, и у аспирантов Эколь Нормаль Суперьер бывают довольно смешные дыры в знаниях — но тут несчастные детишки совершенно не виноваты — это преподаватели у них были такие. Например, из года в год я обнаруживаю, что никто из моих слушателей (аспирантов последнего года Эколь Нормаль Суперьер!) не способен взять Гауссов интеграл и вообще не имеет представления о том, что это такое. Ну это как если бы человек писал диссертацию, скажем, о месте природы в поэзии позднего Пушкина и при этом не имел представления о том, что такое синонимы. Но, вообще, конечно, из этих аспирантов получатся прекрасные исполнители, как те «роботы-исполнители» из давнего фильма «Москва-Кассиопея»… И поэтому мне больше нравится преподавать первокурсникам университета: там все-таки еще есть хоть небольшая надежда кого-то чему-то научить…

 

Мне их так жалко, этих детишек! Вы только представьте: из года в год с раннего детства зубрить, зубрить и зубрить весь этот бред… Но ведь понятно, что вызубрить все невозможно. Даже у самых прилежных учеников хоть в чем-то, но будут пробелы. На практике это иногда выглядит дико (по крайней мере для меня). Представьте себе: прилежный студент, умеет находить производные, умеет интегрировать (то есть он вызубрил все правила, про «штрих» и «вертикальную карлючку»), но вот дроби складывать не умеет. Или, допустим, складывать умеет, а вычитать — никак — ну не выучил вовремя! При этом он может знать всю таблицу умножения, но вот чему равно 6 умножить на 7 — нет (может, он просто проболел в тот день, когда учитель в школе это сообщал). Теперь вы, надеюсь, поняли, что на самом деле 3/6 может равняться не только 1/3, а вообще чему угодно. Если хотите, это можно назвать «пятым правилом арифметики»: сколько скажем, столько и будет!

 

Мне неизвестно, сколько времени здесь продолжается весь этот образовательный «апокалипсис», может, лет десять, может, чуть меньше, но то, что в школы уже пришли преподаватели «нового поколения» — выпускники таких вот университетов — это точно, я вижу по своим ученикам. Что же касается моих коллег — нынешней университетской профессуры… Нет, с арифметикой у них все в порядке, и, вообще, в каком-то смысле все они довольно грамотные люди — стареющее вымирающее поколение. Но, с другой стороны, когда происходит такой всеобщий бардак в образовании, вольно или невольно, но тупеют все — не только ученики, но и преподаватели, видимо, это какой-то неизбежный закон природы. Разврат развращает…

 

В этом учебном году на семестровой контрольной одной из задач была такая (я думаю, наши восьми-, а может, и семиклассники ее бы оценили): «Воздушный шар летит в одном направлении со скоростью 20 км/час в течение 1 часа и 45 минут. Затем направление движения меняется на заданный угол (60°), и воздушный шар летит еще 1 час и 45 минут с той же скоростью. Найти расстояние от точки старта до точки приземления». Перед контрольной на протяжении двух недель среди преподавателей университета шла бурная дискуссия — не слишком ли сложна эта задача для наших студентов. В конце концов, решили рискнуть выставить ее на контрольную, но с условием, что те, кто ее решит, получат дополнительно несколько премиальных очков. Затем в помощь преподавателям, которые будут проверять студенческие работы, автор этой задачи дал ее решение. Решение занимало половину страницы и было неправильным. Когда я это заметил и поднял было визг, коллеги тут же успокоили меня очень простым аргументом: «Чего ты нервничаешь? Все равно эту задачу никто не решит…» И они оказались правы. Из полутора сотен студентов, писавших контрольную, ее решили только два человека (и это были китайцы). Из моих пятидесяти учеников примерно половина даже не попыталась ее решать, а у тех, кто сделал такую попытку, спектр полученных ответов простирался от 104 метров до 108 500 километров. Отдавая работу той студентке, которая умудрилась получить расстояние в 108,5 тысячи километров, я попытался было воззвать к ее здравому смыслу: дескать, ведь это два с половиной раза облететь вокруг земного шара! Но она мне с достоинством ответила: «Да, я уже знаю — это неправильное решение». Такие вот дела…

 

Читатель небось уже измучился в ожидании ответа на давно созревший вопрос: «Как же такое может быть?!» Ведь Франция — высокоразвитая культурная страна, в которой полным-полно умных образованных людей. Это один из главных мировых лидеров и в теоретической физике, и в математике, и в высоких технологиях, страна, где по российским понятиям «все хорошо». И в конце концов, куда подевалась выдающаяся французская математическая школа «Бурбаки»? И вообще, при чем тут «Единый государственный экзамен»?

 

Про «Бурбаки» ответить проще всего. Эта школа никуда не делась, она продолжает функционировать, но при этом стала похожей на «черную дыру»: людей (и талантливых людей!) она продолжает в себя «всасывать», но что там у нее делается внутри, те, кто находится снаружи, уже не знают. Это стало чем-то вроде «игры в бисер» Германа Гессе. Хотя мощная математическая традиция «Бурбаки» во французском обществе, конечно же, осталась. Именно поэтому несчастных детишек здесь так мучают шарадами про деление в столбик. Или, к примеру, когда нужно было решить уравнение 5х + 3 = 0, один мой студент исписал целую страницу рассуждениями про структуру и счетность множества решений такого типа уравнений, но само уравнение решить так и не смог. Хорошо известно, что получается, если из учения, веры или науки уходит дух, а остается один формальный ритуал: маразм.

 

Что же касается «как же такое может быть?!», то, как видите, может, очень даже может! Правда, я подозреваю, только до поры до времени. Во-первых, нужно иметь в виду, что вся эта катастрофа в образовании началась не так уж давно, и когда говорят про умных и образованных людей, то это в действительности очень тонкий слой общества (на котором на самом деле все и держится), состоящий из пожилых, стареющих (и вымирающих) «динозавров». И подпитки в этот слой сейчас просто не происходит (точнее, она происходит за счет китайцев и прочих там русских). Во-вторых, существует и совершенно другая точка зрения на происходящее. Этот крайне циничный взгляд на современное общество как-то растолковал мне один мой коллега по университету (огромный патриот Франции, по происхождению поляк, несколько лет проучившийся в Москве, прекрасно говорящий по-русски, большой знаток русской литературы). Он очень умный человек, тоже преподает и прекрасно видит, что происходит, но при этом считает, что никакой катастрофы нет, а наоборот, все правильно, все развивается как надо. Дело в том, что современному развитому обществу нужны только хорошие исполнители. Творческие, думающие люди, конечно, тоже требуются, но буквально единицы. Поэтому вся система образования должна быть настроена на отбор, выращивание и дрессировку именно хороших исполнителей, а учить думать молодых людей совершенно не нужно: в современном обществе это только повредит их будущей профессиональной деятельности, какой бы она ни была. Что же касается творческих личностей, то о них особенно беспокоиться не следует: тот, кто действительно талантлив, так или иначе все равно пробьется. В этом смысле, по большому счету, совершенно не важно, каким предметам мы их тут, в университете, учим (по крайней мере, на первых курсах). Вместо физики с математикой вполне можно было бы заставлять зубрить, например, латынь (вот только специалистов таких сейчас не сыщешь). Все равно в будущей профессиональной деятельности никакое понимание физики с математикой им не понадобится. На уровне школы и университета важно просто производить отбор и дрессировку самых послушных, трудолюбивых и исполнительных, вот и все. А для тех, кто вылетает из этой системы, для тех, кто идет в «отходы», существуют метлы для подметания улиц, кассовые аппараты в супермаркетах, заводские конвейеры и т. д. Вы вон в Советском Союзе в свое время напроизводили миллионы образованных «думающих» инженеров — и что? По части своих прямых профессиональных обязанностей они, как правило, ни черта делать не умели, а предпочитали размышлять о судьбах мира, о смысле жизни, о Достоевском… Причем, согласитесь, сами эти, так сказать, «думающие образованные инженеры» сплошь и рядом чувствовали себя несчастными людьми: невоплощенные мечты о великих свершениях, нереализованные таланты, мировая скорбь и тому подобное. А тут жизненные претензии и запросы, как личные, так и профессиональные, четко алгоритмированы, и все счастливы и довольны…

 

Я думаю, мысль понятна, и дальше можно не распространяться. Обо всем этом уже писано-переписано в бесчисленных утопиях и антиутопиях. Мне лично подобная точка зрения на развитое современное общество крайне несимпатична, но это отнюдь не значит, что она ошибочна. Мне кажется, что в подобной системе никакие таланты никуда не пробьются (просто потому, что их некому будет учить), и тогда люди, точнее, «роботы-исполнители» очень быстро разучатся строить «Великие пирамиды». Но, может, я и ошибаюсь…

 

Теперь, надеюсь, понятно, при чем тут «Единый государственный экзамен»? Когда люди, вместо того чтобы думать самим и учить думать своих детей, пытаются в конечном итоге все на свете сводить к алгоритмам и тупым тестам, наступает всеобщее отупение. Впрочем, что тут первично, а что вторично, не знаю: вполне возможно, что все эти БАКи, ЕГЭ и прочие тесты не более чем следствие (а вовсе не причина) всеобщего, скажем так, «радикального упрощения мышления» в развитом обществе. В моей молодости экзамены в стиле ЕГЭ проводились только на военной кафедре, что как раз было вполне оправданно и понятно: «приказ начальника — закон для подчиненного», и все тут, а думать при этом было противопоказано. Теперь подобный стиль обучения, похоже, становится всеобщим. По мне так уж лучше пусть будет коррупция, чем кристально честное общество исполнительных роботов-идиотов. Хотя, впрочем, у меня есть сильные подозрения, что в этом смысле России ничего особенно серьезного не грозит. У нас сплошь и рядом вязнут и дохнут не только благие начинания, но, к счастью, и идиотские.

 

Ну а если подобная «алгоритмизация» жизни и в самом деле есть магистральная дорога дальнейшего развития человечества (в конце концов, если это эффективно, то почему нет?), что ж, тогда мне просто останется пожелать ему счастливого пути. Удачи вам, ребята, дальше продолжайте без меня, я остаюсь…

Доктор ф.-м. наук В. ДОЦЕНКО

Подлинная история, рассказанная выпускницей механико-математического факультета МГУ, ныне работающей в одном из учебных институтов США:

Преподаватель: «Чему равен предел дроби при х, стремящемся к 8?»
Студент: ???

Преподаватель: «Предел равен бесконечности. Это понятно?.. Тогда решите аналогичный пример».

Студент: «Элементарно!»

Сорок три. Обзор федерального перечня школьных учебников математики на 2006/2007 учебный год (часть II)

26.04.2017

Классы с углубленным изучением математики.
Алгебра

В прошлом обзоре отсутствовали учебники для углубленного изучения математики в 8–9 классах, так как концепция реформирования математического образования в России не предполагала их существования. Но классы с углубленным изучением математики еще существуют, учебники для них включены в перечень. Пусть небольшая, но все же победа здравого смысла.

Учебники Н.Я. Виленкина и др. (издательство «Просвещение») [22] предназначены для 8–9 классов. Учебник [22₈] начинается введением понятия алгебраической дроби, изучаются наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух одночленов, потом основное свойство дроби, умножение и деление дробей, потом сложение и вычитание (почему в таком порядке?). Дальнейший порядок изучения материала тоже не выглядит последовательным. Сравнение чисел и доказательство неравенств изучаются, как и в учебниках [10₈] и [11₈]. Авторы говорят, что число a больше числа b, если разность a – b положительна. То есть для чисел понятие «больше» определяют через понятие «больше». Опираясь на это определение, они доказывают утверждения, являющиеся аксиомами действительного числа.

В учебнике [22₉] изучаются функции, степени и корни. В главе «Уравнения, неравенства и их системы» даются определения уравнения, его корня, решения уравнения (множество всех его корней), решения неравенства (множество всех привычных нам решений). Это единственная линия учебников с такими определениями. Далее изучаются многочлены, которыми уже занимались в 8 классе. Заключают учебник главы, посвященные последовательностям, элементам комбинаторики и теории вероятностей.

Учебники Ю.Н. Макарычева и др. (издательство «Мнемозина») [23] написаны для 7–9 классов с углубленным изучением математики. Структура учебников (глава, параграф, пункт) осталась прежней, тот же функциональный подход, то же чередование объектов изучения (выражения, одночлены, многочлены, уравнения, многочлены, функции, системы линейных уравнений), что и в учебниках [10]. Но учебный материал скомпонован иначе. В учебнике [23₇] одночлены «уравнены в правах» с многочленами (тоже изучаются в отдельной главе), сначала завершено изучение действий с многочленами, а потом (в отдельной главе) изучается разложение многочленов на множители. Функциональная линия начинается позже, чем в учебниках [10], но до введения действительных чисел.

В учебнике [23₈] вводится понятие дроби. Доказательства основного свойства дроби и доказательства правил действий с дробями представляются излишними. Изучение числовых неравенств строится как в учебниках [10] и [22]. Неравенства, дробно-линейная функция, квадратные корни, квадратные уравнения изучаются после введения действительных чисел.

В учебнике [23₉] изучаются функции, их свойства и графики (возрастание и убывание, четность и нечетность, ограниченность, преобразования графиков), уравнения и неравенства с одной переменной, системы уравнений и системы неравенств с одной переменной, последовательности, степени и корни, тригонометрические функции и их свойства, элементы комбинаторики и теории вероятностей.

В учебниках [23] достаточно продвинутая линия уравнений и неравенств, здесь изучаются иррациональные уравнения и неравенства. При решении иррациональных уравнений используется понятие области определения уравнения.

Учебники А.Г. Мордковича и др. (издательство «Мнемозина») [24] написаны для 8–9 классов с углубленным изучением математики. Собственно учебник написал А.Г. Мордкович, а задачник к нему — Л.И. Звавич и А.Р. Рязановский. В учебниках повторяется неточная манера изложения учебного материала, описанная выше. Тот же «алгоритм» графического решения уравнений, квадратные корни, квадратные уравнения и даже иррациональные уравнения — до введения иррациональных чисел. На наш взгляд, это не добавляет «плюсов» учебнику, а учитель пусть сам решает, важны ли наши замечания для учебников, используемых в классе с углубленным изучением математики.

Содержание учебников расширено по сравнению с учебниками [14₈] и [14₉] за счет включения дробно-линейной функции, теории делимости, уравнений высших степеней, иррациональных уравнений и неравенств, корня степени n и других вопросов.

Классы с углубленным изучением математики. Геометрия

Учащимся 8–9 классов с углубленным изучением математики предназначены учебники А.Д. Александрова и др. (издательство «Просвещение»)  [25]. Они утверждены для углубленного изучения математики, но, как считают авторы, книжками можно пользоваться и в обычных классах, так как материал, относящийся к обычным классам, специально выделен. В учебниках принята система аксиом А.Д. Александрова.

Учебники содержат богатый теоретический материал и систему упражнений, разделенную на два уровня сложности и на рубрики «Смотрим», «Рисуем», «Планируем», «Находим величину» и др., которые часто кажутся нарочитыми и неточными. Да и нужны ли рубрики-подсказки ученику, изучающему математики углубленно?

Что касается соответствия учебников стандарту, то хочется сказать, что стандарт, в котором большой объем материала из курса планиметрии перенесен в 10–11 классы (об этом сказано выше), не соответствует этому учебнику. Если авторы приведут его в соответствие со стандартом, то сильно испортят. В учебнике есть вопросы, расширяющие рамки привычных курсов для общеобразовательных классов. Например, в учебнике [25₉] есть окружность Аполлония, парабола, эллипс и гипербола — как геометрические места точек, теорема Шаля о композиции двух движений, симметрии фигур, бордюры, орнаменты, группы симметрий и группы преобразований фигур, изучается проблема равновеликости и равносоставленности (теорема Бойяи – Гервина), гомотетия, метод подобия, инверсия и метод инверсии. Есть еще и дополнения к главам, связанные с «выходом» изучаемого материала в пространство, интересные исторические сведения.

Не знаем, как учащимся обычных классов, а вот учителям, в них работающим, учебник очень полезен для углубления собственных представлений о преподаваемом предмете.

10–11 классы. Базовый уровень обучения.
Алгебра и начала анализа

Учебник А.Н. Колмогорова и др. (издательство «Просвещение»)  [26] хорошо известен учителям. Это самый первый учебник для старшей школы, написанный в ходе реформы 60–70-х годов. Учебник «для всех», он отличается простотой учебных текстов, имеет достаточное число пояснительных примеров, упражнения разделены на два уровня сложности, в них выделен обязательный уровень. Последовательность изучения некоторых тем можно улучшить. Из-за введения логарифмов в 11 классе тема «Производная» оказывается разорванной между двумя годами обучения и возобновляется после изучения интегралов. В учебнике еще не нашло отражение усиление требований конкурсных экзаменов к технике решения уравнений, неравенств, систем.

В учебнике Ш.А. Алимова и др. (издательство «Просвещение») [27] продолжается развитие идей, заложенных авторами в учебники [11] для 7–9 классов. В нем, в отличие от учебника [26], в 10 классе функции изучаются элементарными средствами, а производная изучается в 11 классе, где она применяется для исследования функций, изучение которых элементарными средствами затруднительно. В учебнике уделяется достаточно внимания подкреплению изучаемого теоретического материала примерами и задачами. Система упражнений расширена, выделены три уровня сложности. В конце учебника имеются задачи повышенной трудности, есть материал для подготовки в вузы.

Основная содержательная линия учебника М.И. Башмакова (издательство «Дрофа») [28] — исследование функций. Она изложена достаточно подробно и охватывает все элементарные функции. Построение учебника необычное. В каждой главе излагается теория, при этом автор часто не входит в подробности и тонкости доказательств, иногда даже просто сообщая факты без доказательств. Это позволяет ему дать правильное первичное представление об изучаемом понятии, но этого, видимо, не достаточно при обучении сильных учащихся, ориентированных на глубокое овладение предметом.

Требования к результатам изучения представлены в учебнике в виде таблиц, содержащих разделы: овладение теорией, применение алгоритмов (иногда и приложения). Эти требования разбиты на три уровня: минимальный, основной и углубленный. Причем обязательным для всех учащихся считается основной уровень, фиксирование минимального уровня позволяет автору выделить главное в содержании изучаемого материала. Углубленный уровень нацеливает учащихся, заинтересованных в изучении математики, на дальнейшее изучение предмета (для этого, правда нужны другие учебники). Разбиение это условно, применительно к алгоритмам оно конкретизируется номерами заданий учебника, что дает ученику и учителю средство для ориентировки в материале.

В учебнике имеются контрольные задания трех уровней сложности, лабораторные работы, задачи на повторение, исторические сведения и другие материалы. Но задачного материала явно маловато, автор сам признает это в предисловии.

Учебники серии «МГУ — школе» С.М. Никольского и др. (издательство «Просвещение») [29] рекомендованы для базового и профильного уровней обучения. При обучении на базовом уровне специально выделенные теоретические вопросы и задачи пропускаются.

Изложение материала подробное, с большим числом решений типовых задач. В учебнике [29₁₀] линия числа завершается изучением степени с иррациональным показателем, логарифмов. Здесь же изучаются простейшие показательные и логарифмические уравнения и неравенства и весь тригонометрический материал, который завершается решением простейших тригонометрических уравнений и неравенств, изучением специальных приемов решения тригонометрических уравнений и неравенств. В новом издании учебника (2006 г.) линия уравнений и неравенств будет усилена применением замен, приводящих уравнения и неравенства к простейшим, квадратным или рациональным.

В 11 классе изучаются все вопросы, касающиеся исследования функции элементарными средствами, производная, интеграл и их приложения. Во второй главе учебника [29₁₁] подробно рассматриваются общие способы решения уравнений, неравенств, систем. Здесь описаны нестандартные приемы решения многих заданий, встречающихся в задачах конкурсных экзаменов, тестах ЕГЭ и централизованного тестирования. Столь подробное изложение этого вопроса в школе предпринято впервые.

В учебники [29] включены разделы «Задания на повторение», содержащие задания для текущего повторения и задания конкурсных экзаменов в различные вузы страны.

Ведущей линией учебника А.Г. Мордковича (издательство «Мнемозина») [30] является функционально-графическая линия. Последовательность изложения некоторых вопросов знакома учителям по учебникам [26]. Например, производная показательной функции изучается после того, как закончено изучение производной и интеграла. Логарифмы появляются поздно. Не нарушая авторской концепции, можно улучшить порядок изучения материала.

Доказательность изложения материала вполне приемлема, кроме, быть может, основных формул тригонометрии — синуса и косинуса суммы двух углов, которые не доказаны, а доказательство всех остальных тригонометрических формул на них опирается. При изучении математики на ознакомительном уровне это, возможно, и не повредит, но если ученик планирует основательно изучать математику или сдавать устный экзамен в вуз, то он ставится в невыгодное положение.

Отметим на двух примерах непривычный для нас порядок изучения тем. Сначала изучаются тригонометрические уравнения, потом тригонометрические формулы, в процессе изучения которых приходится возвращаться к уравнениям, которые оказались изученными без них. Сначала изучается логарифмическая функция, а потом только — свойства логарифмов. Это означает, что доказательство возрастания (убывания) функции невозможно. Автор получает эти свойства из рассмотрения графика. При аккуратном изложении этого вопроса обычно строят график функции, опираясь на известные свойства.

Автор и этот свой учебник считает пособием для неспешного домашнего чтения. Как и в учебниках для 7–9 классов он делает много отступлений и замечаний.

Учебники Ю.М. Колягина и др. (издательство «Мнемозина») [31] является расширенным вариантом учебника [27], в котором больше внимания уделено вопросам исследования функций, внесены элементы теории вероятностей, комплексные числа, что, по замыслу авторов, должно обеспечить потребности профильных классов. Упражнения разделены на два уровня. Последовательность изучения материала по учебникам такова. В учебнике [31₁₀] изучают действительные числа, степень с действительным показателем, показательная, степенная и логарифмическая функции (после изучения каждой из них рассматриваются соответствующие уравнения и неравенства), системы уравнений, тригонометрические формулы, тригонометрические уравнения, тригонометрические функции.

При изучении иррациональных уравнений авторы ограничиваются разбором решений таких уравнений, следствия которых имеют корни, удобные для проверки непосредственной подстановкой в исходное уравнение. И ничего не говорят о более сложном случае, когда такая подстановка затруднительна, то есть о решении уравнения переходом к уравнению, ему равносильному на некотором множестве, или переходом к равносильной системе. При решении иррациональных неравенств авторы используют понятие область определения неравенства. Имеются задачи с параметрами. Уровня сложности разобранных в учебнике иррациональных уравнений и неравенств явно недостаточно для решения конкурсных заданий вузов, предъявляющих высокие требования к математической подготовке выпускников школы. Об этом говорит и уровень заданий, которые авторы включают в контрольные работы. Тогда не совсем понятно, чем обеспечивается работа классов с углубленным изучением математики, если авторы считают, что и в них учебник можно использовать?

В учебнике [31₁₁] имеются главы «Производная и ее применения», «Интеграл», «Комплексные числа», «Элементы комбинаторики» и «Знакомство с вероятностью». В конце учебника имеется раздел для организации итогового повторения за курс 10–11 классов.

Учебники Г.К. Муравина и др. (издательство «Дрофа») [32] отличается доступностью и краткостью изложения материала. В каждый из них включены глава «Повторение» и разделы домашние контрольные работы, ответы, советы, решения, основные формулы.

Учебник [32₁₀] начинается с повторения функций, изученных в предыдущие годы. Прямая, парабола, гипербола и окружность определяются как геометрические места точек. Рассмотрены преобразования графиков. В следующей главе рассмотрены степени и корни, но без степени с иррациональным показателем. При рассмотрении показательной функции y = 2^x авторы говорят: «Условимся считать, что и при любом иррациональном значении x, ордината соответствующей точки нашей кривой равна 2^x». Это как раз тот случай, когда условиться можно, но хотелось бы сначала определить, что такое 2^x. Большая по объему глава 4 охватывает весь тригонометрический материал, предусмотренный стандартами.

В первой главе учебника [32₁₁] авторы возвращаются к интуитивно введенному ранее понятию непрерывности функции и дают определение «на языке эпсилон–дельта». Далее вводится понятие предела функции — на интуитивном уровне и с формализацией «на языке эпсилон–дельта» понятия «стремится». Материал, связанный с понятием производной, представлен в учебнике достаточно полно. Изложение материала об интегралах рекордно кратко — на 18-ти страницах. Пятая глава учебника посвящена уравнениям, неравенствам и их системам, шестая — комплексным числам. 

Учебник Г.В. Дорофеева и др. (издательство «Дрофа») [33] издан пока только для 10 класса, судить о линии в целом не представляется возможным, поэтому ограничимся несколькими наблюдениями по первому учебнику. Он состоит из двух книг — учебника и задачника. Задания в задачнике разбиты на три уровня сложности.

Порядок изучения материала по главам таков. Числа (делимость, сравнения, математическая индукция). Многочлены (многочлены с одной переменной, с несколькими переменными, бином Ньютона, начальные понятия и формулы комбинаторики). Язык и логика (в последнюю версию стандарта материал не входит). Действительные числа — множество R (модуль числа, решение уравнений и неравенств с модулем, доказательство неравенств, рациональные и иррациональные числа). Тригонометрия (традиционный объем сведений, в том числе тригонометрические функции и обратные тригонометрические функции). Функции и графики (в том числе и обратные функции) — функции и обратные функции после тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций. Лучше бы наоборот.

Заметим, что в учебнике имеются излишне длинные тексты, скорее, информационные, чем учебные. Не случайно суммарный объем двух частей (учебник и задачник) составил 620 стр. — рекорд для одного года обучения в номинации «базовый уровень, 10–11 классы». Каких результатов можно достигнуть, работая по этому учебнику, покажет опыт.

10–11 классы. Геометрия

Учебник А.В. Погорелова (издательство «Просвещение») [34] хорошо знаком учителям. Усвоение первых тем по этому учебнику затрудняется тем, что основные изучаемые геометрические объекты — точки, прямые и плоскости — «висят» в пространстве, не имея опоры в виде знакомых с детства геометрических тел. Но опытные учителя умеют компенсировать этот недостаток, иллюстрируя изучение теории с помощью геометрических тел и решая с опережением на год простейшие задачи на построение сечений. (Заметим, что именно так поступают авторы учебников [42].) В остальном же учебник, опирающийся на опыт предыдущих учебников, основателен.

А теперь несколько слов о влиянии стандартов, следуя которым некоторые темы из 7–9-х классов перенесены в 10–11-е. Выглядит это довольно странно — планиметрический блок (§ 9) в учебнике стереометрии. Но содержание необходимое, если учесть, что учебник рекомендован для базового и профильного уровней обучения: решение треугольников, вычисление биссектрис и медиан треугольника, формулы Герона и другие формулы для треугольника, теоремы Чевы и Минелая, свойства и признаки вписанных и описанных четырехугольников, и т. п.

Как мы убедимся очень скоро, такой перенос подорвет традиционную основательность содержания курса планиметрии, отрицательно скажется на уровне подготовки учителей математики, работающих в среднем звене. А это приведет к дополнительному снижению уровня подготовки учащихся. Тогда, быть может, новые «реформаторы» предложат перенести в 10–11 классы подобие треугольников, теорему Пифагора… — что там еще осталось? И движение вниз по спирали продолжится.

Учебник Л.С. Атанасяна и др. (издательство «Просвещение») [35] рекомендован для базового и профильного уровней обучения. Он является продолжением и развитием учебника для 7–9 классов того же авторского коллектива. Изложение теоретического материала более формально и строго, чем на предыдущей ступени обучения. Теоретические тексты кратки и доступны. Система упражнений последовательна, содержит задачи разного уровня сложности, примеры решения наиболее важных задач. Имеются дополнительные задания.

Основные теоретические факты в начале курса стереометрии изучаются с опорой на геометрические тела, что повышает доступность материала, а значит, и результативность обучения. Здесь тоже ожидается вставка из планиметрии, отвечающая требованиям стандарта.

Учебник А.Д. Александрова и др. (издательство «Просвещение») [36_10-11] рекомендован для базового и профильного уровней обучения. В нем реализован аксиоматический подход к построению теории. В теоретической части учебника выделены основные теоремы, из которых остальные теоремы получаются как следствия. В учебнике обращается внимание на практическое применение геометрии, на ее связь с искусством, архитектурой. Авторы представляют геометрию как живую, развивающуюся науку, ведущую свою историю от египетских землемеров и геометров Древней Греции.

После теоретического материала имеются задания для самоконтроля по теории и различные задачи, среди которых выделены важные задачи, используемые при решении других задач. Главы заканчиваются списком задач, с помощью которых можно повторить содержание главы.

После глав I (Основания стереометрии), II (Перпендикулярность и параллельность прямых и плоскостей) идет глава III (Фигуры вращения), в которой с удивлением обнаруживается планиметрический материал, связанный с геометрией окружности. К содержанию этого материала претензий нет, но он оказался явно не на месте. Как говорится, спасибо стандартам!

Учебник И.Ф. Шарыгина (издательство «Дрофа») [37] реализует авторскую, наглядно-эмпирическую концепцию построения школьного курса геометрии. Он является продолжением учебника [17]. Его характеризует отказ от аксиоматического метода и акцент на использование наглядных методов в процессе построения теории и решения задач. В учебнике нетрадиционно изложены многие необходимые теоретические факты. Их доказательства оригинальны и, что немаловажно, красивы. Учебные тексты написаны хорошим литературным языком и достаточно лаконично.

Теоремы в учебнике нацелены не столько на «прохождение программы», сколько на создание необходимого запаса сведений для решения задач. Особое внимание уделяется методам решения задач. Например, весьма интересно изложен раздел «Объемы», в котором имеются теоремы, обычно не рассматриваемые в школе. Доказательство этих теорем поучительно само по себе, а владение ими позволяет решать довольно трудные задачи.

Система упражнений в учебнике позволяет реализовать идею уровневой дифференциации. Здесь есть задачи, отмеченные звездочкой, предназначенные для углубленной подготовки; специально выделены полезные (п), важные (в) и трудные (т) задачи.

Учебник И.М. Смирновой и В.А. Смирнова (издательство «Мнемозина») [38] рекомендован для базового и профильного уровней обучения. В учебнике выделен основной материал (базовый уровень) и дополнительный (профильный уровень). В учебнике семь глав: Начала стереометрии, Параллельность в пространстве, Перпендикулярность в пространстве, Многогранники, Круглые тела, Объем и площадь поверхности, Координаты и векторы.

Последовательно продвигаясь в изучении материала и пропуская пункты, отмеченные звездочкой, учитель может работать в общеобразовательном классе. При этом остается возможность организации выборочной работы с дополнительными материалами с самыми заинтересованными и способными учениками класса. Такая работа помогает и росту квалификации учителя. В этом автор обзора видит большой плюс идеи многоуровневых учебников.

Если же учитель будет изучать с учащимися и дополнительные вопросы, то он будет вести курс стереометрии на повышенном — профильном уровне. Учебник позволяет углубить знания учащихся по геометрии, в нем расширен материал о многогранниках, например, имеется теорема Эйлера, учебные пункты, посвященные правильным, полуправильным, звездчатым многогранникам, многогранникам, вписанным в сферу, описанным около сферы и т. п. Больше внимания в учебнике уделено изучению кривых и поверхностей, рассматриваются аналитические способы задания фигур. Наряду с декартовыми координатами в пространстве используются полярные и сферические координаты.

Профильный уровень обучения

Говоря о профильном уровне обучения, мы не будем разделять физико-математический, естественно-научный и другие профили (кроме гуманитарного). Так как само название профиля еще мало что объясняет. Физико-математический профиль в разных школах и у разных учителей может быть на разном уровне. Автор обзора не берет на себя смелость определить, какой учебник подходит для физико-математического, а какой — для естественно-научного профилей, даже если эти профили указаны на титульном листе учебника или в каталоге издательства. Будем следовать перечню, в котором для каждого учебника указан или базовый уровень, или базовый и профильный уровни, или профильный и углубленный уровни.

Алгебра и начала анализа

Учебники Н.Я. Виленкина и др. (издательство «Мнемозина») [39] рекомендованы для школ и классов с углубленным изучением математики. Они давно и хорошо известны учителям. Последовательность изложения материала такова. Сначала изучается производная, ее приложения, потом интеграл, лишь затем показательная и логарифмическая функции и их производные.

При этом введение логарифмов несколько формалистично. Сначала вводится натуральный логарифм как значение интеграла с переменным верхним пределом, потом число е как число, натуральный логарифм которого равен 1, потом логарифмическая функция по произвольному основанию, ее свойства и график.

Появление логарифмов несколько запаздывает, а ввести их при другом порядке изучения материала можно проще и без ущерба для формирования теоретического мышления старшеклассников.

Описанные выше учебники серии «МГУ — школе» С.М. Никольского и др. (издательство «Просвещение») [29] рекомендованы и для профильной школы. Содержание учебников охватывает программу классов с углубленным изучением математики.

Учебник А.Г. Мордковича и П.В. Семенова (издательство «Мнемозина») [40₁₀] является учебником для профильных классов. Он состоит из двух книг — учебника и задачника. Остановимся на первой из них. Здесь содержится весь материал из учебника [30], с расширением круга изучаемых вопросов. Добавлены главы Действительные числа, Числовые функции, Комплексные числа, Комбинаторика и вероятность и др. В учебниках остается приоритетной функционально-графическая линия. Учебные тексты имеют большое число примеров использования изучаемой теории. Учебник [40₁₁] готовится к изданию, поэтому сейчас затруднительно определить, насколько учебники обеспечат потребности классов с углубленным изучением математики.

Геометрия

Учебники А.Д. Александрова и др. (издательство «Просвещение») [41] изданы отдельными книгами и рекомендованы для профильного и углубленного уровней обучения. Они начинают новый проект РАН, РАО и издательства «Просвещение» под названием «Академические учебники». Учебники известны учителям, работающим в классах с углубленным изучением математики. Теперь в них переработан задачный материал.

Что касается содержания учебников, то по последовательности изучения материала он напоминает учебник [36] и имеет отличия от остальных учебников. Так в учебнике расширительно трактуется понятие цилиндра и конуса. Это единственный в школе учебник, в котором любая призма является цилиндром, а любая пирамида — конусом, что позволяет дать второе определение пирамиды как конуса, основание которого многоугольник. Привычные нам цилиндры и конусы оказываются цилиндрами и конусами вращения. «Выгоду» от такой трактовки мы обнаружили только одну. Одна и та же формула объема призмы и цилиндра вращения (так же и для пирамиды и конуса вращения) получаются взятием одного определенного интеграла. Решению задач этот подход ничего не добавляет, но красиво! В учебнике также имеется планиметрический материал, перенесенный сюда благодаря стандартам.

В учебниках [41] мы обнаружили много вопросов, расширяющих содержание стандартов для профильного уровня обучения. Есть и такие, которые автору обзора не доводилось еще преподавать в классах с углубленным изучением математики. Есть параграфы «Сферическая геометрия», «Векторное умножение векторов», «Аффинные преобразования», «Проективные преобразования», «Теоретико-групповой подход к геометрии» и целая глава из двух параграфов «Современная геометрия и теория относительности».

Автору обзора завидует учителям, которые имеют счастье преподавать такие вопросы, имеют на это достаточно времени, имеют учащихся, которые это могут усвоить. Одно остается неясным, почему для таких детей сохранено разбиение задач на те же рубрики-подсказки «Дополняем теорию», «Доказываем», «Исследуем», «Рассуждаем», «Планируем», «Разбираемся в решении», «Участвуем в олимпиаде» и др.?

Думается, когда новые «реформаторы» перенесут в 10–11 классы еще и квадратное уравнение с теоремой Пифагора (совсем исключить этот кошмарный сон пока не удается!), учебники [41] приятно будет взять с книжной полки и вспомнить то время, когда избранные учителя учили избранных детей по таким замечательным учебникам.

Учебники Е.В. Потоскуева и Л.И. Звавича (издательство «Дрофа») [42] в нашем обзоре новички. Каждый из них разбит на учебник и задачник. В перечне указан профильный уровень.

В отличие от учебника [41], теоретическая часть учебника не поражает выходами за пределы стандарта. Быть может, дело только в том, что это изложение более привычно автору обзора, много работавшему «по Погорелову» и «по Атанасяну». Во всяком случае, учебник не вызывает сомнений опытного учителя: смогу ли я это осилить и толково преподнести учащимся? Первые параграфы учебника дают ответ на вечный вопрос: как изучать стереометрию в самом начале — строго аксиоматически или считать, что с понятиями параллельности, перпендикулярности прямых в пространстве, с простейшими многогранниками учащиеся знакомы на интуитивном уровне? Авторы выбирают второй путь и, рассказывая о свойствах прямых и плоскостей, определяя их параллельность и перпендикулярность, иллюстрируют сказанное на знакомых геометрических телах — параллелепипедах и пирамидах. А в 11 классе возвращаются к определению многогранника. Такой «компромиссный» подход оправдан в школе. Его практикуют опытные учителя, работая «по Погорелову».

Изучению многогранников в 11 классе предшествует довольно подробно написанная глава «Преобразования пространства», дающая инструментарий для доказательства равенства фигур в пространстве. Формулы объема получаются с применением принципа Кавальери, что позволяет, независимо от времени изучения интегралов в курсе алгебры и начал анализа, раньше обычного вводить задачи на вычисление объемов геометрических тел. В одном из приложений учебника рассказывается и о применении интегралов для вычисления объемов.

Будем надеяться, что новый учебник геометрии приживется в школе.

Учебник И.М. Смирновой и В.А. Смирнова (издательство «Мнемозина») [38] рекомендован и для профильного уровня обучения.

Гуманитарный профиль

В прошлом обзоре здесь были учебники математики А.Л. Вернера и А.П. Карпа (издательство «Просвещение») для гуманитарных 10–11 классов — победитель конкурса, организованного министерством образования и Национальным фондом подготовки кадров (НФПК). Учебники сначала внедряли в гуманитарных классах, а потом предлагали по ним учить тех учащихся, которые будут постигать математику (алгебру, анализ, геометрию) за 3 ч в неделю. Осторожный скептицизм по поводу пользы внедрения этих учебников мы высказали в прошлом обзоре. Вспоминается, что стереометрическая часть курса строилась без определения параллельных прямых, параллельного проектирования, перпендикулярности прямой и плоскости.

И вот новость: их нет в новом перечне. Оказывается, утвержденная версия стандартов не позволяет давать учащимся столь усеченное математическое образование.

Учебник И.М. Смирновой (издательство «Мнемозина») [43] имеет гриф «Рекомендовано», почему-то в перечне пропущены слова о профиле, а на обложке и титульном листе указано: «гуманитарный профиль», но в учебнике есть и дополнительный материал, позволяющий работать по нему на базовом уровне. В нем реализован курс несколько меньший по объему, чем для обычных классов, он рассчитан на 2 ч в неделю в течение полутора лет. В учебнике сохранены основные вопросы традиционной программы по стереометрии, т. е. с параллельностью прямых, параллельным проектированием и перпендикулярностью прямой и плоскости — все в порядке. При этом устранены излишняя детализация и теоремы, играющие вспомогательную роль.

Гуманитарная направленность курса поддерживается за счет вопросов исторического, философского и мировоззренческого характера, рассмотрения приложений геометрии. Курс логически связан, содержит необходимые определения, свойства, теоремы и их доказательства. Большую роль в учебнике играет наглядность (построение разверток, моделей и пр.).

Завершает наш обзор комплект из двух учебников А.Г. Мордковича и И.М. Смирновой (издательство «Мнемозина») [44]. При всем уважении к его авторам заметим, что это механическое соединение порознь существующих книг. Свой учебник [30] А.Г. Мордкович несколько сократил, а вторая часть, как нам показалось, просто повторяет учебник [43]. Единого курса не получилось. Тогда не лучше ли учащимся носить в школу по одной тонкой книжке в те дни, когда у них только алгебра и начала анализа или геометрия?

Завершая обзор учебников, хочется подчеркнуть важность сохранения их многообразия. Необходимо предоставить авторам возможность общаться с учителями и совершенствовать свои учебники. Лучшие находки отдельных авторов со временем станут всеобщим достоянием. Тогда, возможно через сотню лет, какие-то из перечисленных учебников будут вспоминать как легенду, как мы вспоминаем сегодня классические учебники А.П. Киселева.

Опубликовано в журнале «Вестник учебной и детской литературы 2 / 2006.

 

P.S. В самом конце статьи автором обзора допущен сбой в нумерации учебных комплектов. На самом деле их 44. В данной публикации эта ошибка исправлена.

Сорок три. Обзор федерального перечня школьных учебников математики на 2006/2007 учебный год (часть I)

26.04.2017

Обзор федерального перечня школьных учебников по математике

на 2006/07 учебный год

Предыдущий обзор Федерального перечня учебников математики на страницах журнала «Школьное обозрение» был предпринят нами больше трех лет назад [1]. За прошедшее время учебники продолжали изменяться и множиться. Если в прошлом обзоре было 33 комплекта учебников (для 5–6, 7–9, 10–11 классов), рекомендованных (допущенных) министерством образования, то в новом — их уже 43. Качественные изменения учебников связаны с тем, что за это время были приняты стандарты по математике, стали появляться учебники новых жанров, а количественные — с включением в перечень учебников для 7–9 классов с углубленным изучением математики и с «клонированием» учебников одних авторов для разных уровней обучения в профильной школе.

Итак, о стандарте. Что случилось со школьной математикой? C 1997 г. время ее изучения по всем классам сократили на 1 час неделю, то есть больше, чем на 1,5 года за все время обучения в школе. При этом программа не была сокращена. Тем самым искусственно создали перегрузку учащихся. Потом планировали ввести двенадцатилетку. Под эту идею стали переносить малые темы и большие разделы в старшие классы, стали разрабатывать стандарты, которые должны были закрепить сокращение содержания обучения в среднем звене. Вся эта работа, разумеется, оправдывалась борьбой с перегрузкой школьников.

И вдруг — какая неожиданность! Первый вариант стандартов был с треском провален в Государственной Думе, школа и общество отвергли двенадцатилетку. Предвидеть такой поворот событий, видимо, не входило в обязанности науки. В итоге в подписанных в 2004 году министром образования В.М. Филипповым стандартах в курсе алгебры и начал анализа 10–11-х классов не только оказались разделы, требовавшие в 9 классе более 40 ч на изучение, но туда еще привнесли новые вопросы — как на базовом, так и на профильном уровне, а время обучения уменьшили. Часть планиметрии в стандарте не отражена, то есть не будет больше изучаться на базовом уровне, а так как в 8–9-х классах углубленное обучение не предусматривалось, то на профильный уровень в 10–11-х классах перенесли следующее содержание: «Свойство биссектрисы угла треугольника. Решение треугольников. Вычисление биссектрис, медиан, высот, радиусов вписанной и описанной окружностей. Формулы площади треугольника: формула Герона, выражение площади треугольника через радиус вписанной и описанной окружностей. Вычисление углов с вершиной внутри и вне круга, угла между хордой и касательной. Теорема о произведении отрезков хорд. Теорема о касательной и секущей. Теорема о сумме квадратов сторон и диагоналей параллелограмма. Вписанные и описанные многоугольники. Свойства и признаки вписанных и описанных четырехугольников. Геометрические места точек. Решение задач с помощью геометрических преобразований и геометрических мест. Теорема Чевы и теорема Менелая. Эллипс, гипербола, парабола как геометрические места точек. Неразрешимость классических задач на построение». [Курсивом выделен необязательный материал. — А. Ш.]

Хочется спросить: может быть, не надо освобождать учащихся от обучения, а вернуть 1,5 года обучения математике да пересмотреть соотношение прав и обязанностей учителя и ученика? Можно же простыми мерами, снимающими с учителя обязанность оценивать «тройкой» работу бездельника (что унижает учителя и развращает учащихся) [2], повысить ответственность ученика за качество своего обучения — перед школой, перед государством, перед собственным будущим.

О том, что снижение требований к ученику плохо сказывается на поддержании уровня квалификации учителя, что детренированные учителя будут хуже учить тому материалу, который оставили в программе, что движение вниз по спирали только усилится с приходом учителей, обучавшихся по усеченной программе, кажется, никто и не подумал.

Еще один спорный вопрос — внесение практически в одинаковом объеме элементов теории вероятностей и статистики в стандарты для базового и профильного уровней обучения. Известно, что в конце 70-х годов прошлого века, когда школа была куда как лучше организована и обеспечена, когда система повышения квалификации учителей работала много лучше, этот материал уже вводили в старших классах, и он не прижился. Если учесть, что тогда на математику в общеобразовательном классе и в классе с углубленным изучением математики отводили больше учебного времени, чем теперь при обучении на базовом и профильном уровнях соответственно, то можно понять, какие трудности испытывают и будут испытывать дальше учителя и учащиеся старших классов, если содержание стандартов останется без изменения. По иронии судьбы такой результат получен в результате борьбы с перегрузкой школьников.

Удивительное дело: «реформаторы» устроили перегрузку в 10–11 классах и забыли о ней, как только иссяк источник, питавший их бурную, якобы научную, деятельность! Смутные догадки начинают переходить в полную уверенность, что у «реформы» школы были совсем другие цели, не имеющие ничего общего с провозглашенными. Просто их нельзя было объявить, не имея поддержки общества и не входя в конфликт с Конституцией РФ. Кто же согласится с превращением системы образования в систему навязанного невежества? [3]

Хорошее образование — опора для возрождения России, а «реформаторы» хотели дать России другое образование, больше соответствующее навязываемому нам новому статусу сырьевого придатка развитых стран. На наш взгляд, эпиграфом всей их деятельности могли бы стать слова В.С. Черномырдина: «Нас никто не может упрекнуть в том, что у нас хорошие помыслы».

Вернемся, однако, к учебникам. Вот последние наблюдения за их изменениями, связанные с идеей профилизации школы. В соавторстве с М.К. Потаповым  мы высказали идею многоуровневых учебников для профильной школы, по которым можно было бы работать на базовом и большинстве профильных уровней. Приятно отметить, что эту идею разделяют многие авторы. Уже появились учебники, утвержденные для работы на двух уровнях. В то же время учебники отдельных авторов «клонируются» — с небольшими изменениями издаются для другого уровня обучения. Это ведет к росту числа комплектов в перечне и большой путанице.

Наметилась тенденция, нарастающая год от года — учебники становятся все разнообразнее по жанрам. Если классические учебники до реформы 60–70-х годов содержали учебные тексты и примеры применения излагаемых в них теоретических сведений, к ним издавались задачники, написанные совсем другими авторами, то в ходе упомянутой реформы учебники и задачники объединились под одной обложкой. Так началась история учебников, которые мы назовем современными. Теперь наблюдается возврат к классической паре учебник – задачник у А.Г. Мордковича (7–11 классы), у Г.В. Дорофеева и др. (10 класс), у Е.В. Потоскуева и Л.И. Звавича (10–11 классы).

В номинации «5–6 классы», а теперь и в номинации «7–9 классы», появляются учебники, уходящие все дальше не только от классических, но и от учебников, названных нами современными. Некоторые из них являются пьесами, детективами или просто задачниками, в которых список задач прерывается обобщениями наблюдений в виде правил или короткими текстами «от автора». Есть и такие, в которых привычные тексты «от автора» отсутствуют.

Появление таких книг для чтения можно только приветствовать, но если игровые и сказочные мотивы станут преобладать на уроках математики, если мотив к изучению чисел будет находиться вне математики, если логика развития учебного материала будет подчиняется не законам науки, а сказочному сюжету, то трудно ожидать формирования у учащихся правильных представлений о математике, как науке, ее содержании и методах. Трудно рассчитывать, что изучение числовых систем за пределами логики хоть как-то будет способствовать развитию теоретического мышления школьников, подготовит их к изучению систематических курсов алгебры и геометрии, положительно скажется на уровне квалификации работающих по таким учебникам учителей.

Наш обзор является навигатором в море школьных учебников. С его помощью учитель может узнать, какие учебники рекомендованы министерством и чем они отличаются друг от друга. А если учителя заинтересует какой-то учебник, то надо разыскать его и все полагающееся к нему дидактическое и методическое обеспечение. Изучить, вникнув во все детали.

Вот теперь перейдем собственно к обзору учебников, не претендующему на полноту описания их качеств, а отражающему взгляд школьного учителя, уже 34-й год работающего у классной доски, имеющего опыт создания учебников и рецензирования учебной литературы для секции математики Федерального экспертного совета.

Кому-то взгляды автора обзора покажутся старомодными, так как он ожидает от учебника логичного развития изучаемого материала и обоснованного его изложения, полагая, что введение определения в школьном учебнике можно мотивировать, но определение нельзя доказывать. Он считает, что в расширенном множестве чисел или алгебраических объектов операции с новыми объектами должны определяться, а не доказываться. Причем пока операция не определена, нехорошо без оговорок устанавливать свойства этой операции или использовать результаты ее выполнения. Например, нехорошо, разрезав два яблока на 3 равные части, писать 2:3 = 2/3, если не определено, что есть 2:3 для чисел. Но можно сказать: «Позднее это равенство будет доказано, поэтому запись 2/3 читают еще так: 2 деленное на 3». А после введения деления дробей надо обязательно его доказать.

Квалифицированный учитель математики должен понимать, что, не дав определения, что есть 2:3, невозможно логически безупречно доказать, чему равно это «неизвестно что». Также нехорошо писать в учебнике, что 2/5 < 3/5, так как первая дробь содержит меньше равных долей, чем вторая, если перед этим не определена сумма дробей и т. п. Сравнение дробей надо вводить по определению.

Автор обзора считает, что обучение математике должно способствовать воспитанию у школьников интеллектуальной честности, что в учебнике математики нехорошо определять понятие с помощью самого себя, нехорошо симулировать доказательство там, где его нет, доказывать аксиомы и пр. Он даже уверен, что учебники, не следующие этим минимальным требованиям к научности изложения материала, дурно влияют на уровень квалификации учителя, о чем «наипаче надлежало бы стараться», как говаривали в старые времена. Автора обзора не радует, когда, следуя за учебником, учитель с детьми доказывает правило умножения дробей или правило умножения отрицательных чисел. Он догадывается, что его взгляды на сей предмет сильно отличаются от взглядов многих авторов учебников, но не считает, что перечисленные выше требования являются «бурбакизмом» [4], как это кому-то кажется. Вот почему он считает возможным и полезным для учебников судить о них совсем не с тех позиций, с каких они были написаны.

Каждый комплект (для 5–6, 7–9, 10–11 классов) учебников в нашем обзоре имеет свой номер [1], [2], …, нижний индекс указывает класс, которому предназначен учебник.

5–6 классы. Математика

Чтобы понять и оценить научно-методические особенности учебников Н.Я. Виленкина и др. (издательство «Мнемозина») [1] — самых первых в этой номинации, нужно оглянуться назад и вспомнить, что при проведении реформы 60–70-х годов в среднее звено передали старший класс начальной школы — теперь это 5-й класс. Это обстоятельство объясняет стиль, уровень обоснованности изложения материала и другие особенности учебников [1], которые хоть и изменялись (особенно в первые годы своего существования), но сохранили свойства, полученные при рождении.

Тогда еще не было опыта изложения учебного материала в виде текста для учащихся данного возраста. Теперь, благодаря простым учебным текстам учебников [1], мы имеем такой опыт и можем двигаться дальше, добиваться большего в научности и обоснованности изложения материала. Не секрет, что 30 лет назад обучение математике в 5–6 классах было больше ориентировано на формирование навыков, на обучение по образцам. Большую роль при этом играло постоянное повторение. Но тогда было 6 недельных часов на математику, теперь 5, а учебники никак не отреагировали на это изменение. Работать по нему в новых условиях стало труднее. Учителя пробуют иные подходы к обучению математике.

Линия числа развивается запутанно. По учебнику [1₅] изучают натуральные числа (без делимости), сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, все действия с десятичными дробями, исключая «плохие» случаи (0,2:0,3). По учебнику [1₆] изучают делимость натуральных чисел, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями, их умножение и деление, отрицательные числа. Текстовые задачи решаются с помощью уравнения с первых уроков.

Последние издания учебников в полиграфическом плане (многоцветная печать) стали привлекательнее. По этому показателю Издательство «Мнемозина» явный лидер в номинации «5–6 классы».

Учебники Л.Н. Шеврина и др. (издательство «Просвещение») [2] открыли для школы новый жанр — «учебник-собеседник». Это первые учебники, в которых постоянные персонажи (Клоун, Смекалкин и др.), оживляют занятия математикой. К их присутствию в учебнике, как и к самому жанру, можно относиться по-разному. Идею оживления изложения материала и включения игровых моментов в процесс обучения используют и другие авторы. По уровню обоснованности изложения материала и развитию линии числа учебники [2] близки к учебникам [1], но, в отличие от них, не застыли на месте, а совершенствуются. В них теперь интересно проработана линия «Математика событий».

Учебники под ред. Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина (издательство «Просвещение») [3] заложили первую «сквозную» (пока не законченную в 11 классе) линию. В учебниках [3] принят естественный порядок изучения дробей: сначала обыкновенные, потом десятичные. Вопрос о знаке числа изучается сначала на целых числах. В учебниках особо выделяется наглядно-деятельностная геометрия, есть впервые для этого возраста реализованная линия «Анализ данных». В системе упражнений выделены уровни сложности А и Б, имеются задания для самопроверки. Но чего мы не обнаружили в учебниках [3], так это полезной для развития учащихся работы со свойствами арифметических действий — они рассматриваются один раз при изучении натуральных чисел, а далее даже не упоминаются. Учащиеся, таким образом, будут в дальнейшем применять законы, не осознавая необходимости обоснования возможности их применения. Текстовые задачи сначала решают арифметическими методами. За «отчетный период» в учебник [3₆] вернулись пропорции и соответствующие текстовые задачи.

Учебники серии «МГУ — школе» С.М. Никольского и др. (издательство «Просвещение») [4] начинают завершенную «сквозную» линию учебников для 5–11 классов, написанную одним авторским коллективом. Ее отличает большое внимание к последовательности и обоснованности изложения материала, естественное развитие линии числа: сначала обыкновенные дроби, потом десятичные. Идея знака числа объясняется сначала на целых числах, потом на обыкновенных дробях, лишь после этого изучаются десятичные дроби как иная запись рациональных чисел. Учебники для 5–6 классов названы «Арифметика» не потому, что авторы ностальгируют по первым учебникам математики своей молодости. Они полагают, что арифметика — первый завершенный школьный предмет, изучение которого может дать ученику представление о математической теории и способах ее изучения.

В учебниках [4] возрождается традиционное для классических российских учебников отношение к решению текстовых задач, работа с которыми существенно помогает развитию мышления и речи учащихся, способствует успешности их обучения. Задачи сначала решают арифметическими способами. Каждая глава заканчивается разделом «Занимательные задачи», историческими сведениями и материалами, дополняющими программу. Наряду с основательным изложением теоретического материала, это способствует обучению школьников на повышенном уровне.

Авторы учебников внимательно относятся к вопросу «почему?», при расширении множества изучаемых чисел рассматривают законы арифметических действий и их применение для рационализации вычислений (дополнительный мотив для осознанного усвоения теории, развития теоретического мышления).

Учебники Л.Г. Петерсон и Г.В. Дорофеева (издательство «Ювента») [5] продолжают линию учебников начальной школы тех же авторов. В них широко используются приемы активизации учебной деятельности школьников, связанные с различными игровыми и занимательными моментами. Отношение к такому подходу разное. Одни учителя увлеченно работают, используя знакомую учащимся с начальной школы систему подачи материала. Другие скептически относятся к такой организации обучения, предпочитая опираться не на внешние стимулы к занятиям математикой, а на постепенно воспитываемый интерес к математике, к красоте и силе ее методов. О вкусах, как говорится, не спорят, но остается открытым вопрос: как долго игровые мотивы могут быть полноценным стимулом к занятиям математикой?

В результате более интенсивного изучения материала в начальной школе некоторые вопросы программы 5–6 классов оказались изученными. Например, учащимся знакомы сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Учебник [5₅] начинается с делимости натуральных чисел, при изучении которой рассматриваются такие вопросы, как математический язык и математические модели, высказывания, общие утверждения, равносильность предложений, определения. Затем изучаются обыкновенные дроби, десятичные дроби.

Учебник [5₆] начинается с раздела «Язык и логика», совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями, процентов. Далее излагается весь предусмотренный стандартами для этого возраста материал с некоторым «забеганием» в программу старших классов (график прямой и обратной пропорциональной зависимости, например).

Продолжать учебники [5] авторы не планируют и рекомендуют переходить на комплект учебников [12].

Учебники Истоминой Н.Б. (издательство «Ассоциация XXI век») [6] продолжают линию учебников того же автора для начальной школы и тоже начинаются с делимости натуральных чисел. Далее изучаются обыкновенные дроби, десятичные дроби. По учебнику [6₆] изучаются отрицательные числа — знак минус ставится сразу и перед натуральными числами, обыкновенными и десятичными дробями, как в учебнике [1₆].

Учебники [6] нацелены на формирование приемов умственной деятельности, в них реализуется авторская концепция деятельностного подхода в обучении. По нашим наблюдениям, иногда деятельность ставится выше математики. Например, в упражнении 751 учащихся просят заменить умножение сложением и вычислить произведение 3/4 и 5, хотя произведение дроби и натурального числа еще не определено. Автор ожидает, что учащиеся обобщат известный только для натуральных чисел факт 3×5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3. Это малополезный для общего развития ученика пример деятельности с никак не определенным объектом. Прием не переносится даже на умножение двух дробей.

Большая роль в учебниках отведена диалогам Маши и Миши, ответы которых бывают и правильными, и неправильными, а учащиеся должны определить, кто из ребят прав. При этом часто учащиеся не могут прибегнуть к помощи учебника, в котором нет традиционных учебных текстов. Быть может, это и способствует активизации мышления, но создает проблемы для учителя с недостаточным опытом и  при самостоятельной работе с учебником. В учебнике имеются правила, выводы, которые к концу 6 класса играют все более заметную роль. Но это не «учебник-собеседник», это, скорее, «задачник-собеседник».

В нем многие факты устанавливаются опытным путем, что мало способствует развитию теоретического мышления учащихся. Поэтому их подготовка к работе с учебными текстами в курсах алгебры и геометрии 7 класса потребует от учителя дополнительных усилий. Как нам известно, автор не планирует писать учебники алгебры и геометрии в том же ключе.

В учебниках И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича (издательство «Мнемозина») [7] многие теоретические сведения тоже получаются опытным путем. Например, в учебнике [7₅] разрезанием куска проволоки на 3 равные части устанавливается не доказанный для чисел факт: 2:3 = 2/3. Говорится, что частное числа m и числа n можно записать в виде дроби, а чтобы получить дробь, надо число m разделить на число n, но как это сделать, не говорится. Получается, что разделить 2 на 3 мы не можем, но можем записать результат действия в виде дроби.

После сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями и умножения и деления обыкновенной дроби на натуральное число вводятся все действия с десятичными дробями. А в учебнике [7₆] — положительные и отрицательные числа, числовые промежутки (зачем, если ось «дырявая», на ней нет иррациональных чисел?), действия с положительными и отрицательными числами. Осталось неясным: зачем надо сначала изучать умножение и деление положительных и отрицательных чисел, исключив обыкновенные дроби, а через 15 страниц — умножение и деление обыкновенных дробей?

Далее авторы возвращаются к признакам делимости натуральных чисел и простым числам! Линия развития числа в учебниках [7] более запутанная, чем в учебниках [1]. В этом мы видим «минус» учебника. Зато в нем есть элементы теории вероятностей и статистики, разнообразный геометрический материал, охвачены все типы текстовых задач, традиционные для данного школьного возраста.

Учебники Э.Г. Гельфман и др. (издательство «Просвещение») [8] – самые новаторские учебники в номинации «5-6 классы», уходящие далеко от учебников, названных выше классическими или современными.

Учебник [8₅] состоит из двух книг (часть 1 и часть 2). Каждая из них разбита на две части — учебник и практикум (задачник). Учебник части 1 — сказка (Муми-тролль, фрёкен Снорк, Хемуль и др.), учебник части 2 — пьеса (с другими персонажами). Есть пролог, сцена первая (и следующие за ней), есть даже игры в антрактах! Учебник [8₆] тоже состоит из двух книг (часть 1 и часть 2). Учебник части 1 написан в форме детектива с участием Шерлока Холмса и Доктора Ватсона, учебник части 2 — в форме сказки (с героями русских сказок).

Линия числа запутаннее, чем в учебнике [1]. Судите сами.

5 класс. Позиционные системы счисления изучаются с помощью палочек, пучков, вязанок — сказочных названий разрядов натуральных чисел, общих для систем счисления с различными основаниями (внепрограммный вопрос). Сравнение натуральных чисел, десятичные дроби (!). Сравнивают десятичные дроби, рассматривая различные единицы измерения длины. Складывают натуральные числа, потом десятичные дроби, вычитают. Умножают натуральное число (потом и десятичную дробь) на однозначное натуральное число, на 10, 100, 1000, …, на круглое число, на многозначное натуральное число. Наконец, умножают десятичные дроби. Делят натуральные числа (и десятичные дроби) на однозначное натуральное число, на многозначное натуральное число, на десятичную дробь. Изучают действия с целыми числами … Всего 558 страниц текста в двух книгах на один год обучения. Это рекорд в номинации «5–6 классы».

6 класс. Изучается делимость натуральных чисел, вводятся обыкновенные дроби, основное свойство дроби, запись обыкновенных дробей в виде десятичных и десятичных в виде обыкновенных, смешанные числа. Сравнивают обыкновенные дроби, рациональные числа (дроби любого знака), умножают обыкновенные дроби — положительные, потом отрицательные. Делят. После этого (!) складывают обыкновенные дроби, смешанные числа — положительные, отрицательные. Вычитают. Изучают пропорции, проценты, диаграммы и элементы вероятностей.

Еще одна новинка в номинации «5–6 классы» — учебники М.Б. Воловича (издательство «Вентана-граф»)[9]. Здесь, как и в учебнике [8],  реализуется старая идея: начинать изучать дроби не с обыкновенных, а с десятичных, опираясь на сходство действий с ними и с натуральными числами. Даже не упоминая понятие «обыкновенная дробь»! Это единственный учебник во всем перечне, про который написано, что он соответствует не федеральному компоненту стандарта 2004 г., не обязательному минимуму содержания образования 1998 года, а авторской программе М.Б. Воловича! Автор формулирует в учебнике основную концепцию своего комплекта — «исключение заучивания, обучение умениям рассуждать, обосновывать, доказывать». Свою же концепцию в собственных учебниках ему реализовать не удалось. Давайте в этом убедимся.

Повторив запись многозначных натуральных чисел, автор называет десятичной дробью число, у которого десятичная запись имеет разряды правее разряда единиц. Здесь же объясняет, что после запятой можно дописывать нужное число нулей. Не сказав ничего про действия с десятичными дробями, он просит выполнить эти действия с помощью калькулятора!

Далее автор доказывает, что числа 50,024 и 0050,0240 равны, но как! Цитата: «Число 50,024 может быть получено из 0050,0240 зачеркиванием двух нулей в начале и одного нуля в конце». Жаль, что он не разрешает зачеркивать нули еще и в середине! Неужели только в этом случае в Федеральном экспертном совете смогли бы понять, что автор ничего не обосновывает и ничего не доказывает?

Складывая и вычитая десятичные дроби, автор повторяет сложение и вычитание натуральных чисел, действия с которыми объясняет с помощью палочек и пучков… Автор не объясняет, почему надо действовать так, как он учит, а не иначе. Он пытается обучать умениям (так и написано в концепции), хотя при обучении математике умения принято формировать с опорой на понимание выполняемых действий. Так что с «рассуждать, обосновывать, доказывать» не получается. Учащимся останется только заучивать.

7–9 классы. Алгебра

Учебники Ю.Н. Макарычева и др. (издательство «Просвещение») [10] — первые в номинации «7–9 классы». Эти учебники «для всех» с привычными многим поколениям учителей учебными текстами и заданиями ведут свою историю от начала 70-х годов. В них реализован функциональный подход к изложению алгебраического материала, что отражается и в терминологии: «выражения с переменными», «уравнения с переменными». Авторы неявно рассматривают выражения с переменными как функции одной или нескольких переменных. Порядок изучения понятий (выражение — уравнение — функция) оправдан и проверен временем.

На первом году обучения изучаются выражения с переменными (одночлены, многочлены), линейная функция, линейные уравнения и их системы. На втором — рациональные дроби, квадратные корни, квадратные уравнения, неравенства, степень с целым показателем. На третьем — квадратичная функция, уравнения и системы уравнений, степень с рациональным показателем, тригонометрические выражения и их преобразования (в несколько сокращенном объеме).

К учебникам [10] изданы вкладыш «Элементы статистики и теории вероятностей», а для 8–9 классов с углубленным изучением математики — «Дополнительные главы». В настоящий момент учебники перерабатываются. Элементы вероятностей войдут в основной текст учебников. Учебник [10₇] уже вышел. В него включен новый параграф «Статистические характеристики», сведения о формулах куба суммы и разности, о решении уравнений с двумя переменными в целых числах. В каждую главу включен пункт «Для тех, кто хочет знать больше». Учебник [10₈] можно улучшить. С нашей точки зрения, умножение многочленов должно предшествовать разложению многочлена на множители, правила действий с рациональными дробями лучше не доказывать.

Учебники Ш.А. Алимова и др. (издательство «Просвещение») [11] возникли на волне критики первых результатов реформы 60–70-х годов. Курс в целом имеет алгоритмическую направленность. Большое внимание уделяется практическому применению изучаемого материала. Здесь другая терминология: «выражения с неизвестными», «уравнение с неизвестным». Многочлены и алгебраические дроби изучаются в рамках одного года. Линейная функция, ее график вводятся до изучения действительных чисел. Определение функции еще раз уточняется в 9 классе, там же вводится область определения функции. Понятие квадратного корня из числа определяется в 8 классе на множестве рациональных чисел, следом изучаются иррациональные числа, и это понятие без всяких оговорок применяется в ситуации, для которой оно не определялось. Порядок следования тем легко поправить.

Учебники [11] отличаются простыми учебными текстами, в них, как и учебниках [10], большое внимание уделено мотивации введения новых понятий. Объяснение нового материала чаще всего начинается с разбора решения задачи практического содержания. К ним издан вкладыш «Элементы статистики и вероятность».

Учебники под ред. Г.В. Дорофеева (издательство «Просвещение») [12] продолжают линию учебников [3]. Они начинаются с арифметического материала: дроби и проценты, прямая и обратная пропорциональность. Числовые промежутки на координатной прямой, графики функций, многочлены, степень числа изучаются до введения иррациональных чисел. По последовательности изучения основных вопросов учебники [12] напоминают учебники [10]. Для них характерно чередование объектов изучения в рамках одного года: неравенства, функции, опять неравенства и т. п. Некоторые вопросы теперь изучаются позже. Например, системы линейных уравнений — в 8-м классе, дробные уравнения — в 9-м.

Отметим непривычно позднее появления термина «функция». До середины 8 класса авторы говорят о зависимостях, строят графики зависимостей, графики уравнений. Говорится, что не всякое уравнение с двумя переменными задает функцию, что верно, но не для приведенного уравнения y² = x, задающего функцию x от y. Идея практически направленной работы с зависимостями представляется хорошо реализованной.

Важной содержательной линией учебников, впервые разработанной для этого возраста, является линия «Анализ данных», включающая комбинаторику, элементы теории вероятностей и статистику. Она имеет практическую направленность.

Задания во всех учебниках разделены на два уровня сложности. Каждая глава заканчивается дополнительными материалами развивающего характера (раздел «Для тех, кому интересно»).

Учебники серии «МГУ — школе» С. М. Никольского и др. (издательство «Просвещение») [13] начинаются темой «Действительные числа». Это единственный учебник, в котором изучение действительных чисел предшествует всему алгебраическому материалу и функциям, что дает возможность в дальнейшем сделать более точными рассуждения, связанные с построением графиков функций, с определением квадратного корня и т. п.

В 7 классе изучаются одночлены, многочлены, формулы сокращенного умножения, алгебраические дроби, линейные уравнения и их системы, в 8-м — функции, квадратные корни, квадратные и рациональные уравнения, в 9-м — решение неравенств, прогрессии, корни степени n, элементы тригонометрии. Если, следуя учебнику [13₉], не переносить две последние темы из 9-го класса в 10-й, то в старших классах не будет ощущаться перегрузки, описанной выше.

Учебники [13] в конце каждой главы содержат материал, охватывающий программу для классов с углубленным изучением математики.

Учебники А.Г. Мордковича (издательство «Мнемозина») [14] разделены на собственно учебники и задачники. По математическому содержанию они мало отличаются от учебников [10] и [11]. Но, на наш взгляд, кое в чем им уступают. Например, в порядке введения понятия действительного числа и понятия квадратного корня.

Автор излишне свободно обращается с понятиями. Они, зачастую, сначала используются, а потом определяются. Это не неточность, это концепция такая. Сначала появляется координатная ось и утверждение, что каждая точка соответствует единственному числу, а в следующем классе — действительные числа, проясняющие сказанное в прошлом году. Автор сначала пользуется понятием «алгебраическая дробь» для деления одночленов, потом в том же учебнике вводит его определение, сокращает дроби при изучении многочленов до изучения основного свойства дроби. А в учебнике [14₈] повторяет определение дроби и вводит ее основное свойство. Сначала появляется линейная функция (как частный вид линейного уравнения), потом функция y = x², и др., после этого понятие «функция» используется, дается определение возрастающей (убывающей) функции, а в 9 классе, наконец, понятие «функция» определяется. В учебнике [14₇] функция y = x² ошибочно названа непрерывной (до введения действительных чисел этого утверждать нельзя).

В учебнике [14₇] дан алгоритм графического решения уравнения вида f (x) = g (x) для случая линейных функций. Алгоритм работает, так как абсцисса точки пересечения — рациональное число. В учебнике [14₈] автор напоминает этот алгоритм и применяет его для квадратичных функций, хотя говорить об алгоритме не имеет смысла, если он не работает в простейшей ситуации x² = 5. Ведь действительных чисел еще нет, поэтому графики функций, имеющие только точки с рациональными координатами, не являются непрерывными линиями. В конце параграфа 14 есть оговорка, что пока нельзя решить обсуждаемым способом уравнение x² = x + 3, но парабола и прямая пересекаются в двух точках, значит, уравнение имеет два корня. Вот здесь «нестыковка», так как пока что графики не пересекаются! А далее … автор вводит понятие корня, опираясь на утверждение, что графики y = x² и y = 5 пересекаются в двух точках. До действительных чисел вводятся не только квадратные корни, но и квадратные уравнения, и иррациональные. Представляется, что восстановить логику изложения в этом месте не так сложно.

Можно, конечно, считать, что указанная «нестыковка» происходит не в учебнике [14₈], а в голове у автора обзора, привыкшего к аккуратному и точному изложению материала в учебнике математики. Пусть о важности (или пустячности) наших замечаний судит читатель — в меру своего согласия (или несогласия) с нашими требованиями к учебнику математики.

К учебникам [14] издан вкладыш «События. Вероятности. Статистическая обработка данных».

Учебники К.С. Муравина и др. (издательство «Дрофа») [15] строятся с опорой на функциональный подход, что отражается и в терминологии: «выражения с переменными», «уравнения с переменными», и в достаточно вольном обращении с алгебраическими объектами. Учебник [15₇] отдает дань математическому языку и математическим моделям. Уже в первой главе рассмотрены решение уравнений, уравнения с двумя переменными и их системы, которые будут изучаться позднее. Дальше изучаются функции, степень с натуральным показателем, одночлены, сокращение дробей. Появление дробей до изучения многочленов кажется преждевременным и служит лишь для тренировки в работе с одночленами, основное свойство дроби используется до его изучения. Далее идут многочлены и формулы сокращенного умножения.

В учебнике [15₈] продолжается изучение формул сокращенного умножения (куб двучлена, сумма и разность кубов), дробные выражения, сокращение дробей, умножение и деление дробей, а потом сложение и вычитание дробей. Далее изучаются дробные уравнения с переменной в знаменателе, степень с целым показателем, квадратные корни и квадратные уравнения. В учебнике [15₉] изучается преобразование квадратного трехчлена, квадратичная функция и ее график, конические сечения, корни степени n, прогрессии. Во всех трех учебниках имеется материал по вероятностно-статистической линии.

В учебниках [15] упражнения разделены по уровню сложности, имеются разделы: Исследовательские работы, Практикум по решению текстовых задач, Проверь себя!, Домашние контрольные работы, Ответы, советы, решения, Справочные материалы.

Линия дополняется «снизу» учебниками для 5–6 классов, учебник для 5 класса уже вышел.

Учебники М.И. Башмакова (издательство «Просвещение») [16] в прошлом обзоре представлены не были. Структура учебников одинакова: материал разбит на части, называемые уроками. Их названия почти всегда начинаются глаголом: заменяем, составляем, вычисляем и пр., что подчеркивает внимание автора к выполняемым действиям. Объекты деятельности — уравнения высших степеней, многочлены, алгебраические дроби — появляются с первых страниц учебника [16₇] и используются безотносительно к тому, изучены свойства действий с ними или нет.

В учебнике [16₇] в уроке 4 текстовая задача впервые решается с помощью уравнения. Задается вопрос: что такое уравнение? Но только в следующем уроке 5 на этот вопрос автор дает ответ. Определение дается сразу для уравнений с несколькими неизвестными и с одним неизвестным, что делает его нечитаемым. Говорится, что такое его решения (для нескольких неизвестных), что такое его корень (для одного неизвестного). В уроке 6 читаем: «Уравнение (x – 2)(x – 3) = 0, как легко догадаться, имеет два решения x = 2 и x = 3». Легко ли догадаться ученику — не знаем, так как страницей раньше автор называл эти решения корнями. В уроке 7 слагаемые переносятся из одной части уравнения в другую, раскрываются скобки x(x – 1), уравнения соединяются знаком  =>, что в старших классах в учебнике того же автора будет пониматься как переход к уравнению-следствию и требовать проверки полученных корней… 

Все это делается до изучения одночленов, многочленов, умножения одночлена на многочлен и умножения многочленов. Неужели учащимся повредило бы преподнесение учебного материала в логической последовательности? Неужели деятельность сама по себе настолько самоценна, что ученикам не полезно задумываться, с какими объектами, на основании каких свойств она осуществляется?

Смелое обращение с алгебраическими понятиями, преувеличенное внимание к деятельности в ущерб осознанию объектов, выбранных для этой деятельности, не соответствует нашим представлениям о классических принципах обучения. Стиль первой книжки кажется настолько новаторским, что мы поостережемся высказывать свое суждение об остальных.

7–9 классы. Геометрия

Учебник А.В. Погорелова (издательство «Просвещение») [17] известен учителям, в нем реализован аксиоматический подход к построению курса геометрии. Он привлекателен тем, что является развитием хорошо продуманных классических учебников и задачников прошлых лет. Но самое трудное для учащихся и учителя при работе по нему — это отслеживание порядка вершин треугольников при обсуждении их равенства и подобия, довольно сложные для учащихся доказательства первых теорем (например, признаков равенства треугольников).

Эти трудности произрастают из желания автора все вывести из аксиом и не пользоваться, например, наложением при доказательстве признаков равенства треугольников. Обучающий и воспитательный эффект от такого способа обучения не сопоставим с испытываемыми трудностями. Но наличие жесткой и экономной системы изложения и последовательной системы упражнений делает учебник лаконичным.

Учебник Л.С. Атанасяна и др. (издательство «Просвещение») [18] отличается более спокойным отношением к лозунгу «в геометрии все должно быть доказано!» В частности, упомянутые признаки равенства треугольников доказываются наложением треугольников, что представляется оправданным на ранней стадии освоения учащимися нового предмета. Некоторые теоретические факты, используемые в дальнейшем изложении, даны не в виде теорем, а в виде задач, что затрудняет ссылки на них в последующей работе. Теоремы о средней линии треугольника и трапеции могли бы появиться раньше. Но этот момент учитель при желании может компенсировать, предложив учащимся другой способ доказательства в начале 8 класса, а вот изучение площади до подобия оправдано (в учебнике [17] порядок обратный).

К учебнику [18] изданы «Дополнительные главы» для учащихся классов с углубленным изучением математики.

Учебник А.Д. Александрова и др. (издательство «Просвещение») [ 19] — пример соединения в одном курсе планиметрии и стереометрии. В учебнике имеются обидные неточности, которые не украшают учебник. Определение: «Треугольники называются равными, если равны их стороны». В скобках есть разъяснение формулировки. Но как ученик должен давать определение — с разъяснением или без него? А определение позволяет два равносторонних треугольника назвать равными. Не лучше ли дать нормальную формулировку? Это пример из планиметрии, заметно отличающейся от других курсов, но хорошо выстроенной логически. А стереометрия вся построена на недоказанности — это в учебнике, в котором реализуется аксиоматический подход!

Пример 1. Утверждается, что величина линейного угла не зависит от выбора его вершины на ребре двугранного угла. Без намека на доказательство.

Пример 2. Описание установки мачты с помощью четырех растяжек и рисунок 96 неточные. Авторы думают, что каждая пара растяжек с мачтой лежат в одной плоскости, но не пишут об этом. По их тексту (и рис. 96) можно установить мачту не так, как хочется авторам. А они от этого примера приходят к утверждению, что мачта перпендикулярна любой прямой плоскости, дают определение перпендикуляра к плоскости, бездоказательно формулируют признак перпендикулярности прямой и плоскости и другие факты стереометрии.

Вы спросите, зачем? Ответим: авторы заботятся о пространственном воображении школьников — необходимом элементе их общекультурного развития. Но почему это надо делать в ущерб приучению детей к логике и к научной честности? Разве цели обучения математике так изменились, что теперь на уроке математики надо принимать сказанное на веру?

Прямо скажем, органичного включения стереометрии в курс планиметрии не получилось.

Одной из особенностей учебника И.Ф. Шарыгина (издательство «Дрофа») [20] является отказ от аксиоматического подхода. В нем уменьшена роль формально-логических рассуждений, больше внимания уделено методам решения задач. Наглядно-эмпирическое построение курса позволяет на раннем этапе обучения решать содержательные, интересные и красивые задачи.

Планиметрические задачи рассматриваются не только на плоскостных, но и на пространственных объектах. Это дает возможность не тормозить формирование пространственного (трехмерного) видения геометрических объектов, пространственного мышления школьников, а развивать их. Этому способствует продуманное использование наглядности в учебнике.

Интересен исторический аспект развития учебного материала, доказательства фактов, полученных великими математиками древности. Все это работает на воспитание интереса учащихся к предмету и уважения к классикам геометрии.

Учебник И.М. Смирновой и В.А. Смирнова (издательство «Мнемозина») [21] следует традициям преподавания геометрии в школе, идущим от классических учебников А.П. Киселева. В нем реализован аксиоматический подход. Аксиомы вводятся постепенно по мере необходимости. Авторы используют избыточную систему аксиом, что в рамках первоначального изучения геометрии оправдано. Однако и здесь, как и в учебнике [17], надо следить за порядком вершин в обозначении треугольника.

В качестве дополнений к классическим вопросам планиметрии в учебнике содержатся материалы научно-популярного характера (графы, теорема Эйлера, проблема четырех красок и др.). Учебник завершается материалами по стереометрии, что позволяет распространить изученные понятия и свойства на случай пространства, готовить учащихся к изучению стереометрии в старших классах. В учебнике ощущается реальная забота о развитии пространственного воображения школьников — не в ущерб другим целям обучения математике.

Размещение упражнений непосредственно за учебным текстом улучшает ориентировку учителя и учащихся в учебнике, делает материал, связанный с данным учебным текстом, более обозримым.

 

[1] От реформы до реформы … Попытка обзора школьных учебников математики. – М.: Школьное обозрение, 2002, № 5.

 

[2] См. 1) Над пропастью во лжи, или Будет ли толк от бестолковой реформы? Первое сентября, 46/2003. 2) Московские «двоечники» могут спать спокойно, согласно Закону  об общем образовании в Москве, Математика, 23/2004.

 

[3] Об истинных целях «реформирования» школы чудесным образом проговорился в кулуарах одного обсуждения в «Новой газете» в 2001 г. известный «реформатор» А.А. Пинский. Вот как описал разговор с ним А.М. Шкроб: «В перерыве я говорил с Пинским и понял, что он имел в виду. <…> Они хотят не школу лучше, они хотят школу другую… А цель такая, что нам больше не нужна та школа, которая существует, и не потому, что там учат слишком много математике, а потому, что слишком много математики не нужно сейчас выпускникам. Им некуда приложить эту математику. Пинский сказал, что в постиндустриальном обществе, каким, например, является Америка, большая часть населения обслуживает меньшую часть. Понимается в сфере услуг. Ну зачем им это знать. Действительно, Америка, которая собирает специалистов, перекупает в сущности их со всех концов земли, вероятно, может себе позволить такую роскошь. Я полагаю, что те школьники, которые сейчас пойдут в школу, должны будут восстанавливать, пользуясь старой терминологией, народное хозяйство, восстанавливать промышленность, которая разрушена за последние годы. И когда я ему это сказал, он говорит: помилуйте, зачем, ведь есть же международная кооперация? Нам это не нужно больше».

Откровеннее не скажешь! Целью реформирования и усечения образования в России является закрепление за ней статуса сырьевого придатка развитых стран. А перегрузка — это лукавого! Верните часы на математику, разрешите выпускать ученика с двойкой по предмету — и все быстро придет в норму, никакой перегрузки не будет.

 

Америка-то может позволить себе экономить на массовом образовании, покупая готовых специалистов по всему миру, в том числе и в России, но почувствуйте разницу: Америке нужно только поддерживать свое положение, а нам предстоит подниматься из руин. Уже только поэтому слепое копирование американской модели образования, которую нам навязывают «реформаторы», является стратегической ошибкой, за которую Россия еще долго будет расплачиваться. Если, конечно, мы окончательно не расстались с мечтой возрождения России в качестве самодостаточной в образовании, в науке, в современном производстве, в обороне и пр. державы. А если расстались, то надо быть готовыми к тому, что за развалом образования последует развал науки, производства, обороны, может быть, и государства.

[4] Н. Бурбаки — псевдоним группы французских математиков, сторонников формалистического изложения математики. О влиянии бурбакизма на школьную математику см. В.И. Арнольд. Нужна ли в школе математика? Стенограмма пленарного доклада (Дубна, 21 сентября 2000 г.) — М.: МЦНМО, 2001.

 

Опубликовано в журнале «Вестник учебной и детской литературы 1 / 2006.

P.S. В данной публикации исправлены замеченные неточности.

Информация к обсуждению (о сборнике С.А. Шестакова)

26.04.2017

Вот уже несколько лет выпускники школы сдают экзамен по алгебре и началам анализа по «открытым текстам»: по экзаменационному сборнику Г.В.Дорофеева, ресурс которого на исходе, так как вопреки предположениям авторов каждый год используется слишком большое число вариантов из него. Методические особенности сборника мы не обсуждаем, но заметим, что понравился сборник не всем. В Москве создан новый экзаменационный сборник, который можно противопоставить не только сборнику Г.В.Дорофеева, но и единому государственному экзамену, каким мы его знаем.

Уже принято решение: в 2003 году все выпускники общеобразовательных классов г. Москвы будут сдавать экзамен по этим заданиям (классы, обучающиеся по трехчасовому курсу А, а также профильные классы из этой экспериментальной проверки исключены).

Первое впечатление от сборника хорошее. Учителя получили добротную, хорошо структурированную книжку, в которой содержится много интересных задач, а всего 1332 задачи по два варианта в каждой. Но даже беглое знакомство с содержанием задач показывает, что его составляли учителя классов с углубленным изучением математики («углубленщики» и «олимпиадники»). У них совсем другая математика, формально не выходящая за рамки общеобразовательной программы. Они исключительно изобретательны в создании нестандартных ситуаций, которые требуют от учащихся отыскания незнакомых им по предыдущему обучению идей и приемов, которыми не балуют нас массовые учебники. А освоить за оставшееся до экзамена время все их замечательные идеи весьма проблематично не только для учащихся, но и для учителей.

Авторы сборника будто бы не знают, что математика в общеобразовательных классах (с 10-го по 11-й) потеряла так много часов, что просто неразумно говорить о повышении уровня требований к знаниям и умениям школьников, к их вычислительным и «преобразовательным» умениям.

Знают ли составители сборника, что общеобразовательные 10 классы в отличие от классов с углубленным изучением математики комплектуются без конкурсного отбора? В них обязаны принять любого ученика, не обращая внимания на его успехи в девятилетней школе, на то, что он не умеет и даже не собирается толком учиться? Как будут сдавать экзамены такие ученики, если им предлагаются более сложные экзаменационные тексты, чем их сверстникам в прошлые годы? Знали бы составители сборника, какая это головная боль учителя — подготовка слабых учащихся к экзамену, к решению задач хотя бы в стандартных ситуациях! 3нают ли они, как научить решать их замечательные (кто же спорит!) задачи уровня А «на формулы Виета» слабого ученика, который не умеет применить эти формулы даже для проверки корней квадратного уравнения (а тут еще надо поработать с алгебраическими дробями)? Может быть, составители сборника считают, что таким ученикам не место в 10-11 классах, тогда где им место? Тогда надо сначала добиться конкурсного отбора учащихся в 10 классы, что вряд ли законно, а только потом повышать требования на выходе из школы. Кроме того, было бы неплохо добиться возвращения математике прежних шести часов в неделю в каждом классе — ведь формирование технических умений на предложенном уровне А требует времени. Но разумно ли требовать от всех учащихся, особенно «проходящих» математику за 3 часа в неделю в 10-11 классах, сколько-нибудь продвинутого уровня технической подготовки?

Между тем сборник мог бы способствовать возрождению математического образования в стране, если бы изменилось отношение к образованию, если бы были объявлены новые цели образования, не имеющие ничего общего с целями, которые ставят «реформаторы» образования, низводящие обучение математике в школе до рассказов о математике. Тогда сборник можно было бы рассматривать как возможную альтернативу ЕГЭ по математике. Неотвратимость ЕГЭ уже почти не вызывает сомнения, но чтобы он не был таким, каким мы его знаем, ему должен «наступать на пятки» добротный народный экзаменационный сборник, который бы учителя не только поддерживали, но и помогли усовершенствовать своими советами и предложениями. А пока с учительской поддержкой слабовато. Учителя только что пережили переход на новый сборник Г.В.Дорофеева, полтора года готовили ребят к сдаче экзамена по этому сборнику, а теперь опять «смена лошадей на переправе», опять смена правил игры, которая уже подходит к концу: за полгода до экзамена содержание экзаменационных материалов кардинально меняется. Может быть, надо объявить сборник перспективным для новых классов, которые придут в 10 класс в текущем году и будут сдавать экзамен в 2005 году? Может быть, эти два года надо потратить на приведение сборника в соответствие с реалиями школы или, что еще привлекательнее, привести реалии школы в соответствие сборнику?

Следующие вопросы я адресую учителям, уже ознакомившимся со сборником.

1. Считаете ли вы, что уровень сложности задач группы А реалистичен на данный момент, т.е. соответствует школьной практике последних лет (учебники, часы на математику, способ комплектования 10 классов и т.п.)? 2. Считаете ли вы возможным принять первый вариант сборника за основу для подготовки авторами перспективного экзаменационного сборника к 2005 году?
3. Считаете ли вы правильным уже в 2003 году сдавать экзамен по новому сборнику?

Прошу учителей математики принять участие в неофициальном опросе — прислать краткие ответы, обязательно подписав фамилию (фамилии всех согласных с вами), номер школы. Публикация сведений об участниках опроса или передача их в органы образования исключены. Этот опрос не ставит целью изменить принятое решение, но учителя должны быть услышаны, чтобы подобная практика принятия решений не повторялась.

Сообщение пришлите по почтовому или электронному адресу редакции журнала «Школьное обозрение» или по электронному адресу: av@shevkin.ru. Все предложения, замечания (опечатки) будут обязательно переданы авторам, а обобщенное мнение учителей о перспективах использования нового сборника (при наличии достаточного числа откликов) мы сообщим дополнительно.

Обменяться мнениями с коллегами по проблеме «Экзамен 2003 года» вы можете на сайте www.shevkin.ru.

Опубликовано: «Школьное обозрение», 2003, № 1.

Дополнение. Реакции учителей на поставленные вопросы не последовало. Летом 2003 года Л.П. Кезина приняла решение о новом изменении формы проведения экзамена в пяти округах Москвы. Выпускники этих округов должны были сдавать ЕГЭ по всем предметам. Осенью из «всех предметов» осталась одна алгебра и начала анализа, а 30 декабря школы получили по электронной почте сообщения об отказе от ЕГЭ и возвращении к сборнику С.А. Шестакова.
Поздравим себя!

От реформы до реформы … Попытка обзора школьных учебников математики

26.04.2017

Попытка обзора школьных учебников по математике

Предыдущий обзор Федерального комплекта учебников математики на страницах журнала «Школьное обозрение» был предпринят В.В.Фирсовым почти 4 года тому назад (№ 1, 1999). Виктор Васильевич кратко обрисовал историю современных учебников, идущих от реформы 60–70-х годов, от критического осмысления в 80-х годах первых результатов этой реформы. Чтобы понять, какие учебники мы имеем, напомним некоторые моменты этой истории.

На рубеже 70–80-х годов работа над совершенствованием программ и учебников по математике велась весьма активно. Тогда критиковался излишний формализм учебников, построенных на основе теоретико-множественного подхода. Правда, использование критиками публикаций в партийной прессе ставило спорящих в неравные условия и привело к перехлесту в критике как самой реформы, так и ее идеологов, внесших большой вклад в совершенствование преподавания математики в отечественной школе.

Тогда же началась разработка «параллельных» пробных учебников, но они до поры до времени противоречили действовавшей в то время программе с фиксированной последовательностью изучения тем по математике. Вот почему в 1982 г. был сделан действительно прорыв, справедливо упомянутый В.В.Фирсовым в его обзоре. Вместо традиционной программы, отвечавшей единственному в каждой параллели учебнику, была принята Базисная программа, которая фиксировала лишь обязательное содержание образования и требования к уровню математической подготовки учащихся в каждом блоке классов 4–5, 6–8 и 9–10 (в прежней нумерации). Этот шаг стал правовой основой для использования в школе новых учебников, которые начали появляться еще до принятия новой программы. Так началась история «параллельных» учебников.

Ожесточенность споров того времени вокруг учебников была связана с тем, что тогда старались сделать один учебник, пригодный для всех учащихся и всех учителей, а это задача трудновыполнимая, если вообще выполнимая, так как одни и те же качества учебника разные люди оценивают по-разному в зависимости от того, какой цели они хотели бы достичь, используя этот учебник.

Теперь, когда от единой трудовой политехнической школы мы пришли к многообразию типов школ, для достижения разных целей обучения единым для всех учебником не обойтись, но можно выбрать учебник, отвечающий поставленным целям, условиям обучения и вкусу учителя.

Выбирая учебник для работы, надо хорошо знать его особенности, знать, на что он нацелен, кроме «выполнения программы», не принадлежит ли он к «тупиковой» линии, не имеющей развития в учебниках того же авторского коллектива или какого-либо другого. Надо знать «сильные» стороны выбираемого учебника и способы компенсации его «слабых» сторон, не драматизируя само наличие недостатков. Идеальными учебники не рождаются. Они должны совершенствоваться десятилетиями. Например, учебники А.П.Киселева, которые так любят вспоминать, при своем появлении в конце XIX века были не самыми заметными, даже сильно критикуемыми учебниками. Но автор совершенствовал их более 40 лет и создал учебники-легенду.

Нам показалась весьма актуальной мысль В.В.Фирсова о том, что любая, даже неудачная, попытка написания учебника заслуживает уважения, так как на этот многолетний, каторжный и плохо оплачиваемый труд можно решиться только из самых благородных побуждений. Авторы современных учебников математики продолжают и развивают традиции своих выдающихся предшественников. Их учебники — наше национальное достояние, с которым надо обращаться весьма бережно.

Но вернемся к вопросу о выборе. Для совершенствования умения учителя выбирать учебники было бы полезно, во-первых, больше печатать материалов по экспертизе учебников, а во-вторых, сделать информацию обо всех учебниках более доступной. В-третьих, надо сделать так, чтобы учитель любой школы мог без особых проблем разыскать любой учебник, с которым он хотел бы ознакомиться.

Напомним, что в Перечень учебных изданий для учреждений общего среднего образования на 2002/2003 учебный год, рекомендованных Министерством образования РФ, включены лишь учебники завершенных на момент утверждения перечня авторских линий учебников, получивших гриф министерства.

Сравнивая списки учебников в перечне на текущий учебный год с теми, что обсуждались в предыдущем обзоре, заметим, что теперь в перечне вообще отсутствует рубрика «учебники для углубленного изучения математики 8–9 классах». В связи с эти скажем несколько слов в порядке отступления.

Насколько нам известно, идея профильной школы (10–11 классы) предусматривает закрытие 8–9 классов с углубленным изучением математики. Эта идея еще толком не проработана и может выжить только в результате беспрецедентного административного давления. И то лишь на короткое время, необходимое для того, чтобы реформаторы успели заработать на ее введении. Во всяком случае, «революционные» стандарты по математике и другие документы, обеспечивающие «реформу» математического образования, идею профильной школы блестяще дискредитировали. Но Министерство образования уже не утверждает учебников для классов с углубленным изучением математики. Классы еще как бы есть, но их уже как бы нет. И учебников им не положено. Не поторопились ли, господа реформаторы?

Может быть, сначала профильная школа должна доказать свою способность решать те задачи, которые сейчас решают классы с углубленным изучением математики? Тогда надобность в этих классах отпадет сама собой, их даже не потребуется закрывать. Неужели в образовании нельзя хотя бы что-нибудь делать с умом? Неужели стране больше не нужны умные и хорошо подготовленные молодые люди?

Впрочем, наше отступление слишком далеко уводит нас от обзора учебников. Но можно ли молча наблюдать сознательное (или по недомыслию?) уничтожение Интеллектуальных ресурсов некогда могучей в этом отношении державы? Ресурсов, без которых у державы нет будущего.

А теперь перейдем к обзору учебников, который не претендует на полноту описания их качеств, а отражает взгляд школьного учителя и автора учебников, имеющего опыт рецензирования учебной литературы для секции математики Федерального экспертного совета.

Математика (5–6 классы)

Чтобы понять и оценить научно-методические особенности самых распространенных учебников этой номинации — учебников Н.Я.Виленкина и др. [1], нужно оглянуться назад, и вспомнить, что при проведении реформы 60–70-х годов в среднее звено передали старший класс начальной школы — 4-й (теперь 5-й). Это обстоятельство объясняет стиль, уровень обоснованности изложения материала и другие особенности учебников [1], которые хоть и изменялись (особенно в первые годы своего существования), но сохранили свои особенности, полученные при рождении.

Тогда еще не было опыта изложения учебного материала в виде текста для учащихся данного возраста. Теперь, благодаря простым учебным текстам учебника [1], мы имеем такой опыт и можем двигаться дальше, добиваться большего в научности и обоснованности изложения материала. Не секрет, что 30 лет назад обучение математике в 5 – 6 классах было больше ориентировано на формирование навыков, на обучение по образцам. Большую роль при этом играло постоянное повторение. Но раньше было 6 недельных часов на математику, а теперь 5, а учебник никак не отреагировал на это изменение. Работать в новых условиях по нему стало труднее, поэтому учителя пробуют иные подходы к обучению математике.

Второй «старожил» в рассматриваемой номинации — учебник И.В.Барановой и З.Г.Борчуговой [2], не упоминавшийся в прошлом обзоре учебников. Это один из первых «параллельных» учебников, который экспериментировался в ряде территорий страны. Поскольку он появился давно, то не мог разительно отличаться от учебника [1] по методике изложения материала, но надо обязательно отметить, что это был более традиционный для российской школы учебник — с более последовательным развитием линии числа, в нем сохранялось традиционное отношение к работе с типовыми текстовыми задачами.

Следующим по времени появления в школе был учебник-собеседник Л.Н.Шеврина и др. [3]. Это один из первых учебников, в котором использовались постоянные персонажи (Клоун, Смекалкин и др.), к присутствию которых в учебнике, как и к самому жанру «учебник-собеседник» можно относиться по-разному. Идею оживления изложения материала и включения игровых моментов в процессе обучения используют и другие авторы. По уровню обоснованности изложения материала и развитию линии числа учебник [3] близок к учебнику [1], но, в отличие от него, не застыл на месте, а совершенствуется. Отметим последнее изменение: в новом издании учебника интересно проработана линия «Математика событий».

Упомянутые выше учебники написаны в то время, когда один авторский коллектив писал, как правило, учебники только одного из блоков классов 5–6, 7–9 или 10–11, но тогда умели согласовывать содержание между блоками классов и учитывать межпредметные связи, поэтому переход от учебников [1], [2], [3] к любым учебникам в 7 классе проходит без особых проблем.

Учебники под ред. Г.В.Дорофеева и И.Ф.Шарыгина [4] заложили одну из первых «сквозных» линий, которую через все классы проводит один авторский коллектив (далее он несколько изменяется, но руководство Г.В. Дорофеева остается неизменным; последние учебники этой линии для 10–11 классов еще ожидаются). Наличие «сквозной» авторской линии дает некоторые преимущества в смысле сохранения авторских подходов и преемственности учебников между блоками классов.

В учебниках [4] принят естественный порядок изучения дробей: сначала обыкновенные, потом десятичные. Вопрос о знаке числа изучается сначала на целых числах, что с методической и педагогической точек зрения правильнее. Справедливости ради отметим, что такое предложение звучало еще в 60–70-х годах, но тогда не было принято и впервые было реализовано в пособии для самообразования «Арифметика, 5–6» С.М.Никольского и др. (1988 г.).

В учебниках [4] особенно выделяется наглядно-деятельностная геометрия, есть линия «Анализ данных». Но арифметическая линия и линия задач не завершены по сравнению с традиционно принятым объемом содержания, изучаемого в 5–6 классах, но это не препятствует обучению в рамках той же авторской линии учебников.

Второй «сквозной», теперь уже завершенной, линией учебников для 5–11 классов является линия учебников серии «МГУ — школе» С.М.Никольского и др. [5]. Учебники «Арифметика, 5–6» этой серии отличает большое внимание к последовательности и обоснованности изложения материала, естественное развитие линии числа: сначала обыкновенные дроби, потом десятичные. Идея знака числа объясняется сначала на целых числах. Здесь возрождается традиционное для российских учебников отношение к решению текстовых задач, работа с которыми может существенно помочь развитию мышления и речи учащихся. Задачи сначала решаются арифметическими способами.

С первых учебников обсуждаемой серии авторы внимательно относятся к вопросу «почему?», создавая условия для осознанного усвоения материала школьниками. Тем самым они закладывают в свои учебники возможность обучения на повышенном уровне.

Теперь перейдем к новинкам — учебникам, появившимся в Федеральном комплекте за последние два года. Сначала отметим учебники, продолжающие авторские линии учебников начальной школы. В учебниках Г.В.Дорофеева и Л.Г.Петерсон [6] широко используются приемы активизации учебной деятельности школьников, связанные с различными игровыми и занимательными моментами. Отношение к такому подходу разное. Одни учителя увлеченно работают, используя знакомую учащимся с начальной школы систему подачи материала. Другие скептически относятся к такой организации обучения, предпочитая опираться не на внешние стимулы к занятиям математикой, а на постепенно воспитываемый интерес к ней, к красоте и силе ее методов. О вкусах, как говорится, не спорят, но остается открытым вопрос: как долго игровые мотивы могут быть полноценным стимулом к занятиям математикой?

В результате более интенсивного изучения материала в начальной школе по учебникам той же авторской линии некоторые вопросы программы 5–6 классов оказались изученными. Это дало авторам возможность включить в процесс обучения в 5–6 классах такие вопросы как множества, подмножества, пересечение и объединение множеств, диаграммы Венна, язык и логика. Одним из ведущих понятий курса является понятие математической модели.

Продолжать учебники [6] авторы не планируют и рекомендуют переходить на комплект учебников [11], о котором речь впереди.

Учебники Н.Б.Истоминой [7] продолжают линию учебников того же автора для начальной школы. В них реализуется авторская концепция деятельностного подхода в обучении, учебники нацелены на формирование приемов умственной деятельности. Большая роль, как и в учебниках для начальной школы, отводится диалогам постоянных персонажей Маши и Миши, ответы которых бывают и правильными, и неправильными, а от учащихся требуется определить, кто из ребят прав. В учебнике нет традиционных учебных текстов, но имеются правила, выводы, которые к концу 6 класса играют все более заметную роль. Поэтому подготовка учащихся к работе с учебными текстами в курсах алгебры и геометрии 7 класса требует от учителя дополнительных усилий. Как нам известно, автор не планирует писать учебники алгебры и геометрии в том же ключе.

Учебники И.И.Зубаревой и А.Г.Мордковича [8] являются плодом совместной переработки авторами учебников И.И.Зубаревой. Эта переработка должна была привести учебники в соответствие с концепцией учебников А.Г.Мордковича. Они прошли все стадии утверждения и ожидались к началу текущего учебного года. В них упражнения разделены на 4 уровня сложности и имеют соответствующую маркировку, имеются контрольные вопросы по теоретическому материалу и домашние контрольные работы.

Алгебра (7 – 9 классы)

Учебники Ю.Н.Макарычева и др. (под ред. С.А.Теляковского) [9] — это первые учебники в номинации «7–9 классы», ведущие свою историю от начала 70-х годов. Это учебники «для всех» с привычными многим поколениям учителей учебными текстами и заданиями. В них реализован функциональный подход к изложению алгебраического материала, что отражается и в терминологии: «выражения с переменными», «уравнения с переменными». Авторы неявно рассматривают выражения с переменными как функции одной или даже двух переменных. Порядок изучения понятий (выражение — уравнение — функция) оправдан и проверен временем.

Учебники Ш.А.Алимова и др. (под ред. А.Н.Тихонова) [10] возникли когда-то на волне критики первых результатов реформы 60–70-х годов. Как пробные учебники они широко экспериментировались в стране. Курс в целом имеет алгоритмическую направленность. Большое внимание уделяется практическому применению изучаемого материала. Здесь другая терминология: «выражения с неизвестными», «уравнение с неизвестным». Многочлены и алгебраические дроби изучаются в рамках одного года, что представляется более удачным.

Учебники отличаются простыми учебными текстами, в них, как и учебниках [9], большое внимание уделено мотивации введения новых понятий. Объяснение нового материала чаще всего начинается с разбора решения задачи практического содержания.

Учебники под ред. Г.В.Дорофеева [11] продолжают упомянутую линию учебников [4] для 5–6 классов. В них снято прежнее разделение содержания обучения между блоками классов 5–6 и 7–9. Некоторый материал, изучавшийся раньше в 5–6 классах, перенесен в следующие классы. В рамках одной авторской линии учебников такой подход ничего не разрушает. Но, как нам представляется, пока в школе есть широко применяемые учебники, написанные отдельно для 5–6 и для 7–9 классов, переносить такой подход на все учебники, фиксируя его в программе, не стоит. А это уже сделано.

По последовательности изучения основных вопросов учебники [11] напоминают учебники [9], но некоторые умения формируются по ним позже, чем по учебникам [9]. Например, системы линейных уравнений перенесены из 7-го класса в 8-й, дробные уравнения — из 8-го класса в 9-й.
Учебники [11] пронизывает линия «Анализ данных», из которой в 9 классе приведем названия трех пунктов:
5.1. Как исследуют качество знаний школьников?
5.2. Удобно ли расположена школа?
5.3. Куда пойти работать?

Изучение этих вопросов и некоторые другие причины привели к переносу в 10-й класс тем «Корень степени n» и «Тригонометрия» в одном учебнике, что вызвало перегрузку во всех старших классах страны, так как авторы учебников [11] являются авторами программ по математике. Программ, которым обязаны подчиняться авторы всех учебников, даже если они умеют писать учебники без переноса указанных тем.

Учебники серии «МГУ — школе» С.М.Никольского и др. [12] начинаются в 7 классе темой «Действительные числа», подводящей итог предшествующему изучению арифметики и закладывающей фундамент для дальнейшего изучения математики. Это единственный учебник, в котором изучение действительных чисел предшествует изучению всего алгебраического материала и функций, что дает возможность в дальнейшем сделать более точными рассуждения, связанные с построением графиков функций, с определением квадратного корня и т. п., так как числовая ось перестает быть «дырявой» — каждой ее точке соответствует действительное число.

Изложение алгебраического материала в 7 классе ведется алгебраическими методами (алгебраический подход). Изучаются многочлены, алгебраические дроби линейные уравнения и их системы, в 8-м — функции, квадратные корни, квадратные и рациональные уравнения, в 9-м — решение неравенств, прогрессии, корни степени n, элементы тригонометрии. Если, следуя учебнику, не переносить две последние темы из 9-го класса в 10-й (как это делают в Москве при работе по большинству учебников), то в старших классах не будет ощущаться перегрузки, о которой сказано выше. Учебники [12] содержат весь материал, необходимый для классов с углубленным изучением математики.

Обратим внимание на проблему, возникшую в последние годы в связи с все более частым использованием производной для изложения основного учебного материала в учебниках физики. Дело в том, что последовательное развитие содержания учебников [20] и [22] приводит к появлению производной только в 11 классе. Возникшую проблему можно решить введением производной уже в 9 классе на примере производной линейной функции и квадратного трехчлена. Пример такого изложения материала имеется в учебнике для 9 класса серии «МГУ — школе». Он дан как необязательный материал (для классов с углубленным изучением математики).

Учебники А.Г.Мордковича [13] — первые из серии учебников, дополненных позднее учебниками [23] и [8]. Основные идеи автора были сначала реализованы в них. Это идеи математического языка и математической модели, постоянные разговоры о которых мало что объясняют ученикам, но заметно увеличивают объем учебников. А по математическому содержанию учебники мало отличаются от учебников-предшественников.

Учебники разделены на собственно учебники и задачники. Авторская идея использования учебников заключается в том, что ученик сначала читает дома подробное изложение материала с авторскими пояснениями и отступлениями, а потом в классе обсуждает прочитанное с учителем.

Авторское видение учебников проясняют предисловия к ним. Только теперь, видимо, настала пора перенести из учебников в методические материалы для учителя (если не снять вовсе) неуместные во введении к учебнику оценки его литературного стиля, да еще в противопоставлении с другими учебниками. При чтении весьма недружественных заявлений об учебниках других авторов вспоминается слышанное как-то изречение Г.Форда: «Не ругайте конкурентов, совершенствуйте собственную продукцию».

Здесь же в предисловии излагается авторская концепция учебников, объясняется, что такое настоящее проблемное изложение материала, а не псевдопроблемность, «которую под видом проблемности ангажируют современные методики». Из предисловия мы узнаем также, что из традиционных для любого обучения вопросов: что? как? зачем? в учебниках [13] на первое место ставится вопрос зачем? Автор почему-то обходит молчанием вопрос почему? Но об авторской концепции спорить не приходится.

Основная схема построения материала в учебниках такова: функция — уравнение — преобразования. Она отражает функциональный подход к развитию материала в учебниках данной линии.

Учебники К.С.Муравина и др. [14] следуют давней традиции начинать изложение нового материала, как правило, с мотивирующей задачи. Способ ее решения рационализируется и формулируется в виде пошагового алгоритма решения типовых задач. Теоретический материал разделен на основной, предназначенный всему классу, и дополнительный, предназначенный учащимся, проявляющим интерес к математике.

В учебниках взаимосвязанные между собой вопросы иногда изложены отдельно, в последовательности, которую можно было бы изменить, не ухудшив внутрипредметные связи излагаемого материала. Например, действия с многочленами, дающие аппарат для тождественных преобразований и решения уравнений, изучаются после тождеств и тождественных преобразований. Алгебраические дроби, их сокращение появляются сначала в 7 классе, а потом более подробно изучаются в восьмом.

Система упражнений учебника содержит большое количество задач разного уровня сложности, имеющих соответствующую маркировку. По каждой крупной теме в учебнике имеется домашняя контрольная работа, имеются задания для самостоятельных исследовательских работ, практикумы по решению текстовых задач.

Геометрия (7 – 9 классы)

Учебника А.В.Погорелова [15] формально в «Перечне» нет, так как на момент утверждения этого документа новый вариант учебника (отдельно для 7–9 классов) еще не прошел экспертизу. В данный момент он имеет гриф Министерства и работать по нему можно. Это широко известный учебник, в котором реализован аксиоматический подход. Привлекательность учебника [15] связана, видимо, с тем, что он является развитием хорошо продуманных учебников и задачников прошлых лет. Но самое трудное для учащихся и учителя при работе по этому учебнику — это отслеживание порядка вершин треугольников при обсуждении их равенства и подобия, довольно сложные для учащихся доказательства первых теорем (например, признаков равенства треугольников).

Эти трудности как раз и произрастают из желания автора все вывести из аксиом и не пользоваться, например, наложением треугольников при доказательстве признаков равенства. Обучающий и воспитательный эффект от такого способа обучения не сопоставим с теми трудностями, которые испытывают учащиеся и учителя.

Учебник Л.С.Атанасяна и др. [16] отличается более спокойным отношением к лозунгу «в геометрии все должно быть доказано!» В частности, упомянутые признаки равенства треугольников доказываются наложением треугольников, что представляется оправданным на ранней стадии освоения учащимися нового предмета. Некоторые теоретические факты, используемые в дальнейшем изложении почему-то даны не в виде теорем, а в виде задач, на которые труднее ссылаться. Теоремы о средней линии треугольника и трапеции могли бы появиться раньше. Но этот момент учитель при желании может компенсировать, предложив учащимся другой способ доказательства в начале 8 класса, а вот изучение площади до подобия оправдано (в учебнике [15] порядок обратный).

Одной из особенностей учебника И.Ф.Шарыгина [17] является отказ от аксиоматического подхода. В нем уменьшена роль формально-логических рассуждений, больше внимания уделено методам решения задач. Наглядно-эмпирическое построение курса позволяет на раннем этапе обучения решать содержательные, интересные и красивые задачи.
Планиметрические задачи рассматриваются не только на плоскостных, но и на пространственных объектах. Это дает возможность не тормозить формирование пространственного (трехмерного) видения геометрических объектов, пространственного мышления школьников, а развивать их. Этому способствует продуманное использование наглядности в учебнике.

Учебник И.М.Смирновой и др. [18] следует традициям преподавания геометрии в школе, идущим от классических учебников А.П.Киселева. В нем реализован аксиоматический подход. Аксиомы вводятся постепенно по мере необходимости. Для упрощения некоторых доказательств авторы используют несколько избыточную систему аксиом, что в рамках первоначального изучения геометрии оправдано. Однако и здесь, как и в учебнике [15], надо следить за порядком вершин в обозначении треугольника.

В качестве дополнений к классическим вопросам планиметрии в учебнике содержатся материалы научно-популярного характера (графы, теорема Эйлера, проблема четырех красок и др.). Учебник завершается материалами по стереометрии, что позволяет распространить изученные понятия и свойства на случай пространства, готовить учащихся к изучению стереометрии в старших классах.

Алгебра и начала анализа (10 – 11 классы)

Учебник А.Н.Колмогорова и др. [19] — самый первый учебник для старшей школы, написанный после реформы 60–70-х годов. Это учебник «для всех», он отличается простотой учебных текстов, имеет достаточное число пояснительных примеров. Он хорошо известен учителям. Последовательность изучения некоторых тем могла бы быть лучше. Из-за того, что логарифмы вводятся на втором году обучения тема «Производная» оказывается разорванной. В учебнике еще не нашло отражение усиление требований конкурсных экзаменов к технике решения уравнений, неравенств, систем.

В учебнике Ш.А.Алимова и др. [20] продолжается развитие идей, заложенных авторами в учебники [10] для 7–9 классов. В этом учебнике, в отличие от учебника [19], в 10 классе функции изучаются элементарными средствами, а производная изучается в 11 классе, где она применяется для изучения функций, исследование свойств которых элементарными средствами затруднительно. Система упражнений в учебнике расширена, выделены три уровня сложности.

Основная содержательная линия учебника М.И.Башмакова [21] — исследование функций. Она изложена достаточно подробно и обеспечивает решение всех традиционных типов задач. Построение учебника необычное. В каждой главе излагается теория, при этом автор часто не входит в подробности и тонкости доказательств, иногда даже просто сообщая факты без доказательств. Это позволяет ему дать правильное первичное представление об изучаемом понятии, но этого, видимо, не достаточно при обучении сильных учащихся, ориентированных на глубокое овладение предметом.

Требования к результатам изучения представлены в учебнике в виде таблиц, содержащих разделы: овладение теорией, применение алгоритмов (иногда и приложения). Эти требования разбиты на три уровня: минимальный, основной и углубленный. Причем обязательным для всех учащихся считается основной уровень, фиксирование минимального уровня позволяет автору выделить главное в содержании изучаемого материала. Углубленный уровень нацеливает учащихся, заинтересованных в изучении математики, на дальнейшее изучение предмета. Разбиение это условно, но применительно к алгоритмам оно конкретизируется номерами заданий учебника, что дает ученику средство для ориентировки в материале.

В учебнике имеются контрольные задания трех уровней сложности, лабораторные работы, задачи на повторение, исторические сведения и другие материалы.

Учебников серии «МГУ — школе» С.М.Никольского и др. [22] в «Перечне» нет, так как на момент утверждения этого документа учебник для 11 класса еще не прошел экспертизу. В настоящее время он имеет гриф Министерства и работать по этим учебникам можно. Учебники для 10–11 классов нацелены на подготовку учащихся к поступлению в вуз и к обучению в вузе. Это единственные двухуровневые учебники, предназначенные для обычных классов, в которых дополнительные вопросы не изучаются и пропускаются сложные задачи, а также для классов с углубленным изучением математики.

Изложение материала подробное, с большим числом решений типовых задач. В отличие от учебника [19] логарифмы изучаются в 10 классе. Здесь же изучаются простейшие показательные и логарифмические уравнения и неравенства. А в 11 классе излагаются все вопросы, касающиеся исследования функции элементарными средствами, производная, интеграл. Учебник для 11 класса заканчивается главой, в которой рассматриваются общие способы решения уравнений, неравенств, систем.

В учебники [22] включены разделы «Задания на повторение», содержащие как задачи для текущего повторения, так и задания конкурсных экзаменов в различные вузы страны.

Ведущей линией учебника А.Г.Мордковича [23] является функционально-графическая линия. Последовательность изложения некоторых вопросов знакома учителям по учебникам [19]. Например, производная показательной функции изучается после того, как закончено изучение производной и интеграла. Логарифмы появляются поздно. От учителя потребуются определенные усилия, чтобы приучить школьников вопреки учебнику при решении тригонометрических уравнений и неравенств писать, что n — число целое.

Автор и этот свой учебник считает пособием для неспешного домашнего чтения. Как и в книгах для 7–9 классов он делает много отступлений и замечаний. И здесь сохранено авторское замечание о стиле его учебника.

Учебники Ю.М.Колягина и др. [24] является расширенным вариантом учебника [20] , в котором больше внимания уделено вопросам исследования функций, внесены элементы теории вероятностей, комплексные числа, что должно обеспечить потребности профильных классов. В идейном отношении и в порядке развития содержания он достаточно близок учебнику [20].

Физико-математический профиль

Учебники Н.Я.Виленкина и др. [25] используется в классах с углубленным изучением математики давно и хорошо известны учителям. Последовательность изложения некоторых вопросов такая же, как в учебниках [19] и [23]. Сначала изучается производная, ее приложения, потом интеграл, лишь затем показательная и логарифмическая функции и их производные.

При этом введение логарифмов несколько формалистично. Сначала вводится натуральный логарифм как значение интеграла с переменным верхним пределом, потом число е как число, натуральный логарифм которого равен 1, потом логарифмическая функция по произвольному основанию, ее свойства и график. Появление логарифмов несколько запаздывает, а ввести их можно проще и без ущерба для формирования теоретического мышления старшеклассников.

Гуманитарный профиль

Учебники А.Л.Вернера и А.П.Карпа [26] нетрадиционны для отечественной школы. В них предпринята смелая попытка изложить математику (алгебру, начала анализа и стереометрию) так, чтобы весь материал можно было изучить за 3 недельных часа. Разумеется, за смелость приходится платить резким снижением уровня обоснованности при изложении многих вопросов.

Можно спорить о том, полезно ли учащимся гуманитарных классов обходиться без определения параллельных прямых и говорить об изображении фигур на плоскости, не имея параллельного проектирования, перпендикулярности прямой и плоскости. Но введение объема в гуманитарном классе через интеграл кажется слишком смелым и противоречащим авторскому замыслу не входить, по возможности, в подробности и технические сложности при ознакомительном изложении изучаемого материала. Дело в том, что такое введение объема уместно, скорее, в классе с углубленным изучением математики, что и реализовано с участием А.Л.Вернера в учебнике [31] для 11 класса.

Возможно, описательное изложение математики, предпринятое в учебниках [26] , окажется кому-то полезным, со временем это выяснится. Но чего не следует делать заведомо, так это переводить на обучение по данным учебникам все общеобразовательные классы, которые не станут профильными. Именно это планируют «реформаторы» математического образования, но не авторы учебников.

Геометрия (10 – 11 классы)

Учебника А.В.Погорелова [27] в перечне нет, так как на момент утверждения этого документа новый вариант учебника (отдельно для 10–11 классов) еще не прошел экспертизу. В настоящее время он имеет гриф министерства и работать по нему можно. Учебник хорошо знаком учителям.

Усвоение первых тем по этому учебнику затрудняется тем, что основные изучаемые геометрические объекты — точки, прямые и плоскости — «висят» в пространстве, не имея опоры в виде знакомых с детства геометрических тел. Но опытные учителя умеют компенсировать этот недостаток, иллюстрируя изучение теории с помощью геометрических тел и решая с опережением на год простейшие задачи на построение сечений.

Учебник Л.С.Атанасяна и др. [28] является продолжением и развитием учебника для 7–9 классов того же авторского коллектива. Изложение теоретического материала более формально и строго, чем на предыдущей ступени обучения. Теоретические тексты кратки и доступны. Система упражнений последовательна, содержит задачи разного уровня сложности, примеры решения наиболее важных задач. Имеются дополнительные задания. Основные теоретические факты в начале курса стереометрии изучаются с опорой на геометрические тела, что повышает доступность материала, а значит и результативность обучения.

Учебник А.Д.Александрова и др. [29] написан просто и кратко, в нем реализован аксиоматический подход к построению теории. В теоретической части учебника выделены основные теоремы, из которых остальные теоремы получаются как следствия. В учебнике обращается внимание на практическое применение геометрии, на ее связь с искусством, архитектурой. Авторы представляют геометрию как живую, развивающуюся науку, ведущую свою историю от египетских землемеров и геометров Древней Греции.

После теоретического материала имеются задания для самоконтроля по теории и различные задачи, среди которых выделены важные задачи, используемые при решении других задач. Главы заканчиваются списком задач, с помощью которых можно повторить содержание главы.

Учебник И.Ф.Шарыгина [30] реализует авторскую, наглядно-эмпирическую концепцию построения школьного курса геометрии. Он является продолжением учебника [17]. Его характеризует отказ от аксиоматического метода и акцент на использование наглядных методов в процессе построения теории и решения задач. В учебнике нетрадиционно изложены многие необходимые теоретические факты. Их доказательства оригинальны и, что немаловажно, красивы. Учебные тексты написаны хорошим литературным языком.

Теоремы в учебнике нацелены не столько на «прохождение программы», сколько на создание необходимого запаса сведений для решения задач. Особое внимание уделяется методам решения задач. Например, весьма интересно изложен раздел «Объемы», в котором имеются теоремы, обычно не рассматриваемые в школе. Доказательство этих теорем поучительно само по себе, а владение ими позволяет решать довольно трудные задачи.

Система упражнений в учебнике позволяет реализовать идею уровневой дифференциации. Здесь есть задачи, отмеченные звездочкой, предназначенные для углубленной подготовки; специально выделены полезные (п), важные (в) и трудные (т) задачи.

Физико-математический профиль

Учебники А.Д.Александрова и др. [31] для 10 и 11 класса хорошо известны учителям, работающим в классах с углубленным изучением математики. Теперь они выпущены отдельными книгами с некоторой переработкой задачного материала. Все задачи распределены по рубрикам: «Дополняем теорию», «Доказываем», «Исследуем», «Рассуждаем», «Планируем», «Разбираемся в решении», «Участвуем в олимпиаде» и др., что позволит учащимся лучше ориентироваться в задачном материале.

Естественно-научный профиль

Учебник И.М.Смирновой и В.А.Смирнова [32] для естественно-научного профиля является одним из учебников, написанных И.М.Смирновой и В.А.Смирновым. Эти учебники объединяет авторский подход к геометрии как науке и учебному предмету, а отличия учебников связаны с теми учебными задачами, которые ставятся в том или ином профиле. Так учебник для естественно-научного профиля позволяет углубить знания учащихся по геометрии, в нем расширен материал о многогранниках, например, имеется теорема Эйлера, учебные пункты, посвященные правильным, полуправильным, звездчатым многогранникам, многогранникам, вписанным в сферу, описанным около сферы и т.п. Больше внимания в учебнике уделено изучению кривых и поверхностей, рассматриваются аналитические способы задания фигур. Наряду с декартовыми координатами в пространстве используются полярные и сферические координаты.

Гуманитарный профиль

В учебнике И.М.Смирновой и В.А.Смирнова [33] реализован курс несколько меньший по объему, чем в обычных классах, он рассчитан на 2 ч в неделю в течение полутора лет. В нем сохранены основные вопросы традиционной программы по стереометрии. При этом устранены излишняя детализация и теоремы, играющие вспомогательную роль.

Гуманитарная направленность курса поддерживается за счет вопросов исторического, философского и мировоззренческого характера, рассмотрения приложений геометрии. При этом курс логически связан, содержит необходимые определения, свойства, теоремы и их доказательства. Большую роль в учебнике играет наглядность.

Завершая обзор учебников, хочется подчеркнуть важность сохранения их многообразия. Необходимо предоставить авторам возможность общаться с учителями и совершенствовать свои учебники. Тогда, возможно через сотню лет, какие-то из перечисленных учебников будут вспоминать как легенду.

Опубликовано: «Школьное обозрение», 2002, № 5.  

Наступим ли еще раз на грабли, реформируя школу?

26.04.2017

В первом номере журнала «Школьное обозрение» опубликована статья А.М.Абрамова о реформе математического образования конца 60-х годов. Эта статья и бурная практическая деятельность по подготовке к проведению новой реформы заставляют задуматься. Не наделать бы новых ошибок с введением 12-летней школы в ходе этой реформы, не наступить бы еще раз на те же грабли! В преддверии перемен было бы полезно проанализировать итоги прежней «несчастливой реформы», как ее назвал А.М.Абрамов. К этому я и призываю читателей журнала.

На мой взгляд, одна из ошибок прежней реформы математического образования заключалась в упразднении курса арифметики. Царицу наук лишили ее трона, и последствия, которые предсказывались уже тогда, были печальны. Нет, вычислениям с обыкновенными и десятичными дробями обучают и сейчас, но как — это тема отдельного разговора. Вторая ошибка заключалась в ранней алгебраизации процесса решения задач, которая привела к утрате традиционной методики обучения решению текстовых задач. К.И.Нешков (автор первых вариантов учебника Н.Я.Виленкин и др.) в своей статье приводил слова одного из идеологов прежней реформы математического образования А.И. Маркушевича: «… роль арифметики в качестве первоначального введения в математику до сих пор несколько преувеличивалась». Развивая эту мысль, Константин Иванович писал: «Даже та исключительная роль «развития сообразительности и смекалки», которая приписывалась арифметическим задачам, оказалась преувеличенной. В результате анализа «сообразительности и смекалки» и выделения их составных частей [? — А. Ш.] оказалось, что с этой ролью могут справиться не только арифметические задачи. На один из первых планов А.И.Маркушевич выдвинул изучение понятий «множества» и «соотношения» …».

Как школа пережила внедрение «множеств» и «соотношений» напоминать не нужно. Той и другой ошибки можно было избежать, если бы предложения обсуждались широко и организаторы реформы больше прислушивались к аргументам своих оппонентов. Но в нашей стране, похоже, прав не тот, кто прав, а тот, кого назначили быть правым. Сегодня я остановлюсь на проблеме обучения решению текстовых задач, методика работы с которыми в ходе той реформы была кардинально пересмотрена.

В последние годы самые сильные отрицательные эмоции у учащихся на уроке математики вызывает задание: решите задачу. Примерно половина из них на контрольной работе или на экзамене даже не приступает к решению так называемых текстовых задач. Почему так происходит? Зачем надо обучать детей решению текстовых задач и как это делать? — вот вопросы, которых мы коснемся в настоящей заметке.

В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи занимали особое место и это почти исключительно российский феномен. В других странах никогда не были так озабочены обучением детей решению задач. Почему так происходило?

Одна из причин заключается в том, что исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания с их решениями. Обученным считался тот, кто умел решать задачи определенных типов, встречавшихся на практике (в торговых расчетах и пр.). Так было и в России. В наиболее известном российском учебнике «Арифметика» Л.Ф.Магницкого (1703) дроби рассматривались как именованные числа (не просто 1/2, а 1/2 рубля, пуда и т.п.), а действия с дробями изучались в процессе решения задач. Эта традиция сохранялась довольно долго. Даже много позже встречались задачи с неправдоподобными числовыми данными типа «Продано 3 ¹⁷/₁₉ кг сахара по 2 ¹/₁₇ рубля за килограмм…» или «Заяц в 1,35 часа пробегает 14,13855 км…», которые были вызваны к жизни не потребностями практики, а потребностями обучения вычислениям.

Обучение велось по образцам, ученики подражали учителю, не всегда понимая сути выполняемых ими вычислений. Считалось, что понимать-то едва ли нужно было. «Это ничего, что ты ничего не понимаешь, ты и впереди также многого не будешь понимать», — утешал бывало наставник своего питомца и вместо понимания рекомендовал не заноситься, а выучить наизусть все, что задают, и потом стараться применить это к делу. Так описывал школьную практику давних лет В.Беллюстин в книге «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» (1923).

Со временем работа с задачами совершенствовалась, она была выстроена в систему, оказывавшую определенное воздействие на развитие мышления и речи учащихся, развивающую их смекалку и сообразительность и показывающую связь изучаемого с практикой.

Работа над развитием речи учащихся в процессе обучения решению задач оказалась полезной, учитывая богатство и сложность нашего великого и могучего языка. Она развивала язык общения и обучения, готовила учащихся к изучению математики и смежных дисциплин. В этом, по-видимому, кроется одна из причин большого внимания к решению задач в традиционной отечественной методике.

К середине XX века сложилась развитая типология задач, включавшая задачи на части, на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их отношению и сумме (разности), на дроби, на проценты, на совместную работу и пр. Методика обучения решению задач была разработана достаточно хорошо, но ее реализация на практике не была свободна от недостатков. Критики традиционной методики обучения решению задач в то время обоснованно отмечали, что учителя, стремясь ускорить процесс обучения, попросту натаскивали учащихся на решении типовых задач, как бы следуя своим давним предшественникам.

Спору нет, не все было гладко с обучением решению задач. Методика и школьная практика нуждались в совершенствовании. Это и предполагалось осуществить в ходе реформы школьного математического образования конца 60-х годов. Тогда считалось, что раннее введение уравнений позволит по-новому организовать обучение решению задач, что учащимся будут раскрыты преимущества алгебраического способа решения перед арифметическим, а в дальнейшем предполагалось предоставить право выбора способа решения задачи самим учащимся. Это написано в объяснительной записке к программе по математике для 4–5 классов на 1971/72 учебный год. Хотели как лучше, а получилось … как всегда, т.к. на практике новые идеи не реализовывались уже потому, что способ решения задачи выбирали не ученики, а авторы единственного тогда учебника. Традиционных арифметических способов решения задач больше не изучали. В самом начале 4 (теперь 5) класса учащихся ориентировали на решение задач с помощью уравнений. Такое отношение к арифметическим способам решения задач отражало мнение многих методистов и авторов учебников. Даже через двадцать лет после начала реформы Н.Я.Виленкин писал: «Следует отказаться от многих разделов, сохраняющихся в школьном курсе математики лишь по традиции. Здесь придется ломать сопротивление тех методистов, которые и по сей день восхваляют решение задач арифметическим способом…» (Математика в школе, 1988, № 4).

А в те годы ведущие методисты пришли к мнению о нецелесообразности и даже вредности решения задач арифметическими способами. Свидетельство тому находим у Ю.М. Колягина: «Заметим, что старые традиции весьма живучи и способны к такой внешней трансформации, что иногда их трудно распознать. Отрицательная обучающая роль типовых арифметических задач признана всеми. Однако не уготована ли та же участь задачам на составление уравнения?» (Советская педагогика, 1974, № 6). Волнения о задачах, решаемых с помощью уравнений, оказались преждевременными, но роль алгебраического способа решения задач в учебном процессе была явно преувеличена именно потому, что из школьной практики были удалены арифметические способы решения задач.

Математиков-методистов почему-то волновало не влияние работы с задачами на развитие мышления и речи обучаемых, на развитие их смекалки и сообразительности (этот момент, как уже сказано выше, был поставлен под сомнение), а формирование в процессе работы с типовыми задачами «таких умений и навыков, которые в дальнейшем почти не находят практических приложений; отсутствие в школьном курсе математики задач, решение которых могло бы подготовить школьника к деятельности, характерной для современного производства: наладке, управлению, контролю, регулированию, рационализации и т.п. …» (Ю.М.Колягин. Советская педагогика, 1974, № 6). Такое упрощенное понимание роли и места задач в школьной математике и вера в их влияние на воспитание учащихся преобладали долгие годы.

Опытные учителя и молодые ученые шли еще дальше, они тоже стремились приблизить школу к жизни с помощью задач. Весьма своеобразно. Приведу два примера из моей коллекции. В книге серии «Проблемы школьного учебника. Выпуск 12» я нашел такую задачу В.К.Совайленко:

«Чтобы образовался 1 кг молока, через вымя коровы должно протечь 500 кг крови. Для получения от коровы за сутки 20 кг молока, сколько т крови протечет через ее вымя? Сколько раз за сутки пройдет кровь через вымя коровы, если у коровы 40 кг крови?»

А вот пример экологического воспитания через задачу из одного научного сборника:

«Один кубометр неочищенных сточных вод в среднем загрязняет
12,5 м³ чистых. Вычислить, сколько кубометров неочищенных сточных вод достаточно для того, чтобы загрязнить водный бассейн, находящийся в вашем школьном саду? Проследить, в течение какого времени это произойдет».

Приведенные образцы, конечно же, представляют особый, вырожденный случай, но они отражают направление, в котором пытались много лет совершенствовать методику обучения решению задач. Это так называемое «приближение школы к жизни».

Вместо того чтобы попытаться понять, зачем нужны арифметические способы решения задач, найти разумное сочетание этих способов и использования уравнений, вместо того, чтобы сохранить лучшее из традиционной методики, авторы учебников искоренили саму методику. Это напоминало лечение головной боли отсечением головы. Почему так произошло? Трудно объяснить.

Соавторы Н.Я.Виленкина по первому варианту ныне действующего учебника К.И.Нешков и А.Д.Семушин, критикуя практику обучения решению задач до введения их учебника, совершенно справедливо задавались вопросом: «Разве возможно проявление хотя бы незначительных элементов сообразительности при решении задач по заученной схеме?» Ответ напрашивался сам собой: «Невозможно!» … Но правда заключается в том, что правильная методика обучения никогда и не требовала решать задачи по заученной схеме, т.е. менять надо было не методику, а негодную практику ее применения. Думается, обучение решению задач никогда не было простым делом, даже тогда, когда обучались не все дети школьного возраста. А с ростом всеобуча и превращением учительской профессии в массовую методисты того времени не нашли ничего лучше как механизировать трудоемкий процесс решения задач — дать один универсальный способ для решения разнообразных задач. Они сделали ставку на уравнение — и ошиблись.

Что же мы имеем теперь? Указанные выше недостатки реализации традиционной методики обучения решению задач, связанные с разучиванием различных способов решения, не преодолены и теперь. Разница только в том, что типовых задач стало меньше, а опыт мыслительной деятельности школьников — беднее. А дети, как и в прежние годы, все равно выделяют для себя типы задач.
Как рассказала нам коллега, в группе отстающих школьников ее попросили однажды: «Научите нас, пожалуйста, решать задачи «на пусть» — так дети назвали задачи, решение которых начинается фразой «Пусть х …». Теперь учителя разучивают со школьниками практически единственный способ решения задач (с помощью уравнения), но результаты обучения от этого не стали лучше. Стоит ли и дальше в обучении следовать принципу «экономии мышления»?

Сравнивая традиционное отечественное преподавание математики с американским, академик В.И.Арнольд писал: «Наше традиционное отечественное преподавание математики имело более высокий уровень и базировалось на культуре арифметических задач. Еще два десятка лет назад в семьях сохранялись старинные «купеческие» задачи. Теперь это утрачено. Алгебраизация последней реформы преподавания математики [60-х годов. — А.Ш.] превращает школьников в автоматы. А именно арифметический подход демонстрирует содержательность математики, которой мы учим» [В.И.Арнольд. Избранное — 60. — М.: ФАЗИС, 1997].

Как известно, что мышление пятиклассников (тем более, учащихся начальной школы) еще не готово к формальным процедурам, выполняемым при решении уравнений, и получает мало пользы для своего развития от работы с уравнениями. Мышление ребенка конкретно и развивать его надо в деятельности с конкретными объектами и величинами или их образами, чем мы и занимаемся при арифметическом решении задач. А волноваться за формирование способов действий, не имеющих непосредственного приложения к рационализации производства и т.п. не следует. Если хорошо продуманная и специальным образом организованная работа учителя с задачами позволит ребенку переходить от простого к сложному; опираясь на наглядность, переходить от практических действий с предметами к воображаемым действиям с данными в условии задачи величинами; обогатит его опыт мыслительной деятельности разнообразными, пусть и искусственными, приемами рассуждений, то тем самым будет достигнута истинная цель обучения, заключающаяся не столько в освоении школьниками конкретных способов деятельности, сколько в развитии их мышления и практических умений в процессе освоения этих способов деятельности.

Практическая ценность обучения школьников решению текстовых задач разнообразными способами заключается совсем не в том, что это обучение раз и навсегда вооружит их приемами решения различных задач, возникающих на практике и в дальнейшем обучении (этого, быть может, было бы достаточно во времена Л.Ф.Магницкого), а в том, что оно обогатит их опыт мыслительной деятельности. Ведь отдельный прием решения задач может быть забыт учащимися или вытеснен в дальнейшем обучении другим, более общим приемом. Но развивающиеся в процессе обучения мышление и речь, сообразительность и память помогут им не только восстанавливать утраченное, если потребуется, но и находить решения новых задач. Таким образом, в современных условиях цели обучения школьников решению задач должны включать обогащение опыта мыслительной деятельности школьников различными приемами рассуждений, воспитание у них умения ориентироваться в различных по своей природе взаимоотношениях величин. Они не должны ограничиваться минимальными потребностями практики и дальнейшего обучения или потребностями чисто арифметического характера.

Ценность многих типовых задач, решаемых арифметически, заключается совсем не в непосредственной применимости на практике способов их решения, а в их влиянии на развитие мышления ребенка, в конечном счете — в применимости на практике развитого мышления. Есть и другие соображения в пользу типовых задач.

В моей книге «Обучение решению текстовых задач. Книга для учителя» подробно описаны предложения, возвращающие нас к лучшим традициям отечественного математического образования через много лет после «несчастливой реформы». Вот некоторые из них.

Необходимо отказаться от использования уравнений на ранней стадии обучения и вернуться к более широкому применению арифметических способов решения задач, внося коррективы в традиционную методику обучения и стараясь избежать характерных недостатков ее применения.
Необходимо значительно шире, чем это делалось до сих пор, использовать «исторические» задачи и «старинные» способы их решения в работе со всеми учащимися. Это позволит разнообразить приемы решения задач, расширить представления школьников о способах их решения в далекие и не очень далекие времена, будет способствовать развитию школьников, формированию у них интереса к решению задач и к самой математике.

Наконец, необходимо отказаться от хаотичного предложения учащимся задач на разные темы, так как мы не считаем полезным для обучения каждый раз ставить в тупик наименее подготовленных из них во имя того, чтобы исключить формирование каких-то «вредных стереотипов». Вместо этого по каждой теме надо предлагать цепочки задач от самых простых, доступных всем учащимся, до сложных и очень сложных. Эти последние не всегда могут быть решены самими учащимися, они рассчитаны на разбор решения под руководством учителя.

Ради чего это я отнимаю столько времени у терпеливого читателя, пускаясь в обсуждение подробностей лишь одной маленькой методической проблемы и способа ее решения в ходе прежней «несчастливой реформы»? Хотелось бы, чтобы в ходе подготовки и при проведении новой реформы мы не наделали новых ошибок, а для этого надо внимательно изучать прежний опыт, понять его рациональное зерно, не упразднять поспешно старое, как упразднили когда-то курс арифметики и типовые задачи, которые теперь оказались востребованными. Через 30 лет. Когда прежние традиции почти утрачены.

Первые поводы для беспокойства по поводу новой реформы уже появились. В опубликованном проекте концепции математического образования в двенадцатилетней школе (Математика, 2000, № 7) записаны совершенно правильные слова о необходимости сохранения лучших российских традиций математического образования и одновременно с этим вообще ничего не сказано о текстовых задачах, которые и являются одним из традиционных элементов российского математического образования.

Впрочем, в этом документе много и других спорных мест. Так геометрия — древнейший пласт человеческой культуры — поставлена в один ряд с новомодным «анализом данных», что может привести к новой спирали отказа от традиций без должного анализа возможных последствий.

Хотелось бы надеяться на гласное обсуждение высказанных в проекте концепции предложений, на учет всех мнений, а не на поспешные решения лиц, назначенных на этот раз быть правыми. Хотелось бы, чтобы мы задумались, отправляясь по пути, указанному нашими зарубежными доброжелателями, которые почему-то хотят поднять наше образование, что неизбежно сделает Россию сильной, обороно- и конкурентоспособной. Если честно, то хотелось бы понять, зачем это им нужно? А может быть наши доброжелатели хотят обратного? Пусть об этом поразмышляют и лица, готовящие новую реформу.

Надеемся, что они хотят сделать как лучше, но надо действовать, чтобы не получилось как всегда.

Опубликовано: «Школьное обозрение», № 5–6, 1999; «Математика в школе», № 9, 2000.

Дополнение. При публикации статьи в журнале «Математика в школе» были добавлены приведенные здесь два абзаца о геометрии, которая практически уничтожалась в проекте упомянутой концепции. Это место вызвало бурю эмоций у автора концепции Г.В.Дорофеева, излившего гнев в ответе на мою статью «Куда ведет реформа?» («Математика в школе», № 2, 2002). Свой ответ Г.В.Дорофеев послал в журнал, но, к сожалению, не опубликовал. Поскольку этот ответ содержал не ответы на мои обвинения, а нападки на меня лично, да еще «пошел по рукам», то я разместил «ответ на ответ».

Как доказать неравенство или составить новое

26.04.2017

А. В. Шевкин. Решайте задачи проще!

26.04.2017

Итоги одной контрольной работы на курсах повышения квалификации учителей при механико-математическом факультете МГУ

26.04.2017