Такие похожие «неправильные» дроби
Лупашевская В.Ю.,
	Пукас Ю.О.
МАОУ СОШ № 2, г. Троицк

В диагностической работе для 10 класса, проведённой МИОО 13 мая 2010 года, была предложена очень изящная задача С5:
1. Найти все значения параметра a, при каждом из которых среди значений  есть ровно одно целое число.
Сразу бросается в глаза, что знаменатель дроби положителен при любых значениях x, а из этого следует, что данная функция определена и непрерывна при всех .
Следуя совету, данному в замечательной книге И.И.Мельникова и И.Н.Сергеева «Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах» (в параграфе «Некоторые эффективные преобразования»), выделим целую часть из «неправильной» дроби: 
.
Теперь хорошо видно, что для любого значения параметра а при  числитель дроби обратится в нуль и наша функция обязательно примет значение 1. Нам осталось определить, при каких значениях параметра других целых значений не получится. Для этого надо, чтобы при всех  выполнялось двойное неравенство .
Оно сводится к системе 
Оба дискриминанта должны быть меньше нуля и это приводит нас к ответу .
Не прошло и пяти лет, как 21 января 2015 года эта тема получила дальнейшее развитие в очередной диагностической работе:
2. Найти все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции  содержит отрезок [0; 1].
Самое интересное, что в уже вышедших на тот момент книгах для подготовки к ЕГЭ-2015 по сути такая же задача была, правда, без решения. Вот она:
3. Найти все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции  содержит отрезок [0;1].
Разберем ее решение. Запишем функцию в виде . В силу непрерывности данной функции, отрезок [0; 1] содержится в множестве значений данной функции тогда и только тогда, когда уравнения 
 и  
имеют решения.
Уравнение , равносильное первому уравнению, имеет решение при любом . Уравнение , равносильное второму уравнению, имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:
, откуда  и .
Следовательно, с учетом , получаем окончательный ответ: .
Тут надо отметить, что в первых сборниках тренировочных вариантов для подготовки к ЕГЭ-2010 набор задач С5 был достаточно хаотичен. Конечно, с каждым новым сезоном варианты обновлялись, и в них понемногу стали появляться задания прошедших экзаменов, но в нашем случае вдруг обнаружилась свежая задача из будущей диагностики! И ещё ряд внешне похожих на неё задач, разобраться с которыми стало просто необходимо, ведь они могли (и могут) встретиться и на будущих экзаменах. 
4. Найти все значения параметра а, при каждом из которых множество значений функции  содержит отрезок [2; 3].
Обозначив  и , получим функцию. Знаменатель дроби положителен, и мы приходим к задаче, аналогичной задаче 3, с той лишь разницей, что непрерывную функцию y (t) мы рассматриваем не для , а только при . Отрезок [2; 3] содержится в множестве значений функции тогда и только тогда, когда уравнения y (t) = 3 и y (t) = 2 имеют решения, принадлежащие области определения . 
В первом случае мы получаем уравнение , а во втором – уравнение .
Рассмотрим квадратичную функцию . Абсцисса вершины параболы t0 = , причем f (t0) < 0, так как  при всех значениях b. Так как точка t = –1 удалена от абсциссы вершины параболы на большее расстояние, чем точка t = 1, уравнение f  (t) = 0 будет иметь на отрезке [–1; 1] хотя бы один корень, если f (–1) ≥ 0.
Это условие выполняется при . Но ведь ! Следовательно, здесь b = 1, и нам осталось только убедиться, что при этом значении b и второе уравнение имеет подходящие корни. Итак, b = 1, следовательно, а = –1.
5. Найти все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства  содержит отрезок .
При любых значениях x и a исходное неравенство равносильно неравенству 
.
Введя переменную , получаем квадратное неравенство относительно t:
.
Так как на отрезке  cos x принимает все значения от 0 до 1, то при искомых значениях параметра а график функции  должен иметь следующий вид.
Это выполнится, если  Получаем систему неравенств:  Решив ее, получаем ответ: .
6. Найдите все значения b, при каждом из которых уравнение  имеет хотя бы одно решение на отрезке .
Исходное уравнение равносильно системе 
Для любых x из отрезка  справедливо неравенство , следовательно, на этом отрезке система равносильна уравнению . 
После преобразований получаем уравнение 
	.	(1)
При b = –1 все числа из отрезка являются решениями данного уравнения. Если же b ≠ –1, то уравнение (1) равносильно уравнению tg x = b + 1. Это уравнение имеет решение на отрезке , если b + 1 ≥ 1. Следовательно, b ≥ 0. Итак, ответ: .
7. Найдите все значения параметра k, при каждом из которых уравнение  имеет хотя бы одно решение на отрезке .
Это уравнение равносильно системе  
Заметим, что при  первое уравнение не имеет решений на отрезке, так как в этом случае , а  при всех значениях t. Итак, k > 0. 
Рассмотрим функцию . На указанном отрезке ее производная , следовательно, f (t) убывает при . 
Уравнение f (t) = 0 имеет решение на указанном отрезке, если выполняются оба неравенства: f ()  0 и f ()  0. 
Первое неравенство выполняется при всех значениях k, второе – при . Но из этого множества надо исключить те значения k, при которых . На указанном отрезке (в третьей четверти) это равенство выполняется, если  и . Подставив эти значения в уравнение, получим, что , отсюда находим, что . 
Учитывая это, получаем ответ: .
8. Найдите все значения параметра k, при каждом из которых уравнение 
= 1 не имеет решений на интервале .
Действуя, как в предыдущей задаче, получаем систему 
Убеждаемся, что при  первое уравнение системы не имеет решений на интервале . Далее находим, что при  система не имеет решений на том же интервале, так как в этом случае . 
Теперь рассмотрим функцию  на интервале  при k < 0. Ее производная  равна нулю для каждого значения k < 0 в единственной точке t0, в которой , а . Точка t0 является точкой минимума, так как f ' () = –1 < 0 и f ' () = –4k > 0.
Решив теперь неравенство , мы найдем условия, при которых уравнение f (t) = 0 не имеет решений на интервале . Так как , а , то получаем неравенство , равносильное неравенствам: 
,
а отсюда уже получаем, что . Так как , то . В итоге получаем ответ: . 
9. Найдите все значения параметра а, для каждого из которых область значений функции содержит число 2.
Эта несложная задача только-только появилась в книгах для подготовки к ЕГЭ-2016. Раньше она не встречалась. Ею мы и завершаем наш разбор.
Заметим, что и здесь функция y(x) непрерывна, так как знаменатель . Найдем условия, при которых уравнение  имеет решения. Обозначив , получим уравнение . Рассмотрим параболу . Ее вершина имеет абсциссу . Далее рассуждаем, как в задаче 4. Так как точка t = 1 удалена от вершины параболы на большее расстояние, чем точка t = –1, то уравнение f (t) = 0 будет иметь на отрезке [–1;1] хотя бы один корень при выполнении следующих двух условий:
Из первого неравенства находим, что , а из второго получаем, что . В итоге получаем ответ: .