Новые задачи 17 для подготовки к ЕГЭ

Рассмотрим решения задач, не похожих на встречавшиеся ранее.

1. В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составляла х % годовых, тогда как в январе 2001 года она составила у % годовых, причем известно, что х + у = 30 (%). В январе 2000 года вкладчик открыл счёт в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года вкладчик снял со счёта 0,2 этой суммы. Укажите значение х, при котором сумма на счёте вкладчика станет в январе 2002 года максимально возможной.

Решение. Пусть январе 2000 года вкладчик положил на счёт a рублей (далее все расчёты в рублях). В январе 2001 года эта сумма увеличилась до = . Вкладчик оставил на счёте 1 – 0,2 = 0,8 этой суммы, то есть . В январе 2002 года оставленная на счёте сумма увеличилась до 0,8 = .

Найдём значение x, при котором выражение достигает наибольшего значения. Выделив полный квадрат, запишем выражение в виде

.

Так как , то полученное выражение достигает наибольшего значения при x = 15.

Тот же результат можно получить, используя формулу для вычисления абсциссы вершины параболы f (x) = . В этой точке квадратичная функция f (x) с отрицательным коэффициентом при достигает наибольшего значения.

Ответ на вопрос задачи не зависит от первоначальной суммы a и от того, какая часть этой суммы оставлена на счёте на второй год.

Ответ. x = 15.

Полученный результат наводит на мысль, что ответ составляет ровно половину от суммы x + y. В этом можно убедиться, решив задачу с заменой числа 30 на p. Аналогичными рассуждениями мы придём к функции

f (x) = = ,

которая достигает наибольшего значения при (числа, не влияющие на полученный ответ для краткости заменены буквами q и r).

Отметим, что мы рассмотрели решение типичной псевдопрактической задачи с экономическим содержанием. Дело в том, что в 2000 году число x было задано. После задания числа y в 2001 году сумма на счёте вкладчика в начале 2002 года будет фиксированной при выполнении остальных условий задачи. Поиск её наибольшего значения в зависимости от x лишён смысла, так как это число x неизменно по условиям задачи. Составим новую задачу, в решении которой используем опыт решения предыдущей задачи.

2. В банке «Поле чудес» планируют программу двухлетних депозитных вкладов «Выбирайте проценты!», по условиям которой вкладчик вносит сумму на депозитный счёт в начале первого года, а забирает в конце второго. При этом вкладчик имеет право задать ставки по депозитам на начало первого и второго года в размере х % и (30 – x) % годовых соответственно. Определите число х, такое, что 0 < x < 30, для которого за два года вкладчик получит наибольший доход.

Решение. Пусть в начале первого года вкладчик положил на счёт a рублей (далее все расчёты в рублях) под x % годовых. Если для первого года вкладчик выберет процентную ставку x = 15 – u, то для второго года процентная ставка составит 15 + u. За два года вложенная сумма увеличится до

= =.

За два года вкладчик получит наибольший доход, если u = 0, т. е. если
x = 15.

Ответ. x = 15.

3. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 700 тыс. рублей сроком на (n + 1) месяц. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг вырастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

– 15-го числа n-го месяца долг составит 300 тыс. рублей;

– к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите n, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 755 тыс. рублей.

Решение. I способ. Сначала разберёмся в порядке начисления процентов и выплат для n = 2. Для наглядности результаты вычислений внесём в таблицу. 15 декабря сумма долга 700 (все суммы в тыс. рублей). 1 января сумма долга увеличилась на 1 %, то есть в 1,01 раза, и составила 707. Пропустим пока столбец выплат. 15-го числа каждого месяца, кроме последнего, долг должен уменьшаться на одну и ту же величину — с 700 до 300 за два раза, то есть на (700 – 300):2 = 200.

15 января остаток долга равен 700 – 200 = 500. Сумма выплат в январе составила 707 – 500 = 207. 1 февраля сумма долга увеличилась в 1,01 раза и составила 505. Сумма выплат в феврале составит 505 – 300 = 205. 1 марта сумма долга увеличилась в 1,01 раза и составила 303 — это и есть сумма последней выплаты.

Номер месяца	Сумма долга на 1-е число	Выплата со 2-го по 14-е число	Остаток долга на 15-е число
0 (дек.)	700
1 (янв.)	707	207	500
2 (фев.)	505	205	300
3 (март)	303	303	0

Для n = 2 выполнены все условия задачи, кроме одного. Общая сумма выплат составила 207 + 205 + 303 = 715, а надо 755.

Посмотрим, как меняется общая сумма выплат при увеличении числа n.

Пусть теперь n = 4. Результаты вычислений внесём в таблицу, учитывая, что изменится сумма, на которую уменьшается остаток долга 15-го числа каждого месяца. Теперь это (700 – 300):4 = 100. Проведя аналогичные рассуждения получим таблицу.

Номер месяца	Сумма долга на 1-е число	Выплата со 2-го по 14-е число	Остаток долга на 15-е число
0 (дек.)	700
1 (янв.)	707	107	600
2 (фев.)	606	106	500
3 (март)	505	105	400
4 (апр.)	404	104	300
5 (май)	303	303	0

Теперь общая сумма выплат составила

107 + 106 + 105 + 104 + 303 = 725.

Заметим, что увеличение числа n на 2 единицы привело к увеличению суммы выплат на 10. Это произошло из-за того, что общая сумма, на которую начисляют 1 %, увеличилась на

(700 + 600 + 500 + 400 + 300) – (700 + 500 + 300) = 1000,

а 10 как раз и составляет 1 % от 1000.

При дальнейшем увеличении числа n сумма выплат будет расти. Нам надо увеличить её с 725 до 755 — ещё на 30. Увеличим n ещё на 6.

Пусть теперь n = 10. Результаты вычислений внесём в таблицу, учитывая, что изменится сумма, на которую уменьшается остаток долга 15-го числа каждого месяца. Теперь это (700 – 300):10 = 40. Проведя аналогичные рассуждения получим таблицу.

Номер месяца	Сумма долга на 1-е число	Выплата со 2-го по 14-е число	Остаток долга на 15-е число
0 (дек.)	700
1 (янв.)	707	47	660
2 (фев.)	666,6	46,6	620
3 (март)	626,2	46,2	580
4 (апр.)	585,8	45,8	540
5 (май)	545,4	45,4	500
6 (июнь)	505,0	45,0	460
7 (июль)	464,6	44,6	420
8 (авг.)	424,2	44,2	380
9 (сент.)	383,8	43,8	340
10 (окт.)	343,4	43,4	300
11 (ноябрь)	303	303	0

Теперь общая сумма выплат составила 755. Все условия задачи выполнены. Число n равно 10. С увеличением n сумма выплат превысит 755.

Первый способ решения для экзамена слишком громоздкий, хотя полностью обоснованный. Рассмотрим второй способ решения.

II способ. Разберёмся с остатками на 15-е число. В декабре остаток 700, в каждый из следующих n месяцев он уменьшается на одну и ту же величину до 300, то есть уменьшается на . Вносим остатки в таблицу. Получим в 1-й месяц: 700 – , во 2-й месяц: 700 – , …, в
(n – 1)-й месяц: 700 – , в n-й месяц: 700 – = 300.

Каждый из полученных остатков умножаем на 1,01. Найденные суммы долга на 1-го числа следующего месяца вносим в таблицу. Получим в 1-й месяц: 707, во 2-й месяц: 707 – , …, в n-й месяц: 707 – , в (n + 1)-й месяц: 303 — это и есть сумма последнего платежа.

Номер месяца	Сумма долга на 1-е число	Выплата со 2-го по 14-е число	Остаток долга на 15-е число
0 (дек.)	700
1 (янв.)	707	7 +	700 –
2 (фев.)	707 –	7 – +	700 –
…	…	…	…
n – 1	…	…	700 –
n	707 –	7 – +	700 – = 300
n + 1	303	303	0

Теперь определим в каждый из n месяцев сумму выплаты со 2-го числа по 14-е, вычитая в каждой строке таблицы из суммы долга на 1-е число остаток долга на 15-е число. Получим в 1-й месяц: 707 =
= 7 + , во 2-й месяц: 707 – – = 7 – + , …, в n-й месяц: 707 – – = 7 – + .

Теперь сложим все выплаты за n месяцев, группируя отдельно дроби со знаком «+» и со знаком «–» и вынося общие множители за скобки. Получим:

=

= = 5n +705,

что по условию задачи равно 755.

Решив уравнение 5n + 705 = 755, получим его единственный корень 10. Искомое число n равно 10.

Ответ. n = 10.

Замечание. Для упрощения промежуточных записей в решении на экзамене можно обозначить буквами числа 700 и .

Следующая задача продолжает тему продажи бумаг наиболее выгодным способом при имеющихся условиях, она была на ЕГЭ 2017 года, как утверждает сайт И.В. Яковлева http://mathus.ru/math/ege19.pdf.

4. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t2 тыс. рублей в конце года t (t = 1, 2, . . .). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в 1 + r раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях r это возможно?

Решение. В конце года стоимость ценных бумаг (здесь и далее в тыс. рублей) растёт по заданному закону продолжительное время (так бывает только в задачах). Будем считать, что одно и то же количество бумаг стоит в конце 1-го, 2-го, …, 25-го годов

12, 22, … 202, 212, 222, 232, 242, 252.

Проведём расчёты на тот случай, если продать ценные бумаги в конце любого из этих годов, кроме последнего, и деньги положить на счёт в банке. Оставшееся до 25-ти число лет сумма будет увеличиваться в 1 + r раз ежегодно и составит соответственно

12(1 + r)24, 22(1 + r)23, … 202(1 + r)5, 212(1 + r)4,

222(1 + r)3, 232(1 + r)2, 242(1 + r).	(1)

По условию задачи сумма в конце 25-го года будет наибольшей, если продажа состоялась в 21-м году, то есть наибольшая сумма равна 212(1 + r)4. Из сравнения этой суммы с соседними членами последовательности (1) получим два неравенства:

202(1 + r)5 < 212(1 + r)4 и 212(1 + r)4 > 222(1 + r)3.

Первое неравенство разделим на положительное число (1 + r)4, второе — на (1 + r)3, получим границы для величин 1 + r и r:

< 1 + r < ,	(2)

< r < .	(3)

Неравенство (3) даёт границы для r, полученные из условия, что для членов последовательности (1) справедливы неравенства

a20 < a21 и a21 > a22.

Покажем теперь, что для членов последовательности (1) справедливы неравенства

a1 < … < a19 < a20 < a21 и a21 > a22 > a23 > a24.

Так как a23 = a24 (1 + r), а 1 + r >, то

(1 + r) > > 1,

поэтому a23 > a24.

Аналогично убеждаемся (проверьте), что a22 > a23, а что a21 > a22 известно из условия задачи.

По условию задачи также известно, что a20 < a21.

Так как a19 = a20 (1 + r), а 1 + r < , то

(1 + r) < < 1,

поэтому a19 > a20.

Далее каждый предыдущий член последовательности будет меньше последующего, так как получается из него умножением на один и тот же множитель 1 + r и на всё уменьшающиеся квадраты дробей:

, , …, , .

Таким образом для всех r, удовлетворяющих неравенству (3) сумма, вырученная от продажи ценных бумаг в 21-м году будет наибольшей.

Ответ. < r < .