Арифметические способы решения текстовых задач —
в учебниках и на экзаменах

До реформы математического образования 60-х годов прошлого века в России (СССР) для развития мышления и речи школьников использовали арифметические способы решения текстовых задач, что позволяло развивать эти «инструменты» обучения и существенно влиять на учебные успехи школьников. Поиски резервов учебного времени, необходимого для переноса уравнений и функций из старшего звена в среднее, привели к тому, что тогда посчитали более экономным сразу обучать школьников использованию уравнений в работе с текстовыми задачами. В результате вместо обучения ориентироваться в различных задачных ситуациях и действовать каждый раз сообразно имеющейся ситуации, учащихся учили решать все задачи с помощью уравнений. Особенно сильно от этой перемены пострадали слабые учащиеся, мышление и речь которых лучше развиваются в действиях с величинами, чем при формальных манипуляциях с иксами. В последней версии ФГОСа и в Программе по математике (с 2015 г.) предпринят возврат к использованию хорошо зарекомендовавшего себя традиционного способа работы с текстовыми задачами, что делает публикуемую статью актуальной.

Многие годы обучение решению текстовых задач по математике в советской, а затем и в российской школе, базировалось на использовании уравнений c 5-го класса (даже с начальной школы), что негативно сказывалось на развитии мышления и речи школьников. Но так было не всегда.

До середины 60-х годов прошлого века арифметические способы решения задач были основными при первоначальном обучении решению текстовых задач. Это давало значительные преимущества в развитии мышления и речи учащихся. Уровень математического образования в стране в то время был достаточно высоким, а про общий уровень образования и про методы обучения в СССР хорошо написано в заключении Аналитической записки о образовании в СССР: «Государства, самостоятельно соревнующиеся с СССР, впустую растрачивают свои силы и ресурсы в попытках, обречённых на провал. Если невозможно постоянно изобретать методы, превосходящие методы СССР, стоит всерьёз задуматься над заимствованием и адаптацией советских методов» [1].

В ходе реформы математического образования в конце 60-х годов прошлого века это преимущество было поставлено под сомнение. Чтобы освободить учебное время для более раннего введения элементов теории множеств, уравнений, неравенств, функций…, приняли решение отказаться от арифметических способов решения задач. Решили сразу учить детей применять уравнение. Музыкальное свидетельство об этом есть у А.Б. Пугачёвой:

Нам учитель задаёт

С иксами задачи.

Кандидат наук и тот

Над задачей плачет.

Академики С.Л. Соболев и А.Л. Минц посчитали, что обучение математике в школе проводится вопреки «правилам оптимальной стратегии»: сначала детей учат решать задачи арифметически, а потом приходится затрачивать силы на «переучивание абстрактному мышлению в алгебраических образах» [2]. Борьба с типовыми задачами продолжалась и дальше. Так, через 20 лет после начала реформы, через 10 лет после первого выпуска учащихся, обученных по новой программе и новым учебникам, Н.Я. Виленкин писал: «…придётся ломать сопротивление тех методистов, которые и по сей день восхваляют решение задач арифметическим способом».

До упомянутой реформы в России (СССР) была развитая и уникальная для мировой практики обучения математике типология задач. Это задачи на все действия, «на части», на нахождение двух чисел по их сумме и разности, на движение, на работу, на дроби, на совместную работу, на пропорции, на проценты и т. п. К этому времени уже не использовали в массовой практике метод решения задачи «на фальшивое правило» — на предположение: Летела стая гусей, а навстречу ей один гусь… Стали решать такие задачи с помощью уравнения. Ушло в историю «девичье правило», относящееся к задачам, решаемым теперь при помощи линейного диофантова уравнения: 26 персон издержали вместе 88 марок, мужчины издержали по 6 марок, женщины по 4 марки, девушки по 2… .

Учащихся учили ориентироваться в различных арифметических ситуациях, по тем или иным признакам понимать, с какой задачей они имеют дело, а потом применять известный им способ решения задач такого типа. Речь идёт о простых типах задач. Для решения более сложной задачи иногда нужно решить не одну задачу простого типа. Здесь развивалось умение комбинировать разные способы решения задач.

Нигде в мире такой методически грамотной работы с задачами не было. Сошлюсь на мнение А.Л. Тоома (ВЗМШ, Квант, МГУ, ФМШ № 18 при МГУ). Он имеет опыт работы в зарубежных университетах, в его статьях, размещённых на сайте «Математика. Школа. Будущее» (www.shevkin.ru) вы найдёте много интересных наблюдений.

За 50 лет, прошедших с начала реформы математического образования в СССР, на практике доказано, что раннее введение уравнений для решения текстовых задач себя не оправдало. Вместо обучения школьников умению различать ситуации, описанные в задаче, и действовать в соответствии с имеющейся ситуацией, все задачи стали решать с помощью одного единственного приёма. В результате учащиеся перестают решать текстовые задачи, так как не надеются их решить. Как рассказала моя коллега, однажды ученик попросил её: научите нас, пожалуйста, решать задачи «На пусть…». По-моему, ребенок гениально выразил свою проблему: решения разных задач начинаются одинаково: «Пусть x — …», а что делать дальше, он не знает — в разных задачах надо действовать по-разному.

Текстовые задачи решают при изучении математики, алгебры, геометрии, физики…, а с учётом того, что в последние годы дети читают всё меньше и меньше, возникает вопрос: как можно компенсировать потери и сделать обучение математике и другим школьным предметам более эффективным?

Один из ответов на этот вопрос таков: надо использовать традиционные для российской методики обучения математике арифметические методы решения задач. Это надо делать ещё и потому, что проект новой программы по математике не предусматривает изучения уравнений в 5 классе, а в Федеральном стандарте имеется требование: выпускник школы должен уметь решать задачи арифметическими способами. В итоговые испытания по математике всё чаще включают текстовые задачи, не предполагающие использования уравнения или допускающие арифметическое решение наряду с алгебраическим.

Мышление младших школьников, учащихся 5-6 классов предметно. Ученики лучше развивают мышление и речь в работе с конкретными предметами или их образами — тетрадями, книгами, карандашами и пр., чем с абстрактными иксами — особенно слабые учащиеся. А освоив арифметические способы решения задач, решают их иногда лучше своих родителей и даже учителей (такие случаи в моей практике были). Так давайте воспользуемся этим обстоятельством и начнём учить детей так, чтобы наше обучение развивало их мышление и речь, делало процесс обучения более интересным и эффективным.

Прежде чем рассказать об опыте реализации лучших отечественных традиций отечественной методики обучения математике в учебном процессе, надо сказать, что этот опыт отражён в моих книгах [3] – [6], а также в учебниках серии «МГУ-школе», ведь работа в этом направлении началась в далёком 1985 г. Надо обязательно остановиться и на тех трудностях, с которыми сталкиваются учителя, а ещё больше — родители учащихся, обучавшиеся в своё время решать задачи исключительно с помощью уравнений — «по Виленкину». Приведу пример из переписки на моём сайте.

21. Имя: Елена, Москва. Скажите, пжта, где найти ответы и метод. рекомендации к каждому из упражнений Рабочей тетради Математика 5 класс, М.К. Потапов, А.В. Шевкин… В разделе «Книги» [на сайте] не нашла.

Мама ученицы 5 класса.

А.В. Ответы может найти каждый ученик самостоятельно. Если вдруг есть "непреодолимые" задания, то напишите мне на почту avshevkin@mail.ru.

01:10, 24.09.2014

22. Имя: Елена, Москва. А Вы просчитывали какое количество учеников школ Москвы … останется без базовых знаний с учетом такого показателя как бестолковыеленивыеуставшие учителя, которые не умеют и/или не хотят увлечь наших детей математикой? ... Может все-таки в качестве компенсации напишите для нас, родителей, … решения к … задачам? Уроки-то мы с ними делаем... Пишу после бессонной ночи, телефонных переговоров между родителями почти целого 5 класса.

Решали задачи и придумывали как их изобразить схематично с № 61 по № 65 Рабочей тетради. Не придумали. А многие родители и не смогли сами решить. Да мы еще и после Петерсон. [Далее привожу задачу на вычитание, которая не получилась именно потому, что в классе не обратили внимание на задачи с предыдущей страницы рабочей тетради. Вот первая из них: Сумма двух чисел на 10 больше первого числа. Найдите второе число.]

А.В. 61. Разность двух чисел на 23 меньше первого из них. Найдите второе число.

Ответ здесь 23. Чтобы не обидеть маму коротким ответом, я дал пространные рассуждения и даже привёл примеры: 33 – 23 = 10... .

23. Имя: Елена, Москва. Как же просто!!!! А мы с уравнениями, да ещё с двумя неизвестными... нарешали... как объяснить детям, чтобы их окончательно не запутать, голову ломали. Спасибо...

Прискорбно, что у нас не только дети, но и взрослые не умеют решать задачи, которые в старые добрые времена, когда на арифметику в начальной школе отводили 6-7 уроков в неделю, умели решать и слабые учащиеся. Правда, тогда учили взаимосвязи арифметических операций, поиску компонентов действий, пониманию зависимости результата выполнения арифметического действия от изменения его компонентов.

Давайте бегло рассмотрим порядок работы с текстовыми задачами по учебнику для 5 класса серии «МГУ-школе» (Просвещение, С.М. Никольский и др.).

При изучении натуральных чисел учащиеся осваивают два способа оформления решений — с вопросами и с пояснениями. Это работа над развитием их мышления и речи. Уровень сложности задач постепенно повышается за счёт роста числа выполняемых действий. Взаимосвязь между арифметическими операциями проясняется за счёт задач, решаемых «обратным ходом» или «с конца».

Затем идут задачи «на части» — стандартные задачи про варку варенья, сплавы, про книжки на двух полках. После них идут задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности, что готовит учащихся к изучению задач на движения по реке, так как скорости по течению и против течения суть сумма и разность собственной скорости и скорости течения.

Рассмотрим задачу на нахождение двух чисел по их сумме и разности.

В двух пачках 70 тетрадей — в первой на 10 тетрадей больше, чем во второй. Сколько тетрадей в каждой пачке?

С этой задачи хорошо начинать знакомство с рассматриваемым типом задач, положив на стол две пачки тетрадей. Обычно дети предлагают снять «излишек» — 10 тетрадей, чтобы уравнять число тетрадей в двух пачках. Первое действие они сначала поясняют достаточно длинно (здесь развивается речь), после нескольких однотипных задач надо заметить, что у них общего в условии (каждый раз дана сумма и разность неизвестных чисел), в первом действии (каждый раз из суммы вычитаем разность и получаем в 2 раза больше, чем меньшее число), только потом учитель вводит термин «удвоенное меньшее число», упрощающий пояснение и подсказывающий второе действие.

1) 70 – 10 = 60 (тетр.) — удвоенное число тетрадей во второй пачке;

2) 60 : 2 = 30 (тетр.) — во второй пачке;

3) 30 + 10 = 40 (тетр.) — в первой пачке.

Далее идут задачи на движение по реке, на движение.

Особое место среди задач по теме Натуральные числа занимают задачи, требующие воображаемых действий, мысленных экспериментов, предположений — всё это оказывает хорошее развивающее влияние на учащихся. такие задачи есть в разделе Задачи на повторение в конце учебника. Рассмотрим несколько таких задач.

Мама раздала детям по 3 конфеты и у неё осталось 4 конфеты. Если бы у неё было ещё 6 конфет, то она могла бы раздать детям по 5 конфет. Сколько было детей?

Предположим, что у мамы было ещё 6 конфет, тогда после первой раздачи конфет у неё осталось бы 4 + 6 = 10 конфет. Каждому ребёнку она могла бы дать ещё по 5 – 3 = 2 конфеты. Детей было 10 : 2 = 5. Запишем решение с пояснениями.

1) 4 + 6 = 10 (конфет) — стало бы у мамы;

2) 5 – 3 = 2 (конфеты) — мама дала бы каждому дополнительно;

3) 10 : 2 = 5 (детей) — было.

Эта задача готовит к следующей, в которой есть действие 11 : 1 = 11.

Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на восемь динариев больше, то он мог бы дать каждому по три, но он раздаёт лишь по два, и у него ещё остаётся три. Сколько бедных?

Представим, что некто раздавал сначала по 2 динария (это переформулировка задачи) и у него осталось 3 динария. Если бы у него было на 8 динариев больше, то 11 динариев он распределил бы между всеми бедными, дав каждому ещё по 1 динарию. То есть бедных было 11.

Запишем это решение по действиям.

1) 3 + 8 = 11 (динариев) — можно раздать сверх выданных двух динариев;

2) 3 – 2 = 1 (динарий) — можно раздать каждому сверх выданных двух динариев;

3) 11 : 1 = 11 (бедных) — было.

Для детского сада купили 20 пирамид: больших и маленьких — по 7 и по 5 колец. У всех пирамид 128 колец. Сколько было больших пирамид?

Уравняем число колец на пирамидах, для этого снимем с больших пирамид по 2 кольца. Тогда на пирамидах останется 20 ∙ 5 = 100 (колец). Сняли 128 – 100 = 28 (колец). Вернём их на большие пирамиды — по 2 на каждую, тогда больших пирамид было 28 : 2 = 14.

Тот же приём использования воображаемых действий можно применить при решении старинной китайской задачи.

В клетке сидят фазаны и кролики. Всего у них 30 голов и 70 ног. Определите число фазанов и число кроликов.

В конце 6 класса можно составить уравнение 4x + 2 (30 – x) = 70, где x — число кроликов, и получить ответ. Но если мы обучаем детей не только для получения ответа, но и с целью развития их мышления и речи в процессе работы с нею, если нам небезразличен эмоциональный фон обучения, то полезно провести диалог, найденный мною у старых мастеров методики обучения математике и вызывающий у детей живейшее участие в решении задачи. Так решали эту задачу более 100 лет назад.

— Дети, представим, что на верх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле?

— 60	(30 ∙ 2 = 60).

— Но в условии задачи даны 70 ног, где же остальные?

— Остальные не посчитаны — это передние лапы кроликов.

— Сколько их?

— 10	(70 – 60 = 10).

— Сколько же кроликов?

— 5	(10 : 2 = 5).

— А фазанов?

— 25	(30 – 5 = 25).

Дети могут предложить другой способ решения.

Представим, что в клетке было 30 фазанов, тогда у них было 60 ног. Если одного фазана заменить одним кроликом, то число голов не изменится, но добавится 2 ноги (лапы). Чтобы увеличить число ног на 10, надо выполнить 10 : 2 = 5 таких замен, то есть в клетке 5 кроликов.

В качестве итога по теме «Натуральные числа» давайте посмотрим, как одни и те же задачи решают дети, обученные по старой российской методике, и дети, обученные решать текстовые задачи методом «Пусть x — …». Из хорошего доклада восьмиклассников по историческим задачам возьмём задачу о принцессе Либуше (VIII в.).

По преданию, основательница чешского государства принцесса Либуша обещала отдать свою руку тому из трёх женихов, кто сумеет решить задачу: «Если бы я дала первому жениху половину слив из этой корзины и ещё одну сливу, второму жениху половину оставшихся слив и ещё одну сливу, а оставшиеся сливы поделила пополам и половину их и ещё три сливы дала бы третьему жениху, то корзина опустела бы».
Сколько слив в корзине?

Решение восьмиклассников, обученных раннему использованию уравнения привожу по докладу в интернете, но подробнее (до уравнения) и с исправлением досадной опечатки.

Пусть первоначально в корзине было х слив, тогда у первого жениха было слив, у второго : 2 + 1 = слив, у третьего : 2 + 3 = слив. Составим уравнение:

…

= 30.

А вот решение, той же задачи, но сформулированной про отца, трёх сыновей и раздачу денег (5 класс, № 1078, а). Это решение готовится на более простых задачах. Начнём с конца (см. рис.).

1) 3 + 3 = 6 (р.) – дали III брату;

2) (6 + 1) 2 = 14 (р.) – дали II и III братьям вместе;

3) (14 + 1) 2 = 30 (р.) – денег было всего.

Выигрыш арифметического способа над алгебраическим очевиден, но не надо внушать детям, что так будет всегда.

Задача Евклида. Ослица и мул шли вместе, нагруженные мешками равного веса. Ослица жаловалась на тяжесть ноши. Чего ты жалуешься, — сказал мул, — если ты мне дашь один твой мешок, моя ноша станет вдвое больше твоей, а если я дам тебе один мешок, наши грузы только сравняются». Сколько мешков было у каждого?

Рассмотрим решение Кристины Марченко (6 кл., муниципальная гимназия, г. Ревякин, Московская обл., учитель Т.В. Абросимова).

Два мешка составляют 1 – – = числа всех мешков. Всего было 2 : =
= 12 (мешков). У мула было 12 : 2 + 1 = 7 (мешков), а у ослицы 12 – 7 = 5.

Далее рассмотрим несколько задач уровня 5-6 класса, которые предлагают на выпускном экзамене за курс средней школы. Наши казахстанские коллеги тоже проводят итоговый экзамен — Единое национальное тестирование (ЕНТ). У них есть аналог нашего ЕГЭ базового уровня, он называется «Математическая грамотность». Вот две задачи из этого тестирования. Я использую материалы из Ютуба, в которых преподаватель обучает выпускников решать задачи, применяя чаще всего «взрослые» решения. Сравним их с возможными «детскими» решениями.

Следующая задача в источнике сформулирована в виде теста, приведём её к более привычному виду.

В двух карманах было 150 монет. Затем семнадцать монет перемещены из одного кармана в другой. В результате количество монет во втором кармане стало в два раза больше, чем в первом. Сколько монет было в первом кармане первоначально?

Преподаватель составил уравнение

(x – 17) + 2(x – 17) = 150,

где x — первоначальное число монет в первом кармане, и получил ответ «67 монет». Но задача решена неверно. Верный ответ здесь «67 или 33 монеты». Проблема заключается в том, что выделенные в тексте задачи слова не означают «из первого во второй», они могут означать и «из второго в первый», поэтому правильное решение сформулированной задачи предполагает рассмотрение обоих случаев.

Рассмотрим теперь «детское» решение для первого случая, приведённого преподавателем.

Начнем с конца, определим, сколько монет стало в первом кармане после их перекладывания. Для этого решим «задачу на части» — как мы учим в учебнике для 5 класса. Пусть новое число монет в первом кармане составляет 1 часть, тогда во втором — 2 части.

1) 1 + 2 = 3 (части) — приходится на 150 монет;

2) 150 : 3 = 50 (монет) — стало в первом кармане;

3) 50 + 17 = 67 (монет) — было в первом кармане первоначально.

Когда моему отцу был 31 год, мне было 8 лет, сейчас отец старше меня в 2 раза. Сколько лет мне сейчас?

И здесь преподаватель составил уравнение

31 + x = 2(8 + x),

где x — число лет, прошедших между двумя рассматриваемыми ситуациями, и получил x = 15. Потом определил возраст сына сейчас: 8 + 15 = 23.

Рассмотрим теперь «детское» решение.

Папа старше сына на 31 – 8 = 23 года. Сейчас отец в 2 раза старше сына, пусть возраст сына составляет 1 часть, тогда возраст отца — 2 части.

1) 2 – 1 = 1 (часть) приходится на 23 года, это и есть возраст сына сейчас.

В разделе Задачи на повторение в конце учебника для 5 класса у нас есть серия задач, завершённая задачей 1157:

Три утёнка и четыре гусёнка весят 2 кг 500 г, а четыре утёнка и три гусёнка весят 2 кг 400 г. Сколько весит гусёнок?

Предполагается, что ученик запишет кратко условия задачи, обозначив буквами русского алфавита массы утенка и гусёнка:

3 у + 4 г = 2500,

4 у + 3 г = 2400,

а далее выполнит манипуляции с верными равенствами:

7 у + 7 г = 4900,

у + г = 700,

3 у + 3 г = 2100

и сравнит первое равенство с последним.

2500 – 2100 = 400 (г) – весит гусёнок,

Похожие задачи есть в нашем учебнике для 6 класса, есть и в ЕНТ, и в ЕГЭ базового уровня.

(ЕНТ) Три яблока и одна груша весят столько же, сколько 10 персиков, а 6 персиков и 1 яблоко весят столько, сколько 1 груша. Сколько же персиков надо взять, чтобы уравновесить 1 грушу?

Преподаватель, обучавший в интернете выпускников казахстанской средней школы, несколько раз нарисовал весы, на чашах которых изобразил фрукты в точном соответствии с условиями задачи. А достаточно было написать два равенства

3 я + 1 г = 10 п,	(1)

1 г = 6 п + 1 я,	(2)

умножить равенство (2) на 3 и сложить его с равенством (1), чтобы получить после упрощения: 4 г = 28 п, 1 г = 7 п (1 груша весит столько, сколько 7 персиков).

(ЕГЭ) В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

— за 2 золотых монеты получить 3 серебряных и одну медную;

— за 5 серебряных монет получить 3 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 50 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

Запишем кратко условия задачи (располагая массы золотых монет, про которые не спрашивают в задаче, в разных частях равенств):

2 з = 3 с + 1 м,	(1)

5 с = 3 з + 1 м.	(2)

Уравняем количество золотых монет, умножив равенство (1) на 3, а равенство (2) на 2:

6 з = 9 с + 3 м,	(3)

10 с = 6 з + 2 м.	(4)

Сложив равенства (3) и (4), получим:

6 з + 10 с = 6 з + 9 с + 5 м,

откуда, вычитая поровну из обеих частей, получим:

1 с = 5 м,

10 с = 50 м.

То есть 10 серебряных монет стоят столько же, сколько стоят 50 медных. У Николая появилось 50 медных монет, значит, число серебряных монет уменьшилось на 10.

Это была задача 20 из демоверсии. Можно ли по таким задачам судить о получении молодыми людьми среднего математического образования – не обсуждаем.

Однако вернёмся в 5 класс. Там ещё есть много интересного.

Сейчас мы перерабатываем учебники и стараемся учесть пожелания учителей, желающих увеличения числа более сложных задач для своих мотивированных учащихся. В новой 5 главе мы рассказываем о десятичных дробях, оставляя их умножение и деление на 6 класс. Новая программа требует в 5 классе только складывать и вычитать и обыкновенные, и десятичные дроби — новый шедевр методики преподавания математики!
В этой главе есть дополнение, в котором рассмотрены некоторые способы решения задач (рассуждение «с конца», использование вспомогательного неизвестного, переформулировка задачи). Приведём старинную задачу, похожую на задачи ЕГЭ и ЕНТ.

(Новгород, XV в.). Одна бочка и 20 вёдер кваса уравниваются с тремя бочками кваса, а 19 бочек, 1 насадка и 15,5 ведра уравниваются с 20-ю бочками и 8-ю вёдрами. Сколько насадок содержится в бочке? (Бочка, насадка, ведро — меры объёма жидкостей.)

Запишем коротко условия задачи

1 б + 20 в = 3 б,

19 б + 1 н + 15,5 в = 20 б + 8 в.

Из первого равенства получим: 1 б = 10 в.

Из второго равенства получим: 1 н + 7,5 в = 1 б. Так как 1 б = 10 в, то

1 н = 2,5 в,

4 н = 10 в.

Наконец, получаем: 1 б = 4 н.

В новой главе 1 «Повторение» в 6 классе добавлена ставшая фольклорной задача:

Мальчик Пат и собачонка

Весят два пустых бочонка.

Собачонка без мальчишки

Весит две больших коврижки.

А с коврижкой поросенок

Весит — видите — бочонок.

Сколько весит мальчик Пат

Чёрно-пегих поросят?

Пусть мальчик Пат, собачонка, коврижка, поросёнок и бочонок весят м, с, к, п и б соответственно (в кг). Тогда верны равенства

м + с = 2б,

с = 2к,

п + к = б.

С помощью второго и третьего равенств перепишем первое равенство в виде м + 2к = 2п + 2к, откуда следует, что м = 2п, то есть мальчик Пат весит столько же, сколько весят два поросёнка.

Думается, что тема использования вспомогательных неизвестных и верных числовых равенств раскрыта, давайте вернёмся в раздел «Дроби» из 5 класса, но пропустим знакомые задачи «на дроби». После них в учебнике идут задачи на совместную работу. Они почти на 50 лет были выброшены из учебников для 5-6 классов, превратившись в конкурсные задачи в «бухгалтерские» вузы. На них стоит остановиться подробнее. Вот одна из самых древних задач такого типа.

Китай, II в. Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?

Очевидно, что китайцев интересовало не практическое приложение ответа в задаче, а практическое приложение мышления обучаемых, развитого при решении этой задачи.

А вот задача на совместную работу для 5 класса.

Один ученик уберёт класс за 20 мин, а второй за 30 мин. За сколько минут они уберут класс при совместной работе?

Её решение готовится с самого начала введения дробей большим числом вопросов типа:

Ученик уберёт класс за 20 мин. Какую часть класса он убирает в минуту?

Ученик убирает за минуту класса. За сколько минут он уберёт класс?

Решение задачи приводит к сложению дробей, но есть и другой способ решения, который рассмотрим на примере задачи, решаемой вычитанием дробей.

Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Один человек выпьет кадь кваса в 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь в 10 дней. Спрашивается, в сколько дней жена его отдельно выпьет ту же кадь.

В учебнике приведено старинное решение этой задачи.

За 140 дней человек выпьет 10 бочонков, а вместе с женой за 140 дней они выпьют 14 бочонков. Значит, за 140 дней жена выпьет 14 – 10 = 4 бочонка. Один бочонок она выпьет за 140 : 4 = 35 дней.

Для решения задачи делается предположение, что муж и жена пили квас 140 дней, т. е. проводится мысленный эксперимент. Применим тот же приём для решения задачи из ЕГЭ.

ЕГЭ, 2009. Маша и Настя могут вымыть окно за 20 мин. Настя и Лена могут вымыть это же окно за 15 мин, а Маша и Лена — за 12 мин. За какое время девочки вымоют окно, работая втроём?

Пусть у нас было две Маши, две Насти и две Лены, причём девочки с одинаковыми именами работали с одинаковой производительностью. Тогда за 60 мин Маша и Настя вымоют 3 окна, Настя и Лена вымоют 4 окна, а Маша и Лена вымоют 5 окон. За 60 мин 6 девочек при совместной работе вымоют 3 + 4 + 5 = 12 (окон). Тогда Маша, Настя и Лена за 60 мин вымоют 6 окон, а одно окно они вымоют за 60 : 6 = 10 (мин).

Забавная история приключилась с изменённой в первой строке задачей С. Сатина (учебник для 5 класса до 2017 г.).

За пять недель пират Ерёма
Способен выпить бочку рома.
А у пирата у Емели
Ушло б на это две недели.
За сколько дней прикончат ром,
Пираты действуя вдвоём?

Мама одной ученицы написала письмо в минобрнауки, обвинила авторов учебника «в пропаганде алкоголя». Пришлось сочинять копию задачи, которая проигрывает оригиналу в занимательности сюжета.

За пять недель маляр Истомин
Покрасит стены в целом доме.
А лучший мастер Глеб Куделин
Покрасит стены в две недели.
За сколько дней, нам интересно,
Они всё сделают совместно?

В учебник включены усложнённые задачи на совместную работу, например, такая.

Коза съедает стог сена за 30 дней. Корова — за 20 дней. Телёнку в день требуется половина того, что за день съедают коза и корова вместе. За сколько дней они съедают стог сена втроём?

Вот её решение «в дробях» и без пояснений:

1) 1 : 30 = (стога);	2) 1 : 20 = (стога);

3) (стога);	4) : 2 = (стога);

5) (стога);	6) 1 : = 8 (дней).

Приведём задачи из упомянутого выше дополнения к главе 5 из учебника для 5 класса. Рассмотрим задачи, в которых использованы рассуждение «с конца», вспомогательные неизвестные и переформулировка задачи, а также использование в одной задаче способов решения различных типовых задач.

В двух бидонах было 36 л молока. Когда из первого бидона перелили имевшегося в нём молока во второй бидон, то в первом бидоне стало в 2 раза меньше молока, чем во втором. Сколько молока первоначально было в каждом бидоне?

Начнём рассуждать «с конца»: в первом бидоне стало в 2 раза меньше молока, чем во втором, а всего было 36 л молока. Решим задачу «на части». Пусть после переливания объём молока в первом бидоне составлял 1 часть, а во втором — 2 части.

1) 1 + 2 = 3 (части) — приходится на 36 л молока;

2) 36 : 3 = 12 (л) — молока стало в I-м бидоне.

Из первого бидона перелили имевшегося в нём молока во второй бидон, следовательно, 12 л составляют 1 – = первоначального объёма молока в первом бидоне.

Теперь решим задачу на дроби.

3) 12 : = 18 (л) — молока было в I-м бидоне первоначально;

4) 36 – 18 = 18 (л) — было в II-м бидоне первоначально.

Грузовик ехал несколько часов со скоростью 90 км/ч, потом столько же часов — со скоростью 60 км/ч. С какой постоянной скоростью он проехал бы тот же путь за то же время? (Эту скорость называют средней скоростью.)

Пусть грузовик ехал x ч со скоростью 90 км/ч, потом x ч со скоростью
60 км/ч. За 2x ч он проехал 90x + 60x = 150 x км. Его средняя скорость равна = 75 (км/ч).

Это простая задача на среднюю скорость, здесь равные промежутки времени и средняя скорость есть среднее арифметическое данных скоростей. Случай равных промежутков пути будет рассмотрен позже.

Теплоход от пристани A до пристани B плывёт 12 ч, а обратно — 9 ч (время на остановки, не учитывается). За сколько часов от B до A доплывут плоты?

Пусть расстояние AB равно x км. Тогда скорость теплохода по течению равна км/ч, а против течения км/ч.

1) = = (км/ч) — удвоенная скорость течения реки;

2) : 2 = (км/ч) — скорость течения реки;

3) x : = 72 (ч) — время движения плотов от B до A.

Суть приёма, применяемого в следующем решении, заключается в том, что вместо данной задачи удаётся сформулировать другую, решение которой даёт ответ к данной задаче.

Задача Р.М. Смаллиана. Дама зашла в зоомагазин и купила 5 больших птиц и 3 маленькие, а если бы она купила 3 большие птицы и 5 маленьких, то сэкономила бы 20 долларов. Сколько стоила каждая птица, если известно, что большая птица стоила в 2 раза дороже маленькой.

Так как большая птица стоит в два раза больше, чем маленькая, то первый раз заплачено столько, сколько стоят 5 2 + 3 = 13 маленьких птиц, а во второй раз столько, сколько стоят 3 2 + 5 = 11 маленьких птиц, т. е. 13 – 11 = 2 маленькие птицы стоят 20 долларов, столько же, сколько стоит 1 большая птица. Тогда маленькая птица стоит 20 : 2 = 10 (долларов). Заменив каждую большую птицу двумя маленькими, задачу можно переформулировать так: первый раз купили 13 маленьких птиц, а второй раз 11 маленьких птиц и сэкономили 20 долларов…

В ЕНТ эта задача использовалась с заменой дамы на Малику. Преподаватель составил уравнение:

(5 2x + 3x) – (3 2x + 2x) = 20,

где x — стоимость маленькой птицы. «Детское» решение кажется мне предпочтительнее.

От пола комнаты одновременно вертикально вверх по стене поползли две мухи. Поднявшись до потолка, они поползли обратно. Первая муха ползла в оба конца с одной и той же скоростью, а вторая хотя и поднималась вдвое быстрее первой, но зато спускалась вдвое медленнее. Какая из мух раньше приползёт обратно?

Переформулируем условия задачи так, чтобы ответ не изменился. Пусть вторая муха поднималась вдвое медленнее первой мухи, а спускалась вдвое быстрее. Тогда пока вторая муха медленно поднимется до потолка, первая муха проделает путь туда и обратно, то есть финиширует первой.

В упражнениях из того же пункта есть такие задачи.

* На двух полках стояло 24 книги. Сначала с первой полки переставили стоявших на ней книг на вторую полку. Потом со второй полки переставили стоявших на ней на первую полку. В результате книг на полках стало поровну. Сколько книг стояло на первой полке первоначально?

В презентации, выложенной в разделе «Презентации и ссылки» упомянутого выше сайта решение проводится по постепенно заполняемой таблице.

1) 24 : 2 = 12 (книг) — стало на 2-й полке после второй перестановки;

2) 1 – = — от числа книг, стоявших на 2-й полке, составляют 12 книг;

3) 12 : = 18 (книг) — стало на 2-й полке после первой перестановки;

4) 24 – 18 = 6 (книг) — стало на 1-й полке после первой перестановки;

5) 1 – = — от числа книг, стоявших на 1-й полке, составляют 6 книг;

6) 6 : = 8 (книг) — было на 1-й полке первоначально.

Подчеркнём, что мы рассматриваем дополнительные задачи для мотивированных школьников. Их вредно долго держать на простых задачах, решения которых они давно освоили.

* На птицеферме гусей было в 2 раза меньше, чем уток. На 1 день гусям и уткам выдают столько корма, сколько требуется одному гусю на 56 дней или одной утке на 84 дня. Сколько на птицеферме уток?

Выдаваемого всем уткам и гусям на 1 день корма (назовём его нормой) хватает одному гусю на 56 дней, значит, в день одному гусю требуется нормы. Аналогично в день одной утке требуется нормы. Так как гусей было в 2 раза меньше, чем уток, то подсчитаем часть нормы, которая требуется в день одному гусю и двум уткам: + 2 = (нормы). Значит, всего уток и гусей в 24 раза больше, чем в группе, состоящей из 1 гуся и 2 уток. Тогда всего было 24 гуся и 2 ∙ 24 = 48 (уток).

* Запаса топлива в баке моторной лодки хватает, чтобы проплыть 28 км по течению реки или 21 км против течения реки. На какое наибольшее расстояние может отплыть рыбак на этой лодке по течению реки, чтобы топлива хватило на обратный путь (чтобы ему не пришлось идти на вёслах)?

Представим, что рыбак на моторной лодке отплыл по течению реки на
1 км, а потом вернулся обратно. На такое путешествие он затратил +
(бака) топлива. Значит, 1 км составляет наибольшего расстояния, на которое может отплыть рыбак, чтобы топлива хватило на обратный путь. Это наибольшее расстояние равно = 12 (км).

* Резина на передних колесах автомобиля изнашивается через 135 тыс. км пробега, а на задних колесах — через 90 тыс. км пробега. На изношенной резине ездить запрещено, шины надо менять. На автомобиле установлен комплект новой резины. Какое наибольшее расстояние можно проехать на этой резине, если догадаться вовремя поменять передние колёса с задними? Через сколько тысяч километров это надо сделать?

На 1 тыс. км передние колёса получают износа, а задние колёса — износа. Представим, что автомобиль проехал 1 тыс. км, передние колёса поменяли с задними и автомобиль проехал ещё 1 тыс. км. Каждое колесо на этих 2 тыс. км получило + = износа, т. е. 2 тыс. км составляют наибольшего пробега, который равен 108 тыс. км. Поменять передние колёса с задними надо через 54 тыс. км.

Изменим ситуацию, добавим запасное колесо.

* Резина на передних колесах автомобиля изнашивается через 135 тыс. км пробега, а на задних колесах — через 90 тыс. км пробега. На изношенной («лысой») резине ездить запрещено, шины надо менять. На автомобиле установлен комплект новой резины и в багажнике лежит новое запасное колесо. Какое наибольшее расстояние можно проехать на этой резине, если догадаться вовремя менять колёса? Какое наименьшее число раз надо менять колёса? Через сколько тысяч километров?

Из решения предыдущей задачи следует при наличии четырёх колёс можно проехать наибольшее расстояние 108 тыс. км. Добавив пятое колесо, мы увеличиваем наибольший пробег в раза (если сумеем организовать замену колёс). Наибольший пробег равен 108 ∙ = 135 (тыс. км).

Чтобы добиться требуемого, каждое колесо должно быть запасным на наибольшего пробега, т. е. смену колёс надо осуществлять 4 раза через
135 : 5 = 27 (тыс. км). Делать это можно по схеме, представленной в таблице (П — переднее, З — заднее, ЗАП — запасное):

Номера колёс
1	2	3	4	5
П	П	З	З	ЗАП
П	З	З	ЗАП	П
З	З	ЗАП	П	П
З	ЗАП	П	П	З
ЗАП	П	П	З	З

Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Некий человек нанял работника на год, обещал ему дать 12 р. и кафтан. Но тот, отработав 7 месяцев, захотел уйти и просил достойной платы с кафтаном. Хозяин дал ему по достоинству расчет 5 р. и кафтан. Спрашивается, какой цены тот кафтан был.

Алгебраическое решение задачи приводит к уравнению ∙ 7 = x + 5, где x р. — стоимость кафтана. Когда решение задачи при помощи уравнения было разобрано у доски, ученица 6 класса Андреева Аня предложила вычислить стоимость одного месяца работы проще: не по отработанному времени, а по тому, что осталось отработать. Работник не получил 12 – 5 = 7 (р.) за 12 – 7 = 5 (месяцев), поэтому за 1 месяц ему платили 7 : 5 = 1,4 (р.), а за 7 месяцев он получил 71,4 = 9,8 (р.), тогда кафтан стоил 9,8 – 5 = 4,8 (р.).

Её ответ закончился аплодисментами класса. Здесь я «проиграл» ученице, но понял, что стратегия обучения была правильной. Вот ещё один случай из моей практики. Это «автобиографическая» задача. Как-то раз с мамой и племянниками отправились мы в Тверской области в лес за малиной. Племянник всё время просил меня загадать задачку, а когда они закончились, я начал сочинять новую задачу «на злобу дня».

Брат и сестра собирали малину в двухлитровые бидоны. Брат собирал ягоды быстрее сестры. Через некоторое время он решил ей помочь и поменялся с ней бидонами. Момент для обмена бидонами был выбран удачно — ребята наполнили их ягодами одновременно. Сколько литров ягод они набрали вместе до того, как поменялись бидонами?

Вот моё «взрослое» решение, которое я дал в начале 8 класса для повторения алгебраического материала.

Пусть брат до обмена бидонами собрал х л, а сестра у л ягод, тогда после обмена брат собрал (2 – у) л, а сестра (2 – х) л ягод. Брат собирал ягоды быстрее сестры в одно и то же число раз до и после обмена бидонами, поэтому х больше у во столько же раз, во сколько (2 – у) больше, чем (2 – х). Составим уравнение:

= .

Умножив уравнение на отличное от нуля произведение y(2 – х), получим уравнение второй степени с двумя неизвестными, которое перепишем в виде:

(х – y)(х + y – 2) = 0.

Из условия задачи следует, что первый множитель не нуль, тогда
x + y = 2. Это и требовалось найти. Следовательно, брат и сестра набрали вместе 2 л до того, как поменялись бидонами.

А вот «детское» решение без уравнения моего ученика Просина Дениса (школы № 679, Москва). Брат должен поменяться с сестрой бидонами в тот момент, когда ему останется собрать ровно столько ягод, сколько к этому моменту собрала сестра. Тогда после обмена бидонами каждый из них соберёт столько же ягод, сколько и до обмена, а вместе — ровно половину от объёма двух бидонов, т. е. 2 л.

И на этот раз в классе были аплодисменты.

С этой задачи началась серия задач «с обменом местами работы», решаемых при помощи уравнений — линейных и рациональных. Все они вошли в наши учебники.

Следующая задача получилась переформулировкой моей задачи про
сбор малины в журнале «Квант».

Сулико подошла к роднику с двумя пустыми кувшинами. Один вмещал 5 л, а другой — 4 л. Вода из родника текла двумя струями — одна сильнее, другая слабее. Сулико одновременно подставила кувшины под струи и, когда набралась половина меньшего кувшина, поменяла кувшины местами. Как это ни удивительно, но кувшины наполнились одновременно. Во сколько раз больше воды даёт одна струя, чем другая?

Отметим, что в процессе решения этой задачи надо рассматривать два случая (поставить большой кувшин под сильную или под слабую струю), но они приводят к одному и тому же ответу.

Учащиеся, обученные решению задач арифметическими способами, долго противятся решению знакомых задач «в алгебраических образах», так как не видят выигрыша в применении уравнений в простых ситуациях. Требуются специальные усилия: а теперь реши эту задачу при помощи уравнения. Надо не переучивать их решать задачи в «алгебраических образах», а показывать задачи, которые решаются проще или только при помощи уравнения.

Рассмотрим такую задачу, сопоставим два способа её решения.

Вася планирует добраться из пункта A в пункт B. Если он поедет на велосипеде со скоростью 15 км/ч, то доберётся до пункта B на 6 ч раньше, чем пешком. Если он поедет на автобусе со скоростью 60 км/ч, то доберётся до пункта B на 3 ч раньше, чем на велосипеде. Какова скорость Васи при движении пешком?

I способ. 1) 60 : 15 = 4 (раза).

В 4 раза скорость движения на автобусе больше, чем скорость движения на велосипеде, в 4 раза время движения на автобусе меньше, чем время движения на велосипеде, так как путь один и тот же. Пусть время движения на автобусе составляет 1 часть, тогда время движения на велосипеде составляет 4 такие же части.

2) 4 – 1 = 3 (части) — приходится на 3 ч;

3) 3 : 3 = 1 (ч) — приходится на 1 часть (время движения от A до B на автобусе);

4) 60 ∙ 1 = 60 (км) — расстояние от A до B;

5) 1 + 3 = 4 (ч) — время движения от A до B на велосипеде;

6) 4 + 6 = 10 (ч) — время движения Васи от A до B пешком;

7) 60 : 10 = 6 (км/ч) — скорость Васи при движении пешком.

II способ. Пусть x ч — время движения Васи при движении от A до B пешком. Тогда время движения Васи на велосипеде (x – 6) ч, а на автобусе
(x – 9) ч. Вычислим расстояние AB двумя способами: 15(x – 6) км и 60(x – 9) км. Составим уравнение и решим его:

15(x – 6) = 60(x – 9),

x = 10.

Автобус проезжает расстояние AB за 10 – 9 = 1 (ч), это расстояние равно 60 ∙ 1 = 60 (км), следовательно, скорость Васи при движении пешком равна 60 : 10 = 6 (км/ч).

Рассмотрим старинное решение задачи из «Арифметики» С.Я. Румовского (1760 г.) на так называемое фальшивое правило, т. е. на ложное предположение.

Летела стая гусей, а навстречу им летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, сто гусей!» А те ему отвечают: «Нас не сто гусей, а если бы нас было ещё столько, сколько есть, да полстолько, да четверть столько, да ещё ты один гусь с нами, тогда нас было бы ровно 100 гусей». Сколько гусей в стае?

Положим, что гусей было 20. Тогда столько, ещё столько, да полстолька, да четверть столько, да ещё один гусь это 20 + 20 + 10 + 5 + 1 = 56. До 100 недостает 44.

Положим теперь, что гусей было 24. Тогда столько, ещё столько, да полстолька, да четверть столько, да ещё один гусь это 24 + 24 + 12 + 6 + 1 =
= 67. До 100 недостает 33.

Первое предположение 20 даёт недостаток 44, второе предположение 24 даёт недостаток 33. Перемножим числа крест-накрест:

из большего произведения вычтем меньшее: 44 ∙ 24 – 20 ∙ 33 = 396 и этот результат разделим на разность между недостатками 44 – 33 = 11.

Получалось 396 : 11 = 36 (гусей).

Правильность ответа можно обосновать так.

Обозначим сумму 1 + 1 + + буквой A. По условию задачи

20 + 20 + ∙ 20 + ∙ 20 + 1 = 100 – 44,

или

20A + 1 = 100 – 44.	(1)

Аналогично получим:

24A + 1 = 100 – 33.	(2)

А нам нужно найти такое число x (число гусей в стае), чтобы равенство

x ∙ A + 1 = 100	(3)

было верно, т. е. надо найти корень линейного уравнения (3) с неизвестным x.

Умножим равенство (1) на 33, а равенство (2) на 44 и из второго результата вычтем первый, получим верное числовое равенство:

(24 ∙ 44 – 20 ∙ 33) ∙ A + (44 – 33) = 100 ∙ (44 – 33).

Разделив это равенство на разность (44 – 33), получим новое верное числовое равенство:

∙ A + 1 = 100,

которое означает, что искомое число x равно дроби , что соответствует приведённому выше старинному решению.

Разумеется, с помощью линейного уравнения эта задача решается проще, но не надо внушать учащимся, что с помощью уравнения проще решить любую задачу. Пусть сами выбирают подходящий способ решения.

Вот и последняя задача в нашем обсуждении. И снова ЕНТ.

ЕНТ. Мадина и Камила вместе весят 40 кг, Камила и Сания — 50 кг, Сания и Дария — 60 кг, Дария и Галия — 70 кг, Галия и Мадина —
80 кг. Сколько весит Мадина?

«Взрослое» решение этой задачи в интернете свелось к решению системы пяти уравнений

М + К = 40, К + С = 50, С + Д = 60, Д + Г = 70, Г + М = 80.

А вот «детское» решение этой задачи. В сумме 40 + 50 + 60 + 70 + 80 = 300 (кг) два раза учтён вес каждой девочки, следовательно, 5 девочек весят 150 кг. Вычитая из этой величины вес всех девочек, кроме Мадины:

150 – (50 + 70) = 30 (кг), получим вес Мадины.

Коллеги! Учите детей «детским» способам решения задач!

Повышения качества обучения математике можно добиться, развивая в процессе решения текстовых задач арифметическими способами главные инструменты обучения — мышление и речь. Так делали за 100 лет до нас и, я надеюсь, будут делать через 100 лет после нас.

Многим родителям и учителям надо перестроиться. Чем раньше они избавятся от синдрома обучения «по Виленкину», тем быстрее получат радующие их результаты в обучении школьников решению текстовых задач.

Литература

1. http://statehistory.ru/4316/Analiticheskaya-zapiska-NATO-ob-obrazovanii-v-SSSR-1959-g-/

2. Менчинская Н.А., Моро М.И. Вопросы методики и психологии обучения арифметике в начальных классах. – М.: Просвещение, 1965. – 224 с.

3. Шевкин А.В. Обучение решению текстовых задач в школьном курсе математики. 5-11 классы. – М.: «Галс», 1998. – 170 с. (см. http://www.shevkin.ru/knigi-st/obuchenie-resheniyu-tekstovy-h-zadach-v-5-6-klassah/)

4. Шевкин А.В. Текстовые задачи по математике. 5-6. – М.: ИЛЕКСА, 2018. – 106 с.

5. Шевкин А.В. Текстовые задачи по математике. 7-11 классы. – М.: ИЛЕКСА, 2017. – 208 с.

6. Шевкин А.В. Текстовые задачи в школьном курсе математики. 5-11 классы. - М.: ИЛЕКСА, 2018. – 246 с.

Шевкин А.В., г. Москва,
avshevkin@mail.ru, www.shevkin.ru

Опубликовано: журнал «Математика в школе», 2018, № 7.

Математика в школе, 4/1988

https://infourok.ru/uchebnotvorcheskiy-proekt-avtori-uchaschiesya-a-klassa-757344.html