О пользе манипулирования с верными числовыми равенствами

В данной заметке речь пойдёт о нескольких задачах, в которых по условиям задачи составляются верные числовые равенства. В этих равенствах буквами обозначены неизвестные пока числа. Неизвестные величины обозначают буквами и не рассматривают как переменные. В этом вопросе авторы учебников серии «МГУ-школе» (Просвещение, С.М. Никольский и др.) с самого начала отошли от навязанного школе в конце 60-х годов прошлого века функционального подхода, при котором говорят про выражения, равенства и уравнения с переменными. Авторы учебников говорят про выражения, равенства и уравнения с неизвестными — этот традиционный подход ближе к опыту ребёнка, поэтому удобен в доказательствах, он готовит к изучению алгебры.

Кроме задач, доступных пяти-шестиклассникам, в заметке приведена задача на последовательности, где описанный традиционный подход к букве тоже неплохо работает.

В разделе Задачи на повторение в конце учебника серии «МГУ-школе» для 5 класса есть серия задач, завершённая такой задачей (1157).

Задача 1. Три утёнка и четыре гусёнка весят 2 кг 500 г, а четыре утёнка и три гусёнка весят 2 кг 400 г. Сколько весит гусёнок?

В этом месте учителя иногда недоумевают, зачем это авторы дают пятиклассникам задачу на систему линейных уравнений (7 класс), не рано ли? Для ответа на этот вопрос полезно вспомнить, а как решают системы линейных уравнений? Один из двух способов их решения предполагает сложение уравнений, да ещё с предварительным умножением уравнений на подходящие множители.

Ещё один вопрос: а из чего следует, что, например, уравнения данной системы можно складывать и полученным уравнением заменять одно из уравнений этой системы? Почему при такой замене получается система, равносильная данной?

Так как для хорошего математического образования важно, чтобы ученик понимал, что он делает, а не пользовался рецептом учителя без понимания смысла своих действий, то давайте вспомним, как доказывают равносильность упомянутых систем?

Пусть дана система уравнений

(1)

где и — многочлены первой степени с двумя неизвестными x и y, a и b — некоторые числа.

Докажем, что система (1) равносильна системе

(2)

Доказательство. 1) Предположим, что пара чисел (; ) является решением системы (1), тогда верны два числовых равенства:

= ,	(3)

=	(4)

и верно равенство

+ = ,	(5)

полученное сложением верных числовых равенств (3) и (4)

Верные числовые равенства (3) и (5) означают, что пара чисел (; ) является решением системы (2). Это рассуждение справедливо для любого решения системы (1), поэтому любое решение системы (1) является решением системы (2).

2) Предположим теперь, что пара чисел (; ) является решением системы (2), тогда верны два числовых равенства (3) и (5), но тогда верно числовое равенство (4), полученное вычитание верных числовых равенств (5) и (3).

Верные числовые равенства (3) и (4) означают, что пара чисел (; ) является решением системы (1). Это рассуждение справедливо для любого решения системы (2), поэтому любое решение системы (2) является решением системы (1).

3) Докажем, что если одна из систем (1) и (2) не имеет решений, то и другая система не имеет решений.

Предположим противное. Пусть система (1) не имеет решений, а система (2) имеет решение (; ). Но тогда, как показано выше, и система (1) имеет решение (; ). Противоречие. Значит, если система (1) не имеет решений, то система (2) не имеет решений.

Аналогично показывается, что если система (2) не имеет решений, то система (1) не имеет решений.

Из пунктов 1), 2) и 3) следует, что системы (1) и (2) равносильны.

Замечание. В слабом классе рассуждение в общем виде может оказаться непонятым, поэтому, сохраняя общую схему рассуждения, можно оперировать с конкретными системами. В этом случае мы не проводим доказательство в общем виде — для любых систем, а раскрываем идею доказательства на конкретном примере. Только надо перед началом работы обязательно привести примеры систем, которые имеют единственное решение, бесконечно много решений, не имеют решений. Обсуждать связи коэффициентов уравнений не нужно — этот вопрос будет обсуждаться позже.

Аналогично проводятся рассуждения, когда уравнения складывают после умножения каждого из них на число, отличное от нуля. Случай вычитания уравнений получится при умножении уравнений на 1 и –1 и последующем их сложении.

Буду признателен, если читатели этих строк пришлют мне доказательство равносильности систем с опорой на функциональный подход, в котором буква понимается как переменная. Буду признателен, если присланный способ окажется проще.

Экскурс в равносильность систем мы проделали только для того, чтобы показать, что способ решения системы линейных уравнений для своего обоснования требует умения манипулировать с верными числовыми равенствами, которое надо формировать до обучения решению систем уравнений.

Теперь рассмотрим решение задачи 1.

Ученик может записать условия задачи так:

3у + 4г = 2500,

4у + 3г = 2400,

где у и г — массы утёнка и гусёнка соответственно.

А далее выполнит понятные манипуляции с верными числовыми равенствами:

7у + 7г = 4900,

у + г = 700,

3у + 3г = 2100,

2500 – 2100 = 400 (г) – весит гусёнок.

Похожие задачи есть в нашем учебнике для 6 класса, есть в Едином национальном тестировании (ЕНТ) «Математическая грамотность (Казахстан) и в ЕГЭ базового уровня (Россия). Это итоговые испытания примерно одного уровня сложности, ничего не говорящего о владении выпускниками изученным в 10-11 классах. Но такие задачи не изобретение итоговых экзаменов, на которых учащиеся чаще всего решают их с помощью систем.

Вот одна из самых ранних из обнаруженных мною задач такого типа. Мы добавим её в учебник для 5 класс. Наши предки решали её уж точно без системы линейных уравнений.

Задача 2. Старинная задача (Новгород, XV в.). Одна бочка и 20 вёдер кваса уравниваются с тремя бочками кваса, а 19 бочек, 1 насадка и 15,5 ведра уравниваются с 20-ю бочками и 8-ю вёдрами. Сколько насадок содержится в бочке? (Бочка, насадка, ведро — меры объёма жидкостей.)

Замечание. В XV в. ещё не использовали десятичных дробей и говорили про 15 вёдер с половиною.

Запишем условия задачи так:

1б + 20в = 3б,

19б + 1н + 15,5в = 20б + 8в.

Из первого равенства получим:

1б = 10в.

Из второго:

1н + 7,5в = 1б,

1н = 2,5 в,

4н = 10в.

Наконец, получим: 1б = 4н. То есть 1 бочка содержит 4 насадки.

Задача 3. (ЕНТ) Три яблока и одна груша весят столько же, сколько 10 персиков, а 6 персиков и 1 яблоко весят столько, сколько 1 груша. Сколько же персиков надо взять, чтобы уравновесить 1 грушу?

Преподаватель, обучавший в интернете выпускников казахстанской средней школы, нарисовал весы, на чашах которых изобразил фрукты в точном соответствии с условиями задачи (привожу скриншот).

А достаточно было написать два равенства

3я + 1г = 10п,	(1)

1г = 6п + 1я,	(2)

умножить равенство (2) на 3 и сложить его с равенством (1), чтобы получить после упрощения:

4г = 28п,

1г = 7п.

То есть надо взять 7 персиков, чтобы уравновесить 1 грушу.

Замечание. В вопросе задачи яблоки не фигурируют, их надо исключить из равенств, поэтому равенства (1) и (2) надо записать так, чтобы яблоки были в одном равенстве слева, в другом — справа, а потом манипулировать верными числовыми равенствами.

Приведём ещё одну задачу, которая решается аналогично.

Задача 4. (ЕГЭ, базовый уровень, № 20) В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

– за 2 золотых монеты получить 3 серебряных и одну медную;

– за 5 серебряных монет получить 3 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 50 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

Ответ. На 10.

Рассмотрим несколько задач, связанных с последовательностями, делимостью целых чисел, где также используются манипуляции с верными числовыми равенствами.

Задача 5. Последовательность {} задана формулой общего члена:

= 1 + + .

Найдутся ли в последовательности {}три соседних члена, делящиеся на:

а) 66;	б) 2020;	в) 2016;	г) 2018?

Решение. а) Предположим, что для некоторого натурального числа k три соседних члена , , делятся на 66. Тогда справедливы три числовых равенства:

= 1 + + = 66a,

= 1 + + = 66b,

= 1 + + = 66c.

Здесь и далее латинскими буквами обозначены натуральные числа.

Перепишем эти равенства в виде:

1 + + = 66a,	(1)

1 + + = 66b,	(2)

1 + + = 66c.	(3)

Вычтем из равенства (2) равенство (1), из равенства (3) равенство (2):

(2) – (1):	+ = 66d,	(4)

(3) – (2):	+ = 66e,	(5)

Теперь вычтем из равенства (5) равенство (4), умноженное на 2:

(5) – (4):	= 66f.	(6)

Из нашего предположения следует, что верно равенство (6) с натуральными числами, но это невозможно, так как в правой части равенства (6) стоит число, делящееся на 11, а в левой — не делящееся на 11. Полученное противоречие показывает, что наше предположение неверно, следовательно, не найдутся в последовательности {} три соседних члена, делящиеся на 66.

Задача 6. Последовательность {} задана формулой общего члена:

= 1 + + + .

Найдутся ли в последовательности {} четыре соседних члена, делящиеся на:

а) 39;	б) 2020;	в) 2016;	г) 2018?

Задача 7. Последовательность {} задана формулой общего члена:

= 1 + + + + .

Найдутся ли в последовательности {} пять соседних членов, делящиеся на:

а) 2005;	б) 2020;	в) 2016;	г) 2018?

Таким образом, манипуляции с верными числовыми равенствами, в которых числа заменены буквами, полезны, так как позволяют решать многие задачи, в том числе и выносимые на итоговый контроль невысокого уровня требований, готовят к доказательствам и оказываются полезными при решении более сложных задач.

Шевкин А.В., г. Москва,
avshevkin@mail.ru, www.shevkin.ru

Решения этой и других задач, решаемых при помощи манипуляций с верными числовыми равенствами, приведены в статье «Арифметические способы решения текстовых задач – в учебниках и на экзаменах» в разделе «Статьи» сайта www.shevkin.ru.