А. В. Шевкин. Текстовые задачи в школьном курсе математики (лекция 1)

26.04.2017

5-9 классы

Лекция № 1

Роль текстовых задач в школьном курсе математики

          В первых лекциях мы остановимся на истории использования текстовых задач в России и за рубежом, на роли текстовых задач и арифметических способов их решения в процессе обучения математике в школе, на их влиянии на развитие общеучебных умений школьников; обсудим желательную последовательность предъявления школьникам типовых задач и определим наиболее естественное место появления уравнений в процессе обучения.

        

Из истории использования текстовых задач в России

В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи всегда занимали особое место. С одной стороны, практика применения текстовых задач в процессе обучения во всех цивилизованных государствах идет от глиняных табличек Древнего Вавилона и других древних письменных источников, то есть имеет родственные корни. С другой — пристальное внимание обучающих к текстовым задачам, которое было характерно для России, — почти исключительно российский феномен.

Известно, что исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениями. Первоначально обучение математике велось по образцам. Ученики, подражая учителю, решали задачи на определенное «правило».

Подтверждением тому служит фрагмент из книги И. Бёшенштейна (1514 г.), в котором сначала дается «определение» тройного правила, формулируется правило, потом приводится задача и рецепт ее решения по правилу.

«Тройным правилом называется regula magistralis, или regula aurea (т. е. магистерское правило, или золотое правило), с помощью которого совершаются все торговые расчеты всех ремесленников и купцов; оно называется в гражданском обиходе de try или de tree, ибо содержит в себе три величины, при помощи которых можно вычислить все.

.   .   .   .   .   .   .   .   .   .

… Заметь еще числа, стоящие сзади и спереди. Надо стоящее сзади число помножить на среднее и разделить на переднее».

Далее то же правило дано в зарифмованном виде и приведен пример на его применение:

Я купил 100 фунтов шерсти за 7 гульденов. Что стоят 29 фунтов?

                               фунты               гульдены                 фунты

                                 100                       7                                      29

Помножь 29 на 7, затем раздели на 100, что получится и будет стоимостью 29 фунтов [1, с. 11].

Это была обычная практика. По-другому в те времена учить не умели. Не случайно в «Арифметике» Л.Ф. Магницкого (1703 г.), вобравшей в себя переводы лучших иностранных авторов того времени, мы находим аналогично построенный учебный текст. Обучение «по правилам» было обычным и для России. Желая описать методику обучения решению задач времен Л.Ф. Магницкого, сошлемся на С.И. Шохор-Троцкого: «Насколько преизобиловали правилами книги по арифметике в старину — можно судить по весьма почтенному для своего времени труду Леонтия Магницкого… В книге первой… кроме множества правил о целых и дробных числах, изложены правила, называемые автором «подобными» (ныне называемые тройными)… автор различает: правило тройное в целых, правило тройное в долях, правило тройное сократительное, правило «возвратительное» (обратно-пропорциональное), правило пятерное, правило «семиричное»…, а затем, в виде применения этих правил, предлагает ряд «статей»: статью тройную торговую («в целых» и «в долях»), тройную торговую о куплях и продажах, тройную торговую в товарных овощах и «с вывескою» (то есть о вычислении тары товара), о «прикупах» и о «накладах», «вопросную» о тройном правиле, «вопросную же со времены», «деловую в тройном правиле», торговую «меновную в тройном правиле» [2].

Далее С.И. Шохор-Троцкий приводит фрагмент из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого, из которого видно, что рецептурный стиль изложения материала, характерный для более ранних европейских источников, в первом российском учебнике арифметики еще не был преодолен. В этом фрагменте, посвященном применению пятерного правила, сначала дается «определение» правила и пример на его применение (текст задачи здесь выделен курсивом), потом рецепт для получения ответа; в других случаях рекомендуется поступать так же.

           

«Пятерное правило есть, егда случаются таковые сметы творити, яже не могут иным чином или правилом уразуметися, токмо через сие пятерное или пятиперечневое, глаголется же и тройно-сугубое… понеже пять перечней [чисел — А. Ш.] в правиле поставляется, а шестый изобретается…: некто име сто рублев в купечестве един год, и приобрете ими токмо 7 рублей, и паки отдал в купечество 1000 рублев на 5 годов, колико ими приобрящет, и ты твори сице, поставив почину тройнаго правила:

                                                           год                                             год

                                           100 –––––– 1 –––––– 7 –––––– 1000 –––––– 5

И умножай два перечня иже от левыя руки между собою, также прочыя три иже к правой руке, такожде между собою порядком умножай, и произведение их раздели тем произведением еже от дву первых произведеся: яко же зде» [2].

О возможности использования задач такого рода в процессе обучения разговор еще впереди, а пока получим верный ответ, следуя правилу: (7·1000·5):(100·1) = 350 (р.).

В давние времена обученным считался тот, кто умел решать задачи определенных типов, встречавшихся на практике (в торговых расчетах и пр.). При этом учащие мало заботились о сознательном усвоении учениками того или иного способа действия. Считалось, что понимать-то едва ли нужно было. «Это ничего, что ты ничего не понимаешь, ты и впереди также многого не будешь понимать», — утешал бывало наставник своего питомца, и вместо понимания рекомендовал не заноситься, а выучить наизусть все, что задают, и потом стараться применить это к делу [3]. Так в 1923 г. В. Беллюстин описывал старинную практику обучения решению текстовых задач.

Одна из причин заключается в том, что исторически долгое время целью обучения детей арифметике было освоение ими определенным кругом вычислительных умений, связанных с практическими расчетами. При этом основная линия арифметики — линия числа — еще не была разработана, а обучение вычислениям велось через задачи. В «Арифметике» Л.Ф.Магницкого, например, дроби рассматривались как именованные числа (не просто ¹/₂, а ¹/₂ рубля, пуда и т.п.), а действия с дробями изучались в процессе решения задач. Эта традиция сохранялась довольно долго. Даже много позже встречались задачи с неправдоподобными числовыми данными типа «Продано 3¹⁷/₁₉ кг сахара по 2¹/₁₇ рубля за килограмм…» или «Заяц в 1,35 часа пробегает 14,13855 км…», которые были вызваны к жизни не потребностями практики, а потребностями обучения вычислениям. Упомянутые традиции обучения вычислениям через задачи, на наш взгляд, сказываются на обучении математике до сих пор. Как, например, в самых массовых учебниках для 5 классов «доказывается» равенство 2:3 = ²/₃? Очень просто — берут два яблока и делят каждое из них на три равные части.

Вторая причина повышенного внимания к использованию текстовых задач в России заключается в том, что в России не только переняли и развили старинный способ передачи с помощью текстовых задач математических знаний и приемов рассуждений, но и научились формировать с помощью задач важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и главного вопроса, составлением плана решения, постановкой вопроса и поиском условий, из которых можно получить на него ответ, проверкой полученного результата. Немаловажную роль играло также приучение школьников к переводу текста на язык арифметических действий, уравнений, неравенств, графических образов. Использование арифметических способов решения задач способствовало общему развитию учащихся, развитию не только логического, но и образного мышления, лучшему освоению естественного языка, а это повышало эффективность обучения математике и смежных дисциплин. Именно поэтому текстовые задачи играли столь важную роль в процессе обучения в России, и им отводилось так много времени при обучении математике в школе.

К середине XX века в СССР сложилась развитая типология задач, включавшая задачи на части, на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их отношению и сумме (разности), на дроби, на проценты, на совместную работу и пр. Методика обучения решению задач была разработана достаточно хорошо, но ее реализация на практике не была свободна от недостатков. Критики этой методики обоснованно отмечали, что учителя, стремясь ускорить процесс обучения, разучивали с учащимися способы решения типовых задач, как бы следуя своим давним предшественникам. Они считали также, что в процессе обучения решению текстовых задач школьников учили способам действий, которые не применяются или почти не применяются в жизни.

Например, из программы 5-6 классов задач исключили задачи на совместную работу ввиду их «нежизненности»! «Убийственный» аргумент критиков утрированно можно сформулировать в виде вопроса: «Где вы видели трактористов, которые не знают площади вспаханного ими поля, и должны решать задачу, чтобы определить время окончания работы?»

Здесь очень уместен вопрос: так ли были глупы китайцы, дававшие во II в. следующую задачу?

Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетели одновременно. Через сколько дней они встретятся?

Вдумаемся! Средства связи того времени не позволяли ни осуществить одновременный старт утки и гуся, ни проконтролировать момент их встречи! Так почему китайцы давали решать во II в. своим детям такие задачи? Может быть, их интересовало не непосредственное приложение к практике полученного результата, а нечто иное — результат, оставляемый процессом мышления в голове ребенка?

Мы вовсе не идеализируем массовую практику обучения решению задач в отечественной школе. Но обращаем внимание на то, что идеи, заложенные в методику обучения, возможности этой методики и практическая реализация методики — не одно и то же. Вот как описывал И.В. Арнольд практику обучения решению задач, сложившуюся в нашей стране к середине 40-х годов: «Учеников — в том или ином порядке — знакомят с соответствующими «типами» задач, причем обучение решению задач сплошь и рядом сводится к рецептуре и «натаскиванию», к пассивному запоминанию учениками небольшого числа стандартных приемов решения и узнаванию по тем или иным признакам, какой из них надо применить в том или ином случае. Количество задач, которые ученики решают действительно самостоятельно, с тем напряжением мысли, которое и должно являться источником полезности процесса решения задачи, ничтожно. В итоге — полная беспомощность и неспособность ориентироваться в самых простых арифметических ситуациях, при решении чисто практических задач…» [4, с. 14].

К середине 50-х годов XX в. текстовые задачи были хорошо систематизированы, методика их применения в учебном процессе разработана, но при проведении реформы математического образования конца 60-х годов отношение к ним изменилось. Одним из аргументов к предлагаемым изменениям была критика негодной практики обучения решению задач. Соавторы Н.Я. Виленкина по первому варианту ныне действующих учебников К.И. Нешков и А.Д. Семушин, критикуя практику обучения решению задач до введения их учебника, совершенно справедливо задавались вопросом: «Разве возможно проявление хотя бы незначительных элементов сообразительности при решении задач по заученной схеме?» Ответ напрашивался сам собой: «Невозможно!» Но правда заключается в том, что правильная методика обучения и не требовала решать задачи по заученной схеме, т. е. менять надо было не методику, а негодную практику ее применения. Вторым аргументом к изменениям был поиск резерва времени, необходимого для обновления содержания математического образования.

Пересматривая роль и место арифметики в системе школьных предметов, стремясь повысить научность изложения математики за счет более раннего введения уравнений и функций, математики и методисты-математики посчитали, что на обучение арифметическим способам решения задач тратится слишком много времени.

«Авторитетное» на этот счет мнение приведено в книге Н.А. Менчинской и М.И. Моро: «Академики С.Л. Соболев, А.Л. Минц и другие заявляют, что обучение математике в школах проводится вопреки «правилам оптимальной стратегии», и основной недостаток состоит в том, что детей обучают арифметике, а в дальнейшем им приходится затрачивать силы «на переучивание абстрактному мышлению в алгебраических образах». Под наибольшим ударом, с этой точки зрения, оказываются именно арифметические задачи. По мнению С.Л. Соболева, как правило, после овладения алгеброй тот же школьник уже не в состоянии решить прежнюю задачу арифметическими приемами. Зачем же тогда обманывать детей, а не приучать их к абстрактному мышлению с самого младшего класса» [5].

Можно только сожалеть, что С.Л. Соболева и А.Л. Минца никто не спросил, как отвечать на детский вопрос «откуда берутся дети?» Надо ли «обманывать» детей, рассказывая им про аиста и капусту, а по мере взросления и готовности осознать сообщаемые факты, неторопливо рассказывать про пестики и тычинки, рыбок, бабочек и пр.? Или, согласно «правилам оптимальной стратегии», надо «честно» выложить крохе все как есть? Это вовсе не риторический вопрос, так как он касается накопления жизненного опыта ребенка, развития его мышления и способности к правильному восприятию сообщаемого.

Если же вернуться к математике, то надо отметить, что из верной посылки «после овладения алгеброй…» С.Л. Соболев сделал неверный вывод, так как текстовые задачи и арифметические способы их решения как раз и готовят ребенка к овладению алгеброй. А когда это произойдет, то алгебра доставит ученику более простые, чем арифметические, способы решения некоторых (но не всех!) задач. Другие же арифметические способы решения так и останутся в активном багаже ученика. Например, если ученика учили делить число в данном отношении, то он и в старших классах не будет делить число 15 в отношении 2:3 с помощью уравнения, он выполнит арифметические действия:

1) 15^.2/(2 + 3) = 6,                2) 15 – 6 = 9.

Наш опыт показывает, что учащиеся, обученные находить арифметически два числа по их сумме и разности или два числа по их отношению и сумме (или разности), с большим трудом переходят к решению тех же задач с помощью уравнения. Они не видят никакого выигрыша, какой доставлял бы им новый способ решения.

Вот еще один пример разумного использования учащимися арифметического способа решения задачи. Шестому классу дано задание решить с помощью уравнения известную задачу из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого:

Некий человек нанял работника на год, обещал ему дать 12 р. и кафтан. Но тот, отработав 7 месяцев, захотел уйти и просил достойной платы с кафтаном. Хозяин дал ему по достоинству расчет 5 р. и кафтан. Спрашивается, а какой цены тот кафтан был?

Алгебраическое решение задачи приводит к уравнению 7^.(x + 12):12 = x + 5, где x р. — стоимость кафтана. Ученица 6 класса Аня А. предложила вычислять стоимость одного месяца проще: работник не получил 12 – 5 = 7 (р.) за 12 – 7 = 5 (месяцев), поэтому за один месяц ему платили 7:5 = 1,4 (р.), а за 7 месяцев он получил 7×1,4 = 9,8 (р.), тогда кафтан стоил 9,8 – 5 = 4,8 (р.).

Есть еще один момент, который невозможно обойти, когда мы говорим о решении задач. Обучение и развитие ребенка во многом напоминает этапы развития человечества, поэтому использование старинных задач и разнообразных арифметических способов их решения позволяет вести обучение математике в историческом контексте, что повышает мотивацию учения, развивает творческий потенциал детей. Кроме того, разнообразные способы решения будят их фантазию, позволяют организовывать поиск решения каждый раз новым способом, что создает благоприятный эмоциональный фон для обучения. Возьмем старинную китайскую задачу:

В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов.

Конечно, следуя «правилам оптимальной стратегии», можно составить уравнение

4x + 2×(35 – x) = 94,

где x — число кроликов, и получить ответ задачи.

Но если мы обучаем детей не только с целью получения ответа, если нам небезразличны эмоциональный фон обучения, развитие фантазии детей и их способности рассуждать, то, может быть, с ними полезно провести диалог, найденный нами у старых мастеров методики математики и вызывающий у детей живейшее участие в решении задачи (в скобках показаны действия, выполняемые для получения ответа на вопрос).

— Дети, представим, что на верх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле?

— 70    (35·2 = 70).

— Но в условии задачи даны 94 ноги, где же остальные?

— Остальные не посчитаны — это передние лапы кроликов.

— Сколько их?

— 24    (94 – 70 = 24).

— Сколько же кроликов?

— 12    (24:2 = 12).

— А фазанов?

 — 23    (35 – 12 = 23).

Приведем последний пример, показывающий возможности арифметических способов решения задач. На этот раз рассмотрим упрощенный вариант старинных китайских задач и задач из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона:

Мама раздала детям по четыре конфеты, и три конфеты остались лишними. А чтобы дать детям по пять конфет, двух конфет не хватает. Сколько было детей?

Здесь тоже можно использовать уравнение, а можно, желая развивать способности детей рассуждать, провести такой диалог.

— Представим, что мама раздала детям по четыре конфеты. Сколько конфет у нее осталось?

— Три.

— Если она продолжит раздавать конфеты, то по сколько конфет она даст каждому?

— По одной (5 – 4 = 1).

— Скольким детям хватит еще по одной конфете?

— Троим.

— А скольким не хватит?

— Двоим.

— Сколько же было детей?

— Пять (3 + 2 = 5). 

Очевидно, что не стоило отказываться от арифметических способов решения, если они стимулируют учащихся к поиску более простых решений, если с их помощью можно создавать разнообразные ситуации, развивающие способности учащихся к рассуждениям. В то время как применение уравнений не дает такого разнообразия. Так что из верной посылки «после овладения алгеброй…» вовсе не следует, что арифметические способы решения задач были излишни в обучении математике.

Так или иначе, но в середине XX в. в СССР возобладал узко практический подход к использованию текстовых задач. Тогда считалось, что обучать детей нужно с учетом возможностей применения изученных способов действий на практике или в дальнейшем обучении. Отражение полемики тех лет о текстовых задачах находим у Ю.М. Колягина, который в настоящее время, конечно же, думает иначе, но тогда выразил мнение, преобладавшее в методических кругах: «Заметим, что старые традиции весьма живучи и способны к такой внешней трансформации, что иногда их трудно распознать. Отрицательная обучающая роль типовых арифметических задач признана всеми. Однако не уготована ли та же участь задачам на составление уравнения?» [6]. Волнения о задачах, решаемых с помощью уравнений, оказались преждевременными, но роль алгебраического способа решения задач в учебном процессе в последующие годы была явно преувеличена именно потому, что из школьной практики были удалены арифметические способы их решения.

Традиционные для российской школы арифметические способы решения задач посчитали анахронизмом и перешли к раннему использованию уравнений. Такой подход казался, видимо, более современным и научным. Методистов-математиков почему-то волновало не влияние работы с задачами на развитие мышления и речи обучаемых, на развитие их смекалки и сообразительности (этот момент был поставлен под сомнение), а формирование в процессе работы с типовыми задачами «таких умений и навыков, которые в дальнейшем почти не находят практических приложений; отсутствие в школьном курсе математики задач, решение которых могло бы подготовить школьника к деятельности, характерной для современного производства: наладке, управлению, контролю, регулированию, рационализации и т. п.» [6].

Такое упрощенное понимание роли и места задач в школьной математике (добавим сюда еще веру во влияние фабулы задач на воспитание учащихся) преобладало долгие годы. У этого подхода и теперь много сторонников — у нас в России и за рубежом. К их аргументам и задачам мы еще вернемся во второй лекции.

Один из авторов первого варианта учебников Н.Я. Виленкина и др. К.И. Нешков писал: «Даже та исключительная роль «развития сообразительности и смекалки», которая приписывалась арифметическим задачам, оказалась преувеличенной. В результате анализа «сообразительности и смекалки» и выделения их составных частей [? — А. Ш.] оказалось, что с этой ролью могут справиться не только арифметические задачи. На один из первых планов А.И. Маркушевич выдвинул изучение понятий «множества» и «соотношения» [7].

Не будем напоминать, как школа пережила внедрение «множеств» и «соотношений» — от этой идеи вскоре пришлось отказаться, а вот отказ от разумного использования прежней методики работы с текстовыми задачами ничем не компенсировали. Опытные учителя уже тогда говорили, что теперь пострадает и геометрия, задачи которой чаще всего формулируются в виде текста, а для их решения нужны умения, формировавшиеся раньше при разумном обучении решению текстовых задач.

Пострадала не только геометрия. Можно смело утверждать, что от изменения отношения к текстовым задачам качество школьного математического образования ухудшилось. Насаждение алгебраического способа решения текстовых задач велось вопреки программе по математике, в которой предусматривались не только ознакомление учащихся с различными способами решения задач, но и выбор учащимися подходящего способа решения задач. Так было на бумаге (в программе 1971/72 учебного года), а на деле отношение к задачам определяли авторы единственного в то время учебника математики для 4-5 (5-6) классов. Даже через двадцать лет после начала реформы Н.Я. Виленкин писал: «Следует отказаться от многих разделов, сохраняющихся в школьном курсе математики лишь по традиции. Здесь придется ломать сопротивление тех методистов, которые и по сей день восхваляют решение задач арифметическим способом…» [8].

Насколько противоестественным для процесса обучения и развития детей оказалось раннее использование уравнений, можно судить даже по методической аранжировке самых обычных задач. Вот две задачи, взятые из книг для учителей начальной школы.

Было несколько яблок, 4 яблока съели, 3 осталось, сколько было яблок?

Решая ее, мы составили такое уравнение: x = 4 + 3 [5, с. 112].

Маша сказала: «Я своим трем подругам раздала 18 конфет, всем поровну. Угадайте, по скольку конфет я дала каждой».

Как записать условие этой задачи с помощью буквы x и как найти число x? [9, с. 13]

Аналогичное указание «Решите с помощью уравнения задачу» находим в учебнике Н.Я. Виленкина.

В корзине было несколько грибов. После того, как в нее положили еще 27 грибов, их стало 75. Сколько грибов было в корзине? [10, с. 70]

Совершенно очевидно, что использование уравнений при решении задач такого типа противоестественно и не способствует развитию представлений учащихся о применении четырех арифметических действий и уяснению взаимосвязи между ними. Более того, такая методика искусственно разделяет прямые и обратные арифметические операции: учащихся учат применять сложение и умножение, действуя непосредственно с известными величинами или составляя уравнения, а обратные операции — при решении этих уравнений.

Тем не менее «метод уравнений» на долгие годы стал единственным известным учащимся методом решения текстовых задач. Это привело к тому, что учащиеся не получали должного развития речи, умения анализировать текст задачи, ставить вопросы, отвечать на них, то есть они были лишены возможности лучше усвоить естественный язык — язык не только общения, но и обучения. Они не учились различать разнообразные типы взаимосвязей известных и неизвестных величин, вести поиск решения задачи, отталкиваясь от условий задачи или от поставленного вопроса. Они получили один единственный способ для решения разнообразных задач, который никак не могут освоить до сих пор.

Как рассказала нам коллега, в группе отстающих школьников ее попросили однажды: «Научите нас, пожалуйста, решать задачи «на пусть» — так дети назвали задачи, решение которых начинается фразой «пусть х …». Теперь учителя разучивают со школьниками практически единственный способ решения задач (с помощью уравнения), но результаты обучения от этого не стали лучше. Более того, теперь не только учителя не помнят, как надо наиболее эффективно для развития детей учить их решать задачи, но даже нашелся автор учебного комплекта по математике для 5-6 классов, который не знает, как без уравнений обучать детей решению задач. Вот как он пишет об арифметических способах решения задач: «Обучение решению текстовых задач в известных мне пособиях сводится к обучению тридцати шести уловкам и двадцати четырем уверткам. Некоторые из них весьма остроумны и чрезвычайно полезны. Но никто не знает, как научить выбирать в данной педагогической ситуации единственно нужную» [11].

Завершая разговор об использовании текстовых задач при обучении математике в России, о разных подходах к обучению решению задач и прошлых реформах математического образования в России (тогда СССР), сошлемся на академика В.И. Арнольда, который, сравнивая традиционное отечественное преподавание математики с американским, писал: «Наше традиционное отечественное преподавание математики имело более высокий уровень и базировалось на культуре арифметических задач. Еще два десятка лет в семьях сохранялись старинные «купеческие» задачи. Теперь это утрачено. Алгебраизация последней реформы преподавания математики [конца 60-х годов. А. Ш.] превращает школьников в автоматы. А именно арифметический подход демонстрирует содержательность математики, которой мы учим» [12].

 

Текстовые задачи в зарубежной школе. Здесь мы сошлемся на весьма авторитетное мнение нашего соотечественника за рубежом. А.Л. Тоом имеет опыт преподавания математики в МГУ им. М.В. Ломоносова и ФМШ № 18 при МГУ, он автор статей и интересных задач, публиковавшихся в журнале «Квант» и в книжках для Заочной математической школы. Более 10 лет Андрей Леонович живет и работает за рубежом, преподавал в университетах Италии, США, Бразилии, где обратил внимание на совершенно непривычное для него отношение обучающих к использованию текстовых задач в процессе обучения. Мы рекомендуем слушателям курсов внимательно проработать упоминаемые нами статьи А.Л. Тоома, так как приводимые нами выдержки не позволяют показать со всей полнотой аргументацию автора, глубоко проанализировавшего теорию и практику использования текстовых задач в учебном процессе в России и за рубежом.

В одной из своих статей, опубликованных теперь и в России, А.Л. Тоом пишет: «Когда я приехал в США девять лет назад и начал преподавать, я обнаружил, что многие университетские студенты очень плохо справляются с решением текстовых задач. Когда я стал читать некоторую американскую образовательную литературу, я обнаружил странный (для меня) подход к текстовым задачам, совершенно отличный от того, к какому я привык в России. Похоже, что многие считают, что задачи, решаемые на уроках математики, должны быть как можно ближе к повседневной жизни. Я полагаю, что этот подход берет свое начало у известного американского психолога и преподавателя Э. Торндайка, в чьей авторитетной книге «Психология алгебры» имеется глава, названная «Нереальные и бесполезные задачи», начинающаяся так: «В предыдущей главе было показано, что около половины задач, дающихся в стандартных курсах, ненастоящие, поскольку в реальной жизни ответ никогда не понадобится. Очевидно, не стоит, разве что для объема, таким образом соединять алгебраическую работу с никчемностью». [13]

В той же статье А.Л. Тоом приводит задачу, которая «может использоваться чуть ли не повсюду на земном шаре без всяких ограничений:

Салли на пять лет старше своего брата Билла. Через четыре года она будет в два раза старше, чем тогда будет Биллу. Сколько лет Салли сейчас?

Но она объявляется негодной по следующей причине: «Прежде всего, кто бы мог задать подобный вопрос? Кому это может понадобиться? Если Билл и Салли сами не знают, это какая-то семья идиотов» [13].

Можно предположить, что если бы обличитель «негодной» для школы задачи сумел ее решить, то, возможно, малые дети (Биллу всего год) не вызвали бы у него столь бурной реакции.

Вот еще один пример. А.Л. Тоом приводит высказывание Залмана Усыскина о традиционных текстовых задачах, опубликованное в главном американском журнале для учителей математики в старших классах «Учителе математики» (Mathematics teacher): «Алгебра имеет так много подлинных приложений, что фальшивые традиционные текстовые задачи больше не нужны». <…> Почему Усыскин называет традиционные текстовые задачи фальшивыми? Он приводит задачу:

У одного человека в кошельке 20 монет, одни по 5 центов, другие по 10 центов на общую сумму в доллар и 75 центов. Сколько у него монет по 5 центов? Сколько по 10 центов?

Затем Усыскин пишет: «Поскольку монеты были сосчитаны, почему бы не сосчитать отдельно монеты в 5 центов и отдельно в 10 центов?».

В России (и, думаю, в огромном большинстве стран) этот странный аргумент был бы оставлен без внимания как неудачная шутка, но в Америке к нему относятся с большим почтением» [14].

Как видим, не только в России наблюдается недопонимание вопроса «зачем учить решению текстовых задач?» Обратим внимание и на другие аргументы зарубежных противников использования текстовых задач в процессе обучения. Вот обычная для нашей начальной школы задача.

Самолёт взлетает и направляется на восток со скоростью 350 миль в час. В то же время взлетает другой самолёт и направляется на запад со скоростью 400 миль в час. Когда расстояние между ними достигнет 2000 миль?

А.Л. Тоом отмечает, что эта задача несколько лет назад была упомянута в «Учителе математики» со следующим уничижительным комментарием: «Всякий нормальный ученик должен спросить: А кому это надо? Никому нет дела кроме учителя алгебры, задающего такие задачи, и ученика, которому нужна отметка. Наша программа и без того слишком перегружена, чтобы включать такие причуды».

Далее А.Л. Тоом приводит задачу, которую специалисты считают пригодной для обучения:

Игрок ударил бейсбольный мяч, когда он был в 3 футах от земли. Мяч прошёл на 4 фута выше другого игрока 6 футов ростом, находящегося в 60 футах от первого. Затем мяч был пойман третьим игроком на расстоянии 300 футов, в 5 футах над землёй. На каком расстоянии от первого игрока мяч достиг максимальной высоты, и какова эта максимальная высота?

Очевидно, что если задаваться вопросом «а кому это надо?», то и эту задачу надо считать негодной. Здесь дело в чем-то другом, и А.Л. Тоом находит разгадку: «Эта задача труднее, чем предыдущая, но я не считаю, что она лучше. Уж во всяком случае, она не более реалистична. <…> Почему такая заурядная, даже несколько громоздкая задача была выбрана для такой обязывающей цели? Подождите … это задача про бейсбол… многие дети любят играть в бейсбол… у меня есть догадка: вероятно, автор надеется убедить их, что алгебру важно изучать, потому что она им пригодится в игре в бейсбол! Другие задачи из той же статьи подтверждают мою догадку: все они на такие привлекательные темы, как кругосветное путешествие, марширующий оркестр и рок-музыка. Очевидно, по замыслу автора, это делает их интересными. В этом пункте я заявляю протест. Для меня математическая задача интересна и педагогически полезна благодаря её внутренней математической структуре. Я решительно возражаю против попытки привлечь учеников к математике, делая вид, что она помогает играть в бейсбол, организовывать марширующие оркестры или наслаждаться рок-музыкой. Это лживое обещание». [15]

Далее А.Л. Тоом приводит очень важное наблюдение: «Создаётся впечатление, что текстовые задачи почти всегда преподавались настолько плохо, что большинство учащихся не могли отделить сами текстовые задачи от отвратной манеры преподавания. Ральф Рейми — один из тех, кто сумел это сделать: «Я был послушным учеником и делал то, что мне велели, а велели мне помещать определённые числа в определённые клеточки таблицы и делали мы это для настолько ограниченного круга задач, что их можно было все запомнить. Это шло с трудом, и впоследствии я понял, как легки были эти задачи, но поскольку мне говорили, как их делать, и поскольку меня хвалили, я это и делал, без малейшего проблеска понимания. Понимание не возникло даже, как это бывает в изучении иностранных языков, когда составляешь из слов предложения и спрягаешь глаголы, постепенно овладевая языком. С алгеброй у меня так не получилось, и когда я одолел её впоследствии и увидел, какими идиотскими были мои школьные упражнения, это произошло не благодаря таблицам, которые я заполнял раньше. Беда была не в задачах, не в идее «типов». Беда была в преподавании» [15].

Как видим, практика обучения решению задач без опоры на понимание учащимся смысла выполняемых им действий была характерна не только России. Отметим, что А.Л. Тоом не ограничивается критикой противников применения текстовых задач в процессе обучения. Размышляя над их «аргументами», он ищет и находит убедительные аргументы в пользу текстовых задач, на которые стоит обратить внимание. Развивая известные в России взгляды Дж. Пойа в вопросе «зачем учить решению текстовых задач?», он рассматривает влияние обучения решению текстовых задач на развитие воображения учащихся, на формирование первых абстракций и на развитие абстрактного мышления так необходимого для обучения математике. К некоторым из перечисленных мыслей А.Л. Тоома мы еще вернемся в следующих лекциях.

К каким же результатам приводит работа с текстовыми задачами в зарубежной школе? Дискуссии специалистов, которых мы кратко коснулись, и сведения о том, что большинство студентов первых курсов американских университетов не умеет решать простейшие задачи в несколько действий, многочисленные примеры из статей А.Л. Тоома (и других источников) говорят об одном: в зарубежной массовой школе никогда не было того опыта использования текстовых задач в процессе обучения, какой был когда-то в России. Опыт обучения решению текстовых задач в зарубежных странах просто иной.

Например, учащиеся шестых классов массовых школ Израиля решают, по сути, не задачи, а облеченные в словесную форму примеры на выполнение арифметических действий. «В отдельных случаях для решения нужно выполнить два (и страшно подумать!) три действия, — пишет в частном письме В. Романовский, — но израильский учебник для 6 класса ни в какое сравнение не идет с учебником серии «МГУ–школе». Его, пожалуй, можно сравнить с учебником Л.Г. Петерсон для 3 класса, однако и этот учебник, на мой взгляд, гораздо предпочтительней».

Вот пример использования текстовых задач во Франции. Правда, обсуждаемая здесь задача требует для своего решения привлечения геометрических фактов, но интересно отношение преподавателей университета (!) к возможности включения такого типа задач в контрольную работу.

«В этом учебном году на семестровой контрольной одной из задач была такая. <…>

Воздушный шар летит в одном направлении со скоростью 20 км/час в течение 1 ч и 45 мин. Затем направление движения меняется на заданный угол (60°), и воздушный шар летит еще 1 ч и 45 мин с той же скоростью. Найти расстояние от точки старта до точки приземления.

Перед контрольной на протяжении двух недель среди преподавателей университета шла бурная дискуссия — не слишком ли сложна эта задача для наших студентов. В конце концов, решили рискнуть выставить ее на контрольную, но с условием, что те, кто ее решит, получат дополнительно несколько премиальных очков. Затем в помощь преподавателям, которые будут проверять студенческие работы, автор этой задачи дал ее решение. Решение занимало половину страницы и было неправильным. Когда я это заметил и поднял было визг, коллеги тут же успокоили меня очень простым аргументом: «Чего ты нервничаешь? Все равно эту задачу никто не решит…» И они оказались правы. Из полутора сотен студентов, писавших контрольную, ее решили только два человека (и это были китайцы)» [16].

Рассмотрим последний и, быть может, не самый убедительный аргумент, подтверждающий наши выводы. Ниже приведены «правила» автор которых неизвестен (перевод А.Л. Тоома). Они были посланы на один американский дискуссионный лист под названием math-teach. Все дискуссии на этом листе доступны на Интернете. Эти «правила» можно посчитать шуткой, но мы помним, что в каждой шутке есть доля правды.

Правило 1. Насколько возможно, избегай читать условие задачи. Чтение условия только отнимает время и запутывает.

Правило 2. Выпиши все числа из условия в том порядке, в каком они там даны. Не забудь о числах, написанных словами.

Правило 3. Если правило 2 дало тебе три числа или больше, то лучше всего сложить их все.

Правило 4. Если чисел только два, и они примерно одной величины, то лучше всего вычесть одно из другого.

Правило 5. Если чисел только два и одно много меньше другого, то попробуй разделить, а если не разделится, то перемножь.

Правило 6. Если у задачи такой вид, как будто надо применить формулу, выбери формулу с достаточным числом переменных, чтобы использовать все данные.

Правило 7. Если с правилами 1-6 ничего хорошего не получается, сделай последнюю отчаянную попытку. Возьми все числа, полученные с помощью правила 2, и заполни страницы две всевозможными операциями с ними. Затем обведи кружком пять-шесть полученных чисел на каждой странице на случай, если какое-нибудь из них окажется ответом. Может и получишь что-нибудь за то, что старался.

Публикуя «правила» 1-7 в лекции, посвященной использованию текстовых задач в процессе обучения в школе, мы выражаем надежду, что умение школьников (и учителей) России решать текстовые задачи еще не доведено до такого отчаянного состояния, что нам не остается ничего другого, как поместить «правила»  в виде плаката на классной стене и при столкновении с мало-мальски сложной задачей задаваться вопросом: «а кому это надо?» Мы очень надеемся, что такое печальное событие не произойдет, что уникальный российский опыт развития учащихся в процессе обучения решению текстовых задач не будет утрачен окончательно, что интерес учительства к важному резерву повышения результативности обучения математике и другим предметам удастся возродить.

Завершая первую лекцию, сформулируем несколько положений, к аргументации которых мы еще вернемся при освещении методики работы с соответствующим задачным материалом.

1. Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических (или правдоподобных) задач.
2. Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению.
3. Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учетом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи, то есть формировать и развивать важные общеучебные умения.
4. Арифметические способы решения текстовых задач приучают детей к первым абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению задачи (красивое решение!) и изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом и к изучаемому предмету.
5. Использование исторических задач и разнообразных старинных (арифметических) способов их решения не только обогащают опыт мыслительной деятельности учащихся, но и позволяют им осваивать важное культурно-историческое наследие человечества, связанный с поиском решения задач. Это важный внутренний (связанный с предметом), а не внешний (связанный с отметками, поощрениями и т.п.) стимул к поиску решений задач и изучению математики.

Вопросы и задания

1) Укажите пять наиболее важных, на ваш взгляд, аргументов в пользу применения арифметических способов решения текстовых задач в процессе обучения арифметике в начальной школе и в 5-6 классах.

2) Считаете ли вы необходимым в начале 5 класса решать с детьми задачи по программе начальной школы? Почему?

3) Какие общеучебные умения позволяет развивать работа с текстовыми задачами?

4) Если использовать арифметические способы решения задач в процессе обучения, то необходимо предъявлять их учащимся в определенном порядке. Установите такой порядок, расставив номера предложенных ниже типовых задач на:

o      все действия с натуральными числами ___

o      пропорции ___

o      проценты ___

o      нахождение части числа и числа по его части ___

o      нахождение двух чисел по их кратному отношению и разности (задачи на части) ___

o      нахождение двух чисел по их кратному отношению и сумме (задачи на части) ___

o      нахождение двух чисел по их сумме и разности ___

o      движение (одного пешехода, велосипедиста и т.п.) ___

o      движение (двух пешеходов и т.п.) ___

o      движение по реке ___

o      все действия с дробями ___

o      смеси и сплавы ___

o      совместную работу ___

Сравните выбранный вами порядок включения задач в учебный процесс с тем порядком, который будет предложен в следующих лекциях.

Используемая литература

1. Вилейтнер Г. Хрестоматия по истории математики. Выпуск I. Арифметика и алгебра. Перев. с нем. П.С.Юшкевича. М.–Л.: 1932.
2. Шохор-Троцкий С.И. Методика арифметики для учителей средних учебных заведений. Изд. 2-е испр. и доп.– СПБ.: 1912.
3. Беллюстин В. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики. – М.–П.: 1923.
4. Арнольд И.В. Принципы отбора и составления арифметических задач/Вопросы методики математики. – М., – 1946. – С. 7–28. – (Изв. АПН РСФСР, вып. 6).
5. Менчинская Н.А., Моро М.И. Вопросы методики и психологии обучения арифметике в начальных классах. – М.: Просвещение, 1965. – 224 с.
6. Колягин Ю.М. Функции задач в обучении математике и развитие мышления школьников/Советская педагогика, 1974, № 6.
7. Нешков К.И. Единый курс математики I–V классов/Проблемы совершенствования содержания и структуры школьного курса математики. – М.: НИИСиМО АПН СССР, 1981. – С. 59–68.
8. Виленкин Н.Я. Современные проблемы школьного курса математики и их исторические аспекты/Математика в школе, 1988, № 4.
9. Сорокин П.И. Занимательные задачи по математике. С решениями и методическими указаниями. Пособие для учителей I–IV классов. – М.: 1967.
10. Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И. Жохов Математика. Учебник для 5 класса средней школы. М.: 1990. – 304 с.
11. Волович М.Б. Преемственность при обучении математике в 5-6 классах/Математика, 2004, № 33.
12. Арнольд В.И. Избранное — 60. — М.: ФАЗИС, 1997.
13. Тоом А.Л. Текстовые задачи: приложения или умственные манипулятивы/Математика, 2004, № 47.
14. Тоом А.Л. Наблюдения математика над математическим образованием/Архимед: Научно-методический сборник. Выпуск 1, 2005. – 100 с.
15. Тоом А.Л. Между детством и математикой: Текстовые задачи в математическом образовании/ Математика, 2005, № 14.
16. Доценко В.С. Пятое правило арифметики/Наука и жизнь, № 12, 2004.

 

Примечание. Статьи [13]–[16] см. на сайте «Математика. Школа. Будущее» (www.shevkin.ru).

А. Н. Земляков. Психодидактические аспекты углубленного изучения математики в старших классах общеобразовательной средней школы

26.04.2017

А.Н.Земляков

 

Психодидактические аспекты углубленного изучения математики

в старших классах общеобразовательной средней школы

 

Около ста лет тому назад, в 1908 г., выдающийся немецкий математик и педагог Феликс Клейн писал, что в некой учебной книге того времени «элементарная математика систематически и логически развивается на зрелом математическом языке, доступном студенту, далеко продвинувшемуся в своих занятиях. <…> Между тем изложение в школе, выражаясь образно, должно быть психологическим, а не систематическим. [Сейчас бы мы сказали, «не догматическим», что наблюдается почти «сплошь да рядом». Что касается систематичности, то «систематичность систематичности рознь» – А.З.]. Учитель должен быть, так сказать, дипломатом; он должен учитывать душевные движения юноши, должен уметь возбудить его интерес…».

 

В этом высказывании – весь пафос нижеследующего повествования [в некоторых случаях – конспективно-тезисного изложения], характерные особенности которого суть следующие.

 

1. Большая часть излагаемых позиций при своем развертывании и/или переформулировке может быть отнесена ко многим, если не ко всем, изучаемым в школе курсам. Однако при этом мы исходим из опыта преподавания математики в старших классах общеобразовательной школы.

 

2. Значительная часть высказываемых положений относится в равной мере как к общеобразовательному курсу математики (причем не только к старшим классам), так и к углубленному изучению математики. В основе наших позиций лежит конкретный опыт изучения математики в старших классах в той и другой ситуации.

 

3. Тем не менее, существенная часть выдвигаемых предложений и предположений относится именно к системе углубленного математического образования (далее УМО), ибо в силу специфики современного состояния преподавания математики в школе (неопределенность программ, учебников и стандартов; размытость и сдвинутость мотивационных моментов/акцентов; слабая готовность и мотивированность основного контингента учителей математики к новациям, к модификации своего стиля преподавания, к смене образовательной парадигмы) необходимая, назревшая (и перезревшая!) серьезная переориентация математического образования возможна (а отчасти, и целесообразна, в качестве «прорывного» этапа) только в рамках УМО: от профильных классов до школ с углубленным изучением математики.

 

Математика как наука и как школьный предмет имеет важную специфику: именно, в математике (подобно классической механике или фундаментальной физике) самые конкретные объекты изучения являются абстрактными, теоретическими скорее, чем эмпирическими. (Например, числа, хотя бы только и целые – суть объекты весьма высокой степени абстракции.) Так что при обучении математике в школе очень короток период перехода от эмпирического мышления к теоретическому, и (в старших классах особенно) научение идет через передачу теоретических способов мышления, как раз через диалектическое «восхождение от абстрактному к конкретному» (Маркс; Ильенков). В этой связи ясно значение именно для математического образования психологических теорий развивающего образования и обучения (Эльконин, Давыдов и др.), важность психопедагогических и психодидактических подходов (Стоунс, Зинченко и др.) к конструированию процесса образования (от постановки целей до практики), выявления психологических аспектов в образовании.

 

Прежде чем переходить к психодидактическим аспектам УМО, сформулируем, минуя обсуждение, как мы понимаем основные цели углубленного изучения математики, или нашу (авторскую) концепцию УМО (т.е., углубленного математического образования).

 

Мы полагаем, что, особенно в настоящее время, важнее технологических и утилитарных целей образования (таких, как овладение учащихся теми или иными компетенциями, сколь бы ценны они не были) формулировать личностно-ориентированные цели образования, пусть для этого и используется пока (без)надежно забытый «высокий штиль».

 

Основная посылка состоит в том, что фундаментальной целью углубленного математического образования является не подготовка будущих математиков (физиков, инженеров, etc.), а формирование на основе углубленного обучения математике сознательной и гармонически развитой личности. Эта задача не исключает привлечения потенциала всех учебных предметов к ее решению, а напротив, усиливает роль, например, предметов гуманитарного цикла при углубленном математическом образовании. (Подробнее об этом см. ниже. Известно: «Специалист подобен флюсу»).

 

Далее приведем таксономию (иерархию приоритетов) целей образования.

 

Важнейшими целями УМО являются: воспитание интеллектуальных и моральных черт характера [«… Интеллектуальные привычки имеют свой моральный отголосок» – Анри Пуанкаре, очерк «Мораль и наука». А.Н.Уайтхед в своем очерке «Математика и добро» упоминает знаменитую лекцию Платона на тему «добра как такового», в которой лектор говорил почти исключительно о математике!], эстетического чувства; способствование формированию важнейших интеллектуальных умений и мышления, способностей ума; формированию сознания.

 

Далее, одна из основных целей УМО состоит в воспитании у школьников эстетического восприятия математики, формирования представления об исторически взаимообусловленном единстве математики с другими составляющими духовной культуры.

 

При УМО должна быть адекватным и доступным образом отражена математизация знаний и  общественной практики. Значительно должна быть усилена роль УМО в формировании научного мировоззрения – с этой целью в преподавание привносится знакомство с методологией математики, с математическим моделированием. Наконец, УМО должно преследовать и традиционные социально-утилитарные цели, как то: развитие интересов, углубление и упрочение знаний и умений, подготовка к продолжению образования.

 

В этих формулировках собственно обучение не отрывается от развития и воспитания в процессе обучения, т.е. рассматривается как образование в целом. Поэтому перечисляемые ниже психодидактические аспекты углубленного изучения частично можно понимать и как психопедагогические предпосылки такового, в соответствии с нашей концепцией. С другой стороны, собственно концепция (таксономия целей) УМО структурирована в значительной степени с учетом следующих далее психодидактических аспектов.

 

* * *

 

Прежде, чем переходить к краткому связному изложению анонсированных психодидактических аспектов, обозначим на уровне ключевых слов основные линии (связки концептов), которые на настоящий момент представляются наиболее важными и доступными для реализации теми или иными средствами (содержательными, учебными и методическими).

 

Мотивация – интересность – значимость достижений – культурно-исторический дискурс

 

Мотивация – деятельность – прикладные аспекты – поисковая активность – зона ближайшего развития

 

Развитие – роль гуманитарной компоненты – Поисковая активность

 

Развитие – культурно-исторический подход (Выготский) – культурно-исторический дискурс математики в обучении

 

[Теоретическое мышление – компетентностный аспект – методологический подход]

 

Смена парадигмы – стиль обучения: деятельностная активность + мотивированность учения + развивающий подход

 

* * *

 

Адекватная мотивация к обучению/развитию и ориентация на развитие способностей, в т.ч. на психическое развитие личности (в отношении тех качеств и интрапсихических факторов, как поисковая активность, креативность, теоретическое мышление и т.д.) суть две основные составляющие психодидактической парадигмы УМО (да и всего образования; см. вводное замечание 1).

 

Мотивация здесь рассматривается внутренняя, именно психическая по отношению к субъекту-обучающемуся, а не внешняя (типа оценки или материального стимула) по отношению к существу, процессу учения (хотя от внешней мотивации отказываться смысла не имеет). Главным рычагом такой мотивации является интерес к учению, который должен быть заложен в таких его качествах, как интересность содержания и процесса учения (здесь отражаются уже внешние предпосылки – такие, как содержание образования [программы, учебники] и принятая манера его преподнесения [образовательная парадигма и принятый стиль преподавания], методическая поддержка процесса учения). Иными словами, нужно интересно «образовывать», а здесь важно, чему и как «образовывать» (кого – школьников, кому – учителям, зачем – см. цели).

 

По-другому, обучение должно обладать привлекательностью для учащихся. Привлекательность процесса учения во многом зависит от успешности достижений учащихся, которые должны испытывать чувство удовлетворения по изучении того или иного фрагмента предмета. Для этого у учащихся должны быть понятные цели как результаты их учебной деятельности, и это достигается ориентацией процесса учения от зоны актуального до зоны ближайшего (а при УМО – и проблемного) развития.

 

Итак, дидактические принципы доступности и наглядности в нашей парадигме предлагается заменить принципами интересности и привлекательности учения (разумеется, такой перенос акцентов не должен производиться за счет фундаментальности содержания образования; опыт показывает, что по крайней мере в системе УМО это достижимо: преподавать существенную математику можно и весело, и, одновременно, серьезно). («Все серьезные вещи нужно делать предельно весело!» – гласил лозунг студенческой революции в Париже, 1968.)

 

«Кто учит», субъективный фактор мотивированности учения, очень существен. Иной раз отношение к учителю, субъекту-обучающему, со стороны школьника, субъекта-обучаемого, может играть существенную роль. В 1930-е гг. Карл Густав Юнг, выдающийся психолог XX в., писал даже: «Если между ребенком и учителем установились хорошие личные отношения, то само по себе почти не имеет значения, насколько дидактические методы учителя соответствуют или не соответствуют новейшим требованиям. Ибо не в дидактическом методе кроется секрет успеха обучения…».

 

Но этот же «фактор» наиболее «консервативен», поэтому в первую очередь следует озаботиться «объективными факторами», отражением мотивации к учению в учебных и методических материалах, так что теперь мы рассмотрим основные резервы реализации мотивационного аспекта УМО через его содержание и целевые установки.

 

Мы видим два таких основных резерва – это историчность и прикладная направленность учебного повествования. Первый реализуется через культурно-исторический дискурс изучаемой математики и будет рассмотрен далее. Второй резерв психологически и дидактически многоаспектен и, отчасти, связан с деятельностным подходом к обучению (А.Н.Леонтьев и др.), и его аспекты рассмотрим в первую очередь.

 

Экспериментальная психология и психологическая антропология позволяют утверждать, что в человеке от рождения заложены, в числе многого прочего, стремления к исследовательскому поведению, к активной деятельности (поисковой активности; Аршавский, Ротенберг), к познанию нового. И в младших/средних классах именно на этих врожденных качествах может быть основана «стратегия и тактика» в организации учебной деятельности: ученики, что называется, «схватывают с лёту» знания и хотят узнать еще больше. Но, не будучи эффективно подкрепленными, к старшим классам эти задатки постепенно утрачиваются или преобразуются – скажем, фактор поисковой активности в результате «неблагоприобретенного опыта» может превратиться в антагонистический фактор «обученной беспомощности» (Селигман). С другой стороны, к старшим классам возрастает роль таких факторов, как рефлексивность и критичность. Оба обстоятельства делают важной объективацию мотивации к обучению в содержании образования, особенно в старших классах.

 

Специфика прикладной направленности науки и предмета математики в том, что во многих случаях таковая направленность реализуется опосредованно, через другие науки/предметы. Стараясь относительно автономизировать математику, в ней рассматривают «чисто» математические модели (скажем, модель экспоненциального роста) и лишь конкретизируют их на внематематических примерах (например, моделями радиоактивного распада, линейного роста биологических популяций). Нет нужды особо объяснять, что подобного рода межпредметность математики работает собственно на сам предмет математики, существенно усиливая его мотивационный аспект.

 

С одной стороны, прикладные примеры показывают диалектику науки, движущие силы ее развития. С другой – анализ моделей дает как бы образцы научной деятельности на уровне учебной деятельности, способствуя культурному и мировоззренческому пониманию сущности предмета.

 

* * *

 

Цитировавшийся выше Феликс Клейн в начале XX в. писал, что ученика «нужно не только услаждать и поучать, но что в нем надо будить силы, которые вели бы его дальше, побуждать его к самостоятельной деятельности». По существу здесь содержится призыв к усилению внимания к поисковой активности, которая понимается как следующий концепт: эта активность есть активность субъекта, направленная на изменение ситуации, расцениваемой как неприемлемая (или своего отношения к ней), при отсутствии определенного прогноза результатов своей активности, но при постоянном учете этих результатов (Аршавский, Ротенберг).

 

Идеальная ситуация, в которой нужна поисковая активность – решение любой новой (для субъекта-обучаемого) задачи. Много других ситуаций, в которых необходима поисковая активность, дает повседневная жизнь, в т.ч. и школьников. Более широкий концепт исследовательской и творческой деятельности во многих ситуациях может быть отождествлен с рассматриваемым. Поисковая активность есть врожденный адаптогенный психический фактор, который в идеале всесторонне важен и должен поддерживаться и развиваться в течение всей человеческой жизни.

 

Заметим, что идея поисковой активности, важности поискового поведения восходит к Выготскому, который утверждал, что жизнь в педагогике будущего «раскрывается как система творчества, постоянного напряжения и преодоления, постоянного комбинирования и создания новых форм поведения. Таким образом, каждая наша мысль, каждое наше движение и переживание является стремлением к созданию новой действительности, прорывом вперед к чему-то новому» (Выготский Л.С. Воображение и творчество в детском возрасте. М., 1991). Творчество в разных его ипостасях есть неотъемлемый атрибут развивающего обучения, а главное и общее, наличествующее в творческих актах, есть способность человека «действовать в неопределенных ситуациях» (Асмолов, 1996.).

 

Мы уделяем сейчас и далее развитию фактора поисковой активности при УМО отнюдь не (только) потому, что он специфичен при решении математических задач. Через посредство математики появляется уникальная возможность развивать его на идеальных, абстрактных моделях – это раз. А два – так это способствование поисковой активности процессу усвоения теоретических, но «живых», т.е. применяемых на практике (неважно, научной, творческой или просто повседневной) знаний. И здесь важно: поисковая, творческая, исследовательская активность, мышление предполагают многозначность, образность, целостность воспринятия проблемной ситуации. Математика же, со своей стороны, сама по себе как бы предполагает сугубо однозначный контекст мышления, его «логичность». Чтобы УМО не было односторонним, ограниченным лишь репродуктивным, однозначным мышлением, мы выдвигаем вместо классического дидактического принципа межпредметных связей тезис третий предлагаемой парадигмы УМО: о важности и необходимости продвинутого гуманитарного образования в параллель с образованием математическим. Обоснуем этот тезис, рассмотрев его вместе с принципом деятельностного подхода к УМО, ограничившись фактором активности в учебной (и прочей) деятельности (подчеркнем, вслед за Клейном: самостоятельной деятельности).

 

* * *

 

Внимание(!): сейчас пойдет речь о концепции лево/правополушарного мышления и выше упоминавшихся важных с точки зрения общего развития и образования концептах: психологического фактора поисковойактивности (1980-е гг., В.С.Ротенберг и В.В.Аршавский, Россия; см. Ротенберг В.С., Аршавский В.В. Поисковая активность и адаптация. – М., 1984.) и антагонистического фактора обученной (выученной) беспомощности (1990-е гг., М.Е.Селигман, США). Здесь не уместно подробно обсуждать эти концепции, однако в силу их сугубой важности для системы УМО кратко обрисуем ситуацию.

 

Если изначально заложенное в человеке поисковое поведение тормозится, что чаще всего происходит при дефиците эмоциональных контактов в раннем детстве, то это часто приводит к одностороннему развитию ребенка. Здесь слово «одностороннее» имеет вполне определенный психофизиологический смысл. Еще в 1950-е гг. психофизиологи экспериментально обнаружили функциональную асимметрию мозга. Исследования последних десятилетий позволили довольно точно установить специфические функции левого и правого полушарий. В самом общем виде гипотеза, подтверждаемая многими экспериментами, выдвинутая в 1990-х гг. В.Ротенбергом гласит: левое полушарие оперирует с информацией, сводящейся к однозначному контексту – отвечает за вербальное поведение, логическое (и математическое, а точнее – любое однозначное) мышление. Правое же полушарие способно целиком воспринимать многозначный контекст, интегрируя все многочисленные и даже противоречивые связи между объектами окружающего мира, оперируя с цельными образами окружающего. Совсем грубо, левополушарное мышление есть мышление логическое, однозначное, правополушарное есть мышление образное, многозначное.

 

Правое полушарие отвечает также за формирование многозначного «образа Я», соединяющего в себе все огромное множество представлений человека о самом себе и о своих отношениях к окружающему – миру, социуму. Оно ответственно за адаптацию человека к окружающему, и если образное восприятие оказывается нарушенным, возникает фактически клиническое состояние дезадаптации.

 

«Что же приводит к неполноценности образного мышления? Ведь человек рождается с высокими потенциальными предпосылками к такому мышлению. В раннем детстве преимущество в развитии на стороне правого полушария, и лишь постепенно и с большим трудом формируется доминантность логического мышления. И это вполне объяснимо – прежде всего младенцу необходимо воспринять мир целостно, объемно, непротиворечиво, и прежде всего он должен научиться реагировать на неопределенные, многозначные сигналы этого мира. Потому что эмоциональные реакции близких, любовь родителей – это многозначный контекст. Мы уже писали, что никаким анализом нельзя исчерпывающе определить, почему и как человек любит или не любит другого человека.

 

Но правое полушарие не только предуготовано к восприятию многозначности эмоциональной экспрессии – оно развивается и совершенствуется в своих функциях под влиянием этой экспрессии близких людей и под влиянием собственной эмоциональной экспрессии ребенка, проявляющейся в его двигательном, невербальном поведении. И поэтому дефицит эмоциональных контактов <…> и ограниченность эмоционального самовыражения <…> приводят к недоразвитию образного мышления, неспособности к созданию многозначного контекста, несформированности образа „Я“. А потом ребенок начинает развиваться в условиях все более активного давления нашей левополушарно ориентированной цивилизации, и в школе у него всеми способами активируют исключительно логическое мышление, и компьютерные игры продолжают эту тенденцию. И если уже сложившиеся эмоциональные контакты и художественные интересы и увлечения не противодействуют этим тенденциям, то образное мышление все более подавляется и возникают предпосылки для невротических и психосоматических расстройств». (Ротенберг, 2001;здесь и далее приведены ссылки на работу В.Ротенберга «Образ Я», которую можно найти в Интернете. С начала 1990-х гг. Вадим Ротенберг (г.р.1941) – профессор в Тель-Авиве.)

 

Таким образом, эмоциональные отношения, многозначные по своей природе, способствуют развитию многозначного, образного мышления. Напротив, по данным ведущих психоаналитиков у больных с психическими и психосоматическими заболеваниями выявляется систематический дефицит полноценных эмоциональных контактов в раннем детстве. Вся западная цивилизация и система образования также способствуют развитию левого полушария в ущерб правому и недостаточному формированию образного мышления.

 

«Если способность к формированию многозначного контекста не развивается и тем самым утрачены все преимущества этого способа адаптации к миру, естественной в нем интеграции – человек вынужден прибегать к другим механизмам адаптации. Он пытается восполнить свой дефект за счет все более выраженных усилий по упорядочиванию, структурализации действительности, т.е. за счет активации левого полушария. <…>

 

А в дополнение ко всему и сам человек, и все его окружение подталкивают левое полушарие к избыточной активности: убедившись, что ребенку или подростку легче даются точные науки, чем все то, что требует образного мышления, близкие вместо того, чтобы попытаться восполнить дефицит, начинают варварски эксплуатировать именно те способности и тенденции, которые и без того избыточны. И так до тех пор, пока левое полушарие, не уравновешенное трезвостью и жизненностью правого, не отрывается окончательно от реальности и не начинает парить в безвоздушном пространстве бредовых идей и галлюцинаций. Когда все поисковое поведение человека базируется только на возможностях однозначного контекста, он становится самодовлеющим и сам себя подстегивает» (там же).

 

Мы полагаем, что проделанный за последние десятилетия анализ и вытекающие из него выводы психологов и психофизиологов, касающиеся деформации в развитии функций – главным образом, логической (левополушарной) за счет образной (правополушарной), – заслуживают самого внимательного отношения со стороны педагогической психологии и непосредственного учета при построении любых программ развивающего обучения, в том числе и УМО. Адаптация к окружающему требует формирования полноценной поисковой активности, и без адекватного отношения школы, учителей к этой проблеме многие и многие школьники обречены на дезадаптацию, на формирование выученной беспомощности.

 

Отметим, что особенно это относится к математике и в самой большой степени – к учащимся, выбравшим углубленное изучение данного предмета. Математика как фундаментальная наука и как учебный предмет подразумевает творческую деятельность, а таковая отнюдь не будет развита без специального внимания к образному восприятию и мышлению, к формированию эмоционально-личностного отношения к предмету.

 

В.С.Ротенберг описывает принципы воспитания и обучения с учетом фактора поисковой активности почти в терминах школы Л.С.Выготского. «С раннего детства необходимо формировать потребность в поиске, при котором сам процесс активного изменения ситуации не менее притягателен для человека, чем даже самый желанный результат деятельности. Удовольствие от процесса преодоления препятствия может стать мощным стимулом поиска, но для этого нужно, чтобы ребенок почувствовал вкус преодоления. А для этого задачи должны быть не слишком легки и не чересчур сложны: на каждом этапе развития они должны чуть-чуть превосходить наличные возможности ребенка, вынуждая его для достижения успеха все время как бы „становиться на цыпочки“. И поощряться должен не столько конечный результат, сколько эта готовность не отступать в случае неудачи, все начинать сначала, отыскивать все новые способы решения проблемы, пусть даже недостаточно эффективные» (Вопр.психол., 1989, №6).

 

Противоположный поисковой активности интрапсихический фактор, внешне выражающийся как отказ от поиска в тех или иных проблемных ситуациях, называется обученной (выученной) беспомощностью. Наименование связано с тем, что отказ от поиска не присущ человеку (и животным, на которых был открыт феномен обученной беспомощности) изначально, а приобретается (может приобретаться) в результате разнообразного негативного опыта. Так, в младенчестве недостаток эмоционального общения со взрослыми может привести к обученной эмоциональной беспомощности, что на следующем этапе приводит к задержке развития эмоционально-волевой сферы и, как следствие, к отставанию в развитии мотивационной сферы, навыков общения и даже речи. К обученной беспомощности приводит и авторитарное воспитание в детстве, и гиперопека родителей.

 

В более старшем возрасте ребенок (подросток, взрослый), получая опыт обученной беспомощности, не обязательно его генерализует, относит ко всем видам своей деятельности – беспомощность компенсируется в других областях деятельности, в которых сохраняется и узко направленная поисковая активность. Ребенку младшего возраста какая-либо компенсаторная деятельность вообще может быть незнакомой, его обученная беспомощность генерализуется, вытесняется по Фрейду в бессознательное и приводит либо к неврозам, либо к психосоматической симптоматике.

 

Конечно, в таком случае развитие личности в процессе обучения становится проблематичным – здесь нужен уже не педагог, а врач. И не следует допускать обученную беспомощность до подобной стадии, и не следует в процессе обучения ни в какой мере провоцировать ее. Это – азы (вернее, оборотная сторона) развивающего обучения.

 

Спрашивается, при чем здесь гуманитарное образование? Учить поисковому поведению, не допускать (или, по крайней мере, компенсировать) обученную беспомощность – и дело с концом. – А вот здесь дело в том, что гуманитарное образование, способствуя развитию образного мышления, не только не позволяет доминировать одностороннему, только левополушарному мышлению, но и существенно способствует развитию творческого мышления, что весьма существенно, на наш взгляд, при профильном обучении (и не только математике!). Дальнейшее обсуждение в этом направлении мы пока опускаем.

 

* * *

 

Вопрос: а не может ли «сам предмет» математики в школе способствовать развитию у учащихся образного мышления, правого полушария, креативных способностей? – Наш опыт показывает, что действительно в рамках предмета математики возможно развитие как бы «правополушарного мышления»: взять хотя бы формирование геометрического воображения и пространственныхпредставлений, привитие эвристических способов решения задач, каких-то интуитивных и ассоциативных (многозначных) подходов, даже показ каких-то «иррациональных» приемов мышления (простейшие случаи работы интуиции, инсайта…)… Но этак мы далеко зайдем; к тому же многозначные контексты в алгебре или анализе указать довольно трудно (хотя они есть – например, аналогии между числовыми и прочими структурами, ассоциирование целых чисел и многочленов и др.). Но самое печальное – многозначность и образность мышления по сути своей входят в противоречие с традиционной парадигмой математического (и не только!) образования. Причем здесь следует не подновлять традиционную образовательную парадигму, а перейти к иной, развивающей, психодидактической парадигме.

 

Учитывая сложность нужного «поворота руля», а также возможные риски, было бы целесообразным (и левосторонне логичным!) перейти к новой парадигме и к формированию ее отражения в конкретном преподавании (т.е. стиля преподавания) в рамках только УМО. К рассмотрению образовательных парадигм и стилей преподавания мы и приступаем.

 

* * *

 

Самая главная идея рассматриваемой здесь концепции углубленного математического образования состоит в сочетании в учении (обучении) обучающего (образовательного) и воспитывающего аспектов. Методику, совокупность «рычагов» ее реализации в процессе преподавания курса мы называем стилем обучения, а непосредственно в учебных пособиях – стилем изложения. С точки зрения философии образования стиль обучения и изложения есть не что иное, как образовательная парадигма, т.е. принятая система принципов конструирования образовательного процесса. [Термин парадигма (от греч. paradeigma – «пример», «образец») у Платона означал идею как прообраз, первообраз реально существующего. В современной философии науки под парадигмой понимается принятая (нормативная) методология (Г.Бергман), модель постановки проблем и их решений (Т.Кун).] И коль скоро речь идет о предложении «собственной» парадигмы, проведем ее сопоставление с традиционной парадигмой математического образования, т.е. преимущественно применяемым на практике подходом к постановке процесса математического образования или, в нашей терминологии, общепринятым стилем преподавания математики.

 

Здесь в первую очередь следует рассматривать не идеи и концепции, высказываемые и выдвигаемые на сей счет математиками, методологами и методистами, а реально существующую практику, отраженную в учебниках. И здесь ведущим в преподавании математики – и в школе, и в вузах (университетах), – на протяжении, можно сказать, веков, является формально-дедуктивный подход. Несколько огрубляя в деталях весьма разнообразную картину, этот подход можно описать примерно так.

 

Учащимся (школьникам, студентам) без особых оснований или объяснений (по-нашему, без специальной мотивации) предъявляется некоторый список исходных понятий и положений (определений, аксиом, правил оперирования с введенными математическими объектами). Вслед за тем – опять-таки, без мотивирования, – формулируются и доказываются свойства «объектов изучения», устанавливаются (в смысле предъявляются) и обосновываются (доказываются) связи между ними. Таким образом, изучаемая математическая теория (арифметика, алгебра, геометрия, etc.) представляется как некий сводопределений, постулатов и правил, теорем и других сопутствующих предложений (т.е. логически выводимых утверждений). Как правило, в параллель к выстраиванию теоретической системы осуществляется и дидактическая ее как бы поддержка в виде «системы» (часто – просто набора) каких-то упражнений, задач, направленных на тренировку в формально-логических действиях с изучаемыми объектами, в применении их свойств в стандартной или измененной ситуации. Такова общая традиция изучения математики.

 

Британский исследователь Лео Роджерс в примечательной работе «Историческая реконструкция математического знания» [журнал «Математическое образование», 2001, №1] возводит описанный «формалистский подход» к Христиану Вольфу (1679–1754), немецкому математику и философу, последователю Декарта и Лейбница (и одному из учителей М.В.Ломоносова!) [Роджерс, с.75]. Излагая свои педагогические идеи, Вольф писал: «…Мой способ обучения следует естественному образу мышления» (1724). Однако представляется, что истоки дедуктивного подхода к изложению математики гораздо более глубокие и древние – они идут еще от Аристотеля, а непосредственно в математике – от фундаментального компилятивного труда «Начала» Евклида (VI в. до н.э.). Касательно утверждения Вольфа Роджерс замечает: «Хотя в этой вере и содержатся серьезные изъяны, всё же данная официальная догма является значимым “рабочим принципом” для многих преподавателей математики» (там же). Отметим, что это было (и есть!) так не только «для преподавателей математики» – евклидов подход столь впечатляющ, что даже Спиноза свою «Этику» изложил «по Евклиду»! [Бенедикт (Барух) Спиноза (1632–1677) – голландский философ-материалист, один из самых выдающихся мыслителей всех времен. Критиковал Декарта, общался с Лейбницем. «Этика, доказанная в геометрическом порядке» (1675) – основной труд Спинозы.]

 

Главный и очевидный недостаток формально-дедуктивного стиля преподавания математики состоит в том, что – при его последовательном воплощении в практику обучения – полностью игнорируются вопросы «Почему?» и «Зачем?»: почему выбраны те или иные определения? зачем доказывать те или иные свойства? почему математики выбрали для решения те или иные задачи? Иными словами, при таком подходе из процесса обучения оказывается изъятым существенный в воспитательном отношении момент мотивации. Выше мы отмечали, что этот («безмотивационный», «немотивированный») подход может быть вполне оправдан при изучении арифметики и формальной алгебры в младших и средних классах (с учетом психолого-возрастных факторов). То же во многом справедливо по отношению к изучению классической геометрии, в особенности стереометрии, даже в старших классах – в данном случае уже в силу большей конкретности предмета. Но этот же подход становится гораздо в меньшей степени оправданным при изучении абстрактных и алгебраических аспектов геометрии – преобразований, координат, векторов…; вопросы «зачем?» и «почему?» здесь являются уже вполне уместными. Наконец, формально-дедуктивный принцип обучения совсем мало приемлем при изучении алгебры и начал математического анализа в старших классах, и особенно – при углубленном изучении математики. Это так, опять же, по психолого-возрастным «соображениям» (но возраст и психология – иные!), а также из-за того, что указанные науки являются наиболее абстрактными. Основатель позитивизма французский философ Огюст Конт (1798–1857) в своей «Иерархии позитивных наук» (1830) относил геометрию к предпоследней, а «прочую» математику («науку о величинах») – к последней (по Конту, седьмой) «ступени абстракции». Несмотря на качественное развитие математики и изменение воззрений на ее предмет после Конта, по отношению к элементарной, «школьной» математике его классификация наук осталась вполне правомерной.

 

Другой негативной, особенно для углубленного математического образования, стороной традиционной образовательной парадигмы является то, что математика предстает перед обучающимися как бы «в готовом виде», как «набор итоговых результатов и инструментальных техник» [Роджерс, с.74]. И далее: «Этот дедуктивный стиль объявляется сущностью математики, и хотя считается допустимым упоминать об открытии и создании новых идей по ходу дела, эти идеи редко рассматриваются в историческом контексте, поскольку считается, что любые новые идеи должны быть представлены студентам (student на английском – в том числе и школьник) сразу же в “строгой” манере» (там же, с.74–75). Мы полагаем, что, по крайней мере, при углубленном изучении математики, речь должна идти даже не об «историческом контексте» рассмотрения «идей», а о более широком и общем культурно-историческом дискурсе в контексте собственно математического образования.

 

Таким образом, кроме вышеуказанных принципов интересности и привлекательности, активности в деятельности и «правополушарности», мы в предлагаемую психодидактическую концепцию УМО считаем важным включить принцип культурно-исторической ориентированности УМО. Не следует думать, что здесь есть какая-то тождественность или сходство с «культурно-исторической» концепцией психического развития (Выготский), хотя «созвучность» наименований, на наш взгляд, не совсем случайна… Чтобы эти различие и сходство были виднее, нужно хотя бы кратко очертить суть использования культурно-исторического дискурса математики в преподавании математики, чем и закончим наш беглый обзор психодидактических аспектов углубленного изучения математики.

 

* * *

 

Культурно-исторический дискурс в (углубленном) математическом образовании понимается нами как практика постоянного и систематического вовлечения в процесс изучения собственно математики, т.е. математического содержания образования, сведений культурно-исторического ряда:

 – привлечение конкретно-исторического материала, связанного с возникновением тех или иных конкретных математических содержаний: задач, понятий и определений, моделей, конструкций, подходов и идей, теорий и конкретных фактов (теорем, следствий, прочих утверждений), символики и терминологии (в частности, рассмотрение «математической этимологии»);

 – использование относящихся к конкретному математическому содержанию сведений, касающихся конкретно-исторических общественных, культурных, политических обстоятельств, оказавших прямое или опосредствованное влияние на развитие математики;

 – привлечение материалов историографического и биографического характера, показывающего роль личностных факторов и межличностных отношений, исторические особенности научных сообществ, имевших непосредственное отношение к развитию математики в его взаимосвязях с развитием других наук, искусств, культуры, техники, технологии…

 

Указанные здесь составляющие культурно-исторического дискурса представлены в соответствии с принятыми концепциями истории математики. Несмотря на пространное описание составляющих рассматриваемого дискурса, подразумевается, что весь относящийся к нему материал играет подчиненную, вспомогательную роль по

отношению к основному математическому материалу.

 

Сам по себе термин «дискурс» [от лат. discursus – «беседа», «разговор»; другие значения этого слова: «бегание туда и сюда», «барахтанье», «круговорот», «беспрерывное мелькание»!] ввел в философский и культурологический оборот Мишель Фуко, французский философ и историк культуры (1926–1984), для обозначения «совокупностей высказываний», относящихся к тем или иным «деятельностным практикам» и составляющих философию. Иными словами, под дискурсом понимается «процесс получения нового знания на основе философски и научно состоятельных суждений, представленных в языковой форме» [Канке В.А. Философия. Исторический и систематический курс. – М.: Логос, 2001, с.163].

 

Рассматриваемый нами культурно-исторический дискурс в математическом образовании предполагает использование суждений в адекватной целям собственно (углубленного) математического образования интерпретации. Для суждений относительно фактов истории математики это вполне естественно и общепринято, причем практикуются весьма разнообразные подходы к интерпретации; наши подходы диктуются воспитательным и образовательным аспектами процесса обучения математике.

 

Теперь о значении такого стиля преподавания математики, непосредственно о тех целях, которые могут быть достигнуты, которых мы желаем достичь посредством сочетания основного математического контекста процесса обучения и культурно-исторического дискурса.

 

Прежде всего, это демонстрация целесообразности (целе-сообразности!) построения (создания, развития) математических теорий – постановка вопросов «зачем?» и «почему?» в каждом (по возможности) принципиально важном случае, объяснение того, откуда берутся математические задачи, модели, теории.

 

Далее, такой дискурс позволяет показать сам предмет математики не в застывшем, «готовом» виде, а как развивающуюся науку, как систему взаимосвязанных теорий и различных подходов к решению тех или иных конкретных задач в их зарождении. Рассматривается не просто математика, а диалектика математики.

 

Третье: математика представляется не в изолированном виде, а как органичная и неотъемлемая часть всей системы научного познания мира, как важная составляющая культуры и цивилизации. Говоря словами бельгийского математика и педагога Вилли Сервэ, математика показывается как «культура в лоне культуры и техника в сердце техники»: «Мы <…> находимся сейчас <…> в высокой математической конъюнктуре, никогда прежде не достигавшейся. Больше, чем когда-либо, математика является одновременно культурой в лоне культуры и техникой в сердце техники» (1956).

 

Четвертое: показывается роль математиков, «Men of Mathematics», личностей в развитии математики, в решении задач практики; роль математики и математиков, математических сообществ в общественной жизни, в становлении человеческой цивилизации, в развитии общечеловеческой культуры.

 

Что это дает непосредственно для образования? – Развитие интереса к предмету. Формирование правильного представления о предмете и о его роли. Общекультурное образование, к которому, вне сомнения, относится знание истории предмета. И как итог, важнейший в воспитательном отношении, – формирование личного, личностного, психологического отношения к предмету. Именно такое отношение поможет сориентироваться в выборе своего дальнейшего пути, сделает этот выбор свободным (или, по крайней мере, более свободным). Такой характер школьного образования позволит развиваться и дальше, причем совсем не обязательно именно как будущему математику, а именно что как достаточно разносторонне образованному человеку…

 

Конечно, все это действительно достижимо… но только при условии адекватной поставленным целям организации процесса обучения.

 

Наилучшим способом реализации идеи культурно-исторического сопровождения курса математики было бы использование соответствующего материала непосредственно учителем в соответствии с конкретными потребностями – своими и обучаемого класса, в том числе психологическими. Однако это предполагает, во-первых, наличие адекватных указанной идее методических внутренних установок у учителя (можно сказать, переориентировка в стиле преподавания), во-вторых, что самое главное, владение учителем соответствующим материалом по истории математики (мы не говорим еще и о достаточном уровне педагогического мастерства, и об опыте проведения такого подхода – не на уровне «анекдотов», а в качестве серьезной и уместной компоненты уроков–лекций–диалогов: то и другое, как известно, дело наживное – был бы настрой!). И приходится признать дефицит нужных культурно-исторических знаний у значительной части учителей, а причина этого – не какие-то недостатки педагогического образования, а попросту «неподъемность» указанного пласта образования, в силу его обширности и в условиях отсутствия учебных или иных книг, хотя бы в какой-то мере охватывающих все культурно-исторические и философо-методологические аспекты развития математического знания. В этой связи отметим, что, тем не менее, при любой собственной концепции преподавания математики, самое полезное для учителя, для его и методического, и методологического (и общекультурного, и профессионального!) самообразования – это изучение как раз истории математики! Это, однако, всего лишь рекомендация (или, если угодно, благое пожелание), а как можно реально способствовать воплощению рассматриваемых педагогических установок в практике обучения?

 

Первое, что напрашивается: включение в учебно-методический комплект соответствующей книги, предназначенной учителю. Однако такое решение попросту нерационально: культурно-исторический «антураж» уместен и может принести действительную пользу лишь в том случае, если он непосредственно привязан к математическому образовательному контексту, т.е., попросту говоря, к конкретному математическому содержанию. Бессмысленно и лишено нужного педагогического воздействия описание и даже упоминание тех или иных исторических обстоятельств и сведений вне непосредственной связи с изучаемым в данный конкретный момент материалом, так что по содержанию подобная книга одновременно должна быть и учебником математики. Учитывая, что любой учебник равно направлен (но по-разному!) и на обучающегося, и на обучающего, адресован как ученику, так и учителю, понятно, что нет необходимости в создании специальной книги для учителя, а нужно как-то интегрировать содержание культурно-исторического дискурса непосредственно в учебник. Но каким образом? И в чем тогда будет состоять миссия учителя? – На второй вопрос ответить проще: основная задача учителя – эффективное обучение предмету, а культурно-исторический дискурс – вспомогательное средство в процессе обучения, направленное на решение, главным образом, воспитательных задач. И учитель должен сориентировать своих учеников в предмете, в том числе, и в его культурно-историческом содержании, стимулировать самостоятельное использование учащимися культурно-исторического дискурса, привлечь первоначальный интерес учащихся к этому – общекультурному – аспекту математики. А как – по-разному, в зависимости от конкретных обстоятельств, от своей практики, опыта, стиля преподавания (вспомните слова Клейна: «Учитель должен быть, так сказать, дипломатом; он должен учитывать душевные движения юноши [и девушки, конечно, тоже! «Дискриминирующие» слова Клейна объясняются тем, что в Германии начала XX в. гимназическое образование получали по преимуществу юноши], должен уметь возбудить его интерес…».

 

Теперь о том, как в одной книге сочетать математическое содержание и культурно-исторический дискурс. В каком-то (очень бедном) смысле такое сочетание осуществляется и в действующих учебниках, скажем, алгебры и начал анализа: в конце каждой главы приведен совсем коротенький раздел «Сведения из истории». Даже если расширить эти разделы, подобная компоновка материала кажется нам неудовлетворительной: исторические сведения не привязаны к конкретным математически содержательным сведениям, и в итоге исторические рубрики остаются вне поля внимания учащихся. В некоторых книгах общекультурный и исторический материал имеет конкретную привязку, но дается в виде примечаний – хорошо, если подстрочных, а то и вынесенных (как то обычно делается в математических монографиях и в некоторых учебниках по высшей математике) в конец главы или даже всей книги. Вынесенные примечания, как известно многим читателям даже поэзии или беллетристики, довольно неудобны (правда, в художественной литературе подстрочные комментарии – это вообще нонсенс; они уместны разве что для переводов иноязычных вставок и фрагментов). Подстрочные примечания лучше, но влекут значительные ограничения на объем – не может же книга, тем более, учебник, скажем, на 20% состоять из примечаний.

 

Есть (по-моему, единственная) удачная в отношении композиции математического и исторического содержания книга, которая может считаться учебной [можно указать еще на блестящий двухтомник Феликса Клейна: «Элементарная математика с точки зрения высшей», не так давно переизданный; но сей трактат по преимуществу методико-методологический, а не учебный] – это популярнейшая из почти популярных книга Р.Куранта и Г.Роббинса «Что такое математика?: Элементарный очерк идей и методов». Основной автор, один из крупнейших математиков XX в. Рихард Курант (1888–1972) – ученик Гильберта, эмигрировавший в 1934 г. из фашистской Германии в Соединенные Штаты Америки, – задумал книгу как раз такую, «читая которую, можно было бы “войти в соприкосновение с самим содержанием живой математической науки”» [это цитата из «Предисловия к третьему изданию на русском языке» математика В.М.Тихомирова, который, в свою очередь, цитирует предисловие самого Куранта, 1941]. Этот свой труд Курант понимал как «попытку» «избежать всего слишком технического или искусственного, делая изложение математики в одинаковой степени свободным от духа школьной рутины и от мертвящего догматизма, отказывающегося от мотивировок и указания целей, – того самого догматизма, который представляет собой столь неприятное препятствие для честного усилия» [это уже непосредственно из «Предисловия к первому изданию» Р.Куранта]. Ведущий автор придавал книге большое значение именно как попытке (слово Куранта!) преодоления формально-дидактической парадигмы в изложении математики – задаче, тогда (да и посейчас) в США весьма злободневной [о драматической истории написания и издания книги Куранта и Роббинса см. в «Добавлении 2» к 3-му ее изданию на русском 

А. Л. Тоом (Бразилия). Текстовые задачи: приложения или умственные манипулятивы

25.04.2017

Перевод с английского Е.А. Муравьевой

Так же, как Жерофски (1996), Томас (1997) и Бут (1998), печатавшиеся сравнительно недавно в этом журнале, я очень интересуюсь текстовыми задачами и хотел бы кое-что сказать об этом. На школьном уровне многие нетекстовые задачи — лишь технические упражнения, необходимые, но не слишком интересные. Многие интересные и нестандартные задачи существуют в форме текстовых задач. Это не значит, что все текстовые задачи сложны, но все они требуют некоторого понимания естественного языка и способности переводить один в другой разные виды представления: слова, символы, образы. Это сходно с основной мыслью Томаса, хотя я не вполне согласен с его подходом к решению уравнений.

В России, где я вырос, текстовые задачи десятилетиями использовались на всех уровнях сложности, с различными целями — от распространения математической грамотности до «озадачивания» наиболее одаренных детей. Если вы откроете любую русскую книжку для младшей, средней или высшей школы, любой занимательный или олимпиадный сборник, вы обнаружите множество текстовых задач. Например, знаменитая книга Перельмана «Занимательная алгебра» содержит много превосходных задач, в том числе такую: Артель косарей должна была скосить два луга, один в два раза больше другого. Полдня артель косила больший луг. Затем артель разделилась. Половина работников осталась на большем лугу и закончила его к вечеру. Другая половина работала на меньшем лугу, но в этот день работу не закончила. Остаток скосил один работник на следующий день. Сколько было косарей? (1976, стр. 39).

Этой задаче больше ста лет. Известно, что Лев Толстой, весьма интересовавшийся вопросами народного просвещения, очень любил ее, потому что она решается визуально, без применения алгебры [2].

Здесь я хочу обратиться к следующему важному вопросу, заданному Жерофски: «Все это подводит меня к вопросу, на который у меня еще нет ответа, вопросу о целях текстовых задач как жанра» (стр. 41). Хотя русские учителя издавна используют текстовые задачи весьма продуктивно, они, насколько мне известно, никогда не пытались рационально объяснить, почему же текстовые задачи так полезны, потому что никому из них не приходило в голову в этом усомниться. Они руководствовались и продолжают руководствоваться традицией, опытом, интуицией и эстетическими критериями — и все это не стоит сбрасывать со счетов. Однако я согласен с Жерофски, что в настоящей ситуации надо обсудить, каковы же цели текстовых задач. Она замечает: «Утверждение, что текстовые задачи дают практику в решении проблем реальной жизни, малоубедительно, поскольку истории эти гипотетичны, практической ценности не представляют и, в отличие от реальных ситуаций, дополнительную информацию привлечь нельзя. Тем не менее, они имеют долгую и непрерывную традицию в математическом образовании, и эта традиция значима» (стр. 41).

Я убежден, что на ее вопрос нет единственного ответа: как многие другие культурные явления (басни, например), текстовые задачи имеют несколько целей. Здесь я сосредоточусь на двух и сравню их между собой: текстовые задачи как прикладные и как умственные манипулятивы.

Текстовые задачи как прикладные

В этом случае задача дает приложение математики к некой ситуации, возможной в повседневной жизни. Вот, например: «В магазине продаются апельсины по восемь штук за доллар. Покупатель хочет взять семь. Сколько он должен заплатить?» Эта задача основана на реальном случае из моей жизни. Я покупал продукты в магазине, где восемь апельсинов продавались за один доллар. Я положил (как мне казалось) восемь апельсинов в пакет и пошел к кассирше, которая сосчитала апельсины и сказала, что их только семь. Я попросил ее назвать их стоимость. Она схватилась за калькулятор, но не знала, что считать. Она позвала своего начальника с калькулятором побольше, но он тоже не мог сосчитать. Он пересчитал апельсины, обнаружил, что их восемь, тем дело и кончилось.

Я знаю, что истории о математической безграмотности молодежи рассказывают во множестве. Вопрос в том, что из этого следует? Некоторые образователи предлагают увеличить внимание к «задачам из реального мира», возможно, напоминающим вышеприведенную. Я утверждаю, что «задачи из реального мира» не могут составлять единственную или даже основную часть задач, используемых в классе, и могу привести два резона этому. Один в том, что изучение математики должно быть систематическим: если какая-то тема вообще изучается, то в результате нужно научиться решать все задачи в пределах определенных рамок сложности, и понятно, что они в большинстве своем не будут иметь ничего общего с реальной жизнью. Другой резон, по моему мнению, еще более важный, будет приведен ниже.

Текстовые задачи как манипулятивы

Эти задачи имеют дело с воображаемыми ситуациями, которым необязательно встречаться в повседневной жизни. Числовые данные необязательно брать из действительности. То, что требуется узнать, необязательно неизвестно или нужно в действительности, а то, что дано, не всегда доступно в повседневной жизни. Внутренняя последовательность или интересная математическая структура важнее, чем соотнесенность или значимость в реальности. Цель этих задач — ввести детей в основы математики — такие, как теория чисел, теория графов или комбинаторика, но избежать при этом сложностей профессиональной терминологии.

Конечно, эти две функции текстовых задач не исключают одна другой. Многие задачи, используемые в школах и входящие в сборники, являются смесью этих типов. Однако, многие из лучших и наиболее педагогически полезных задач явно принадлежат ко второму типу: они не из «реального мира». Их цель — передать математическую идею, то есть использовать подходящие конкретные объекты для представления или овеществления абстрактных математических понятий. Подобно животным в баснях, «реальные объекты» в этих задачах не следует понимать буквально. Это аллегории, умственные манипулятивы или овеществления, прокладывающие детям дорогу к абстракциям.

Например, монеты, орехи и пуговицы легко отделить друг от друга и сосчитать, и поэтому они удобны для представления отношений между целыми числами. Самым младшим детям нужны реальные предметы, которые можно потрогать, более старшие могут их себе представить — это уже следующий шаг в интеллектуальном развитии. Вот почему задачи с монетами так хороши для начальной школы. Насосы и другие механические устройства легко вообразить работающими в постоянном режиме. Задачи на производительность и скорость должны быть (и в России являются) обычными уже в средней школе. Поезда, автомобили и корабли так широко представлены в задачниках не потому, что все ученики собираются заниматься транспортным бизнесом, но по иной, гораздо более здравой, причине: эти объекты легко представить себе движущимися с постоянной скоростью, и поэтому они подходят для овеществления представления о постоянном движении, что, в свою очередь, может служить овеществлением линейной функции. Таким образом, мы можем вести детей все дальше и дальше по пути деконкретизации, то есть — развивать абстрактное мышление.

Давайте не забудем, что формальное и абстрактное мышление, необходимое, чтобы преуспеть в современном цивилизованном технологическом обществе, не является автоматическим результатом физиологического созревания или социальной адаптации. Дети не научаются мыслить формально или абстрактно так же естественно, как они научаются бегать, прыгать или говорить.

Умение решать школьные задачи само по себе не есть, конечно, результат. В школе ученики получают начатки научной информации и научного мышления. Невозможно было бы создавать, проверять и использовать научную информацию, если бы каждое отдельное рассуждение нужно было бы сравнивать с реальностью или с доступной информацией о реальности (Тульвисте, 1991, стр. 122).

Такие наблюдения (и сходные, приведенные Бутом (1998) в его статье в данном журнале) заставляют меня думать, что обучение решению задач из «нереального мира», в которых следует воспринимать данные как абстрактные гипотезы, а не утверждения о реальности, и делать выводы из этих данных, очень важно для формирования способности к формальному рассуждению.

Необходимость прилагать сознательные и организованные усилия к развитию у детей абстрактного мышления особенно очевидна в такой стране, как Россия, где исторически многие люди были необразованными. Например, в начале этого столетия множество россиян были неграмотными, и я уверен, что теоретические воззрения Выготского следует рассматривать в связи с мощным движением к народному образованию, имевшим место в России в конце девятнадцатого и начале двадцатого веков. Этот просветительский пафос можно ощутить и в работах Перельмана, опубликовавшего несколько замечательных популяризаций математики, включая «Занимательную алгебру».

Когда я приехал в США девять лет назад и начал преподавать, я обнаружил, что многие университетские студенты очень плохо справляются с решением текстовых задач. Когда я стал читать некоторую американскую образовательную литературу, я обнаружил странный (для меня) подход к текстовым задачам, совершенно отличный от того, к какому я привык в России. Похоже, что многие считают, что задачи, решаемые на уроках математики, должны быть как можно ближе к повседневной жизни.

Я полагаю, что этот подход берет свое начало у известного американского психолога и преподавателя Эдварда Торндайка, в чьей авторитетной книге «Психология алгебры» имеется глава, названная «Нереальные и бесполезные задачи», начинающаяся так: «В предыдущей главе было показано, что около половины задач, дающихся в стандартных курсах, ненастоящие, поскольку в реальной жизни ответ никогда не понадобится. Очевидно, не стоит, разве что для объема, таким образом соединять алгебраическую работу с никчемностью» (1926, стр. 258).

Хотя Торндайк старался придерживаться строго научного подхода, такие слова, как «настоящий» с одной стороны и «нереальный и бесполезный» с другой — имеют сильный оценочный оттенок, как те, что используются (верно или неверно) в политической пропаганде.

Давайте применим подход Торндайка к задаче, приведенной в начале. Задача Льва Толстого. Разве могут несколько человек, косящих луг, не знать, сколько их всего? Конечно, нет. Таким образом, по критерию Торндайка, задача нереальна и бесполезна и, если дать ее детям, вызовет ощущение никчемности. Однако, уверяю вас, это не так.

Существует важное сходство между детской игрой и математикой: в обоих случаях исключительно важно творческое воображение. Идея не нова. Например, Мартин Гарднер (1959) писал: «Возможно, даже за чистой математикой скрывается потребность в игре».

Однако, многие, похоже, следуют больше Торндайку, чем Гарднеру. Например, в статье Залмана Усыскина (1995), перепечатанной в журнале «Учитель математики» на 75-ю годовщину Национального Совета Учителей Математики США, говорится: «Алгебра имеет так много приложений, что дутые традиционные задачи больше не нужны» (стр. 159). Объяснение, как мне кажется, в том, что существует и действует странная, но широко распространенная теория, которую я бы назвал теорией не-переноса. Согласно этой теории дети не могут переносить умения и знания из класса в жизнь за пределами школы и, поскольку целью образования является просто лучшее приспособление к этой самой жизни, занятия должны быть заполнены задачами, которые люди решают в повседневной жизни. К тому же, детей никак не может интересовать то, что не связано с повседневностью.

Вот всего один пример. Такая задача может использоваться чуть ли не повсюду на земном шаре без всяких ограничений: Салли на пять лет старше своего брата Билла. Через четыре года она будет в два раза старше, чем тогда будет Биллу. Сколько лет Салли сейчас? Но она объявляется негодной по следующей причине: «Прежде всего, кто бы мог задать подобный вопрос? Кому это может понадобиться? Если Билл и Салли сами не знают, это какая-то семья идиотов». (Смит,1994,стр.85).

Как пример противоположного, гораздо более продуктивного подхода, позвольте мне снова процитировать Перельмана. Вторая часть его книги, называемая «Язык алгебры», состоит из 25 разделов, каждый из которых посвящен определенной обучающей задаче. Один из них, «Уравнение думает за нас», начинается так: «Если вы не верите, что уравнение иногда гораздо благоразумнее нас, решите следующую задачу: Отцу 32 года, сыну 5. Через сколько лет возраст отца в десять раз превзойдет возраст сына?»

Уравнение составлено и решено, но результат отрицательный: –2, что же это значит? Перельман объясняет: «Когда мы составляли уравнение, мы не думали, что возраст отца никогда не будет в десять раз больше возраста сына в будущем, — такое соотношение могло иметь место только в прошлом. Уравнение оказалось более думающим и напомнило нам о нашем упущении».

Я считаю, что этот комментарий по-настоящему поучителен: сказку стоит рассказать ради морали, и для меня это весомая причина для такого обсуждения.

Представьте, что какие-то воображаемые учителя литературы в некой стране профессионально обучены так, что считают бесполезными все сказки, басни и фантастические рассказы. Когда им рассказывают басню, где животные разговаривают друг с другом, они не могут ее уразуметь и получить нормальное удовольствие, как это делают дети, но мучают свое воображение, пытаясь представить, как такое могло случиться в реальной жизни: или животных специально учили говорить? Или им сделали какую-то операцию? Или это переодетые люди? И так далее.

Я, конечно, не имею в виду, что все дети должны интересоваться или интересуются неуклюжими или неестественными сюжетами. Я не призываю использовать случайные или хаотичные задачи. Напротив, я считаю, что задачи должны быть математическими проблемами, представленными в доступной для детей форме, и их качество зависит в первую очередь от качества их внутренней математической структуры, а также от их изящества и доступности. Это значит, что они не должны быть перегружены незначащими или случайными деталями.

Хорошая задача должна быть эстетически притягательна как предмет искусства. Возьмем басню Эзопа «Ворона и лисица». С одной стороны, она пользуется образами, известными каждому ребенку, с другой — в ней нет незначащих деталей. Однако, с упомянутой выше странной точки зрения, эта басня может быть полезна только тем, у кого есть шанс в некоем уже предусмотренном будущем взгромоздиться на ветку с куском сыра во рту.

Мы имеем здесь дело с одним из главнейших законов культуры: человеческая культура никогда не отражает реальность один к одному. Она сгущает, упрощает, идеализирует. Географические карты не могут и не должны быть равны тому ландшафту, который они представляют. Создания человеческого ума подчинены суровому закону экономии: избытка следует избегать, каждая деталь должна служить своей цели.

Хорошая задача обладает всеми теми же свойствами, которые генерал Чак Йагер (первый, кто летал быстрее звука) приписал хорошему самолетному двигателю: «простой, частей немного, легко управлять, очень сильный» (цитировано у Бентли, 1989, стр. 6). Многие из так называемых задач «реального мира» запутаны и небрежны. Реальный мир полон хлама, излишеств, нелепости и скуки, всего того, чего следует избегать на уроках математики.

Jon Bentley. Programming Pearls. Addison-Wesley, 1989.

Susan Gerofsky. A Linguistic and Narrative View of Word Problems in Mathematical Education. For the Learning of Mathematics,16, 2 (June 1996), pp. 36-45.

Robert Thomas, Susan Gerofsky. An Exchange about Word Problems. For the Learning of Mathematics, 17, 2 (June 1997), pp. 21-23.

Ya. I. Perelman. Recreative algebra. Nauka, Moscow, 1976.

Peeter Tulviste. The Cultural-Historical Development of Verbal Thinking. Translated by Marie Jaroszewska Hal. Nova Science Publishers, 1991.

Edward L. Thorndike a.o. The psychology of algebra. The Macmillan Company, New York, 1926.

Martin Gardner. The Scientific American Book of Mathematical Puzzles & Diversions. Simon and Schuster, New York, 1959.

Zalman Usiskin. What Should Not Be in the Algebra and Geometry Curricula of Average College-Bound Students? Mathematics Teacher, v. 88, n. 2, February 1995, pp. 156-164.

Michael K. Smith. Humble Pi. Prometeus Books, 1994.

Наши комментарии [1] Приводим толкование термина, принадлежащее автору статьи. Манипулятив — это любой физический предмет, используемый при обучении математике для овеществления каких-либо абстракций. Всем известный пример — счетные палочки. В настоящее время в Америке очень модно всячески преувеличивать значение манипулятивов. Конечно, они необходимы маленьким детям, но по мере их взросления становятся нужны все меньше. Вместо буквальных, ощутимых манипулятивов становятся нужны воображаемые, умственные манипулятивы, ради которых, собственно, и написана эта статья. Когда в старших классах ученики рассуждают о том, сколькими способами комиссия из десяти человек может выбрать председателя, секретаря и казначея, то это не приложение комбинаторики к организационной работе; это комбинаторика, а комиссия и т.д. — умственный манипулятив.

Потребность в умственных манипулятивах никогда не кончается, она присуща и профессиональным математикам на самом высоком уровне. Вот пример — рассказ Роланда Львовича Добрушина в интервью, данном им Евгению Борисовичу Дынкину: «Ну вот, я помню задачу, на которой я понял, что такое теория вероятности. Это была задача, которая была сформулирована для нас, слово «вероятность» не знавших. Это задача такая: есть N резервуаров, из каждого из них какая-то доля воды переливается в другой резервуар, и надо доказать, что количество воды в данном резервуаре стремится к пределу. Честно говоря, я думаю, что для меня до сих пор так вероятность и осталась водой, жидкостью, которая переливается из одного сосуда в другой. Так я себе и мыслю случайный процесс. (Роланд Львович Добрушин. К 70-летию со дня рождения. Москва, 1999, с. 9.)

[2] Визуальное решение может быть таким. Один прямоугольник, изображает у нас больший луг и второй прямоугольник, площадь которого в 2 раза меньше площади первого — изображает меньший луг. 2/3большего луга скосила вся бригада за полдня, следовательно, за день она скосила 4/3 большого луга (весь большой луг и 1/3 меньшего), а один косец за день скосил 1/2 – 1/3 = 1/6 большего луга. 4/3 больше 1/6 в 8 раз, следовательно, в артели 8 косцов.

[3] Чтение статьи А.Тоома навело меня на мысль добавить к ней еще один комментарий. Он относится к цели использования текстовых задач. У нас в России тоже были и есть специалисты, видящие цели использования задач достаточно узко: только применение результатов на практике. Здесь очень уместен вопрос: так ли глупы были китайцы, дававшие во II в. задачу такого содержания.

Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетели одновременно. Через сколько дней они встретятся?

Вдумаемся! Средства связи того времени не позволяли ни осуществить одновременный старт, ни проконтролировать момент встречи! Так почему китайцы давали решать во II в. своим детям такие задачи? Может быть, их интересовало не непосредственное приложение полученного результата (да еще дробного!), а нечто иное — результат, оставляемый процессом мышления в голове ребенка? Не случайно же именно китайцы изобрели порох, бумагу. Впрочем, пример с басней Эзопа из статьи А.Л.Тоома кажется мне еще убедительней!

Опубликовано в газете «Математика», 2004, №47. 

А. В. Шевкин. Московские «двоечники» могут спать спокойно, согласно Закону «Об общем образовании в Москве»

25.04.2017

«Комсомольская правда» от 14 февраля 2004 г. сообщила радостную весть: в Москве принят Закон «Об общем образовании в Москве». Положения закона корреспонденту «КП» пояснил председатель думской комиссии по образованию известный депутат и Заслуженный учитель Евгений Абрамович Бунимович. Меня поразило четвертое положение этих пояснений, которое я процитирую полностью и прокомментирую.

«Любой девятиклассник (даже тот, который слабо «тянет» лямку, но хочет учиться в 10-м и 11-м классе) сможет продолжать обучение в старшей школе. Но это не значит, что хилого «троечника» обязаны взять, допустим, в профильный математический класс. Этот девятиклассник имеет право пойти в базовый десятый класс. Отказать в приеме ему не имеют права. Контролировать действия руководителей школ поручено городским комиссиям по защите прав несовершеннолетних».

То-то теперь мы заживем счастливо! Спасибо родной мосгордуме и лично Е.А. Бунимовичу! Видимо, следующий закон мосгордумы должен быть таким, чтобы его можно было прокомментировать так: любой выпускник (даже тот, который слабо «тянул» лямку в школе, но хочет учиться в институте или работать в престижной фирме) имеет право поступить в понравившийся ему институт или пойти работать на престижную фирму. Конечно, нашего хилого выпускника не обязаны брать, допустим, на мехмат МГУ им. М.В.Ломоносова, но обязаны зачислить в базовый вуз (список таких вузов войдет, видимо, в приложение к Закону). При приеме на работу он должен иметь право на 60% максимальной зарплаты по отрасли (согласно привычной для него схеме оплаты труда в школе). Отказать в приеме ему не имеют права. Контролировать действия руководителей «базовых» вузов и фирм будет поручено городским комиссиям по защите прав человека.

Я специально подробно процитировал разъяснения г. Бунимовича и специально предупреждаю: закон, который я комментировал в предыдущем абзаце, еще не принят. Пока еще «базовый» вуз и престижная фирма ничего не обязаны. Пока. Я просто довожу мысль наших законодателей от образования до логического завершения (а получается, что до абсурда!).

В отдельно взятой Москве победил-таки коммунистический принцип оплаты труда! Пока, правда, только в образовании! Польза от этого закона огромная! «Двоечнику» разъяснили его права, от него, действительно, требуют по способностям, дают по потребности — больше «тройки» ведь ему и не надо!

До чего доводит неплохих ребят уверенность, что можно не напрягаться, я знаю по собственному опыту. Из моей школы ушла молодая учительница и мне «доверили» довести ее 11 класс до выпускного экзамена. Мои новые одиннадцатиклассники не могут извлечь квадратный корень из дискриминанта 25 – 4*4, так как сначала вычитают, а потом умножают! Они ошибаются на уровне начальной школы, а я должен учить их интегралам! Они не могут вычислить значение выражения 4 – (–2), а я должен учить их высоким материям и подготовить к школьному выпускному экзамену!

Вспоминается моя прошлогодняя выпускница, которая, разумеется, сдала экзамен по алгебре (по открытым текстам) на оценку, резко превышающую ее текущие учебные показатели. Вы догадались, наверное, что ей удалось воспользоваться одним из решебников, которые специально для этого случая издали сразу несколько издательств, названия которых для меня звучат одинаково: «Деньги не пахнут!». Так эта выпускница в самостоятельной работе по стереометрии применила сразу два запомнившихся мне «научных» факта: «теорему Пифагора»: с = аb и «формулу объема прямоугольного параллелепипеда»: V = а + b + c. Вы думаете она от природы такая неспособная к учению? Уверяю вас, такой ее сделала система обучения, разложившая и развратившая ее окончательно неотвратимостью «тройки». Ей просто не нужно было все это знать, она ничего не хотела знать и ничего не хотела делать, так как «3» все равно поставят. Тогда почему я должен оценивать ее потрясающие «знания» положительной отметкой «3»?

Возможно, я не стал бы писать в газету по поводу принятого Закона (мало ли что меня возмущает в текущей жизни!), но мне известно, что г. Бунимович любит порассуждать о нечестности школьного экзамена! Закон, который с гордостью прокомментировал г. Бунимович, законодательно закрепляет (пока только в Москве) сложившуюся в стране добровольно-принудительную систему образования: ученики добровольно идут в старшие классы, не беря на себя никаких обязательств, а учителя принуждаются (как это делается — это отдельная и интересная тема!) выставлять им незаработанные «тройки», а теперь уже и «четверки» («качество» должно расти вопреки падению всего и вся!). А потом еще «реформаторы» образования удивляются, что их независимый и объективный ЕГЭ дает так много «двоек», что правила их выставления приходится корректировать по ходу обработки данных экзамена!

Если уж и принимать какой-то закон, который защитит интересы школьника и общества, так это закон, изменяющий систему оценивания школьных успехов. Перехожу к конкретным предложениям.

Известно, что одним из направлений реформирования школы является создание более совершенной системы оценивания учебных успехов школьников. Имеющаяся четырехбалльная система отметок («2», «3», «4», «5») не стимулирует школьников, которые согласны иметь незаслуженную «тройку», лишь бы не прикладывать больших усилий в учебе. В педагогическое сообщество одна за другой вброшены для обсуждения идеи 12-ти, 100-балльной, а теперь еще и 30-балльной системы оценивания учебных успехов школьников, которые на самом деле ничего не изменят.

Не вникая в причины, порождающие необъективность школьного экзамена, а теперь еще и усугубляя их новыми законами, нам навязывают ЕГЭ и прочие многозатратные решения проблемы, которые не создают долгосрочных стимулов в учении школьникам и не освобождают учителей от унизительной обязанности положительно оценить учебные успехи каждого ученика — независимо от его отношения к учебному труду. Как и многие другие начинания реформаторов, идея 30-балльной шкалы отметок обречена на провал потому, что, образно говоря, направлена не на лечение болезни, а на создание более сложного, но вряд ли более совершенного «градусника». Если менять только цену деления шкалы измерения, то это совсем не повлияет на учебный процесс. Необходима другая мера, не просто фиксирующая достижения школьников в учебе, а стимулирующая эти достижения. Нужна кардинальная идея, желательно, наименее травматичная для теперешней еле дышащей и ничем не обеспеченной школы.

Сделаем маленький исторический экскурс. Встречая 100-летие со дня рождения В.И.Ленина, страна отказалась от второгодничества и поэтапно ввела «условные переводы». При этом в системе оценивания не было изменено ничего, что повышало бы ответственность ученика за качество учебного труда! Это была преждевременная победа коммунистического принципа распределения материальных благ: «от каждого по способностям, каждому по потребностям». Было это как раз в то время, когда проводилась реформа школы конца 60-х годов. С тех пор, находясь внутри школы уже 32-й год, я наблюдаю постепенное ухудшение качества образования. Это ухудшение заметили многие, но почему-то считается, что причиной тому было введение новых программ и учебников и сама реформа. Не буду описывать систему большой лжи, которая построена за эти годы, она выражается в знаменитой фразе «три пишем — два в уме». Я касался этого вопроса в статье «Над пропастью во лжи, или Будет ли толк от бестолковой реформы?» (Первое сентября, 010.07.03). Эта статья есть на сайте «Математика. Школа. Будущее» (www.shevkin.ru), поэтому не буду повторяться.

Теперь, чтобы исправить положение, сделать школьный экзамен более объективным, нам вводят одно изменение формы проведения экзамена за другим. Опять пытаются влиять на следствие, а не на причину. Ни одна из этих новых форм (экзамен по открытым текстам, ЕГЭ) не затрагивает первопричину необъективности школьной отметки, ее лживость. Вдумаемся: страну устраивает положение, при котором ученик выходит из школы с ничего не значащей отметкой «3», которую ему помогают подтвердить на школьном экзамене. Из школы выходит молодой человек, считающий, что он получил среднее образование, а он просидел два года в школе, чтобы просто не болтаться на улице. В техникум или ПТУ идти не захотел, работать не берут, жениться рано. Вот и сидел он два года на шее учителей и родителей до наступления юридической ответственности и половой зрелости, зря потратил два года своей жизни, мало прибавил в своем развитии. Учиться он и не собирался, но в этом не только его вина — система позволяет ему так существовать! А вот учитель обязан поставить ему положительную отметку «3». Сама природа требует от ребенка следования извечному закону: идти по пути наименьшего сопротивления, то есть добиваться искомого результата с наименьшей затратой сил, а мы хотим, чтобы он был сознательным, чтобы трудился в поте лица для получения «тройки», которую ему все равно поставят.

Дайте взрослому человеку гарантированную зарплату независимо от количества и качества его труда — многие ли будут работать с полной самоотдачей? Это мы уже проходили: в оплате труда упомянутый коммунистический принцип не работает даже для взрослых. Чего же мы требуем от ребенка? Система оценивания школьного труда не только не стимулирует его, а даже разлагает. Так стоит ли удивляться результату?

В последние годы на помощь бездельнику бросились некоторые издательства, публикующие не только готовые домашние работы по массовым учебникам, но и готовые решения экзаменационных работ! Какая трогательная забота о бездельнике, поставленная на государственный уровень! Протестов со стороны министерства образования или мосгордумы что-то не слышно, не слышно и громких возмущений учителей. Некоторые из них даже вздохнули облегченно: теперь учителю на экзамене не обязательно диктовать решения задач на «тройку», ученики сами добудут их по пути в туалет и обратно.

Существующая система оценивания ученического труда не стимулирует и объективность учителя, которого давят сверху, оценивая его работу не по количеству и качеству вложенного труда, а по количеству и качеству поставленных им положительных отметок. Сбор недостоверной, но ласкающий глаз и слух начальства, информации о состоянии дел в школе — это еще одна проблема, о которой почему-то все молчат. Дела обстоят все хуже и хуже, а графики всех возможных показателей уже вылезли на потолок. Начальство хочет быть уверенным, что хорошо управляет. А на самом деле создана система без обратной связи — она работает не реагируя на результат, полученный на выходе. Но это тоже тема отдельного разговора.

Есть еще одно обстоятельство, на которое стоит обратить внимание. Изменился общественно-политический строй, а мы продолжаем многим учащимся ставить отметки не «по труду», а «по потребности». Но надо же готовить человека к жизни, приучать его к мысли, что зарплату надо зарабатывать! Мы выпускаем в жизнь не подготовленных к ней детей, а потом удивляемся, что многие из них не находят себя в мирном и созидательном труде. Школа ведь не приучает трудиться. Ежедневно и кропотливо. Школа не воспитывает работника! За многие годы мы разложили целые поколения школьников и замордовали учителя, а сейчас мучаем его ничего не меняющей реформой. Но никакие предложения реформаторов не принесут пользы школе (и новый закон тоже), если оставить без изменения систему стимулирования учебного труда школьника.

Мы считаем положительной отметку «3» (удовлетворительно), имея зачем-то целых две отрицательные отметки «2» и «1», которые уже перестали работать. Первая исключена на выходе из школы, а последняя используется теперь только в момент эмоционального всплеска учителя, но за нее учителя ругают.

Предлагаю на самом высоком уровне принять решение об изменении шкалы оценивания школьных успехов и считать отметку «2» (неудовлетворительно) положительной отметкой, а отметку «1» (плохо) — единственной отрицательной отметкой. С отметкой «2» надо разрешить выдавать документ об образовании при окончании 9 и 11 классов и не требовать сдачи выпускного экзамена в школе по предмету, успехи в котором оценены «двойкой». Замечу, что я предлагаю «де юре» признать то, что уже давно существует «де факто»: мы давно выпускаем в жизнь «двоечников», лицемерно ставя им незаслуженную «тройку». Я предлагаю лишь признать сложившуюся ситуацию существующей, а не ввести что-то новое. Это не потребует никаких финансовых вложений или изменения правил выставления отметок (боюсь, что именно поэтому мое предложение будет отклонено — кто же будет внедрять то, на чем нельзя заработать!).

Эта мера разгрузит и учителя, и ученика. Разве не примут в балетную школу талантливую девочку только потому, что ей не давалась в школе алгебра? Примут, даже если у нее будет стоять в документе наша положительная отметка «2». Так зачем ей натягивать «тройку»? Зачем унижать и девочку, и ее учителя? Школьный экзамен должны сдавать только те учащиеся, которые должны подтвердить отметки «3», «4» и «5». В крайнем случае к нему может быть допущен ученик, имеющий «2» по предмету, если имеется конфликтная ситуация или ученик хочет доказать, что знает и умеет на «3». Так можно прекратить вынужденную ложь на школьном экзамене. Глядишь, и ЕГЭ не понадобится.

Институты примут тех, кого захотят, а объективно оцененные «двойкой» бездельники, скорее всего, туда уже не пойдут. Они заранее будут знать о такой перспективе. Многие уже после 9-го класса определятся со своим будущим и готовиться к нему будут заранее. В Москве, наконец-таки появятся свои дворники, строители, сантехники и пр., которых сейчас выписывают из ближайшего зарубежья — свои шибко образованные выпускники школ претендуют на значительно большие зарплаты и хотят, чтобы за эту зарплату ничего не надо было делать (как в школе).

Как на мое предложение отреагирует бездельник, можно себе представить. Если его устраивает наша положительная «двойка», он будет продолжать бездельничать, но учитель уже не будет обязан ставить ему незаслуженную «тройку» и сдавать за него выпускной экзамен. Многие хорошо задумаются и начнут работать. Школа, наконец-таки, перестанет разлагать молодежь незаслуженными отметками.

Реализация моего предложения на практике избавит общество от воспроизводства серости, если, конечно, не считать, что воспроизводство серости и есть новая задача, поставленная перед образованием! Если не считать, что наша цель заключается в том, чтобы систему образования превратить в систему навязанного невежества.

А «двоечник» пусть себе имеет право учиться в 10-11 классе, кто же против! Только он должен знать, что получать будет по труду, а не по потребности — как и в дальнейшей взрослой жизни. И еще. Новая система оценивания школьных успехов должна предусматривать средства разрешения конфликтов, чтобы учителям неповадно было ставить «двойки», если ученик справляется с изучаемым материалом на обязательном уровне. Защита учащихся от учительского непрофессионализма должна быть гарантирована.

P.S. После обсуждения этой статьи в моей родной школе 679 учитель физики Старшинов Б.С. Принес мне статью О системе школьных оценок и связанных с ней проблемах из газеты «Физика» (приложение к «Первое сентября» № 22, 8-15 июня 2002 г.). Московский учитель А.А.Аствацатуров (школа № 1738) написал прекрасную статью «О системе школьных оценок и связанных с ней проблемах». В ней, кроме прочего, высказано правильное предложение: управленцы должны контролировать не сколько каких отметок поставил учитель, а правильно ли он их поставил. Рекомендую ознакомиться с этой статьей. Надеюсь, что ни автор статьи, ни газета не будут против ее размещения у нас на сайте «Математика. Школа. Будущее» (адрес: www.shevkin.ru).

Опубликовано: «Математика», 2004, № 23.

И. Ф. Шарыгин. Решения на оценку никак не влияют. Советы школьникам, собирающимся сдавать ЕГЭ

25.04.2017

Статья сканирована со страниц газеты «МАТЕМАТИКА», 2002, № 48.

Про тест и реформу школы

25.04.2017

Узок круг «реформаторов»,

страшно далеки они от школы!

       Мало кто из неспециалистов знает, что во многих школах страны идет «широкомасштабный» эксперимент, в который в истекшем учебном году были вовлечены только десятиклассники. В рамках этого эксперимента проведено тестирование по курсу алгебры и начал анализа.

       Прежде чем приступить к разговору про тесты, которые в последнее время стали применять слишком часто — когда надо и не надо, сделаю несколько замечаний о реформе образования и «широкомасштабном» эксперименте, обрисовав хотя бы кратко то, что творится с образованием под видом его реформирования.

       Только что вышла в свет книга «Образование, которое мы можем потерять», представляющая собой сборник статей и других материалов под редакцией ректора МГУ им. М. В. Ломоносова академика В. А. Садовничего. В этом сборнике компетентные математики, Математический институт Российской академии наук им. В. А. Стеклова, Московское математическое общество и Всероссийская конференция по математическому образованию осуждают непродуманные и опасные для страны реформы Министерства образования, в особенности в области математики и естественных наук.

       Надо обязательно отметить, что многие материалы этой книги были опубликованы в газете «Математика», которая оказалась практически единственным печатным органом, широко представившим «иное» мнение о реформе математического образования в стране.

Анализ материалов этой книги, опубликованного в ней доклада Национальной комиссии США (Комиссии сенатора Дж. Гленна) по преподаванию математики и естественных наук в 21-м веке показывает, что политика Министерства образования РФ в области школьного образования прямо противоположна политике, которую проводят и планируют проводить в будущем наиболее развитые страны мира.

       В этой книге много потрясающих фактов, приведенных авторитетными математиками, авторами учебников, общественными деятелями. Фактов, развеивающих миф о целях и задачах реформы образования в России и показывающих ее истинное назначение.

       Замечу, что до сих пор у нас нигде явно не говорилось о том, кто же так старается для России, кто разрабатывает идеи реформы, формулирует ее цели, решает, кого привлекать к разработке концепций и программ, а кого — нет! Страна не знает своих «героев» — это несправедливо! Кстати, если «герои» уверены в правоте своего дела и в достаточности своей квалификации, если их руки  и помыслы чисты, то что мешает им материализоваться — предстать перед общественностью? Выходит, не уверены. Серые кардиналы реформы могут руководить процессом только из-за кулис, чтобы не обнаруживать публично непонимание проблемы, за решение которой они взялись, и не нести ответственности за содеянное.

       В упомянутой книге фамилии еще не названы, но многое читается «между строк». Так, в аналитической записке академика В. И. Арнольда изложены четыре пункта плана модернизации образования в России, как этот план понимают сами реформаторы (речь идет о проекте 2001 г.), из этих пунктов мы приведем только первые два.

1. Основными целями образования являются «воспитание самостоятельности, правовой культуры, умения сотрудничать и общаться с другими, толерантности, знания экономики, права, менеджмента, социологии и политологии, владение иностранным языком». Никакие науки в «цели обучения» не включены.
2. Основными средствами для достижения этих целей объявляются «разгрузка общеобразовательного ядра», «отказ от сциентистского (т. е. научного — В. А.) и предметноцентрического подходов» (т. е. от обучения таблице умножения — В. А.), «существенное сокращение объема образования … Специалистов необходимо отстранить от обсуждения программ «своих специальностей» (кто же согласится с мракобесием? — В. А.).

       Следующие два пункта плана посвящены изменениям в системе оценки и тому, что в средней школе «должно быть»: три часа русского языка, три часа математики, три — иностранного языка, три — обществоведения, три — естествознания, а остальное — «включение дополнительных модулей», гуманизация, гуманитаризация и т. д. и т. п. 

       Далее Владимир Игоревич рассказывает о своем участии в многочасовом разговоре с собеседниками, которые, по их словам, активно участвуют в подготовке проекта реформы средней школы. В частности, он приводит интересный пример, который нам приго­дится для разговора о тестах: «Мне сообщили, что слабость нашего сегодняшнего школьного обучения, якобы, «выявлена международной комиссией», а в ответ на мой вопрос, как проводилось исследование, меня уведомили, что наши школьники слабо справляются со «стандартными вопросами», вроде: «что общего у ежа с молоком?». Я тоже не знал, что у них общего, и тогда меня обучили правильному ответу: «оба сворачиваются».

       В. И. Арнольд пишет: «Наиболее важной чертой будущей организации реформ мои собеседники считали то, что составление программ по разным дисциплинам не должно быть доверено соответствующим специалистам («иначе химики станут требовать серьезно изучать химию, математики — математику и т. д.»). Вероятно именно эта идея привела к прошлогодней попытке полностью исключить из школьного обучения курс геометрии (чему воспротивились не только математики из РАН, но и представители оборонных предприятий). Сейчас обсуждается новый проект, где исключены всего только логарифмы и синусы, степенные функции и стереометрия. За этим придется исключить из физики законы Кулона и всемирного тяго­тения, которые основаны на исключаемой математической теории, а из географии — параллели и меридианы. Но реформаторов-двоечников это не смущает, а только радует.

       Главная цель реформы, по словам моих собеседников, — добавляет академик В. И. Арнольд, — состоит в том, чтобы осчастливить родителей, сделав их детей-двоечников отличниками, меняя не уровень их знаний и умений, а просто уровень требований к ним. Крайне отрицательно «реформаторы» отнеслись к моим словам о необходимости повысить зарплату учителям. По их мнению, «это только закрепило бы нынешнюю оккупацию школ малокомпетентными старушками».

       Да простит меня читатель за столь долгое цитирование, но нельзя было пройти мимо откровений «реформаторов», помогающих понять, что творится с образованием под видом его реформирования. К сожалению, имена «героев» разгрома образования пока не названы, но в статье академика Д. В. Аносова «Реформа школы: за и против» (в той же книге) есть фрагмент, приоткрывающий для нас род их занятий: «Быть может, экономисты, являющиеся главными разработчиками реформы, не нуждаются в нашем мнении. Смею думать, что тогда результаты не могут быть лучше, чем в экономике, которая, как-никак, является их специальностью».

       Если идеологи реформирования школьного образования до поры до времени находятся в тени, то исполнители конкретных поручений уже на виду. В моем распоряжении имеется «Концепция профильного обучения на старшей ступени общеобразовательной школы» (руководители проекта: А. Кузнецов, А. Пинский; авторский коллектив: М. Агранович, А. Баранников, А. Водянский, А. Каспржак, А. Лейбович, О. Логинова, В. Панов, Е. Рачевский, В. Рубцов, М. Рыжаков, И. Сасова, И. Страут, И. Чечель, С. Чистякова).

       С удовлетворением замечу, что в этом списке нет ни одного известного математическому сообществу математика или методиста-математика, а реформи­ровать (причем кардинально!) предлагается конструкцию под названием «средняя школа», конструкцию, одной из несущих опор которой как раз и является школьная математика. Видимо, представителям других школьных предметов легче реформировать предмет, в котором они не являются признанными специалистами.

       Жаль, что эти специалисты не замечают, что, разрушая школьное математическое образование, они пилят сук, на котором сидят, или, если угодно, роют корни дуба, плодами которого питаются. Так или иначе, признанных специалистов-математиков, дорожащих своей научной репутацией и добрым именем, разделяющих идеи «реформаторов», не нашлось. Это говорит о многом.

Чтобы приоткрыть «творческую кухню» составителей «Концепции», заметим, что вся «научная часть» документа строится на своеобразном анализе мирового и отечественного опыта и на своеобразной же интерпретации данных социологических опросов. Например, на с. 3 записано: «существующая ныне школа не дает достаточного образования для построения дальнейшей профессиональной карьеры. Так, в этом отношении достаточным уровень полного среднего образования нашли менее 12 % опрошенных старшеклассников (ВЦИОМ)».

       Во-первых, школьникам трудно оценить то, о чем их спросили. Во-вторых, авторы документа делают из приведенной оценки странные выводы. Нам сообщают, что уровень среднего образования не является достаточным и предлагают … сделать этот уровень еще ниже! Ибо меры, предлагаемые в «Концепции», приведут к снижению уровня образования в стране. Это ясно уже сейчас, без дорогостоящих экспериментов на детях.

       В самом деле, если сейчас на математику школьники имеют 5 ч в неделю в общеобразовательных старших классах и 8 ч в неделю в классах с углубленным изучением математики, то реформаторы предлагают выделить 3 ч и 4 ч соответственно. Да, в классах с углубленным изучением математики предусмотрен курс по выбору «Вычислительная математика», но это отдельный курс, который не выносится на итоговую проверку в виде экзамена.

       Аргументация с опорой на опросы старшеклассников, быть может, убедила бы выпускников, которые получат в будущем «усеченное» пореформенное образование, если «основная цель образования», как она записана выше, будет достигнута. Но сейчас, к сожалению для составителей обсуждаемого документа, его читают и анализируют выпускники прежней школы, получившие нормальное образование и нор­мальное развитие с помощью шести уроков математики в неделю.

       Интересно отметить, что обсуждаемая «Концепция» не учитывает предложений, которые собираются осуществить другие «реформаторы» в девятилетней школе (см. мою статью «Куда ведет реформа?», Математика в школе. 2002. № 2). Они подготовили документы для проведения того самого «широкомасштабного» эксперимента, в котором упраздняются 8 – 9 классы с углубленным изучением математики (в них школьники имеют пока еще дополнительно 3 ч в неделю на изучение математики). Но оба коллектива сходятся в одном: предлагают только 3 ч в неделю на всю математику в общеобразовательных старших классах. Как у них много общего! Как удивительно совпадает число часов, выделяемых ими на математику, с тем числом, которое собеседники академика В. И. Арнольда посчитали достаточным для достижения «основных целей» образования! Думаете, что это совпадение случайно или как-то научно обосновано?

       В послесловии редакции журнала к моей статье есть такие слова: «Один из нас слышал на одном собрании, как ответственный сотрудник системы образования [какая таинственность в послесловии, в котором меня только что отругали за то, что я не называю фамилий, которых в принципе знать не могу — А. Ш.] обещал дать возможность работать над перспективным (и денежным) проектом только тем учителям [?! — А. Ш.], которые согласятся пожертвовать часами своего предмета. Другой ученый спокойно вещал, что сокращение числа часов на предмет — веяние времени, которому приходится подчиниться».

       Остановимся немного и переведем дух. Что это мы только что прочитали? С каких это пор учителей приглашают на переговоры с ответственными сотрудниками системы образования? Таинственные «ученые» с учителями непосредственно не работают, и у них нет никакого механизма направления денег тем учителям, которые согласятся пожертвовать часами своего предмета, а у учителей нет такого перспективного (и денежного!) проекта, на который они могли бы получать деньги от «ученых». С каких это пор у нас ответственные сотрудники системы образования на что-то уговаривают учителей и сулят им дополнительное финансирование их проектов за их согласие «отдать часы»! Мир перевернулся!

       Думаю, что на то собрание учителей не звали. Ведь всех миллионов долларов кредита не хватит, чтобы купить согласие всех учителей математики на угробление дела их жизни, их «интеллектуальной среды обитания» и будущего их учащихся!

       Кто это должен был подчиниться? Учителя, которым «реформаторы» не хотят повысить зарплату — про малокомпетентных старушек помните? Чтобы угрожать учителю отказом в финансировании, надо иметь хоть какой-то рычаг воздействия на него, а учителю терять ничего: дальше школы не пошлют, меньше, чем платят, платить уже невозможно! Их всех не уговоришь! На собрании угрожали вовсе не учителям.

       Что-то со словом «учителям» в сообщенных нам сведениях у нас ничего не получается. А может этот таинственный «один из нас» заменил этим словом слова «научным коллективам»? Тогда все получится!

Может быть, это научным коллективам пригрозили, что в случае отказа «отдать часы» никакого дополнительного финансирования они не получат. Это действительно рычаг! Ведь в руках «ученых» кран, из которого то ли пойдет, то ли нет дополнительное финансирование в научные коллективы, содержащиеся на скудном госбюджете.

Итак, цена вопроса объявлена: отказ от часов на свой предмет. Перед учителями, от которых ничего не зависит, такой вопрос не мог быть поставлен в принципе, а вот перед разработчиками концепции — мог, потому что только они и могут обосновать отказ от часов, потому что вместо одного несговорчивого научного коллектива заказчики всегда найдут другой — сговорчивый. И коллективы сломались, за участие в денежном проекте сдали чужую «среду обитания», чужое будущее, пожертвовали школой, ради которой будто бы работают.

       Только не подумайте, что я был на том собрании. На такие откровенные разговоры «заказчиков» и «исполнителей» посторонних не зовут. То, что я пишу, есть результат анализа текста и некоторых обстоятельств, не более того. Это всего лишь предположение, которое снимает противоречие, возникающее от нелепого слова «учителям», выпадающего из контекста сообщенных нам сведений. Конечно, я рискую ошибиться, поэтому хотелось бы получить подтверждение (или опровержение) моей догадке.

К чему я это все рассказываю? Да все к тому, что у разных научных коллективов оказались одинаковые «научно обоснованные» 3 ч на математику — ровно столько, сколько им заказали. А некоторые представители «науки» обижаются, когда я пишу, что она содержится в бедности и поставлена в позу «чего изволите?» так давно, что не замечает неудобства этой позы и готова выполнить любое (добавим теперь: денежное) задание. 

       Таким образом, каждое отдельное предложение «реформаторов» — в девятилетке и в старших классах — приведет только к ухудшению ситуации с математикой, но, видимо, чтобы совсем обрушить школу, надо принять оба эти предложения!

        И что интересно, оба авторских коллектива делают вид, что работают в интересах школы и общества в целом. Они «научно обосновывают» свои предложения, хотя сами только исполняют заказ могущественных идеологов «реформы», указания которых не подвергаются сомнению по вполне понятным причинам финансового порядка. Они исполняют заказ, маскируя его под социальный заказ общества как раз при помощи ссылок на мировой и отечественный опыт, да на данные опросов старшеклассников.

       Не думаю, что Министерству образования нужна геростратова слава, что оно во что бы то ни стало стремится прослыть «Министерством разрушения образования». Просто конкретным людям надо в короткие сроки освоить большие (по меркам российского образования, конечно!) деньги иностранных кредитов, отпущенных именно на реформирование российской школы. Отсюда спешка, скороспелые концепции, непродуманные эксперименты, обескураживающие стандарты и удивительные тесты. Ведь деньги платят сегодня, а о качестве «работы» всегда можно поспорить завтра: мало ли по какой причине не пошли реформы, мало ли почему через несколько лет они приведут к плачевным результатам! Всегда же можно будет сказать, что хорошим реформаторам достались плохие учителя или плохая страна.

       Сомневаюсь, что нашей стране больше не нужны по-настоящему образованные молодые люди, сомнева­юсь, что общество будет и дальше терпеть бездумные эксперименты над школой, над учителями и учащимися.

Вот теперь перейдем к эксперименту и к тестам, которые были использованы в мае 2002 года в десятых классах.

       Начну с заявления, что не являюсь убежденным противником тестов. Более того, даже считаю, что математика является самым подходящим школьным предметом, при обучении которому применим особый способ проверки знаний и умений школьников — тестирование. Но при одном непременном условии: его можно использовать, не выходя за рамки разумного применения. Во всяком случае, он не должен быть главным, не должен применяться на выходе из школы (тем более на входе в любой из вузов страны!). Не должен по той простой причине, что ограниченная, излишне стандартизированная форма контроля не подходит в том случае, когда мы проверяем не умение «справляться со стандартными вопросами» (помните про ежа и молоко?), а хотим понять и оценить ход мысли ученика (абитуриента), его умение рассуждать, проверить его способность нестандартно и творчески мыслить.

       Итак, учащиеся десятых экспериментальных классов целый год учились по нескольким рекомендованным учебникам алгебры и начал анализа (математики), которые охватывают все вопросы программы за два года, но отличаются порядком их изучения в 10 классе. Это означает, что «общая часть» изученного одновременно по всем учебникам невелика.

       Что в этой ситуации проверил бы любой районный методист, если бы его попросили представить результаты эксперимента за год? Можно ожидать, что он проверил бы именно эту «общую часть», то есть именно то, чему учили по каждому учебнику. Или усложнил бы себе задачу: проверил бы разные вопросы по разным учебникам, но опять же именно то, чему по этим учебникам учили.

Беда в том, что подготовить материалы для проверки заказали не районному методисту, который ограничился бы, видимо, традиционной контрольной работой из 5 – 6 заданий на 40 минут. Такую контрольную работу написали бы мелом на доске или скопировали в школе для каждого ученика. Но как это несовременно, ненаучно и как дешево! Просто не солидно.

       Другое дело подготовить на каждого ученика 40 заданий на 120 минут — тест объемом 6 страниц формата А4! Вот это современно, научно и совсем недешево! Такие тесты не пошлешь в школы в традиционных опечатанных конвертах, их надо развозить на грузовике! Зато как солидно!

       Но это только внешняя сторона дела, а что же там внутри — в этих тестах? А ничего! Почти ничего из того, что и как изучалось в ходе эксперимента! И многое из того, что по отдельным учебникам (и даже ни по одному из них!) не изучалось. Нет, конечно же, там есть что-то из тригонометрии, про функции и т. п., но нет ничего похожего на способ подачи материала ни в одном из учебников.

       Например, авторы теста, процитированного ниже (отдел математического образования ИОСО РАО, зав. отделом Г. В. Дорофеев), в задании А8 приводят 8 разбитых на 4 пары ответов, сформулированных одинаково с точностью до замены слов: «может — не может», «обязана — не обязана» («функция обязана» — это дурной вкус, впрочем, о вкусах не спорю). Очевидно, что не требуется понимать что-либо в монотонности и периодичности функций, чтобы понять, что верных ответов ровно 4.

       Сказанное означает, что с тем же успехом составители теста могли бы спросить «Сколько истинных утверждений перечислено ниже?» и предложить утверждения в стиле Г. Остера:

1. Мрякин лямзик обязан прижакать на жужаре.
2. Мрякин лямзик не обязан прижакать на жужаре.
3. …

       Очевидно же, что если утверждение 1 истинно, то утверждение 2 — ложно (и наоборот), т. е. из этих двух утверждений только одно истинно. Причем знать что такое (кто такой) лямзик вовсе не требуется.

       Кстати, в самом распространенном учебнике, который почему-то не рекомендовали использовать в эксперименте, понятие «монотонность» вообще не используется. В нем говорится о возрастании (убывании) функции. А преподавание часто велось именно по нему, так как некоторые рекомендованные учебники поступили в школы с опозданием. Так что насчет лямзиков я не пошутил.

       А вот еще одно наблюдение. В одном из рекомендованных учебников период функции — положительное число, в другом — число, отличное от нуля, в третьем — любое число (и нуль тоже!). Это означает, что ученик одного класса первый ответ в задании А8 считает правильным, ученик другого класса — неправильным, а что считают авторы теста в такой ситуации остается загадкой. Они придумывали задание, проверяющее логические умения на содержании курса алгебры и начал анализа, а придумали задание, ответ к которому не зависит ни от содержания проверяемого материала, ни от способа его изложения в учебнике, ни от понимания этого материала учащимися. Но такой тест уже не зависит и от здравого смысла тоже! Поздравим себя! Это большое достижение!

Кроме математики 10 класса, из которой мы обсудили только одно задание, авторы тестов решили проверить то, что они, видимо, считают «общим развитием» учащихся, проверить их логическую культуру, знание математических фактов, которые изучались в 5 – 9 классах, давно не повторялись и могли быть забыты, проверить владение элементами логики, которые они еще, видимо, только собираются внести в программу для общеобразовательных классов.

Приведем лишь восемь из сорока заданий одного варианта теста.

       А1. Число 367* не является простым, если * заменяет цифру

        1) 1               2) 7               3) 2                4) 3

       А2. Какие из чисел

        1) 9992          2) 15156        3) 2736451     4) 24680

         кратны 18?

        1) Все                                 2) Первое и третье

        3) Только второе                4) Ни одно

       А3. Какой цифрой оканчивается число 49³⁷ + 14⁴¹?

       1) 5               2) 3               3) 1                4) 7

       А8. Сколько истинных утверждений перечислено ниже?

1. Монотонная функция может быть периодической.
2. Монотонная функция не может быть периодической.
3. Периодическая функция может быть монотонной.
4. Периодическая функция не может быть монотонной.
5. Монотонная функция обязана быть периодической.
6. Монотонная функция не обязана быть периодической.
7. Периодическая функция обязана быть монотонной.
8. Периодическая функция может не быть монотонной.

       1) Три            2) Четыре      3) Пять          4) Шесть

       А10. Истинны или ложны высказывания

       1) Первое высказывание истинно, второе ложно.

       2) Первое высказывание ложно, второе истинно.

       3) Оба высказывания истинны.

       4) Оба высказывания ложны.

       В4. Будем считать, что утверждение «Старый конь борозды не испортит» истинно. Какие из утверждений отсюда следуют:

1. пока конь молодой, он всегда портит борозду;
2. конь, который никогда не портит борозды, уже старый;
3. конь, который хотя бы раз за сезон не попал копытами точно между 

           бороздами, уже старый;

4. конь, который всегда аккуратно ставит копыта между бороздами, уже

           старый;

5. конь, который всегда аккуратно ставит копыта между бороздами, еще

           молодой;

6. конь, который хотя бы раз за сезон не попал копытами точно между

           бороздами, еще молодой?

       В ответе укажите номера истинных утверждений в возрастающем порядке.

       В5. Трое друзей — Антон, Борис и Василий — купили билеты в театр на 1, 2 и 3 места десятого ряда. Сколькими разными способами они могут занять свои места в зрительном зале?

       В6. Сколькими способами, двигаясь по указанным отрезкам, можно кратчайшим путем переместиться из точки А в точку В?

       Приведенные здесь задания (кроме А8) не имеют никакого отношения к курсу алгебры и начал анализа, одно из них (А10) проверяет даже умения, которыми, видимо, должны обладать учащиеся от рождения, так как их формирование не предусмотрено ни общеобразовательной программой (составленной, кстати, авторами теста), ни одним из учебников, по которым учились школьники целый год (даже учебником для углубленного изучения математики!).

       Приношу извинения авторам теста и читателям за выборочную публикацию заданий, что не позволяет оценить тест «в целом». Желающих получить более полное представление о вариантах, использованных при тестировании, отсылаю в школы, принимавшие участие в «широкомасштабном» эксперименте. Надеюсь, что и журнал «Математика в школе» опубликует эти тесты*.

       Возможно, читатели поймут, с какой целью, ускользающей пока от моего внимания, можно проводить такое тестирование в 10 классе. Но я не понимаю и не знаю точно, что заставляет исследователей спрашивать учащихся обычных общеобразовательных классов то, что не всегда осваивают толком в физико-математических классах? Особенно если учесть, что именно по инициативе самих исследователей десятиклассников обучают алгебре и началам анализа теперь с жуткой перегрузкой — при меньшем числе учебных часов по большему числу тем. Я не понимаю, что заставляет их проверять то, чему не учат в школе, да еще в форме, незнакомой и непривычной учащимся. Но могу предположить.

В данный момент из нескольких возможных причин, по которым могли провести именно такое тестирование, укажу наиболее опасную.

       Педагогической науке, которую представляет исполнитель, заказали доказать, что по имеющимся учебникам ничему из имеющейся программы научить нельзя. Вы спросите: зачем это нужно? Возможно, заказчику требуется обоснование для пересмотра программы и усечения ее объема до желаемых 3 ч на всю математику. Это позволит заказчику объявить новый конкурс на новые программы и учебники и т. д. и т. п. под «научно» и с помощью теста обоснованные 3 ч. То есть нужно обосновать запуск по новому кругу всего многозатратного процесса расходования денег из кредита. А «исследователи» заинтересованы в таком развитии событий, так как это именно они устроили упомянутую перегрузку, следы которой при серьезной переделке программы будут затоптаны.

       Напомню, что истинные цели тестирования пока не объявлены, я формулирую лишь предположение, для выдвижения которого есть основания. Но все тайное скоро станет явным — анализ результатов тестирования передадут в Министерство, и не исключено, что со ссылкой на них нас станут убеждать, что стране не нужна такая сложная программа, не нужно столько часов на математику и так много учебников, по которым все равно ничему научить нельзя.

       И последнее. Очень хотелось бы получить объяснение произошедшего, но не от «виновников торжества», а от людей вполне ответственных — из Министерства образования РФ, так как без их ведома и согласия подобные «тесты» не попали бы в экспериментальные школы.

       Настоящая публикация является решительным протестом одного учителя против псевдонаучных «исследований». Надеюсь, что гласное обсуждение «изысканий» реформаторов убережет их самих и Министерство образования РФ от новых ошибок, от которых школа уже устала. Надеюсь, что мне удастся привлечь внимание общественности к «исследованию», на основании результатов которого Министерство образования может принять опрометчивые решения с тяжелыми последствиями для всей системы образования.       Надеюсь, что данная публикация поможет министерству действовать более осмотрительно.

       В том, что я выражаю не только свою точку зрения, я убедился лишний раз в июне 2002 г., когда читал лекции учителям математики в Великом Новгороде. Перед тем как говорить про обсуждаемые здесь тесты, я выяснил, что в аудитории находится несколько учителей, чьи десятиклассники прошли тестирование. Я попросил их попробовать одним слово описать свои ощущения в тот момент, когда они увидели тесты. Ответы были таковы: шок, стресс, ужас, … . Был и более распространенный ответ: нас и детей выставили дураками.

К этому мне добавить нечего.

 

Опубликовано:

«Математика», 2002, № 42,

«Математика в школе», 2002, № 10 (с сокращениями). 

 

        P.S. Теперь уже стало известно, что вариант теста опубликован в журнале «Математика в школе», 2002, № 10. Там же приведены проценты выполнения заданий, правда, по другому варианту теста. Г.В. Дорофеев не только написал новый учебник по алгебре и началам анализа для 10 – 11 классов, но и успел занять с ним первое место в конкурсе Национального фонда подготовки кадров — того самого фонда, через который «прокачиваются» деньги кредитов на «реформу» образования. Журнал не опубликовал статью в полном объеме: про реформу Вы уже писали — был мне ответ, когда я удивился предложенным сокращениям. Внимательное прочтение статьи показывает, что сокращен текст не только про реформу, но и про комментарий журнала к моей статье. А газета опубликовала текст полностью.

       Более подробная статья о сборнике «Образование, которое мы можем потерять» была опубликована позднее в газете «Первое сентября».

 

А.В. Шевкин

25.01.03 

Приводим ссылки на тест, о котором идет речь в статье.

 

Электронный журнал учителя

25.04.2017

Одной из важнейших педагогических проблем, стоящих перед школой, является совершенствование имеющейся системы учета знаний учащихся. Предлагаются различные варианты такого совершенствования — вплоть до частичного отказа от пятибальной системы оценивания, например, при переходе на зачетную систему.

Сначала уточним, какие недостатки хотелось бы устранить в имеющейся системе оценивания знаний учащихся, которая усилиями управленцев в образовании из пятибалльной превращается в четырехбалльную (нам запрещают ставить единицу), а то и трехбалльную (при выставлении итоговых отметок за четверть, триместр, семестр, год).

Первое. «Шаг» шкалы оценивания слишком крупный. Не у каждого учащегося, желающего улучшить свои показатели, хватает сил упорно трудиться, дожидаясь того момента, когда, например, со ступеньки «3» от перейдет на ступеньку «4». Для некоторых ребят такой переход — вечность, поэтому, не изменяя итоговой пятибалльной системы оценивания, для промежуточного учета знаний необходима шкала, более чувствительная к малейшим подвижкам в изменении уровня подготовки ученика. Но мы не предлагаем переходить на 10-балльную шкалу, которой пользуются, например, на Украине, или на 100-балльную шкалу, которой пользуются в некоторых странах. Прежде всего потому, что не можем ответить, чем должны отличаться две работы учащихся, чтобы за одну из них можно было поставить, например, отметку «37», а за другую «38».

Второе. Отметка в классном журнале обезличивает учет знаний, если она не стоит в графе с указанной темой самостоятельной или контрольной работы. Мы можем поставить в журнал «2» за одно, потом — «4» совсем за другое и «вывести» среднее «3» — за что? Таким образом, любая отметка, выставленная учителем, должна иметь «адрес» — указание темы (вида работы). Тогда и восполнение пробелов может стать адресным, т. е. «исправ­лять» отметку мы будем только при восполнении обнаруженного ранее пробела. Но для этого учитель должен вести тематический учет знаний.

Третье. Существующая система оценивания достаточно «травматична» для учащихся. Любой срыв ученика, порой случайный, может быть отражен отметкой в журнале и здесь уже действует принцип «что написано пером, то не вырубишь топором». Классный журнал не терпит также «отложенной» отметки некоторым учащимся, не успевающим в ногу с классом, но которые могут досдать (пересдать) учителю какую-либо тему (самостоятельную, контрольную работу). Чтобы смягчить это качество жесткого классного журнала, необходим журнал учителя, отметки из которого переносятся в классный журнал, но иногда не все сразу, чтобы дать возможность отставшему ученику (например, после болезни) заполнить свою пустую пока клеточку в колонке отметок за данный вид работы более приемлемой для него отметкой. 

Наконец, четвертое. При подведении итогов мы обращаем внимание на «вес» каждой отметки, полученной учеником, особо выделяя для себя отметки за итоговый контроль (контрольные работы) и промежуточный контроль (самостоятельные работы). Это «взвешивание» отметок «на глазок» происходит в конце четвер­ти (триместра, семестра, года). При большом «шаге» шкалы отметок эта процедура чаще всего оказывается точной, но в глазах учащихся, она не выглядит объективной и, главное, предсказуемой. Поэтому желательно сделать процедуру «взвешивания» отметок прозрачной для учащихся и предсказуемой.

Перейдем теперь к описанию конкретного предложения, которое, на наш взгляд, не требует никакого изменения в использовании классного журнала, но дает в руки учителя более чувствительный механизм учета знаний учащихся, основанный на использовании компьютера для точного «взвешивания» отметок и вычисления итоговой отметки.

Электронный журнал учителя представляет собой таблицу, составленную на основе таблиц MicrosoftExcel. Эту таблицу можно составить самостоятельно, пользуясь приведенными инструкциями.

Координаты каждой ячейки таблицы задаются рядом букв и столбцом чисел (на сером фоне — см. таблицу). В ячейках G1, M1, Z1, AG1 указан «вес» отметок каждого вида: домашняя работа (0,1), классная работа (0,2), самостоятельная работа (0,3), контрольная рабо­та (0,4). Дроби могут быть иными, но их сумма должна быть равна 1, чтобы при получении одной и той же отметки за все виды работ ученик имел в итоге ту же отметку. Установив курсор в каждой из ячеек G4, М4, … , надо набрать без пробелов в командной строке соответствующую команду:

G4     =ПРОИЗВЕД(0,1;(СРЗНАЧА(C4:F4)))

M4     =ПРОИЗВЕД(0,2;(СРЗНАЧА(H4:L4)))

Z4      =ПРОИЗВЕД(0,3;(СРЗНАЧА(N4:Y4)))

AG4   =ПРОИЗВЕД(0,4;(СРЗНАЧА(AA4:AF4)))

AH4   =СУММ(G4;Z4;AG4)

AI4    =ОКРУГЛ(AH4;0)

В ячейке G4 вычисляется произведение чис­ла 0,1 на среднее арифметическое отметок из ячеек C4 — F4. Аналогичные вычисления про­исходят в ячейках M4, Z4 и AG4. В ячейке AH4 суммируются результаты из ячеек G4, M4, Z4 и AG4; в ячейке AI4 этот результат округляется до целых.

Проверить правильность набора и работу таблицы можно выставлением в ячейках C4, H4, N4 и AA4 отметок 5, 4, 3 и 2 соответственно. В ячейках G4, M4, Z4 и AG4 появятся дроби 0,50, 0,80, 0,90 и 0,80 соответственно. Чтобы изме­нить число десятичных знаков дроби в какой-либо ячейке, нужно поставить курсор в эту ячейку и нажать мышкой на «клавиши» — «увеличить разрядность» или — «уменьшить разрядность», расположенные над командной строкой.

Если в ячейках AH и AI4 появляются числа 3,00 и 3 соответственно, то таблица работает правильно. Теперь нужно убрать отметки, выс­тавленные для проверки работоспособности таблицы, скопировать строку 4 нужное число раз, написать список класса (в таблице предусмотрено расположение фамилий по алфавиту; следите, чтобы в классном журнале порядок фамилий был тем же — это упростит процедуру перенесения отметок из электрон­ного журнала в классный).

С учетом того, как в данном классе подво­дятся итоги — по четвертям, по триместрам или семестрам, можно добавить соответствующие столбцы таблицы, в которых будет вычисляться годовая отметка по предмету (среднее арифметическое итоговых отметок в четверти, триместре, семестре). При этом для вычисления годовой отметки лучше брать итоговые отметки до округления, так как, например, «тройка» «тройке» рознь, если они получены округле­нием 2,50 и 3,49.

Остановимся теперь на порядке использо­вания журнала. Журнал учителя ведется на отдельном листе для каждого класса и каждого предмета. Он заполняются в обычном порядке, при этом отметки, перенесенные в классный журнал, отмечаются «галочкой». Один раз в неделю (можно реже) отметки из журнала учителя заносятся в компьютер, и делается распечатка страницы журнала с новыми отметками.

Как только за каждый вид работы учитель выставит ученику хотя бы одну отметку, в столбцах G, M, Z и AG появятся слагаемые предварительной отметки за четверть (триместр, семестр) и итоговая отметка — приближенно (в столбце AH) и с округлением (в столбце AI). При этом, как в приведенном фрагменте журнала, в ячейках, занятых символом ####, появятся соответствующие числа.

Непродолжительная практика применения электронного журнала в трех классах школы № 679 Южного округа г. Москвы показала, что учащиеся с интересом приняли новый способ учета знаний, знают способ вычисления итоговой отметки и могут сами провести необходи­мые вычисления. Задолго до окончания четверти (триместра, семестра) учащиеся не только сравнивают свои показатели с показателями товарищей, но и отслеживают изменение своей предварительной итоговой отметки под влия­нием получаемых отметок. Они стали активнее работать над восполнением пробелов в знаниях. Электронный журнал стимулирует и учителя к оцениванию успехов учащихся в каждом виде деятельности.

Уже в марте текущего года у некоторых учащихся появилась предварительная годовая отметка. Это позволяет учащимся планомерно работать над улучшением своих отметок задолго до окончания триместра.

Использование электронного журнала учителя устраняет описанные выше недостатки существующей системы оценивания знаний учащихся.

Поскольку экспериментальная работа с электронным журналом только началась, то было бы интересно получить отзывы, наблюдения учителей, работающих с электронным журналом, их предложения по совершенствованию предложенной методики учета знаний.

 

Опубликовано: Математика, № 21, 2002.

Примечание. Заявку на пересылку файла с журналом можно отправить по электронной почте (avshevkin@mail.ru).

Сохраняйте спокойствие!

04.04.2017

Предварительное замечание. Размещаем ответ учителя математики Пукаса Ю.О. на статью неизвестного автора «Не корысти ради — за державу обидно!» (сайт «Учительской газеты» http://www.ug.ru/issues08/?action=topic&toid=7166.

Пукас Ю.О.
МОУ «Гимназия г. Троицка»

Сохраняйте спокойствие!

«В типовых вариантах ЕГЭ 2010 года анонсированы задачи олимпиадного типа на делимость, среди которых встречаются целые диофантовы уравнения 2-й и 3-й степени, трансцендентные диофантовы уравнения и задачи, для решения которых в сборниках олимпиадных задач рекомендуется использовать теорию сравнений и теорию непрерывных дробей»… (из заметки «Не корысти ради — за державу обидно!»)

Уважаемая Екатерина Алексеевна, где Вы это прочитали, или услышали? Вас явно дезориентировали! Кто и когда Вас обманул, я не знаю, во всяком случае, в книге «Подготовка к ЕГЭ по математике в 2010 году. Методические указания» (И.В. Ященко, С.А. Шестаков, П.И. Захаров) о задании С6 говорится следующее:

«Тип задания: Задание на свойства целых чисел. Характеристика задания: Задача, связанная со свойствами делимости целых чисел, логическим перебором.

Комментарий: Задание олимпиадного типа, рассчитанное на сильных учащихся. Постарайтесь продвинуться в его решении – для этого не требуется никаких специальных знаний, выходящих за рамки стандартного математического образования, однако необходимо проявить определенный уровень математической культуры, логического мышления, который формируется при решении задач профильного уровня на протяжении всего обучения в школе.

И это действительно так, а сомневающихся я постараюсь немного переубедить и успокоить, приведя конкретные примеры. Если смогу, конечно.

Хотя цепные дроби использует В.И. Романовский в своем очень интересном решении задачи «о дроби 5/8», размещенном на этом сайте (?action=Page&ID=752 см. вариант 14), но есть и другие пути, ведущие к цели, и понятные обычному школьнику. В свое время на втором туре 4-й Соросовской олимпиады эту задачу с удовольствием решали почти 22 тысячи (21934) девятиклассников, и никто не бился в истерике. Что изменилось за 11 лет? Почему умницами и отличниками стали считаться те, кто действует лишь по шаблонам, по готовым рецептам, а предложение подумать воспринимает, как унижение? Рассмотрите график
y = (5/8)x = (60/96)x на координатной плоскости (я представлял это на клетчатой бумаге) …

Задача С6 из демонстрационного варианта 2010 г. (автор И.Н. Сергеев) предлагалась выпускникам 2006 года на 69-ой Московской математической олимпиаде. В варианте из шести задач она шла под вторым номером (№ 11.2), то есть по замыслу организаторов, была несложной. Так и оказалось. Если оценивать ее как на ЕГЭ в 4 балла, то из 984-х участников такую оценку получили бы тогда 48 человек, 49 человек — 3 балла, 390 — 2 балла. Пусть тот, кто найдет в авторском решении «анонсированные» кем-то страшные вещи, первым бросит в меня камень.

Все без исключения задачи С6, появившиеся в опубликованных типовых вариантах ЕГЭ-2010, уже предлагались ранее на различных олимпиадах (не только на ММО). Из тех задач, по которым сохранилась статистика, наибольшие трудности в свое время вызвала задача № 9.4 65-ой ММО: «Найдите все целые числа x и y, удовлетворяющие уравнению x⁴ – 2y² =  1.» (автор В. Сендеров, 703 участника, 4 человека — 4 балла, 3 человека — 3 балла, 7 человек — 2 балла, 1 человек — 1 балл.)

Попробуем в ней разобраться. Бросается в глаза формула сокращенного умножения. Можно также заметить, что x — нечетное число, и что знаки x и yможно выбирать произвольно. Договоримся искать неотрицательные решения.

Пусть x = 2t + 1, тогда: (x⁴ – 1) = (x – 1)(x + 1)(x² + 1) = 2t(2t + 2)(4t² + 4t + 2) =
= 2y². Тогда 4t(t + 1)(2t² + 2t + 1) = y² и y — чётное число. Пусть y = 2z, тогда
t(t + 1)(2t² + 2t + 1) = z². Числа t, (t + 1) и (2t² + 2t + 1) = (2t(t + 1) + 1) попарно взаимно просты, а их произведение — полный квадрат. Отсюда следует, что каждое из них также является полным квадратом. Это возможно только при t = 0, иначе (t + 1) не будет квадратом! Тогда и z = 0, получаем, что x = ±1, y = 0.

Трудность решения этой задачи оценивать сейчас не берусь, я просто пересказал вам авторское решение. Сейчас не помню, решал ли я эту задачу в 2002 году, а если решал, то насколько успешно.

«Мне ясно дали понять, что на ЕГЭ будут задачи московских математических олимпиад».

Это опять не так. Ваши источники не заслуживают никакого доверия. Это просто какие-то цыгане-гипнотизеры. Задачи будут оригинальные. Я уверен, что команда разработчиков постарается и предложит очень красивые, возможно трудные, но понятные и простые в объяснении задачи. Но как запретить привыкшим к решебникам родителям и их детям-митрофанушкам скупать замечательный и прекрасно изданный (тираж 5000) сборник «Московские математические олимпиады 1993-2005 г.»? Жаль, конечно, что такие книги будут пылиться на домашних полках. Может внукам пригодятся? Добавлю только, что в 1986 году весь тираж книги (680000 экземпляров) «Московские математические олимпиады» (Г.А. Гальперин, А.К. Толпыго) очень быстро разошелся по стране советской, покупали для детей, покупали для себя, как память о школьных годах. Страна была другая, фильмы выходили: «Доживем до понедельника», «Точка, точка, запятая», «Гостья из будущего». А уровень сложности вариантов вступительных экзаменов тех далеких лет в ведущих ВУЗах страны превосходил уровень сложности задач группы С вариантов ЕГЭ-2010.

«Мои ученики быстро сообразили, что самостоятельно разобраться в этом невозможно, и попросили меня провести дополнительные занятия по этим темам.

А в чем могут сами разобраться эти «быстрые разумом Невтоны»? Неужели группа В, С1 и С2 их совсем не беспокоят? Опираясь на свой личный опыт, рискну предположить вот что. Взглянув на типовой вариант (мы говорим о тех, кто все же взглянет) нынешний среднестатистический выпускник сразу поймет, что В12 он не решит («никогда не умел задачи решать, да и в Интернете решения группы В будут, скачаю на мобильник»), не станет он решать и С1 («там тригонометрия, а я формулы не помню»), разумеется, что не станет он просить дополнительных занятий по геометрии («все равно не запомню ни теорем, ни формул»), а на последней задаче взгляд его все же задержится (числа целые, даже написано – простые, это не страшные дроби): «А вот это мне объясните»…

«Я взяла для начала вполне добротные разработки В. Болтянского и Г. Левитаса «Делимость чисел и простые числа. Факультативный курс для 7-8 классов». Первые два занятия мы разбирали свойства делимости целых чисел и теорему о делении с остатком (теорему Евклида). На третьем занятии начали разбирать понятие сравнения целых чисел по модулю натурального числа m с использованием записи a = b (mod m).»

Выбор книги и характер первых занятий не кажется мне удачным. С новыми понятиями лучше знакомится, решая и разбирая простые, красивые задачи. Например, есть очень хорошая зелененькая книжечка «Задачи по математике для внеклассной работы в 5-6 классах: Пособие для учителей». Составитель В.Ю. Сафронова. МИРОС, 1993. С предисловием члена-корреспондента Российской академии образования А.М. Абрамова (яркого и последовательного противника разрушительных «реформ» образования: «лысенковщина», так называет их Александр Михайлович). Цитаты из этого предисловия очень современны: «В настоящее время сложилась ситуация, требующая быстрых и решительных мер, направленных на возрождение лучших традиций работы с учениками, проявляющими интерес и способности к математике». И не очень хорошо сейчас, когда имеется продуманный план действий по спасению уже летящего в пропасть лжи образования (смотрите № 20 газеты «Математика»), ради сохранения своего спокойствия («нас и так хорошо кормят») мешать переменам.

Я понимаю, что «Приглашение на Математический праздник» Ивана Валерьевича Ященко Екатерину Алексеевну никак не устроит (ведь понятно, что это злодей завлекает малолеток в свои дьявольские сети (ровно 2008 участников в 2008 году), просто «сажает их на иглу»). Но есть еще «Задачи на смекалку» И.Ф. Шарыгина и А.В. Шевкина, да и «Арифметика» С.М. Никольского будет интересна начинающим. Вот еще одна цитата из упомянутого предисловия А.М. Абрамова: «Чтобы ученик 7 или 8 класса начал всерьез заниматься математикой, необходимо, чтобы на предыдущих этапах он почувствовал, что размышления над трудными, нестандартными задачами могут доставлять подлинную радость».

Вот пример одной такой задачи (мне доподлинно известно, что она будет в одном из вариантов ЕГЭ-2010, вот увидите, я никогда не шучу): «Используя в качестве чисел любое количество монет достоинством 1, 2, 5 и 10 рублей, а также (бесплатные) скобки и знаки четырех арифметических действий, составьте выражение со значением 2009, потратив как можно меньше денег» (автор И.В.Ященко).

Я очень люблю решать и объяснять олимпиадные задачи, но окажись на месте Екатерины Алексеевны, не стал бы этим увлекаться. Задал бы для начала ученикам подумать дома над интересной задачей, например, над только что приведенной, или над логической задачей о кофейне, опубликованной на этом сайте в разделе новости 5 февраля 2009 года, а все силы и время дополнительных занятий направил бы на С2 и С3, разбавляя эту монотонную работу показом простых решений специально подобранных красивых задач (они будут регулярно здесь на сайте появляться, заглядывайте чаще). Именно задачи С2 и С3 определят успех ученика на ЕГЭ-2010. Это чисто технические задачи, но тому, кто их освоит (я и об учителях говорю), станут вдруг понятнее задачи на идею: С5 и С6.

Задача. В кофейне встретились 55 индийцев и турок, каждый из которых пил чай либо кофе. Все индийцы говорят правду, когда пьют чай и обманывают, когда пьют кофе, а все турки — наоборот. На вопрос «Вы пьете кофе?» ответили «да» 44 человека, на вопрос «Вы турок?» — 33 человека, а с утверждением «На улице идет дождь» согласилось 22 человека. Сколько индийцев в кофейне пьют чай?

«А потом дети придут домой, отдохнут, успокоятся, решат все задачи ЕГЭ и будут рыдать, думая, что они такие глупые».

Не встречал я таких детей, а тех, кто прыгает счастливый на улице, сдав чистый бланк через 15 минут, встречал. И тех, кто реально читать не умеет в 10-м классе, встречал. Чтобы отдохнуть, надо устать, чтобы решить все задачи, надо уметь их решать. Две недели назад привели ко мне десятиклассника, «запустившего немного учебу». Чтобы занять мальчика на 5 минут (пока закончу какое-то дело), раскрыл перед ним «Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. 9 класс» (пять месяцев назад ему из него давали экзаменационную работу). Работа № 1. Вариант 1. «Я ничего этого не умею», — последовал мгновенный ответ, — «но мы проходим сейчас тригонометрию, а я её не понимаю, научите». И ведь действительно ничего не умеет! Он так и не смог приступить к решению первого номера — квадратного уравнения, хотя нужную страницу учебника за 8 класс я перед ним положил. Желая выяснить, с чего нам начинать заново учиться, предложил решить простейшие уравнения из учебника «Алгебра-7» Алимова, ожидая от ученика ошибок при раскрытии скобок. Но я ошибся!

№ 691. 1) 2(x – 1) = 3(2x – 1);             2) 3(1 – x) = 4 – 11;

               3) 3 – 5(x – 1) = x – 2;           4) 3(x – 2) – 2(x – 1) = 17.

Первый номер у парня не получился, куда-то все «иксы» исчезли, не «сократились», а как-то просто их не стало (к сожалению, записи не сохранились, но раскрытием скобок это точно нельзя было назвать). Объяснил ему все очень подробно, стрелочки рисовал. Во втором номере опять какой-то непонятный бред, даже подчеркнуть нечего. Объяснил и второй. Третий пример ученик делать уже не стал, смотрел в окно, терпеливо ждал моих новых объяснений. Умеет, как выяснилось, только переписывать из решебников. Не зная, что с ним делать, я отправил его домой. Уходя, он еще раз попросил научить его тригонометрии. «Предыдущий репетитор ведь объяснял ее!». Был бы выпускником, просил бы «модули» и С6 объяснить. Возможно, что, придя домой, он отдохнет, успокоится и решит все предложенные мною задачи. А приходивший в этот четверг выпускник только с помощью калькулятора смог перевести 4/5 в десятичную дробь, моих объяснений, как это делается, он не понял. Не понял он и как «икс» разделить на «два икс», отложили это до следующей встречи. Номеров шесть из группы В он делает уверенно, двойка ему не грозит. Но он, кажется, хочет стать инженером, а это небезопасно для общества, для страны, будем с ним работать, наверстывать.

«Из этой статьи я узнала, что, по мнению известного ученого-методиста, «Задание С5 умеют решать 1 % учителей». Тут гордиться нечем! Немудрено придумать задачу, которую мало кто решит, мудрено научить решать такие задачи! Вот бы известному ученому-методисту написать пособие для учителей «Методика составления и решения олимпиадных задач»! Учителя сказали бы спасибо».

Таких книг много. Факультативный курс И.Ф. Шарыгина (решение задач 10, 11), «Как решают нестандартные задачи» (А.Я. Канель-Белов, А.К. Ковальджи), «Практикум по решению задач» А.Г. Мордковича и В.Н. Литвиненко… А стандартные задания С2 и С3 многие учителя умеют решать? О номерах С4 и не спрашиваю. Может именно эти задачи, а не олимпиадные, напугали привыкших к «открытым текстам» математиков? Методикой составления трудных олимпиадных задач овладевать не обязательно, особенно, если не умеешь их решать. А чтобы научиться решать задачи С5 и С6 (как и более простые), надо начать их решать. Сказал же как-то Д. Пойя: «Хотите научиться плавать — войдите в воду, хотите научиться решать задачи — решайте их». Советую принять участие в 5-м заочном творческом конкурсе учителей математики, в январе появятся его задания. Но это не обязательно! Главное, чтобы задачи решали наши ученики, чтобы они над ними думали. Чтобы им занятие это нравилось. Для начала объявите в своих школах, что

24 января 2010 года состоится Зимний тур турнира Архимеда по математике (6–7 класс) Приглашаются все желающие (в том числе пятиклассники),

В воскресенье, 14 февраля 2010 года пройдет  XXI Математический праздник[1].

Закончу словами недавно ушедшего Израиля Моисеевича Гельфанда: «Жил я в маленьком городишке с единственной школой. Моим преподавателем математики был очень добрый, хотя с виду и суровый человек по фамилии Титаренко. У него были большие запорожские усы. Лучшего учителя я не встречал, хотя я знал больше него. И он это понимал. Он очень любил и всячески ободрял меня. Ободрять — самое главное для учителя, не так ли?»

[1] Более полная информация на сайте Московского центра непрерывного образования (МЦНМО) http://www.mccme.ru/

Не корысти ради — за державу обидно!

04.04.2017

В типовых вариантах ЕГЭ 2010 года анонсированы задачи олимпиадного типа на делимость, среди которых встречаются целые диофантовы уравнения 2-й и 3-й степени, трансцендентные диофантовы уравнения и задачи, для решения которых в сборниках олимпиадных задач рекомендуется использовать теорию сравнений и теорию непрерывных дробей. Мои ученики быстро сообразили, что самостоятельно разобраться в этом невозможно, и попросили меня провести дополнительные занятия по этим темам.

Я взяла для начала вполне добротные разработки В. Болтянского и Г. Левитаса «Делимость чисел и простые числа. Факультативный курс для 7-8 классов». Первые два занятия мы разбирали свойства делимости целых чисел и теорему о делении с остатком (теорему Евклида). На третьем занятии начали разбирать понятие сравнения целых чисел по модулю натурального числа m с использованием записи a = b (mod m). Один ученик попросил объяснить, зачем надо говорить «модуль», когда m и так положительно. Я начала объяснять. Вижу, что с одной девочкой (умницей, отличницей, красавицей с большими голубыми глазами) началась истерика. Она начала смеяться. После того как мы ее успокоили, она посмотрела на меня своими голубыми глазами, полными печали, и поведала следующее: «Екатерина Алексеевна! Мой папа посмотрел, что мы должны изучать в 11-м классе по математике, и сказал, что дифференциальное исчисление он изучал на первом курсе института, интегральное исчисление — на втором, теорию вероятности — на третьем, а теорию сравнений изучал, когда получал второе высшее математическое образование. Что я им плохого сделала?»

Тут я вспомнила одну студенческую историю. У нас на кафедре вычислительной математики работала одна преподавательница, которая заваливала нас всевозможными дополнительными заданиями. Мы пошли к заведующему кафедрой, пожилому профессору, жаловаться на нее. Профессор развел руками и сказал: «Ну что вы хотите! Она старается научить вас всему тому, что она сама знает!» Может быть, и авторы материалов ЕГЭ хотят научить школьников всему тому, что знают?

Мне постоянно говорят о том, что все задачи ЕГЭ составлены в соответствии со стандартами школьной математики. Я абсолютно уверена в том, что эти слова — смесь жульничества со снобизмом. Разве задачи о квадратуре круга, удвоении куба, трисекции угла не формулируются в соответствии с этими стандартами? В формулировках этих задач используются только те понятия, которые знает каждый, даже слабо успевающий, школьник 9-го класса. Так почему же их не могли решить многие сотни лет? Разве великая теорема Ферма не формулируется в рамках этих стандартов? А разве проблема близнецов простых чисел не формулируется в рамках этих стандартов? Авторы все эти задачи уже решили? Почему задача о построении треугольника по трем сторонам доступна троечнику, задача построения треугольника по трем медианам доступна хорошисту, задача построения треугольника по трем высотам доступна отличнику, а задача построения треугольника по трем биссектрисам недоступна даже вам? Эти задачи также формулируются в соответствии со школьными стандартами.

Мне кажется, что основным стандартом в школьном математическом образовании должна быть заповедь о том, что перед школьниками можно ставить только такие задачи, алгоритмы поиска решения которых отрабатывались на уроках. А в типовых вариантах ЕГЭ есть такие задачи, алгоритмы поиска решений которых не отрабатывались на уроках.

Мне все время говорят, что некоторые задачи ЕГЭ предназначены для выявления творческих способностей, способностей к «нестандартному» мышлению у школьника. По-моему, мышление должно быть стандартным, нестандартное мышление только у постояльцев психиатрических больниц. Вы приходите в первый класс и даете детям задания 9-го класса. Дети их не решают. Вы делаете вывод, что у них нет творческого мышления, что они не умеют думать. Уметь думать — значит уметь перебирать информацию, заложенную в голове. Голову ученика надо сначала загрузить информацией и научить пользоваться ею, а потом проверять, что и как они усвоили. Что делается? Загоняют детей на 4 часа в душное помещение под внимательные острые взгляды незнакомых учителей, усаживают на неудобные стулья, за неудобные столы, дают им какие-то страшные бланки и требуют проявления творческого мышления. А они утром есть не могли от волнения, у них дрожат руки, впереди угроза непоступления в вуз. Неудивительно, что пресловутое творческое мышление проявляют немногие. (Интересно, могли бы авторы написать диссертации в такой обстановке?) А потом дети придут домой, отдохнут, успокоятся, решат все задачи ЕГЭ и будут рыдать, думая, что они такие глупые. А может быть — не они?

Никто не отменял принцип дидактики о том, что обучение неотделимо от воспитания. Кого мы воспитываем таким обучением? Закомплексованных неврастеников! Вот так-то, господа!

В последнее время я работаю в 10-11-х классах. А тут мне пришлось в 7-м классе заменять заболевшего учителя курса «Теория вероятностей и статистика». Я взяла учебник для 7-9-х классов «Теория вероятностей и статистика» (авторы Ю.Тюрин, А.Макаров, И.Высоцкий, И.Ященко). Этот учебник допущен Министерством образования и науки РФ в качестве учебного пособия. Я открыла его на 57-й странице. Читаю: «Чтобы судить о разбросе, принято складывать не сами отклонения, а их квадраты. Квадраты отклонений неотрицательны, поэтому сумма квадратов отклонений зависит только от абсолютных величин отклонений, а не от их знаков. Чем больше отклонения чисел от среднего арифметического, тем больше будет сумма квадратов отклонений. Для того чтобы мера разброса чисел не зависела от их количества в наборе, в качестве такой меры берут среднее арифметическое квадратов отклонений. Эту величину называют дисперсией.

Определение. Среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего значения называется дисперсией набора чисел».

Авторы учебника наивно полагают, что ученики 7-го класса могут все это понять, выучить, выйти к доске и рассказать всему классу. А этим ученикам всего по 12-13 лет. У этих учеников еще не все молочные зубы выпали. Но авторы учебника, демонстрируя свою методическую ученость в области межпредметных связей, приводят следующий пример применения теории вероятностей. Этот перл достоин того, чтобы процитировать его полностью!

«Монета часто помогала людям в сложной ситуации сделать выбор, положившись на судьбу. В пьесе А.Н.Островского «Бесприданница» есть эпизод, когда купцы Кнуров и Вожеватов с помощью игры в орлянку решают, кому достанется Лариса.

Вожеватов (вынимает из кармана монету и кладет под руку). Орел или решетка?
Кнуров (решительно). Решетка.
Вожеватов (поднимая руку). Ваше. Значит, мне одному в Париж ехать. Я не в убытке; расходов меньше.
И до сих пор монета часто используется как средство решения споров».

Интересно было бы провести такое практическое занятие. Мальчики разбиваются на пары и решают с помощью игры в орлянку, кому какая девочка достанется! Во всяком случае, некоторые мальчики уже на переменах иногда так развлекаются, некоторые девочки при этом жеманно хихикают.

Хотела бы я посмотреть в глаза тому «хорошему человеку» из Министерства образования и науки РФ, который рекомендовал это в качестве учебного пособия для 7-го класса. Вы думаете, что это все? Далее на четырех страницах рассказывается об истории и правилах игры в кости, о способах жульничества в этой игре.

Основным понятием такого курса стало понятие вероятности. Цитирую: «Вероятность — числовая мера правдоподобия события». Что такое «мера»? Что такое «правдоподобие»? Вы ничего не поняли? Это хорошо. Значит, мы с вами нормальные люди! Теперь становится понятной фраза из предисловия авторов: «Содержание книги избыточно по сравнению с отводимым на изучение теории вероятностей учебным временем, зато изложение получилось достаточно цельным и законченным». Умри, Денис, — лучше не скажешь. Предполагается, что ученики не получат «достаточно цельного и законченного» представления об этом предмете, хотя изучение его растянуто на три года. Но зато какая книга получилась! И цельная, и законченная!

Школьники не в состоянии понять, что это такое и зачем им это нужно. Учителя этого объяснить толком не имеют возможности. Кому же тогда нужны такие курсы? А может быть, все дело в том, что тираж у этого учебника 2000000 экземпляров, издание этой книги уже второе и распродажа этой книги гарантирована? Меня убеждают в том, что этот курс полезен будущим экономистам. Это я понимаю. Но я также понимаю, что будущим инженерам полезна начертательная геометрия, будущим художникам — проективная геометрия, будущим космонавтам — геометрия Лобачевского, будущим физикам — геометрия Римана. Интересно, а каким будущим специалистам нужна дифференциальная геометрия, аналитическая геометрия или алгебраическая геометрия? Интересно, а какие еще геометрии полезно знать школьникам? Ах да, часов в школе маловато! Ну, эта беда невелика! Всегда можно найти резервы. Ведь нашлись они для математической статистики. Например, таблицу умножения можно изучать в детском саду. Я свою пятилетнюю внучку уже на всякий случай обучаю таблице умножения. Она у меня умница, уже выучила столбик таблицы умножения на 2.

Мне иногда приходится проходить по Болотной площади, которая расположена недалеко от Кремля. Там находится скульптурная композиция великого художника Михаила Шемякина «Дети — жертвы пороков взрослых». В центре композиции играют мальчик и девочка, а вокруг стоят изваяния тетенек и дяденек, олицетворяющие всевозможные пороки и которые готовы наброситься на детей. И у меня щемит сердце. И мне кажется, что эта композиция отражает структуру нашего школьного образования, а вокруг детей стоят авторы учебников и по истории, и по богословию, и по математической статистике…

Какое отношение все это имеет к письму моего ученика Дениса Кораблева? А вот какое. Мне ясно дали понять, что на ЕГЭ будут задачи московских математических олимпиад. Во многих книжных магазинах долгое время лежала книга «Московские математические олимпиады». Я пошла в ближайший книжный магазин. Но там ее не оказалось. Я пошла в другой, третий, четвертый. Но и там ее не было. Продавец объяснил, что эту книгу расхватали как горячие пирожки за первые две недели сентября. Брали по нескольку экземпляров. Я нашла эту книгу в интернет-магазине. Она стоит там 409 рублей. Но самое для меня удивительное то, что среди авторов я опять обнаружила фамилию все того же известного ученого-методиста, которая стоит среди авторов книг, цитируемых Денисом и мной. Вот это ход! Использовать государственный экзамен как рекламную акцию своим изданиям! Тут Остап Бендер обнажает свою голову и склоняется в почтении.

И я уже представляю, как вся Россия заставлена рекламными щитами, на которых изображен известный ученый-методист, пожимающий руку одиннадцатикласснику, а внизу располагаются слоганы такого типа: «Желаешь мой ЕГЭ отлично сдать? Мои ты книжки должен покупать!», «Я ваш ЕГЭ отлично сдам! Помогут ваши книги нам!», «Сдавать ЕГЭ — мой тяжкий труд! Мои учебники помогут тут!», «В работе над ЕГЭ моим забыть все школьное пора настала! Моим учебникам, и только им, доверься ты — и будет много баллов!».

А ведь нам рекомендовали готовиться к ЕГЭ «по учебникам для специализированных классов и учебникам профильного уровня». Я не знаю, о каких учебниках идет речь, но почему-то мне кажется, что среди их авторов опять встретится та же фамилия.

И у меня наступает просветление. И я начинаю понимать, что ни при чем здесь какие-то педагогики, методики, психологии, физиологии и прочие школьные гигиены. И я начинаю понимать, что ЕГЭ — это просто доходный бизнес со всеми присущими ему извращениями.
Газета «Московский комсомолец»

5 октября 2009 года в статье «Теорема Ферма для двоечника» раскрыла имя главного разработчика тестов ЕГЭ по математике. Вы, конечно, догадались, что эта фамилия все того же известного ученого-методиста. Он сообщает, что новые тесты ЕГЭ «ориентированы не на формальную логику, а на здравый смысл и умение вычислять, необходимые в повседневной жизни», что «новые задания стали доступными и понятными не только ученикам, но и всему обществу». Здесь имеются в виду задачи на расчет зазора между рельсами, если известен коэффициент теплового расширения, расчет сопротивления электрической цепи, если известна сила тока, расчет остатка массы изотопа, если известен его период полураспада. Даже великий утопист Томас Мор не осмелился мечтать о таком обществе.

Мне всегда казалось, что самое ценное в математике — это логика, умение правильно рассуждать, умение пользоваться алгоритмами поиска решения задач. А здравый смысл — непременный атрибут методики преподавания математики. К сожалению, в вариантах ЕГЭ нет ни того, ни другого. ЕГЭ, по заявлению авторов, ориентирует не на формальную логику, а на умение проверить сдачу, не отходя от кассы. Может быть, в этом есть сермяжная правда. Вдруг люди начнут применять в своих рассуждениях формальную логику? Хлопот не оберешься!

Из этой статьи я узнала, что, по мнению известного ученого-методиста, «Задание С5 умеют решать 1 % учителей». Тут гордиться нечем! Немудрено придумать задачу, которую мало кто решит, мудрено научить решать такие задачи! Вот бы известному ученому-методисту написать пособие для учителей «Методика составления и решения олимпиадных задач»! Учителя сказали бы спасибо.

В этой статье известный ученый-методист восклицает: «Ну не должна массовая школа отвечать за подготовку ребенка к задачам уровня С5 и С6, которые решают не более 300 человек!» Тут только остается вспомнить финальную немую сцену из «Ревизора» нашего классика Н.В. Гоголя.

Я, несмотря на соблазнительные рекомендации известного ученого-методиста, снова сажусь за стол, раскладываю «олимпиадные» книги и готовлюсь к очередному дополнительному занятию с 11-классниками. Они у меня труженики. Они уже умеют решать кое-какие диофантовы уравнения и уже знают малую теорему Ферма.

И я почему-то уверена, что так поступают многие и многие учителя, которым не безразлична судьба их учеников. И у меня теплится надежда, что, может быть, все-таки более 300 человек решат задачи уровня С5 и С6.

Я прошу извинить, если кого обидела. Я ведь «не корысти ради» — за державу обидно, да и детей жалко!

Адрес статьи на сайте «Учительской газеты»:
http://www.ug.ru/issues08/?action=topic&toid=7166

Наш комментарий. Есть несколько моментов, которые настораживают. Статья в «Учительской газете» не подписана. Если её автор — учитель средней школы, то, не подписав такую «звонкую» публикацию, он многое теряет из своего «портфолио». Автор статьи всерьёз опасается за ответные действия И.В. Ященко? Это несерьёзно — дальше школы не пошлют. А может быть, эта статья заказная или написана кем-то из разработчиков прежней версии ЕГЭ по математике, которые остались теперь без хлеба? Им есть что терять, против чего бороться. И лучший способ борьбы — выставить новых разработчиков в неприглядном виде. Почему дискуссия строится не только вокруг олимпиадных задач, но захватывает ещё и «вероятностную линию»? Похоже, что отталкиваясь от олимпиадных задач, автор статьи старательно «топит» команду разработчиков нового варианта ЕГЭ 2010 по математике. Не является ли «Не корысти ради» в названии статьи непроизвольным самооправданием корыстного автора статьи?

Всё это, конечно, досужие домыслы. Вопросы, на которые мы пока ещё не знаем ответов. Возможно, Екатерина Алексеевна (так к ней обращаются ученики во втором абзаце её статьи) — реальный учитель средней школы, а наши вопросы лишь подогреты интригой анонимности автора статьи, что для «Учительской газеты» почти исключительное явление.

Эта статья первоначально была опубликована в разделе НОВОСТИ нашего сайта. Сегодня  на неё получен отклик. На этот раз от известного нам учителя математики МОУ «Гимназия г. Троицка». Публикуем его следом за данной статьёй.

29.11.2009.

ЕГЭ — как много в этом звуке …

04.04.2017

Вот уже 15 лет как Россия находится «под знаком» ЕГЭ. 10 лет проходил постепенный переход регионов на новую форму итоговой аттестации, но при переходе в «штатный режим» была изменена структура варианта контрольных измерительных материалов. Результат, если помните, был плачевный.

Пять лет страна сдавала экзамен по новым КИМ-ам, но результаты практически не улучшались, хотя выпускникам и учителям были доступны задания открытого банка, которые опубликованы в многочисленных сборниках для подготовки к экзамену и на всевозможных сайтах, в том числе, и на официальном сайте ФИПИ.

Попробуем проанализировать причины создавшегося положения. За последние пять лет трижды менялся формат работы в сторону увеличения количества заданий с кратким ответом (12 заданий в 2010, 2011 годах, 14 заданий в 2012, 2013 годах, 15 заданий в 2014 году). Вместе с тем, увеличивался и уровень сложности этих заданий: вместо одно — двух шаговых заданий стали предлагаться задачи в три и более действий. Эти перемены естественно «поспособствовали» получению низких результатов. В этом году мы вернулись к результатам 2010 года! Правда главный идеолог нынешней версии ЕГЭ объясняет это тем, что, наконец-то, экзамен был сдан честно. Но есть и другие причины, о которых он или не догадывается или не хочет говорить.

Но поток инноваций не иссякает: в 2015 году предложено проводить экзамен двух уровней сложности, соответствующий приказ МИНОБРНАУКИ был издан в сентябре.

Правда, возникает вопрос, а в чем единство экзамена? Он будет «единым» отдельно для учащихся, изучающих математику на базовом уровне и отдельно «единым» для учащихся, изучающих математику на профильном уровне? А может продолжить разделение единого экзамена и дальше – отдельно для гуманитариев, для художников, для музыкантов, для спортсменов и для тех, кто действительно идет по базовой программе? Все эти категории учащихся, изучая одно и то же, изучают по-разному.

Посмотрим на предложенное содержание работ базового и профильного уровня.

В вариантах экзамена базового уровня из 20 заданий лишь 5-6 заданий (25-30% всех предложенных заданий) относятся к старшей школе, то есть работа не проверяет усвоение учащимися базового уровня старшей школы!!! И аттестат о полном среднем образовании можно получить без знаний программного материала 10-11 классов, а решив еще раз те же самые 5-6 задач, аналогичных заданиям ГИА-9. Но, во-первых, за этот материал ученики уже получили оценку и аттестат об основном образовании. И, во-вторых, зачем посещать занятия в 10-11 классах, если задания, относящиеся к программе этих классов, можно не решать, и, следовательно, ничего в 10-11 классах не изучать? Оригинальны и два последних задания демонстрационного варианта экзамена базового уровня, которые имеют олимпиадный характер. Да они доступны учащимся 5-7 классов, но это базовый вариант экзамена для выпускников, которым для продолжения образования математика не потребуется. Так что мы собираемся проверять и с какой целью?

В содержание экзамена включены и, так называемые, практико-ориентированные задачи (в 2014 году их количество опять было увеличено). Эти задания содержат много информации из других областей знания и большой объем текста. Так, например, работа по апробации базового уровня, проводимая в октябре 2014 года, занимала не меньше семи страниц текста. Вполне понятно, что на таком массиве текстового материала возможны опечатки, как показал опыт проведения работы, вариант содержал досадные ошибки, которые отразились и на результатах выполнения заданий. Проанализируем часть предложенных заданий.

В 9 №167094. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями к каждом элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

ВЕЛИЧИНЫ А) толщина волоса Б) рост новорожденного ребенка В) длина футбольного поля Г) длина экватора

ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 1)             40 000 м 2)             5 м 3)             0,1 мм 4)              90 м

И где же здесь возможный рост новорожденного ребенка? Ученик не смог справиться с данным заданием, т.к. в его условии не было необходимых данных. И это не единичный случай.

Выполнение большей части практико-ориентированных заданий требует от выпускников точной кропотливой работы с большими числами и выполнения четырех арифметических действий. Кроме того при решении этих задач они должны обладать определенным жизненным опытом, а выпускники, не обладая им, и не понимая значения терминов, не знают, как верно составить план решения таких задач. Приведем примеры задач, вызывающих наибольшие затруднения у выпускников школ.

 

• B 3 № 26674. Для изготовления книжных полок требуется заказать 48 одинаковых стекол в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла 0,25  м². В таблице приведены цены на стекло, а также на резку стекол и шлифовку края. Сколько рублей будет стоить самый дешевый заказ?

 

Фирма	Цена стекла (руб. за 1 м2)	Резка и шлифовка (руб. за одно стекло)
A	420	75
Б	440	65
В	470	55

Подобные задачи присутствует в итоговой аттестации под номерами от третьего до пятого с 2010 года и за этот период время, отведенное для решения этой трудоемкой задачи, сократилось с семи минут до пяти. А ведь при решении этой задачи ученик должен выполнить 15 действий с двузначными числами. Да числа хорошо подобраны, но культура вычислений за последние годы резко упала и это нужно учитывать при составлении заданий.

 

• 1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 20 копеек. Счётчик электроэнергии 1 ноября показывал 669 киловатт-часов, а 1 декабря показывал 846 киловатт-часов. Какую сумму нужно заплатить за электроэнергию за ноябрь? Ответ дайте в рублях.

 

Кстати, хотелось бы спросить разработчиков, а не интересовались ли они во время верификации, сколько процентов выпускников дали ответ 846·1,2 или ответ 846·1,2+669·1,2, которые показывают, что экзаменуемый не понимает, как происходит оплата электроэнергии?

 

• B 1 № 314968. Одна таблетка лекарства весит 20 мг и содержит 5% активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1,4 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку в возрасте четырёх месяцев и весом 5 кг в течение суток?

 

1. Ученики, получив верный результат (7 таблеток), стали оценивать его. И, исходя из своего жизненного опыта, а им давали по 1 или 2 таблетки 3 раза в день, решили, что младенцу такого количества лекарств много, поэтому просто не записали ответ.

Аналогичная ситуация прослеживается и с другими практико-ориентированными задачами. И вроде бы разработчики КИМ-ов это понимают, по крайней мере в их отчетах есть весьма точные и глубокомысленные замечания: «Статистика подтверждает, что среди арифметических текстовые задачи вызывают трудности даже в простейших вариантах. Часть ошибочных ответов обусловлена невнимательностью и неумением выполнять арифметические действия без калькулятора».

Сохранено в предлагаемом экзамене и задание из нового раздела курса математики – теории вероятностей и статистики, которое добавилось в 2012 году. Однако знакомство с этим предметом заканчивается в основной школе. В учебниках 7-9 классов представлены лишь начальные понятия по этой теме и разобраны самые простые задачи. Но в последние два года для решения заданий по теории вероятностей требуются более глубокие знания этого предмета, которыми на должном уровне владеют не все учителя, работающие в школе. Это еще одна из причин низких результатов ЕГЭ. Приведем примеры таких задач.

 

• Вероятность того, что на тестировании по физике учащийся А. верно решит больше 6 задач, равна 0,61. Вероятность того, что А. верно решит больше 5 задач, равна 0,66. Найдите вероятность того, что А. верно решит ровно 6 задач.

• В классе 16 учащихся, среди них два друга Вадим и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Сергей окажутся в одной группе.

 

Выскажем некоторые впечатления о содержании работы профильного уровня. Работа включает в себя 21 задание, из которых 9 заданий базового уровня, 10 заданий повышенного уровня и два задания высокого уровня сложностей; при этом 14 заданий с кратким ответом и 7 (!) заданий с развернутым (подробно обоснованным) ответом. А хватит ли отведенного на экзамен времени хорошему ученику, чтобы выглядеть достойно? Ведь при усложнении заданий, увеличения их числа, время на их выполнение сократилось. Оригинальным образом происходит усложнение заданий с развернутым решением. Например, оно разбивается на части а) и б) и каждая часть оценивается одним баллом. Таким образом, мы получаем две одно балльные задачи и выпускник, прошедший большую часть решения, но не получивший верного ответа получает 0 баллов (раньше была возможность заработать 1 балл). К большому сожалению школьного учителя, работающего в рамках программы по математике, в демонстрационном варианте приведены задания, при выполнении которых используются приемы решения, не описанные в школьных учебниках для профильных классов и для классов с углубленным изучением математики, а применяются в основном при решении олимпиадных задач. То есть снова мы видим не согласованность КИМ-ов с программой и содержанием действующих учебников и попытки возрождения «абитуриентской математики», с которой ЕГЭ и должно было бороться.

В итоге, учителю, чтобы подготовить хорошего ученика к сдаче ЕГЭ по математике на высокую оценку, необходимо использовать на одном уроке большое количество различных источников. А где их найти, если выпускаемые пособия для подготовки к ЕГЭ это, почти всегда, наборы вариантов, аналогичных опубликованной демоверсии текущего года. Показательно, что в этом году почти одновременно с приказом МИНОБРНАУКИ о введении двухуровневого ЕГЭ вышли из печати и пособия по подготовке к ЕГЭ-2015. Отметим ударную работу разработчиков КИМ-ов, которые только в одном издательстве «Экзамен» выпустили три (!) брошюры: 10 вариантов, еще 10 вариантов и еще 30. Причем варианты первых двух брошюр вошли в третье пособие, но под другими номерами. Как видно авторы убеждены в том, что количество всегда переходит в качество. Наверное, это убеждение и желание хоть как-то повысить результаты ЕГЭ, толкнуло их на ежегодное проведение разных диагностических, тренировочных, репетиционных и т.д. работ в течение всех лет обучения в старшей школе. Все эти работы, независимо от названия, похожи на демоверсию будущего экзамена и иначе как натаскиванием это не назовешь. А, как известно, натаскивание, зубрежка, не способствует повышению качества знаний (да и развитию компетентностей тоже). Почему мы отказываемся от традиций российской и советской школы, когда на выпускном экзамене учащимся предлагались задачи, решать которые их и учили в школе. А для подготовки к поступлению в ВУЗ—ы выпускники использовали Государственную программу вступительных экзаменов, которая не противоречила Государственной программе по математике для средней школы. В тоже время ведущие ВУЗы страны отдельно оговаривали те вопросы, которые не входили в школьную программу. Сейчас же у нас сложилась абсурдная практика экзамена: на уроках мы учим решать одни задачи, а на экзамене предлагаем решать совершенно другие? Что проверяет такой экзамен? И это также одна из причин низких результатов ЕГЭ. Учащиеся дезориентированы сложившейся системой и не понимают, что от них требуют.

Поддерживая полностью предложение об изменении ЕГЭ, считаем, что предложенная версия не отвечает целям экзамена и не будет способствовать улучшению математического образования в старшей школе. Недопустимо в целях повышения результатов ЕГЭ призывать учителей с экрана телевизора к отказу от преподавания математики по действующей программе и заменять это уроками подготовки к экзамену, как это сделал г. Ященко (передача «Утро России» на ТВ «Россия 1» 10 декабря этого года). Перед тем как выдвигать такие проекты, следует обсудить с учителями школ, преподавателями вузов каким требованиям должен отвечать выпускной экзамен по математике, а после подобрать группу методистов, которые могли бы воплотить эти идеи в жизнь. Обсуждение это должно быть организовано не только в интернете, но и пройти в реальных дискуссиях и конференциях. В стране созданы многочисленные ассоциации учителей математики и они могли бы провести эту работу. И последнее. И учителя и ученики устали от нескончаемого потока непродуманных нововведений. Давайте обсудим, апробируем модель экзамена и после этого дадим возможность поработать с ней два-три года, после чего будем искать возможности улучшения этой новой модели. Нельзя, чтобы вся страна была ежегодной экспериментальной площадкой, для весьма спорных идей.

Учителя московских школ:

Воронцова А.В., Гусева С.И., Гучкина Н.В., Жиляева Н.В., Захарова Г.А.,
Кисин А.М., Кузнецова М.В., Кутенкова И.Н., Копейкина О.Ю., Кошелева Л.Г.,
Левитас Г.Г., Мелещеня Н.Э., Полушкина Е.И., Сафонова Л.И., Сизанова В.В.,
Скопинова Л.С., Стучкова С.Г., Тетенкова О.В., Шевцов М.В.