Задача о сборе ягод
486. Брат и сестра собирали малину в двухлитровые бидоны. Брат собирал ягоды быстрее сестры. Через некоторое время он решил ей помочь и поменялся с ней бидонами. Момент для обмена бидонами был выбран удачно — ребята наполнили их ягодами одновременно. Сколько литров ягод они набрали вместе до того, как поменялись бидонами? (С.М.Никольский и др. Алгебра 8, 2000-2003, с.140).
Решение. Пусть брат до обмена бидонами собрал х л, а сестра у л ягод, тогда после обмена брат собрал (2 – у), а сестра (2 – х) л ягод. Здесь предполагается, что брат собирал ягоды быстрее сестры в одно и то же число раз — до и после обмена бидонами, поэтому х больше у во столько же раз, во сколько (2 – у) больше, чем (2 – х). Составим уравнение:
2 – у х
–––– = –– .
2 – х у
Здесь 2 – х и y не равны 0, перепишем уравнение в виде (х – y)(х + y – 2) = 0. Так как по условию задачи х не равен y, то х + y – 2 = 0, то есть х + y = 2.
Нам не удалось с помощью одного уравнения найти значения х и y — это невозможно, да и не нужно, так как ответ задачи уже получен: брат и сестра вместе набрали 2 л ягод до того, как поменялись бидонами.
Решение этой моей задачи существенно упростил мой ученик Д. Просин, заметивший, что ребята должны поменяться бидонами в тот момент, когда брат соберет ровно столько ягод, сколько к этому моменту останется собрать его сестре, тогда после обмена бидонами они будут работать столько же времени, сколько и до обмена, то есть до обмена бидонами они соберут половину общего объема двух бидонов — ровно 2 л ягод.
Задача про солдат
26.11.2004. Объясните, пожалуйста, как решить задачу про солдат.
Эта задача упоминалась в новостях от 10 марта 2004 г. Я решал её при поступлении в СШИФМП № 18 (ныне школа им. А.Н.Колмогорова). Теперь она помещена в учебник для 8 класса серии «МГУ-школе» .
18. Солдат построили не по росту, но с четким разделением на ряды и колонки. В каждом ряду выбрали самого высокого, а из всех высоких — самого низкого. В каждой колонке выбрали самого низкого, а из всех низких — самого высокого. Кто выше ростом: самый низкий из высоких или самый высокий из низких?
Решение.
1) Если самый низкий из высоких (СНВ) и самый высокий из низких (СВН) стоят в одном ряду, то СНВ выше, чем СВН, так как в ряду выбрали самого высокого, и им оказался СНВ.
2) Если самый СНВ и СВН стоят в одной колонке, то СНВ выше, чем СВН, так как в колонке выбрали самого низкого, и им оказался СВН.
3) Если же самый СНВ и СВН стоят в разных рядах и колонках, то их рост надо сравнить с ростом третьего солдата, который стоит в одном ряду с СНВ и в одной колонке с СВН. Этот третий солдат ростом ниже, чем СНВ (стоят в одном ряду, где самый высокий СНВ), но, выше, чем СВН (стоят в одной колонке, где самый низкий СВН). То есть и в этом случае самый низкий из высоких выше самого высокого из низких.
1019
1019. Земной шар стянули обручем по экватору. Затем увеличили обруч на 1 м. Пролезет ли кошка в образовавшийся зазор? (Когда-то эта задача была опубликована в журнале «Квант».)
Решение. Пусть радиус Земли R см, тогда длина обруча, стягивающего его экватор, равна С = 2 П Rсм. Когда длину обруча увеличили на 1 м = 100 см, то длина нового обруча оказалась равной С1 = 2 П R+ 100 см, или
С1 = 2 П R1 см, где R1 см — длина радиуса нового обруча. Здесь предполагается, что зазор на каждом участке экватора один и тот же и равен R1 – R см.
Из равенства 2 П R + 100 = 2 П R1 найдем R1 – R = 50: П, или приближенно 15,9 см.
В зазор величиной 15,9 см кошка пролезет.
Задача про арбуз
17.02.2004. Вопрос из г. Кызыла.
Задача. Арбуз массой 20 кг содержал 99 % воды. Когда он немного усох, то стал содержать 98 % воды. Какова теперь масса арбуза?
Масса сухого вещества в арбузе составляла 1 %, или 0,2 кг. После того, как арбуз усох, масса «сухого вещества» составила 2 % от новой массы арбуза. Поскольку масса «сухого вещества» не изменилась, то новую массу арбуза найдем так: 0,2:0,02 = 10 (кг).
После того как арбуз усох, его масса уменьшилась вдвое.