Шевкин А.В. Тест по математике за курс начальной школы. /Серия «Математика. Тесты». М.: ООО «Русское слово – учебная книга», 2002. – 16 с.
Книга содержит 4 варианта тестов для проверки готовности учащихся к обучению математике в 5 классе. Варианты имеют примерно одинаковый уровень сложности и все вместе охватывают традиционную программу по математике для 1-4 классов. В книге имеются: таблица верных ответов, инструкция для учителя. Тесты можно использовать как на выходе из начальной школы, так и в начале изучения математики в 5 классе. Назначение тестов: определение уровня подготовки школьника по курсу математики начальной школы.
438. Сейчас отцу 38 лет, сыну 15 лет, дочери 5 лет. Через сколько лет сыну и дочери вместе будет столько же лет, сколько и отцу?
439. а) У Васи было на 10 марок меньше, чем у Коли. Каждый мальчик подарил Саше по 15 марок. У Васи осталось марок в 2 раза меньше, чем у Коли. По сколько марок было у мальчиков первоначально?
б) У Маши было на 5 открыток меньше, чем у Кати. Девочкам подарили еще по 3 открытки. У Кати стало открыток в 2 раза больше, чем у Маши. По сколько открыток было у девочек первоначально?
Начиная с задачи 439 (а) составление уравнения производится кратным сравнением величин, выраженных через x.
Пусть у Васи было x марок, тогда у Коли было x + 10 марок. После того как они подарили Саше по 15 марок, у Васи стало
x – 15, у Коли x + 10 – 15 = x – 5 марок. У Васи стало в 2 раза меньше марок, чем у Коли, поэтому
2(x – 15) = x – 5,
откуда x = 25. У Васи было 25 марок, у Коли 25 + 10 = 35 марок.
440.* На станции стояло два состава товарных вагонов (все вагоны одинаковой длины). В первом составе было на 12 вагонов больше, чем во втором; когда от каждого состава отцепили по 4 вагона, то длина первого состава оказалась в 2 раза больше длины второго состава. Сколько вагонов было в каждом составе?
441.* У мальчика в коллекции было 210 российских марок и 65 иностранных. Когда ему подарили еще 25 марок, то российских марок стало в 3 раза больше, чем иностранных. Сколько российских марок подарили мальчику?
На примере этой задачи можно показать учащимся способ краткого оформления решения с помощью таблицы. Он пригодится для решении более сложных задач.
Пусть мальчику подарили x русских марок, тогда ему подарили
25 – x иностранных марок.
было
подарили
стало
Российских
210
x
210 + x
Иностранных
65
25 – x
90 – x
Остается составить уравнение 210 + x = 3(90 – x) и решить его.
442. Отцу 32 года, сыну 8 лет. Через сколько лет отец будет:
1) в 3 раза старше сына? 2) в 5 раз старше сына?
443. Брату 12 лет, он в 3 раза старше своей сестры. Через сколько лет он будет в 2 раза старше своей сестры?
444. а) Мама в 8 раз старше своей дочери, а через 4 года она будет старше дочери в 4 раза. Сколько лет дочери сейчас?
б) Брат в 3 раза старше сестры, а через 5 лет он будет в 2 раза старше сестры. Сколько сейчас лет брату и сестре?
445. Отец старше сына на 24 года. Сейчас он старше сына в 3 раза. Через сколько лет отец будет:
1) в 2 раза старше сына? 2) в 5 раз старше сына?
Завершим цепочку задач о возрастах родственников задачей из сборника задач и упражнений Е.С. Березанской.
446. Мать старше дочери в 2,5 раза, а 6 лет назад мать была в 4 раза старше дочери. Сколько лет матери и сколько лет дочери?
К этой задаче дано указание: Мать старше дочери в 2,5 раза, то есть в разности лет матери и дочери возраст дочери содержится 1,5раза (2,5 – 1). В этой же разности 6 лет назад возраст дочери содержался 3 раза (4 – 1). Значит, возраст дочери через
6 лет увеличился в 2 раза (3:1,5).
Остается добавить, что теперь дочери 6 ·2 = 12 лет, а матери 12 ·2,5 = 30 лет. Здесь как раз тот случай, когда алгебраическое решение надо признать более простым.
447. В двух бидонах 70 л молока. После того как из каждого бидона продали по 20 л молока, в одном осталось в 2 раза больше молока, чем в другом. Сколько литров молока было в каждом бидоне первоначально?
Рассмотрим пример использования таблицы для решения задачи 448, которую можно было бы решать с помощью системы.
448.* Двое ели сливы. Первый говорит второму: «Дай мне свои две сливы, тогда у нас слив будет поровну», на что второй ответил: «Нет, лучше ты дай мне свои две сливы — тогда у меня будет в два раза больше, чем у тебя». Сколько слив у каждого?
I способ. Пусть у двоих первый раз станет по x слив, тогда сначала у первого было x – 2, а у второго x + 2 сливы. Второй раз у первого станет х – 4, а у второго х + 4 слив.
станет 1-й раз
было сначала
станет 2-й раз
у первого
x
x – 2
x – 4
у второго
x
x + 2
x – 4
По условию задачи x + 4 в 2 раза больше, чем x – 4. Составим уравнение:
2(x – 4) = x + 4,
откуда x = 12. У первого было x – 2 = 10, у второго x + 2 = 14 слив.
II способ. При передаче двух слив второму у него окажется 1/2 всех слив, а при передаче двух слив первому у него окажется 1/3 всех слив (в 2 раза меньше, чем у второго). Тогда
2 + 2 = 4 сливы составляют 1 – 1/2 – 1/3 = 1/6 всех слив (рис. 7). Поэтому всех слив было
4: 1/6 = 24. У первого 1/2×24 – 2 = 10, а у второго 24 – 10 = 14.
Идею этого арифметического способа решения (для задачи 449) предложила ученица Ревякинской муниципальной гимназии Московской области (учитель Абросимова Т.В.).
Рис. 7
449.* Задача Евклида. Ослица и мул шли вместе, нагруженные мешками равного веса. Ослица жаловалась на тяжесть ноши. «Чего ты жалуешься, — сказал мул, — если ты мне дашь один твой мешок, моя ноша станет вдвое больше твоей, а если я дам тебе один мешок, наши грузы только сравняются». Сколько мешков было у каждого?
450.* Задача Бхаскары. Некто сказал другу: «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя». Друг ответил: «Дай ты мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя». Сколько было у каждого?
451.* ЗадачаЛ. Эйлера. Мул и осел несли груз весом в несколько сотен каких-то единиц. Осел,жалуясь на свою судьбу, сказал мулу: «Мне нужно только сто единиц твоей ноши, чтобы моя стала вдвое тяжелее твоей». На это мул ему ответил: «Да, это так, но если бы ты мне отдал сто единиц из твоей ноши, то я был бы нагружен втрое больше тебя». Какого веса была ноша осла и ноша мула?
452.* Мне теперь вдвое больше лет, чем было тогда, когда мой брат был в моем возрасте. Когда мне будет столько лет, сколько теперь моему брату, то нам вместе будет 98 лет. Сколько лет каждому?
453.* Задача ал-Каши. Плата работнику за 30 дней десять динаров и платье. Он работал 3 дня и заработал платье. Сколько динаров стоит платье?
454.* Из книги «Косс» К. Рудольфа (XVI в.). Некто согласился работать с условием получить в конце года одежду и 10 флоринов. Но по истечении 7 месяцев прекратил работу и при расчете получил одежду и 2 флорина. Во сколько ценилась одежда?
Пусть одежда стоила x флоринов. За 7 месяцев работник долженполучить x +10/12 ·7 флоринов, а получил при расчете x + 2 флорина. Остается приравнять полученные выражения и получить ответ 9,2 флорина.
Отметим, что задачи 453–455 имеют арифметическое решение, основанное на подсчете платы за 1 месяц (день) не по отработанному, а по оставшемуся времени. Например, в задаче 454 работнику за оставшиеся 5 месяцев предстояло заработать 10 – 2 = 8 флоринов, значит, плата за месяц составляла 8:5 = 1,6 флорина. Тогда одежда стоила
1,6·7 – 2 = 9,2 (флорина).
455.* Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Некий человек нанял работника на год, обещал ему дать 12 р. и кафтан. Но тот, отработав 7 месяцев, захотел уйти и просил достойной платы с кафтаном. Хозяин дал ему по достоинству расчет 5 р. и кафтан. Спрашивается, а какой цены тот кафтан был.
Алгебраическое решение задачи 455 приводит к уравнению x + 12/12 × 7 = x + 5, где x р. — стоимость кафтана. Ученица 6 класса школы № 679 г. Москвы Аня А. предложила вычислять стоимость одного месяца работы проще: работник не получил 12 – 5 = 7 (р.) за 12 – 7 = 5 (месяцев), поэтому за один месяц ему платили 7:5 = 1,4 (р.), а за 7 месяцев он получил 7×1,4 = 9,8 (р.), тогда кафтан стоил 9,8 – 5 = 4,8 (р.).
456.* Старинная задача. Несколько работников получило 120 р. Если б их было четырьмя меньше, то каждый из них получил бы втрое больше. Сколько было работников?
I способ. Пусть было x работников и каждый получил 120/x р. Если бы работников было на 4 меньше, то каждый получил бы 120/x– 4 р., что в 3 раза больше, чем 120/x р. Составим уравнение:
3 × 120/x = 120/x– 4 .
После деления правой и левой части уравнения на 120 становится ясно, что в задаче есть лишнее условие: 120 р. Уравнение выглядит непривычно, но решить его можно как пропорцию (по смыслу задачи x > 0, поэтому знаменатели отличны от нуля).
II способ. Пусть было x работников. Если меньшим числом каждый получил бы в 3 раза больше, то работников было бы в 3 раза меньше. То есть x – 4 в 3 раза меньше x:
x = 3(x – 4).
Если не использовать обратную пропорциональность, то задачу можно решить, введя два неизвестных.
III способ. Пусть было x работников и каждый получил по y р. Если бы работников было x – 4, то каждый из них получил бы 3y р. Оба раза все работники получили бы одну и ту же сумму:
xy = 3y(x – 4).
Здесь y ≠ 0, поэтому
x = 3(x – 4).
Осталось решить уравнение и получить ответ.
457.* Старинная задача. Принес крестьянин на рынок продавать яйца. Подходит к нему торговец и спрашивает: «Сколько стоит десяток яиц?» Крестьянин ответил замысловато: «Двадцать пять яиц без полушки стоят пять полушек без пяти яиц». Сосчитайте, по какой цене продавал крестьянин десяток яиц.
458.* Старинная задача. Двадцать пять яиц с полуденьгой стоят столько, сколько 3 деньги без 5 яиц. Сколько яиц приходится на 1 деньгу?
Пусть x денег стоит яйцо, тогда:
25х + 0,5 = 3 – 5х,
30х = 2,5.
Это означает, что 30 яиц стоят 2,5 деньги. Тогда на 1 деньгу приходится 30:2,5 = 12 яиц.
Две следующие задачи также можно решить с помощью уравнения. Их объединяет то, что обе они были опубликованы в популярной газете «Московский комсомолец».
459. За неделю до получения стипендии у четырех студентов осталось 45 р. Если бы деньги первого студента увеличить на 2 р., деньги второго уменьшить на 2 р., деньги третьего увеличить вдвое, а деньги четвертого уменьшить вдвое, то у всех четверых денег было бы поровну. Сколько денег было у каждого студента?
Для решения задачи надо обозначить через x число рублей, которое оказалось бы у каждого студента, если бы деньги первого увеличить на 2 р., деньги второго уменьшить на 2 р., деньги третьего увеличить вдвое, а деньги четвертого уменьшить вдвое. Остается выразить через x первоначальные суммы денег, составьте уравнение и решить его.
460. Три брата делили мешок яблок. Старший оставил себе на 12 яблок больше, чем дал среднему, и в 3 раза больше, чем дал младшему. Из своих яблок средний брат съел ровно в 2 раза больше, чем было дано младшему, но на 9 яблок меньше, чем старший. Сколько яблок съел старший брат, если известно, что младший съел на 42 яблока меньше, чем было дано среднему, и у него еще осталось 6 яблок?
Начиная с задачи 390 надо приучать школьников анализировать условие задачи и выбирать более простой способ составления уравнения. Например, решение задачи 390 (а) можно привести куравнению 60 – x/x = 2,а можно к уравнению 2х + х = 60.
Общее пожелание таково: если для двух величин известно отношение и сумма (разность), то первое условие надо использовать для выражения одной величины через другую, а второе — для составления уравнения.
Решите задачи 390–437 с помощью уравнения.
390. а) В книге 60 страниц. Прочитали в 2 раза больше страниц, чем осталось прочитать. Сколькостраниц осталось прочитать?
б) На автостоянке стоит 24 автомобиля, причем легковых автомобилей в 3 раза больше, чем грузовых. Сколько грузовых автомобилей стоит на автостоянке?
391. а) На двух полках 72 книги, причем на первой полке в 3 раза больше, чем на второй. Сколько книг на первой полке?
б) В двух пачках 48 тетрадей, причем в первой пачке в 2 раза больше, чем во второй. Сколько тетрадей в первой пачке?
392. а) У хозяйки было 20 кур и цыплят. Кур было в 4 раза меньше, чем цыплят. Сколько цыплят было у хозяйки?
б) У хозяйки было 16 уток и утят. Уток было в 3 раза меньше, чем утят. Сколько утят было у хозяйки?
393. а) Кусок полотна в 124 м надо разрезать на две части так, чтобы длина одной части была на 12 м больше другой. По сколько метров полотна будет в каждой части?
б) Кусок лески длиной 8,6 м надо разрезать на две части так, чтобы длина одной части была на 1 м больше другой. По сколько метров лески будет в каждой части?
394. а) В школу привезли 690 столов и стульев. Стульев было на 230 больше, чем столов. Сколько столов и стульев в отдельности привезти в школу?
б) В соревнованиях по лыжам участвовали 53 человека. Девочек было на 17 меньше, чем мальчиков. Сколько мальчиков и сколько девочек участвовало в соревнованиях?
395. Двое должны поделить между собою 15 р. так, чтобы одному досталось на 4 р. больше, чем другому. Сколько рублей достанется каждому?
Для задач 396–397 на нахождение двух чисел по их отношению и разности алгебраическое решение учащиеся усваивают обычно лучше, чем арифметическое. Можно посоветовать учащимся в том случае, когда известны разность двух величин, составлять уравнение по схеме Б – М = Р, а не Б – Р = М или Б = М + Р, где Б — большая величина, М — меньшая, Р — разность.
В первом случае неизвестное будет в одной части уравнения и оно будет проще.
396. За конфеты заплатили в 3 раза больше или на 6 р. больше, чем за печенье. Сколько заплатили за печенье?
б) За тетради заплатили в 4 раза больше или на 7 р. 20 к. больше, чем за линейки. Сколько заплатили за линейки?
397. Папа в 8 раз старше дочери, а дочь на 28 лет моложе папы. Сколько лет папе?
б) Мама в 6 раз старше сына, а сын на 25 лет моложе мамы. Сколько лет маме?
398. 1) На солнышке грелись несколько кошек. У них лап на 10 больше, чем ушей. Сколько кошек грелось на солнышке?
2) На солнышке грелись кошка и несколько котят. У них лап на 21 больше, чем хвостов. Сколько котят у кошки?
Задачи 392–398 учащиеся могут решить и арифметически. Например, задача 398 (1) решается довольно просто: у каждой кошки лап на 2 больше, чем ушей; значит, кошек 10:2 = 5.
Следующая задача тоже про кошек. И про собак. Здесь нам приятно процитировать Рэймонда М. Смаллиана, который писал: «Самым поучительным в этой задаче является то, что, хотя она легко решается посредством элементарных алгебраических выкладок, ее можно решить вообще без всякой математики — лишь с помощью рассуждений. Более того, решение, подсказанное здравым смыслом, по-моему, гораздо интереснее и уж, конечно более творческое, а также содержит больше информации, чем сугубо математическое решение». [22] Рассуждение это таково: Раздадим всем животным по 5 галет — всего 5·10 = 50 галет. Оставшиеся 56 – 50 = 6 галет надо раздать по одной собакам. Следовательно, собак 6, а кошек 10 – 6 = 4.
Однако учащиеся должны научиться решать эту задачу и с помощьюуравнения. Хотя бы потому, что в следующих задачах не всегда удастся провести такое простое рассуждение.
399. Десяти собакам и кошкам скормили 56 галет. Каждой собаке досталось 6 галет, а каждой кошке — 5. Сколько было собак и сколько кошек?
400. В хозяйстве имеются куры и овцы. Сколько тех и других, если у них вместе:
а) 19 голов и 46 ног; б) 30 голов и 74 ноги.
Приведем возможный вариант решения.
Пусть в хозяйстве было x овец, тогда кур было 19 – x. Число ног у овец равно 4x, а у кур 2(19 – x). Составим уравнение:
4x + 2(19 –x) = 46.
Здесь надо обратить внимание учащихся на то, что за x можно было обозначить число кур, тогда уравнение имело бы вид:
2x + 4(19 – x) = 46.
Нельзя сказать, что это уравнение сложнее предыдущего, но если учащиеся не хотят получать отрицательные коэффициенты при x, то следующий раз они должны думать, какую из величин удобнее принять за x.
401. У пятнадцати треугольников и четырехугольников 53 угла. Сколько треугольников? Сколько четырехугольников?
402. 1) Сумму в 74 р. заплатили девятнадцатью монетами по 2 и 5 р. Сколько было монет по 2 р.?
2) Старинная задача. Сколько будет гривенников и двугривенных[1], если разменять 27 рублей на гривенники и двугривенные так, чтобы всех монет было 170?
403. На 100 р. куплено 5 м ткани двух сортов. Известно, что 1 м ткани первого сорта стоил 17 р., а 1 м ткани второго сорта стоил 22 р. Сколько метров каждого сорта купили?
404. Куплено 2 м одной и 3 м другой ткани на 180 р. Известно, что 1 м первой ткани в 3 раза дороже 1 м второй ткани. Сколько стоит 1 м каждой ткани?
405. 8 телят и 5 овец съели 835 кг корма. За все время каждому теленку дали на 28 кг корма больше, чем овце. Сколько корма съел каждый теленок, сколько каждая овца?
Арифметическое решение задачи 405 не сложно, но неудобно, так как приходится считать, будто бы телята сначала съели разницув 28 кг, а потом ели корм с той же скоростью, что и овцы. Использование уравнения снимает трудности такого рода.
406. Доску длиной 6,75 м распилили на 2 части так, что одна из них была в 3,5 раза короче другой. Определите длину каждой части доски.
407. а) В первой вазе стояло в 3 раза больше роз, чем во второй, а в третьей — на 5 роз больше, чем во второй. Сколько роз стояло в первой вазе, если всего было 45 роз?
б) В первой вазе лежало в 2 раза больше конфет, чем в третьей, а во второй вазе — на 4 конфеты больше, чем в третьей. Сколько конфет лежало в первой вазе, если всего было 164 конфеты?
408. а) Купили краски, книгу и карандаши. Стоимость карандашей составляет 0,2 стоимости красок; книга на 20 р. дороже красок. Сколько рублей заплатили за карандаши, если книга и краски вместе стоят 64 р.?
б) Купили тетради, книгу и альбом. Стоимость тетрадей составляет 0,3 стоимости книги; альбом на 10 р. дешевле книги. Сколько заплатили за тетради, если книга и альбом вместе стоят 36 р.?
409. С трех участков собрали 237 т картофеля. С первого и второго — поровну, а с третьего участка собрали на 12 т больше, чем с каждого из первых двух. Сколько тонн картофеля собрали с каждого из трех участков?
410. Разделите число 480 на 3 части так, чтобы первая была на 40, а вторая на 80 больше третьей.
411. Веревку длиной 28 м разрезали на 3 части так, что вторая часть была в 3,5 раза, а третья в 2,5 раза больше первой. Найти длину каждой части.
412. Один человек спросил своего приятеля:
— Сколько лет твоему сыну?
— Если к возрасту моего сына прибавить столько же, да еще
половину, то будет 10 лет.
Сколько же лет сыну?
413. Одного человека спросили:
— Сколько Вам лет?
На что он ответил:
— Когда я проживу еще половину, да треть, да четверть моих теперешних лет, тогда мне будет 100 лет.
Сколько лет этому человеку?
414. Стариннаязадача. Летит стая гусей и навстречу ей гусь.
— Здравствуйте сто гусей! – сказал гусь.
— Нас не сто, — ответил вожак стаи. — Вот если бы нас было столько, еще столько, да полстолько, да четверть столько, да еще один гусь — вот тогда бы нас было сто гусей.
Сколько гусей было в стае?
С задачи 415 начинается цепочка задач, решение которых при водит к уравнению с неизвестным в правой и левой части, получаемому приравниванием двух величин, выраженных через x.
415. На двух полках 72 книги. Когда с первой полки переставили на вторую 14 книг, то книг на полках стало поровну. Сколько книг стояло на каждой полке первоначально?
416. В двух бумажниках было 250 р. Если из одного переложить в другой 25 р., то в обоих бумажниках денег станет поровну. Сколько рублей было в каждом?
417. На первом складе в два раза больше муки, чем на втором. Когда из первого склада вывезли 48 т, а из второго 11 т, то муки на складах стало поровну. Сколько тонн муки было на первом складе первоначально?
418. 1) Из двух пунктов, расстояние между которыми 96 км,
одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Скорость мотоциклиста на 50 км/ч больше скорости велосипедиста. Какой путь проехал каждый из них до встречи, если известно, что они встретились через 1,2 ч?
2) Из двух пунктов, расстояние между которыми 132 км, одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Скорость мотоциклиста в 4 раза больше скорости велосипедиста. Какой путь проехал каждый из них до встречи, если известно, что они встретилисьчерез 2,2 ч?
419.* Стрелки часов показывают полдень. Через сколько часов они встретятся в следующий раз?
Эта задача интересна тем, что ее арифметическое решение легче алгебраического. Рассмотрим оба способа решения.
I способ. Минутная стрелка догонит часовую первый раз после 1 часа, второй раз — после 2 часов, … , 11-й раз — после 11 часов: ровно в 12 часов. То есть промежуток между встречами стрелок составляет 12:11 = 11/11 ч.
II способ. Пусть первая встреча произойдет через x ч, за это время минутная стрелка сделает x оборотов, а часовая x/12 оборотов, причем минутная стрелка сделает на 1 оборот больше, чем часовая. Составим уравнение:
x – x/12 = 1;
x = 11/11.
Начиная с задачи 420 учащиеся должны освоить еще один прием составления уравнений, который заключается в выражении какой-либо величинычерез x разными способами.
420. а) Задумали число, увеличили его на 28. Оно увеличилось в 3 раза. Найдите задуманное число.
б) Задумали число, увеличили его на 35. Оно увеличилось в 6 раз. Найдите задуманное число.
421. а) Написали число, приписали к нему справа нуль. Число увеличилось на 405. Найдите первое число.
б) Написали число, оканчивающееся нулем, зачеркнули этот нуль. Число уменьшилось на 117. Найдите первое число.
422.* Старинные задачи. а) Летели галки, сели на палки: по две сядут — одна палка лишняя, по одной сядут — одна галка лишняя. Сколько было галок, сколько палок?
б) Стояли березы, летели галки. На каждую березу село по галке, и осталось 5 галок. Потом на каждую березу село по 2 галки, и осталось 5 берез без галок. Сколько было галок и сколько берез?
Решим задачу 422 (а). Пусть было x палок. Тогда число галок можно подсчитать двумя способами: 2(x – 1) или x + 1. Составим уравнение:
2(x – 1) = x + 1,
x = 3,
x + 1 = 4.
Было 4 галки и 3 палки.
423. Задача С.А. Рачинского. Я дал одному ученику 3 ореха, а всем остальным по 5. Если бы я всем дал по 4 ореха, у меня осталось бы 15. Сколько было орехов?
424. Старинная задача. Куплены тетради для учеников первого класса. Если каждому дать по 9 тетрадей, то не хватило бы семи ученикам по тетради, а потому каждый получил по 8 тетрадей, и тогда еще осталось 16 тетрадей. Сколько куплено тетрадей и сколько было учеников в классе?
425. Старинная задача. Некто, желая раздать деньги нищим, рассчитал, что если каждому дать по 15 к., то у него не хватит
10 к., а если каждому дать по 12 к., то останется 14 к. Сколько было нищих и сколько у него было денег?
426. Старинные задачи. 1) Ученики собираются выписать газету. Если они соберут с каждого по 15 к., то им не хватит 2 р., а если каждый внесет по 25 к., то получится лишних 2 р. Сколько было учеников? Сколько стоит газета?
2) В обществе желали собрать некоторую сумму денег в пользу бедного семейства. Если каждый изприсутствующих пожертвует по 1 р., то соберется на 3 р. больше предполагаемой суммы; если же каждый внесет по 50 к., то не хватит 11 р. Сколько особ было в обществе, и как велика была предположенная к сбору сумма?
427. Старинная задача (Китай, I в.). Сообща покупают вещь. Если каждый человек внесет по 8, то избыток равен 3. Если каждый человек внесет по 7, то недостаток равен 4. Спрашивается количество людей и стоимость вещи.
428. Старинная задача (Китай, II в.). Сообща покупают курицу. Если каждый человек внесет по 9 (денежных единиц), то останется 11, если же каждый внесет по 6, то не хватит 16. Найти количество людей и стоимость курицы.
Старинная задача (Китай, II в.). Сообща покупают буйвола. Если каждые семь семей внесут по 190 (денежных единиц), то недостаток равен 330. Если же каждые девять семей внесут по 270, то избыток равен 30. Сколько семей и сколько стоит буйвол?
430. Работники получили за некоторую работу по 120 р. Если бы их было на 2 меньше, то каждый из них получил бы по 150 р. Сколько было работников?
431. Бригада трактористов должна вспахать поле за 5 дней, но трактористы перевыполняли норму на 2 га каждый день, поэтому выполнили все задание за 4 дня. Сколько гектаров в день вспахивала бригада?
432. а) Поезд должен был пройти расстояние между двумя станциями за 4 ч, но был задержан на первой станции на 0,5 ч и, чтобы прибыть на следующую станцию по расписанию, машинист увеличил скорость на 10 км/ч. С какой скоростью должен был идти поезд по расписанию?
б) Трактористы должны вспахать поле за 5 дней. Увеличив выработку на 2,5 га в день, они выполнил работу за 4 дня. Какова площадь поля?
в) Токарь ежедневно перевыполняет норму на 20 деталей. Сколько деталей ежедневно обтачивает токарь, если пятидневную норму он выполняет за 3 дня?
433. Старинная задача. За 1007 р. куплена карета, сани и дрожки; цена саней составляет 2/3 цены дрожек; цена дрожек 2/3 цены кареты. Сколько заплачено за каждую вещь?
434. Старинная задача. На вопрос: «Который час?» был дан ответ: «2/5 прошедших часов от полуночи до сего времени равны 2/3 часов, оставшихся до полудня». Спрашивается, сколько сейчас времени.
435. В двух библиотеках 50000 томов. За год количество книг первой увеличилось на 5%, а второй на 6 %, так что общее количество книг увеличилось на 2 Сколько книг было в каждой библиотеке первоначально?
436. Ученик рассчитал, что стоимость одной книги составляет 70% имеющихся у него денег, а другой книги — 60%. Если бы у него было еще 18 р., то он смог бы купить обе книги. Сколько денег было у ученика?
437. Старинная задача (Греция).
— Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?
— Вот сколько, — ответил философ, — половина изучает математику, четверть музыку, седьмая часть пребывает в молчании и, кроме того, есть еще три женщины.
Сколько учеников посещали школу Пифагора?
[1] Гривенник и двугривенный – старинные названия монет в 10 и 20 к.
В этом разделе помещены задания, готовящие школьников к составлению уравнений. Требование «решите задачу, составляя числовое выражение» может показаться учащимся противоестественным, так как записывать действия с числами, составлять числовые выражения и до поры, до времени не вычислять — это искусственное усложнение работы. Но точно так же они будут поступать, когда будут работать чуть позже с буквеннымивыражениями.
Решите задачи 380–382, составляя числовые выражения.
380. 1) Купили 7 тетрадей по 50 к. и 2 ручки по 3 р. Сколько заплатили?
2) Купили 4 линейки по 40 к. и 3 угольника по 80 к. Сколько сдачи получили с 5 р.?
381. 1) Турист 2 ч ехал на поезде со скоростью 60 км/ч и 3 ч шел пешком со скоростью 5 км/ч. Какое расстояние он преодолел за все время?
2) Длина маршрута 400 км. Турист ехал 3 ч поездом со скоростью 75 км/ч и 2 ч автобусом со скоростью 70 км/ч. За сколько часов он пройдет остаток пути со скоростью 5 км/ч?
382. 1) В бригаде 8 маляров, каждый за 2 ч может покрасить 1 окно. За сколько часов бригада покрасит 24 окна?
2) Бригаде из 8 маляров нужно покрасить 40 окон. Каждый маляр за 2 ч может покрасить 1 окно. Сколько окон останется покрасить через 6 ч работы бригады?
Решите задачи 383–387, составляя буквенные выражения.
383. 1) Книга стоит x р. Сколько стоит 8 книг?
2) Купили 10 тетрадей по x к. и 3 ручки по 2 к. Сколько заплатили за всю покупку?
3) Купили x линеек по 40 к. и 4 тетради по 50 к. Сколько сдачи получили с 5 р.?
384. 1) Турист ехал x ч на поезде со скоростью 50 км/ч и шел пешком 2 ч со скоростью 4 км/ч. Какое расстояние преодолел турист за все время?
2) Длина маршрута 400 км. Турист ехал 4 ч поездом со скоростью x км/ч и 3 ч автобусом со скоростью 70 км/ч. За сколько часов он пройдет остаток пути со скоростью 4 км/ч?
385. Через одну трубу можно наполнить бассейн за a мин, через другую — за b мин. За сколько минут наполнится бассейн, если открыть обе трубы? Составьте буквенное выражение для получения ответа, найдите его значение при:
а) a = 30, b = 20; б) a = 70, b = 30; в) a = 60, b = 90.
Задача 385 хороша как для тех учеников, которые быстро справятся с предыдущими задачами и которых надо «отключить» на время для самостоятельной работы, так и для обсуждения ее решения со всем классом. С ее помощью учитель может показать школьникам те преимущества, которые дает использование букв в решении однотипных задач. Если учащиеся хорошо помнят, как они решали задачи «на бассейны», то решение по действиям можно записать с буквами, а потом составить буквенное выражение. В случае затруднений можно сначала выполнить задание 385 (а) с числовыми данными, а потом с буквами. Чтобы учащиеся лучше осознали тот факт, что в общем виде они решили целый класс однотипных задач, можно попросить их прочитать условия трех задач, которые получатся заменой букв данными числами, а также попросить их составить свои задачи и получить по готовой формуле ответы к ним (здесь можно усложнить условие: ответ должен выражаться целым числом).
Будет совсем хорошо, если учащиеся переформулируют условия задач так, что получатся задачи на движения навстречу друг другу и на совместную работу. Вся описанная работа нацелена на расширение представлений учащихся о способах решения задач, на уяснение пользы, которую они получат от применения буквенных выражений. Уровень сложности преобразования буквенных выражений не должен пугать учителя, так как преобразования
1/a + 1/b = a + b/abи 1: a + b/ab = ab/a + b
не отрабатываются в 6 классе как обязательные.
Решая задачи 386–389, учащиеся должны научиться обозначать подходящую величину через x и выражать через x другие величины в соответствии с условием задачи. Там, где это возможно сделать разными способами, лучше так и поступать, сравнивая результаты и подводя учащихся к выводу, что чаще всего бывает удобно обозначать через x меньшее число, тогда большее число будет находиться сложением или умножением.
386. Сестра нашла x грибов, а брат в 2 раза больше. Сколько грибов нашел брат? Сколько грибов они нашли вместе?
387. 1) В классе x девочек, а мальчиков на 4 меньше, чем девочек. Сколько учащихся в классе?
2) На решение примеров Вася затратил x мин, а на решение задач на 10 мин больше. Сколько минут Вася затратил на все задание?
Обозначив через x подходящую величину, выразите через x другие величины. Составьте буквенные выражения для получения ответа (№№ 388–389):
388. 1) Когда Маша прочитала несколько страниц, то ей осталось прочитать на 40 страниц больше, чем она уже прочитала. Сколько страниц в книге?
2) Когда была пройдена часть пути, то осталось пройти на 10 км меньше, чем уже пройдено. Определите весь путь.
3) В многоэтажном доме двухкомнатных квартир в 3 раза больше, чем однокомнатных. Сколько всего в этом доме двухкомнатных и однокомнатных квартир?
4) В поселке имеются только одноэтажные и двухэтажные дома. Причем двухэтажных домов в 10 раз меньше, чем одноэтажных. Сколько всего домов в этом поселке?
389. 1) Папа в 3 раза старше сына. На сколько лет сын моложе папы?
2) Дочь в 4 раза моложе мамы. На сколько лет мама старше
дочери?
3) Папа на 28 лет старше сына. Во сколько раз он старше сына?
4) Мама на 24 года старше дочери. Во сколько раз она старше дочери?
Параграф, посвященный уравнениям, не требует пространного введения уже потому, что об использовании букв и самих уравнений было много сказано раньше. Использование уравнений является новым и, безусловно, важным шагом в развитии умения школьников решать задачи, этот шаг подготовлен развитием задачного материала в предыдущих параграфах.
Использование уравнений лучше отнести на второе полугодие VI класса, к тому времени, когда действия с отрицательными числами и дробями уже будут изучены. В этом случае сами уравнения изучаются наиболее эффективно и экономно. К этому времени учащиеся должны иметь опыт решения уравнений без использования терминов «уравнение», «корень уравнения» в заданиях типа «найдите неизвестное слагаемое», «найдите x, при котором равенство верно», «решите пропорцию» и пр. А учитель должен всячески использовать этот опыт при введении новых понятий.
Выделим основные этапы, которые должно пройти формирование умения решать текстовые задачи с помощью уравнений. Прежде всего учащиеся должны решить задачи 380–389, готовящие их к использованию букв в составлении уравнений. Затем они должны научиться решать некоторые из уже известных им типов задач с помощью уравнений. При этом лучше начать с задач «на части», решение которых мало изменяется от замены «частей» на «иксы». Следует учесть, что при решении задачи «на части» учащиеся будут отдавать предпочтение старому, уже освоенному методу, поэтому в необходимых случаях потребуются специальные указания «решите задачи с помощью уравнения». Но когда учитель убедится, что новый способ решения задач уже освоен, выбор способа решения нужно оставить на усмотрение учащихся.
Следующим шагом в развитии умения решать задачи должно стать появление таких задач, решение которых арифметическим способом затруднительно или приводит к громоздким рассуждениям, тогда как использование уравнений облегчает процесс решения. Этот шаг необходим для подкрепления мотивации учения.
Наконец, учащиеся должны встретить и такие задачи, арифметическое решение которых если и возможно, то чаще всего после того, как решение будет найдено с помощью уравнения. Именно так иногда поступали учителя в те времена, когда сборники задач по арифметике были полны чересчур сложными задачами.
Какого же уровня сложности задачи должны научиться решать все школьники в 6 классе? Учитывая, что этот прием решения станет основным в следующих классах, достаточно ограничиться задачами на нахождение двух величин по их сумме и разности, по отношению и сумме (разности) — это уже известные с 5 класса задачи, решавшиеся раньше арифметически. Из новых задач нужно добавить такие, в которых величин две или больше, но решение уравнения с неизвестным в одной части уравнения не приводят к громоздким преобразованиям, а также такие, в которых неизвестное оказывается в разных частях уравнения. Задачи последнего типа, в которых одна из двух величин, выраженных через x, больше другой в несколько раз, мы считаем необязательными для 6 класса, они даны со звездочкой.
Говоря с учащимися о выборе подходящего способа решения, не следует все же формировать у них представление о некоем абсолютном преимуществе уравнений перед арифметическими способами решения задач. Скорее, следует говорить о том, что каждый способ хорош в подходящей ситуации. Подтверждения тому будут приведены ниже.
Задачи этого раздела являются необязательными для всех учащихся, среди них есть действительно сложные задачи, но есть и такие, в которых всем учащимся разобраться полезно. Это задачи на так называемые сложные проценты — проценты начисляемые на процентные деньги. Первая задача этого раздела была дана на олимпиаде Малого мехмата МГУ для семиклассников в 1991 году. Шутливое отражение в ней политических страстей того времени не должно отвлечь учащихся от важного вопроса: что получится, если число сначала увеличить, а потом уменьшить на 50%(на одно и то же число процентов). Полученный здесь опыт поможет решить и другие олимпиадные задачи.
344.* В начале года винтики, шпунтики и гаечки продавались по одинаковой цене 1 р. за 1 кг. 30 февраля Верховный Совет СССР принял закон о повышении цен на винтики на 50% и снижению цен на шпунтики на 50%. 31 февраля Верховный Совет РСФСР принял закон о снижении цен на винтики на 50% и повышению цен на шпунтики на 50%. Какой товар будет самым дорогим и какой самым дешевым в марте?
Ошибочное решение задачи 345 нетрудно предвидеть: учащиеся сложат проценты от разных величин.
345.* 1) Число увеличили на 10%, потом еще на 10%. На сколько процентов увеличили число за два раза?
2) Число увеличили на 10%, результат уменьшили на 10%. Какое получилось число — большее или меньшее первоначального? На сколько процентов?
346.* Вася прочитал в газете, что за последние 3 месяца цены на продукты питания росли в среднем на 10% за каждый месяц. На сколько процентов выросли цены за 3 месяца?
347.* Женя за весну похудел на 20%, потом поправился за лето на 30%, за осень опять похудел на 20% и за зиму прибавил в весе 10%. Остался ли за этот год его вес прежним?
Если Женя весил x кг, то после уменьшения веса на 20% он стал весить 0,8x кг, а после увеличения веса на 30% – 0,8x·1,3 кг и т. д., в итоге Женя весил 0,8x·1,3·0,8·1,1 или 0,9152x кг, что меньше x кг. Значит, Женя похудел.
348.* Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 10%. На сколько процентов увеличилась его площадь? Зависит ли результат от того, какую пару сторон увеличили на 10%?
349.* Все стороны прямоугольника увеличили на 10%. На сколько процентов увеличилась его площадь?
350.* Каждую сторону квадрата увеличили на 20%. На сколько процентов увеличилась его площадь?
351.* Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 20%, две другие — уменьшили на 20%. Как изменилась площадь прямоугольника?
352.* Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 20%, две другие — уменьшили на 10%. На сколько процентов увеличилась площадь прямоугольника?
353.* Длину прямоугольника уменьшили на 20%. На сколько процентов надо увеличить ширину прямоугольника, чтобы его площадь не изменилась?
354.* Магазин продал на прошлой неделе некоторый товар. На этой неделе запланировано продать того же товара на 10% меньше, но по цене на 10% больше. Большую или меньшую сумму выручит магазин от продажи товара на этой неделе и на сколько процентов?
355.* На некотором участке пути машинист уменьшил скорость поезда на 25%. На сколько процентов увеличится время движения на этом участке?
356.* Арбуз массой 20 кг содержал 99% воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98%. Какова теперь масса арбуза?
На первый взгляд кажется, что масса арбуза мало изменилась, но это на первый взгляд! Масса «сухого вещества» арбуза составляла 100 – 99 = 1 (%). Это 20·0,01 = 0,2 кг. После усушки его масса составляла уже 100 – 98 = 2 (%). То есть те же самые 0,2 кг составляют 2% от новой массы арбуза. Найдем эту новую массу: 0,2:0,02 = 10 (кг).
Интересная переформулировка этой известной задачи встретилась недавно на олимпиаде.
357.* Некий леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза всех успокоил, сказав: «В нашем лесу 99% сосны. После рубки сосна будет составлять 98% всех деревьев». Какую часть леса может вырубить леспромхоз?
Если бы экологи хорошо знали проценты, то они смогли бы возразить предприимчивому директору леспромхоза, планирующему вырубить как минимум половину леса – это при условии, что вырубать будут только сосны. Если же топор коснется и других деревьев, то от соснового леса можно оставить меньше половины. Ведь удовлетворить условию задачи можно, оставив в лесу 50 деревьев: 49 сосен и 1 березу.
358.* а) Яблоки, содержащие 70% воды, потеряли при сушке 60% своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные яблоки?
б) Груши, содержащие 65% воды, потеряли при сушке 50% своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные груши?
Объясняя решение задачи 358 (а), воспользуемся следующей иллюстрацией.
Вода составляла 70% массы яблок, 60 из них испарилось, а 10 осталось. Теперь 10 частей воды приходится на 30 частей «сухого вещества» яблок или на 40 частей массы сушеных яблок. Масса воды составляет 10:40 = 0,25, или 25% массы сушеных яблок?
359.* а) Сколько граммов воды нужно добавить к 600 г раствора, содержащего 15% соли, чтобы получить 10%-й раствор соли?
б) Сколько граммов воды нужно добавить к 120 г раствора, содержащего 30% сахара, чтобы получить раствор, содержащий 20% сахара?
360.* На коробке вермишели написано: «Масса нетто 500 г при влажности 13%». Какова масса вермишели, если она хранится при влажности 25%?
361.* Для получения томат-пасты протертую массу томатов выпаривают в специальных машинах. Сколько томат-пасты, содержащей 30% воды, получится из 28 т протертой массы томатов, содержащей 95% воды?
362.* Из 40 т руды выплавили 20 т металла, содержащего 6% примесей. Сколько процентов примесей в руде?
363.* Свежие фрукты содержат 72% воды, а сухие — 20%. Сколько сухих фруктов получится из
40 кг свежих?
364.* До сушки влажность зерна составляла 23%, а после сушки составила 12%. Сколько процентов массы теряет зерно при сушке?
365.* В драмкружке число мальчиков составляет 80% от числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек от числа мальчиков в этом кружке?
I способ. Число мальчиков составляют 80% от числа девочек (100%). Определим, сколько процентовсоставляют 100% от 80% :
100/80 = 100×100/80% = 125%.
II способ. Число мальчиков (m) составляют 80% от числа девочек (d), значит, m = 0,8d. Отсюда d = 1,25m, то есть число девочек составляет 125% от числа мальчиков.
III способ. На 10 девочек приходится 8 мальчиков, число девочек составляет 10/8или 125 %от числа мальчиков.
366. С 1 октября 1993 г. за хранение денег на срочном депозите в течение года Сбербанк выплачивал доход из расчета 150% от вложенной суммы; в течение полугода — 130% годовых, в течение трех месяцев — 120% годовых. Каким образом за год на условиях Сбербанка можно было получитьнаибольший доход на 100000 р.? Каков этот наибольший доход?
На первый взгляд самое выгодное вложение денег на год — под 150% годовых (через год сумма обратится в 100·2,5 = 250 тыс. р.). Но это только на первый взгляд! Давайте для сравнения положим деньги на полгода, а через полгода получим их обратно с доходом 130:2 =
= 65 (%) от вложеннойсуммы. Затем все полученные деньги положим еще на полгода. Таким образом через год мы получим:
100·1,65·1,65 = 272,25 (тыс. р.).
Это несколько больше полученной ранее суммы. Попросите учащихся провести расчеты для третьего случая. Пусть они убедятся, что знание процентов может быть полезным при выборе более выгодного способа вложения денег.
367.* Компания X выплачивает доход по своим акциям ежегодно из расчета 140% годовых. Компания Y выплачивает доход по акциям 1 раз в полгода из того же расчета. В акции какой компании выгоднее вложить деньги на 1 год?
368.* Производительность труда повысили на 25%. На сколько процентов уменьшится время выполнения задания.
369.* Если при повышении производительности труда рабочего на 10% повысить его зарплату на 6,7%, то это позволит снизить расход на оплату труда в расчете на единицу продукции на 3%. Проверьте это.
370.* Рабочий повысил производительность труда на 15%, а его зарплата увеличилась на 10,4%. На сколько процентов уменьшился расход на оплату труда в расчете на единицу продукции?
371.* Купили конфеты и печенье. За 1 кг конфет заплатили на 50% больше, чем за 1 кг печенья, но их купили на 50% меньше, чем печенья. За что заплатили больше?
372.* Кусок сплава весом 700 г, содержащий 80% олова, сплавили с куском олова весом 300 г. Определите процентное содержание олова в полученном сплаве.
373.* Имеется 500 г 40%-го раствора кислоты. Сколько воды требуется добавить, чтобы получить 25%-й раствор кислоты?
374.* В первый день рабочий перевыполнил дневное задание на 2%, во второй день он перевыполнил дневное задание на 4%. На сколько процентов рабочий перевыполнил задание двух дней?
375.* В автоинспекции города N подсчитали, что число легковых автомобилей увеличивалось в последние годы на 15% ежегодно. Во сколько раз увеличится число легковых автомобилей за пять лет, если эта тенденция сохранится?
376.* Деньги, вложенные в акции известной фирмы, приносят ежегодно 20% дохода. За сколько летвложенная сумма удвоится?
377.* В спортивной секции девочки составляют 60% числа мальчиков. Сколько процентов числа всех участников секции составляют девочки?
Если число мальчиков принять за 100%, то число девочек от него составляет 60%, а число всех участников секции 160% от числа мальчиков. 60% от 160% составляет60×100/160 = 37,5 (%). Но понять это решение из-за нагромождения процентов нелегко. Если же число мальчиков обозначитьбуквой x, то те же самые действия легче объяснить и понять. Итак, число девочек равно 0,6x, а число всех участников секции x + 0,6x = 1,6x. Определим, сколько процентов от 1,6х составляет число 0,6х:
0,6x×100/1,6x = 37,5 (%).
В некотором царстве, в некотором государстве пятиклассники стали изучать математику не 6, а 5 уроков в неделю. Кроме того, урок у них стал длиться не 45, а 40 минут. Сколько процентов учебного времени потеряли пятиклассники? Ответ округлите до десятых.
Эту задачу могли бы решить учителя математики всего несколько лет назад, чтобы объяснить себе катастрофическую нехватку времени, которая стала ощущаться в связи с указанными в условии задачи нововведениями.
Учебное время теперь составляет 5/6×40/45 = 20/27 от прежнего. Потеря составила 1 – 20/27 =
= 7/27 = 0,2592…, или примерно 25,9%.
379.* а) Торговец продал книгу со скидкой 5% от назначенной цены и получил 14% прибыли. Сколько процентов прибыли планировал получить торговец при продаже книги?
б) Торговец продал товар, имевший небольшой дефект, уступив покупателю 30% от назначенной цены. При этом он имел 16% убытка. Какой процент прибыли планировал получить торговец при продаже товара?
Рассмотрим решение первой задачи. Пусть торговец планировал продать книгу за a р., тогда он продал ее за (1 – 0,05)a = 0,95a р. Эта сумма составила 100 + 14 = 114 (%) цены, по которой торговец сам купил книгу и которая составляла 0,95а/1,14 = 5/6 а р. Подсчитаем доход, который планировал получить торговец (в процентах):
a: 5/6 a·100 = 120(%).
Торговец планировал получить 120 – 100 = 20% дохода.
Решая задачи из этого раздела, учащиеся должны освоить одну простую идею: чтобы найти процентное отношение двух чисел, т. е. сколько процентов одно число составляет от другого, можно выразить отношение первого числа ко второму в процентах. Так в задаче 336 имеем: 4/16 = 1/4 = 0,25 = 25 %.
Отметим, что в учебнике для 5 класса первая задача такого типа связана с отношением 558/1800, в котором, как и в нашем примере, числитель «хорошо» делится на знаменатель. Разбор одной такой задачи (даже с более простыми числовыми данными) не дает доказательства сформулированному выше правилу. Кроме того, следуя правилу, учащиеся не смогут, например, выразить в процентах отношение 1 к 3, т. к. с такими «нехорошими» случаями деления они не встречаются. В той же задаче 336 ответ можно получить с помощью рассуждения, дающего по сути дела обоснование и для «нехороших» отношений:
Таким образом, чтобы найти процентное отношение двух чисел, можно первое число разделить на второе и результат умножить на 100.
336. Из 16 кг свежих груш получили 4 кг сушеных. Какую часть массы свежих груш составляет массасушеных? Выразите эту часть в процентах. Сколько процентов массы теряется при сушке?
337. Сколько процентов числа 50 составляет число 40? Сколько процентов числа 40 составляет число 50?
338. а) Посадили 50 семян, 47 из них взошли. Определите процент всхожести семян.
б) В школе 400 учащихся, 12 из них учатся на «5». Сколько процентов учащихся школы учится на «5»?
339. Маша прочитала 120 страниц и ей осталось прочитать 130 страниц книги. Сколько процентов всех страниц она прочитала? Сколько процентов всех страниц ей осталось прочитать?
340. В месяце было 12 солнечных и 18 пасмурных дней. Сколько процентов месяца составляют:
1) солнечные дни? 2) пасмурные дни?
341.* На сколько процентов:
1) 50 больше 40? 2) 40 меньше 50?
50 от 40 составляет 50/40, или 125%; 50 больше, чем 40 на 125 – 100 = 25 (%); 40 от 50 составляет 40/50, или 80%; 40 меньше, чем 50 на 100 – 80 = 20 (%).
342. 1) Цена товара снизилась с 40 р. до 30 р. На сколько рублей снизилась цена? На сколько процентов снизилась цена?
2) Зарплата повысилась с 500 р. до 600 р. На сколько процентов повысилась зарплата?
В задаче 342 (1) учащимся трудно определить, какое число принимать за 100%. Нужно обратить их внимание на то число, с которым сравнивают другое число. В этом помогает переформулировка задачи: «На сколько процентов 30 р. меньше, чем 40 р.?» Сравнивают с суммой 40 р., значит, 40 р. — это 100%.
343. Зарплата мамы увеличилась на 70%, а зарплата папы — только на 60%. Означает ли это, что мама получила большую прибавку зарплаты, чем папа?
Первые задачи этого раздела также должны решаться в два действия: первым из них опять находим 1%. Следующий шаг в решении — использование деления на десятичную дробь. В процессе работысзадачамидвухпервыхразделовпараграфа нужно показатьучащимся, что задачи на проценты — это те же задачи на дроби. Поэтому они решаются умножением (делением) на соответствующую процентам десятичную дробь.
319. 1) В магазин электротоваров привезли лампочки. Среди них оказалось 16 разбитых лампочек, что составило 2% их числа. Сколько лампочек привезли в магазин?
2) Посадили семена гороха. 270 из них взошли. Это составило 90% всех посаженых семян. Сколько семян посадили?
320. а) Найдите число, 7% которого равны 14.
б) Найдите число, 13% которого равны 39.
321. а) Найдите число, 110% которого равны 33.
б) Найдите число, 150% которого равны 60.
322. Диктор телевидения сообщил, что сахарная свекла убрана с 2,8 млн га, что составляет 82% всей площади, занятой под сахарную свеклу. Какую площадь занимала сахарная свекла? Ответ округлите до десятых.
323. 60% класса пошли в кино, а остальные 12 человек — на выставку. Сколько учащихся в классе?
324. а) Цена товара повысилась на 30% и составляет теперь 91 р. Сколько стоил товар до повышения цены?
б) После снижения цены на 20% прибор стал стоить 16 р. Какова была его первоначальная цена?
в) Мальчик израсходовал 70% имевшихся у него денег, у него осталось 4 р. 20 к. Сколько денег было у мальчика первоначально?
325. Завод запланировал выпустить 10000 машин. План перевыполнили на 2%. Сколько машин завод выпустил сверх плана? Сколько машин выпустил завод?
Задачу 325 лучше решить двумя способами. Сначала следуя поставленным вопросам:
1) 10000·0,02 = 200 (маш.);
2) 10000 + 200 = 10200 (маш.),
потом задав дополнительные вопросы:
— На сколько процентов завод выполнил план?
— На 100 + 2 = 102 (%).
— Сколько машин приходится на 102% ?
— 10000·1,02 = 10200 (маш.)
Обратите внимание, учащиеся не всегда быстро выучиваются хорошо различать «выполнил на 2%» и «перевыполнил на 2%». Их можно потренировать вопросами типа: Бригада перевыполнила задание на 10%. На сколько процентов она выполнила задание? Магазин выполнил план товарооборота на 105%. На сколько процентов магазин перевыполнил план товарооборота?
326. Трава при сушке теряет 80% своей массы. Сколько тонн сена получится из 4 т свежей травы? Сколько тонн травы нужно накосить, чтобы насушить 4 т сена?
327. Масса муки составляет 80% массы перемолотого зерна. При выпечке хлеба припек составляет 40% массы взятой муки. Сколько тонн хлеба получится из 1 т зерна? Сколько зерна пошло на выпечку 3360 кг хлеба?
328. В магазин привезли овощи. В первый день продали 35% и еще 240 кг, после чего в магазине осталось 540 кг овощей. Сколько килограммов овощей привезли в магазин?
329. Цена альбома была снижена сначала на 15%, потом еще на 15 р. Новая цена альбома после двух снижений 19 р. Определите его первоначальную цену.
330. Сложили три числа. Первое составило 25% суммы, а второе — 40%. Найдите третье число,если оно на 45 меньше второго.
331. 3/5 класса пошли в кино, 15% класса — на выставку, а остальные 8 человек готовились к школьному вечеру. Сколько человек в классе?
332. 30% класса и еще 5 человек пошли в кино, а оставшиеся 3/8 класса и еще 8 человек — на экскурсию. Сколько человек в классе?
333. Одна треть рабочих предприятия имела отпуск летом, 35% остальных рабочих отдыхали осенью и еще 2314 человек отдыхали зимой и весной. Сколько рабочих на предприятии?
334. Магазин продал до обеда 20% привезенного картофеля, а после обеда — 3/16 остатка. После чего осталось продать еще 2,6 т картофеля. Сколько тонн картофеля привезли в магазин?
335. а) При продаже товара за 693 р. получено 10% прибыли. Определите себестоимость товара.
б) Колхоз продал продукции на 45 000 р. и имел 10% убытка. Какова себестоимость товара?
В этом разделе система задач строится из предположения, что первые три пункта описанного выше плана уже реализованы. Если это не так, то при изучении процентов в 5 классе нужно ограничиться решением задач с помощью рассуждений об 1 %.
Первые из задач на нахождение процентов числа, как и соответствующие задачи на дроби, надо решать в 2 действия до тех пор, пока все учащиеся поймут назначение первого шага в решении (поначалу лучше избегать задач, приводящих к результату типа «0,36 ученика»). Потом эти действия объединяются в одно выражение. Следующий шаг в решении задач на проценты – использование умножения на десятичную дробь. При работе по учебникам Н.Я. Виленкина и др. он откладывается до 6 класса.
Задачи 291–293 нацелены на обучение переходу от задач на проценты к соответствующим задачам на дроби. Сделаем оговорку по поводу записей вида 39 % = 0,39, которые имеются и в учебниках, но вызывают недоумение у многих учителей и методистов. Чаще всего говорят, что запись «39 %» является неполной, так как не сказано от чего находят проценты Забегаявперед, скажем, что мы не видим ничего крамольного в записи 120·60% = 120·0,6 =…, к которой приходим естественным образом, принимая равенство 60% = 0,6. Более того, эта запись облегчает запоминание того факта, что 60% числа x — это 0,6x.
291. Выразите в виде обыкновенной и десятичной дроби: 1%; 39%; 17%; 3%; 50%; 25%; 20%; 10%; 100%; 117%.
292. Какую часть числа составляют его 50%; 25%; 20%; 10%?
293. Выразите в процентах: 0,01; 0,99; 0,25; 0,7; 1,02; 1,21.
294.о Найдите 1% от:
а) 1 рубля; б) 1 метра; в) 1 центнера.
295.о Найдите 5%; 17%; 23% от:
а) 1 рубля; б) 1 метра; в) 1 центнера.
296. Папа вложил 500 р. в акции своего предприятия и получил 20% дохода. Сколько рублей дохода получил папа?
297. Товар стоил 500 р. Его цена повысилась на 20%. На сколько рублей повысилась цена? Какова новая цена товара?
298. Несколько лет назад сберегательные кассы выплачивали доход из расчета 2% вложенной суммы в год. Сколько рублей оказывалось на счете через год, если на него клали:
1) 100 р.; 2) 200 р.; 3) 1000 р.; 4) 12000 р.?
Задачи 299–303 нацелены на уяснение школьниками важного факта: целое содержит 100% самого себя. Если учащиеся в первой задаче этой серии начнут вычислять суммы, потраченные на каждый подарок в отдельности, то не надо им мешать — пусть это будет еще одной тренировкой в вычислении процентов. По окончании работы нужно сравнить исходную сумму со стоимостью трех подарков и задать вопрос: «А нельзя ли было ответить на вопрос задачи, выполнив меньше вычислений?» Здесь необходимо обратить внимание учащихся на лишнее условие (20000 р.), без которого можно ответить на вопрос задачи.
299. Папа потратил премию 20000 р. на подарки жене и детям. 40% этой суммы он потратил на подарок жене, 30% — сыну и 30% — дочери. Все ли деньги потратил папа?
300.о 1) 25% учащихся класса соревновались в прыжках в высоту, еще 75% — в прыжках в длину. Все ли учащиеся класса участвовали в соревнованиях?
2) Туристы проехали 80% намеченного маршрута на поезде и 15% — на автобусе. Весь ли маршрут они уже проехали?
3) Маша потратила 70% имевшихся у нее денег на книги и
30% — на тетради. Все ли деньги потратила Маша?
На задачи 301 (1, 2) нужно обратить особое внимание — при одинаковых числовых данных они описывают разные ситуации (если не считать, конечно, что Вася 10% книги читал еще раз).
301.о 1) В делегации иностранных гостей 50% говорили по-французски и 60% — по-английски. Как вы это объясните?
2) Желая блеснуть знанием процентов, Вася сказал, что 60% книги он прочитал на прошлой неделе, а оставшиеся 50% — на этой. Вася ничего не напутал?
302.о Учитель сказал: «С этой контрольной работой справились 100% учащихся нашего класса». Как это понимать?
303. а) Потратили 80% суммы. Сколько процентов этой суммы осталось?
б) Мужчины составляют 75% всех работников завода. Сколько процентов работников завода составляют женщины?
в) Девочки составляют 40% класса. Сколько процентов класса составляют мальчики?
304. 1) В магазин привезли 2500 кг помидоров. В первый день продали 30% всех помидоров. Сколько килограммов помидоров осталось продать?
2) В школе 400 учащихся, 52% этого числа составляют девочки. Сколько мальчиков в школе?
Задачи 304 (1, 2) желательно решить двумя способами.
305. Масса сушеных груш составляет 20% массы свежих. Сколько сушеных груш получится из: 100 кг; 350 кг; 25 кг свежих? Сколько процентов массы свежих груш теряется при сушке?
306. Виноград при сушке теряет 70% своей массы. Сколько килограммов изюма (сушеного винограда) получится из 100 кг; 250 кг; 80 кг свежего винограда?
307. У Алеши 80 марок, у Бори — на 20% больше, чем у Алеши. У Вовы — на 25% меньше, чем у Алеши. Сколько марок у Бори и Вовы в отдельности?
308. Что больше:
а) 30% от 40 или 40% от 30? б) 80% от 60 или 60% от 70?
309.о Определите без вычислений, что больше:
а) 12% от 34 или 13% от 34? б) 12% от 49 или 12% от 50?
310. Из «Арифметики» А.П. Киселева. Найти процентные деньги с капитала 7285 р., отданного в рост по 8% на 3,5 года.
311.о 1) Число a умножили на 0,19. Сколько сотых числа a нашли этим действием?
2) Число а умножили на 0,12. Сколько процентов числа а нашли этим действием?
312. 1) Сколько процентов числа а составляют 0,99а. На сколько процентов 0,99а меньше числа а?
2) Сколько процентов числа а составляют 1,01а. На сколько процентов 1,01а больше числа а?
313. 1) Сколько процентов числа а составляют 0,8а. На сколько процентов 0,8а меньше числа а?
2) Сколько процентов числа а составляют 1,21а. На сколько процентов 1,21а больше числа а?
314. Увеличьте число 200 на 10%. Полученное число уменьшите на 10%. Получится ли снова число 200? Почему?
315. Цена товара 1000 р. Ее увеличили сначала на 10%. Какой стала цена? Потом цену увеличили еще на 10%. Какой стала цена?
316. 1) Зарплату увеличили на 80%. Верно ли, что она увеличилась в 1,8 раза?
2) Если цена увеличилась в 2 раза, то на сколько процентов она увеличилась?
3) Цена товара увеличилась на 100%. Во сколько раз увеличилась цена?
317.* Служащая банка объяснила клиенту, что вложенная им сумма увеличится на 200%, то есть в 2 раза. В чем ошиблась служащая и как нужно исправить сказанное, если проценты указаны верно?
318.* Банк выплачивает доход по срочному вкладу из расчета 3% в год от вложенной суммы. Сколько рублей оказывалось на счете через 2 года, если на него положили 10000 р.?
Задачи на проценты традиционны для программы 5–6 классов. Обучение их решению всегда рассматривалось как необходимое условие подготовки учащихся к жизни. Так в дореволюционной школе изучение процентов было довольно тесно связано с потребностями коммерческих расчетов. Например, в учебнике А.П. Киселева разъяснялся смысл слов «должник», «заимодавец» (кредитор), «ссуда», «начальный капитал», «процентная такса», «процентные деньги», «наращенный капитал» (начальный капитал с процентными деньгами), отдать деньги «в рост». Разъяснялось различие между простыми и сложными процентами. Задачи на проценты делились на 4 группы, в зависимости от того, что неизвестно из следующих величин: a) процентные деньги или наращенный капитал, b) начальный капитал, c) процентная такса (процент за год) и d) время, в течение которого капитал находится в росте.
Задачи второй группы рассматривались двух типов: в одних
известны процентные деньги, в других — наращенный капитал.
Далее показывались образцы решения пяти типов задач, условия которых мы здесь приводим. Во всех задачах проценты применяются для денежных расчетов и рассматриваются так называемые простые проценты, т. е. не учитываются проценты, начисляемые на процентные деньги.
Задача 1. Найти процентные деньги с капитала 7285 р., отданного в рост по 8 % на 31/2 года.
Задача 2. Какой капитал, отданный в рост по 63/4%, принесет в 6 лет 8 месяцев 3330 р. процентных денег?
Задача 3. Какой капитал, отданный по 5 %, обратится через 6 лет в 455 р.?
Задача 4. По скольку процентов (по какой таксе) надо отдать капитал 15108 р., чтобы в 2 года 8 месяцев получить 2417 р. 28 к. процентных денег?
Задача 5. На сколько времени надо отдать 2485 р. по 7 %, чтобы получить 139 р. 16 к. процентных денег?
Обратим внимание на замечание в учебнике, указывающее на связь задач на проценты с ранее рассмотренными задачами: «Так как процентные деньги пропорциональны капиталу, времени и проценту, то задачи на простые проценты можно большей частью решать посредством сложного тройного правила».
Например, приведенная выше задача 1 могла быть решена так:
Со 100 р. за 1 год 8 р.
с 7285 р. за 3,5 года х р.
x = 8×3,5/1×7285/100 = 2039,8 (р.)
В послереволюционные годы новая школа уточняла цели обучения, осмысливала прежний опыт, решительно и бесповоротно расставалась со всем, что не отвечало новому пониманию задач обучения. При всей революционной категоричности авторов программы 1921 г., значительно сокративших задачный «репертуар», в программе все же записано: «… понятие о проценте и вычисление процентных отношений обязательны в школе и включены в программу».
Однако в соответствии с «правдой жизни» сфера приложения процентных расчетов была значительно сокращена, что объяснялось следующим образом: «Исчисление процентных денег с капитала или срока, в течение которого данный капитал даст определенную прибыль, представляет собою (не говоря даже о том, что современная жизнь аннулировала подобный вопрос) простенькую задачу, которую легко решить на основании здравого смысла, без всяких «правил». Задачи, где вычисляются барыши купцов и барышников, шокируют нравственное чувство и следовательно имеют безусловно отрицательное значение».
Современная жизнь снова делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Везде — в газетах, по радио и телевидению, в транспорте и на работе обсуждаются повышение цен, зарплат, рост стоимости акций, снижение покупательной способности населения и т. п. Добавим сюда объявления коммерческих банков, привлекающих деньги населения на различных условиях, сведения о доходах по акциям различных предприятий и фондов, об изменении процента банковского кредита и пр. Все это требует умения производить хотя бы несложные процентные расчеты для сравнения и выбора более выгодных условий. Формирование соответствующих умений в настоящее время оставляет желать лучшего.
Обратим внимание на пример, показывающий, что проценты могут стать средством вольной или невольной дезинформации населения. Его нам подарил 7 июля 1997 г., сам того не ведая, первый вице-премьер правительства России Б. Немцов.
Ведущий программы «Час-пик» А. Разбаш спросил:
— Как Вы ожидаете, какой будет через год квартплата, скажем, за двухкомнатную квартиру в Нижнем Новгороде?»
Б. Немцов не стал приводить конкретные цифры, он ответил «в процентах»:
— Оплата жилья поднимется за год примерно на 15 %. Сейчас население оплачивает в среднем 35 % реальных расходов на содержание жилья, а через год (в 1998 г.) будет оплачивать уже 50 %.
— И всего-то? – воскликнул явно удовлетворенный сказанным ведущий передачи.
Однако вряд ли граждане будут так же довольны изменениями, которые могут произойти. В самом деле, из каждых 100 р. реальных расходов на оплату жилья население оплачивает в 1997 г. примерно 35 р., а в 1998 г. будет оплачивать уже 50 р. Разница 15 р. действительно составляет 15 % — 15 сотых от 100! Но почему рост оплаты жилья надо считать от 100? Это правительство отслеживает рост процентов по отношению к реальной стоимости содержания жилья (в нашем примере от 100 р.), а население ощутит совсем другой рост — от того, что реально платит сейчас, то есть от 35 р. Этот рост составит 15×100/35 ≈ 42,86 (%). И никакого обмана! Просто правительство и население по-разному считают проценты.
Довольно часто взрослые люди считают, что повышение цены в 3 раза соответствует ее повышению на 300 %, а повышение зарплаты на 50 % не могут сравнить ее с увеличением в 1,5 раза.
Процентные расчеты довольно плохо знают и учащиеся школы. Тому есть несколько причин.
Во-первых, в настоящее время проценты изучаются без всякой связи с соответствующими задачами на дроби. Первое знакомство с процентами происходит по учебнику Н.Я. Виленкина и др. в конце 5 класса. К этому времени учащиеся умеют в задачах практического характера находить дробь числа, число по его дроби и какую часть одна величина составляет от другой. Указанные умения если и обобщаются учителем в виде правил, то сами правила никак не помогают перенести уже освоенное умение в новую ситуацию, так как при решении конкретных задач на проценты речь ведут не про числитель и знаменатель дроби, а про количество процентов, содержащихся в целом и его части.
Во-вторых, и это сказывается преимущественно на умении школьников решать более сложные задачи на проценты, после изучения в 6 классе правил нахождения дроби числа умножением на дробь и нахождения числа по его дроби делением на дробь эти приемы не переносятся на задачи на проценты.
В-третьих, в решении задач на проценты довольно скоро начинают применять пропорции — тем самым процесс решения задач «механизируется», что мешает учащимся понимать смысл своих действий.
Плохое знание процентов не является исключительно российской проблемой. Сошлемся на пример из статьи В.И. Арнольда «Для чего мы изучаем математику?» (Квант, 1993, № 1–2). «В тесте для 14-летних американских школьников предлагалось оценить (не вычислить, а лишь оценить), что произойдет с числом 120, если от него взять 80 %. И предлагалось три варианта ответа: увеличилось; осталось прежним; уменьшилось. Крестики напротив правильного ответа поставили примерно 30 % опрашиваемых. Иными словами, школьники ставили крестики наудачу. Вывод: никто ничего не знает». Остается только надеяться, что аналогичный опрос наших школьников дал бы результаты чуть лучше.
Приступая к описанию наших предложений, еще раз подчеркнем, что задачи на проценты являются частным случаем задач на дроби. При построении системы задач и организации процесса обучения с учетом этого положения можно добиться существенного улучшения методики изложения материала и тем самым повысить эффективность обучения. Кроме того, изучение частного случая с опорой на общий больше способствует развитию учащихся.
Выделим основные этапы повторения ранее изученного и изучения нового материала в 6 классе в таком порядке, который, на наш взгляд, обеспечивает преемственность в обучении решению задач на дроби и проценты, способствует усвоению процентов большинством учащихся и достаточному продвижению вперед более сильных из них. Школьников надо научить:
Находить часть числа умножением на дробь — сначала обыкновенную, потом десятичную; увеличивать (уменьшать) число на некоторую его часть. Это последнее действие позволяет естественным образом подвести учащихся к восприятию первоначального числа как отвлеченной единицы.
Находить число по его части делением на дробь – обыкновенную, потом десятичную. Кроме задачи, указанной в этом пункте плана, здесь следует рассмотреть и более сложные задачи, требующие представления неизвестного числа как отвлеченной единицы, а также задачи,усложненные дополнительными действиями.
III. Находить, какую часть одно число составляет от другого. Эта задача является опорной для нахождения процентного отношения двух чисел, она может быть усложнена вопросами типа: «Цена товара увеличилась с 40 р. до 50 р. На какую часть первоначальной цены произошло ее повышение?»
Выражать проценты в виде обыкновенной и десятичной дроби, выполнять обратное преобразование. Для решения более сложных задач учащиеся должны научиться отвечать на вопросы типа: «Сколько процентов числа а составляет число 0,12а?» или «На сколько процентов число 1,12а больше числа а?»
Находить несколько процентов числа, увеличивать (уменьшать) число на несколько процентов.
Находить число по нескольким его процентам.
VII. Находить процентное отношение двух чисел, а также на сколько процентов одно число больше (меньше) другого. Конкретные рекомендации будут даны ниже. Здесь лишь отметим, что при решении задач на дроби мы уделили достаточно внимания тем задачам, которые станут опорными для решения соответствующих задач на проценты — не только традиционных для обучения в 5–6 классах, но и задач повышенного уровня сложности.
