Заметки на полях «Комментариев» А.Г.Мордковича к моей статье «Сорок три»
Ниже приведен полный текст А.Г. Мордковича, требующий комментариев. Он был опубликован в журнале «Вестник учебной и детской литературы» (№ 3, 2006). Чтобы исправить пару оплошностей, допущенных мною в обзоре его учебников, вовсе не требовался столь пространный текст. Хватило бы нескольких строчек, но цель у него другая. Ему нужно бросить тень на обзор, в котором указано на математические и методические неточности, им допущенные, да так, чтобы представить автора обзора непорядочным человеком, замечания которого злонамеренны, а значит, не достойны внимания читателей журнала. Ему нужно переключить внимание читателей с моих критических высказываний на обсуждение каких угодно проблем. Наши комментарии даны после инициалов А. Ш. и выделены шрифтом.
А.Г. Мордкович
(доктор педагогических наук, профессор, Заслуженный деятель науки РФ, лауреат Премии Президента РФ в области образования, зав. кафедрой математического анализа Московского городского педагогического университета)
Наука или учебный предмет.
Комментарии к статье А.В. Шевкина «Сорок три»
В журнале «Вестник учебной и детской литературы» (№ 1, 2006) помещена статья А.В.Шевкина «Сорок три. Обзор федерального перечня школьных учебников по математике на 2006/07 учебный год». «Наш обзор, — пишет автор, — является навигатором в море школьных учебников. С его помощью учитель может узнать, какие учебники рекомендованы министерством и чем они отличаются друг от друга. А если учителя заинтересует какой-то учебник, то надо разыскать его и все полагающееся к нему дидактическое и методическое обеспечение. Изучить, вникнув во все детали».
К сожалению, сам автор статьи не всегда следует своему же совету «изучить, вникнув во все детали». Об этом, в частности, свидетельствует колонка статьи, посвященная «анализу» моих учебников «Алгебра 7-9», что вынуждает меня сделать некоторые комментарии.
Из статьи А.В.Шевкина следует, что самые плохие учебники – это учебники А.Г.Мордковича. Странно, что педагогическая общественность до сих пор этого не понимает: тиражи моих учебников на порядок больше тиражей учебников А.В.Шевкина, а члены моего авторского коллектива за их создание удостоены Премии Президента РФ в области образования. Вот и пытается автор обзора сбалансировать ситуацию на книжном рынке.
А. Ш. Ничего подобного. Есть учебники похуже, и их авторы тоже лауреаты и победители конкурсов. Одно другого не исключает! А.Г. убеждает читателя в хорошем качестве своих учебников, упоминая большие тиражи и награды, полагая, видимо, что читатель так наивен, что не знает о зависимости тиражей учебников от пробивных способностей автора и его издателя, от их умения заинтересовать чиновников на местах, от того, на какую аудиторию рассчитаны учебники. Неужели «попса» лучше классической музыки только потому, что у последней аудитория не так многочисленна.
Мы пишем свои учебники, стараясь повышать уровень математической подготовки школьников и квалификацию учителей, стараясь сохранить достойное образование в стране. А.Г. пишет в расчете на более массовую аудиторию, которая удовлетворится правдоподобными рассуждениями и симуляцией доказательств, «водой» в учебнике и прочими изобретениями А.Г. Является ли коммерческий успех учебников А.Г. доказательством состоятельности его концепции — это вопрос спорный. А фраза о сбалансировании книжного рынка — ключевая фраза всей его статьи. Он даже не может предположить, что меня действительно волнует проблема обучения школьников по некачественным учебникам, проблема снижения уровня образования в стране. А книжный рынок сбалансируется сам собой без моего вмешательства, когда поймет, какие результаты получаются от работы по тому или иному учебнику. Рынок уже реагирует на эти результаты. Возможно, это и вызывает беспокойство А.Г.
1) А.В. Шевкин пишет: «Автор (имеется в виду А.Г.Мордкович) излишне свободно обращается с понятиями. Они зачастую сначала используются, а потом определяются. Это не неточность, это концепция…. Сначала появляется линейная функция (как частный вид линейного уравнения), потом функция y = x2 и др., после этого определяется понятие «функция», а в 9 классе это понятие еще раз уточняется». Автора обзора, «привыкшего к аккуратному и точному изложению материала в учебнике математики», явно раздражают некоторые вольности речи в моих учебниках, отход от законов формальной логики. Довольно странная позиция для учителя математики с более чем 30-летним стажем, каковым является автор обзора. Попробуем объясниться.
А. Ш. Чего же здесь странного, если автор обзора привык к аккуратному и точному изложению материала и не находит его в учебнике уважаемого А.Г.Мордковича? Здесь бы остановиться и сказать, в чем автор обзора ошибся. Вместо этого А.Г. читает лекцию о своей концепции учебников, против которой я не возражаю, потому что это его система взглядов.
Лет 10-15 назад считалось, что главное в школьном обучении математике — повысить так называемую научность, что в конечном итоге свелось к перекосу в сторону формализма и схоластики, к бессмысленному заучиванию формул. Когда педагогическая общественность начала это осознавать, стало крепнуть (хотя и не без борьбы) представление о том, что школьная математика не наука, а учебный предмет со всеми вытекающими отсюда последствиями. В учебном предмете не обязательно соблюдать законы математики как науки, зачастую более важны законы педагогики и особенно психологии, постулаты теорий развивающего обучения.
А. Ш. Это слабое место в концепции А.Г. Мне не известен ни один специалист, который считал бы школьную математику наукой, а не учебным предметом. С кем воюет А.Г., доказывая обратное, я не знаю. Но опираясь на этот постулат, он разрешает себе писать учебники вне правил логики, даже в тех случаях, когда логику легко сохранить, что всегда предпочтительнее.
Самые трудные вопросы для учителя математики — как и когда должен он вводить на уроке то или иное сложное математическое понятие; как правильно выбрать уровень строгости изложения того или иного материала.
Начнем с определений. Если основная задача учителя — обучение, то он имеет право давать формальное определение любого понятия тогда, когда сочтет нужным. Если основная задача учителя — развитие, то следует продумать выбор места и времени (стратегия) и этапы постепенного подхода к формальному определению на основе предварительного изучения понятия на более простых уровнях (тактика). Таковых уровней в математике можно назвать три:
– наглядно-интуитивный, когда новое понятие вводится с опорой на интуитивные или образные представления учащихся;
– рабочий (описательный), когда от учащегося требуется уметь отвечать не на вопрос «что такое», а на вопрос «как ты понимаешь»;
– формальный.
А. Ш. А.Г. с таким пафосом противопоставляет основные задачи учителя — обучение и развитие, будто не догадывается, что возможна куда более традиционная формулировка этой основной задачи: развитие в процессе обучения (без умаления целей обучения). Это у него не случайная оговорка, это центральный пункт его концепции, позволяющий ему пренебрегать математической точностью при изложении учебного материала в учебнике математики. Я же не против. Поэтому, высказывая свою точку зрения, в обзоре так и пишу: «Пусть о важности (или пустячности) наших замечаний судит читатель — в меру своего согласия (или несогласия) с нашими требованиями к учебнику математики».
Стратегия введения определений сложных математических понятий в наших учебниках базируется на положении о том, что выходить на формальный уровень следует при выполнении двух условий:
– если у учащихся накопился достаточный опыт для адекватного восприятия вводимого понятия, причем опыт по двум направлениям — вербальный — опыт полноценного понимания всех слов, содержащихся в определении, — и генетический — опыт использования понятия на наглядно-интуитивном и рабочем уровнях;
– если у учащихся появилась потребность в формальном определении понятия.
То или иное понятие математики практически всегда проходило в своем становлении три указанные выше стадии (наглядное представление, рабочий уровень восприятия, формальное определение), причем переход с уровня на уровень зачастую был весьма длительным по времени и болезненным. Не учитывать этого нельзя, ибо то, что в муках рождалось в истории математики, будет мучительным и для сегодняшних детей. Надо дать им время пережить это, не спеша переходить с уровня на уровень. Поэтому, в частности, существенной ошибкой, на наш взгляд, является традиция предлагать определение функции не подготовленным для этого учащимся 7-го класса. В наших учебниках это понятие «созревает» с 7-го по 9-й класс. Поначалу, пока изучаются простейшие функции (линейная, обратная пропорциональность, квадратичная и т.д. — в нашей программе это материал 7-8 классов), следует отказаться от формального определения функции и ограничиться описанием, не требующим заучивания. Ничего страшного в этом нет, о чем свидетельствует и история математики. Многие математические теории строились, развивались, обогащались все новыми и новыми фактами и приложениями, несмотря на отсутствие определения основного понятия этой теории. Можно строить теорию, даже достаточно строгую, и при отсутствии строгого определения исходного понятия — во многих случаях это оправданно с методической точки зрения.
Итак, в отличие от сложившихся традиций мы не вводим в 7-м классе определение функции, хотя работаем с функциями и в 7-м, и в 8-м классе очень много. И только в 9-м классе, проанализировав накопленный учащимися опыт в использовании понятия функции и в работе со свойствами функции в курсе алгебры 7-го и 8-го классов, мы убеждаем их в том, что у них появилась и потребность в формальном определении понятия функции.
А.В.Шевкин правильно заметил, что в моем учебнике для 7-го класса сначала появляется линейная функция, потом функция y = ax2 и др. Но он абсолютно неправ, когда пишет, что «после этого определяется понятие «функция», а в 9 классе это понятие еще раз уточняется». Нет никакого определения функции в моих учебниках ни в 7-м, ни в 8-м классе, оно дается один раз – в 9-м классе, это именно определение, а не «уточнение».
А. Ш. Вот здесь А.Г. абсолютно прав. Сокращая и обобщая более полный текст обзора, я допустил совсем не трагическую оплошность, исправление которой не требует такого объема текста, который А.Г. выплескивает на читателя. А все почему? Ему нужно показать неубедительность моих замечаний по его учебникам, а других слабых мест в моей критике нет. Между тем, в учебниках А.Г. для 7 и 8 класса хоть и нет «общего» определения понятия «функция», но есть определения двух функций: «Этот частный вид линейного уравнения (речь идет об уравнении y = kx + m) будем называть линейной функцией» (7 класс, с. 113). «Функцию y = ax2 + bx + c, где a, b, c — произвольные числа называют квадратичной функцией» (8 класс, с. 70). В учебнике для 8 класса А.Г. определяет возрастающую и убывающую функции (с. 215). Мне и в голову не могло прийти, что, не сказав, что такое «функция», можно и нужно давать определения возрастающей и убывающей функции. Возможно, я решил, что проглядел находящееся где-то в книге определение. Не перепроверил — и ошибся. Нужно согласиться с А.Г.Мордковичем, что моя фраза «после этого определяется понятие «функция», а в 9 классе это понятие еще раз уточняется» неточная. Точнее было бы сказать так: «после этого понятие «функция» используется, а в 9 классе это понятие, наконец, определяется».
Что касается свойств функций, то следует подчеркнуть, что фактически весь 7-й класс мы работаем с учащимися на наглядно-интуитивном уровне, весь 8-й класс — на рабочем уровне и только в 9-м классе выходим на формальный уровень.
Новый математический термин и новое обозначение должны появляться мотивированно, только тогда, когда в них возникает необходимость (в первую очередь в связи с появлением новой математической модели). Немотивированное введение нового термина провоцирует запоминание без понимания (и, следовательно, без развития).
А. Ш. Можно подумать, что в своем обзоре я призывал к немотивированному введению новых терминов. Кстати, поймет ли ученик термин «возрастающая функция» и как это повлияет на развитие ученика, если ему в угоду концепции А.Г. не сказали, что такое «функция» — это еще вопрос. А мотивировкой введения новых терминов А.Г. так увлечен, что в его введениях к учебникам написал: «Именно потому из традиционных для любого обучения вопросов что? как? зачем? в данном учебнике на первое место ставится вопрос зачем?» Удивительно, но главный вопрос для российской ментальности — вопрос почему? — оказался у А.Г. нетрадиционным для обучения. Это следствие его надуманной психолого-педагогической концепции школьного учебника математики.
Несколько слов о выборе уровня строгости в учебном предмете, где, в отличие от науки, мы не обязаны все доказывать. Более того, в ряде случаев правдоподобные рассуждения или рассуждения, опирающиеся на графические модели, на интуицию, имеют для школьников более весомую развивающую и гуманитарную ценность, чем формальные доказательства. В нашем курсе все, что входит в программу, что имеет воспитательную ценность и доступно учащимся, доказывается. Если формальные доказательства мало поучительны и схоластичны, они заменяются правдоподобными рассуждениями. Наше кредо: с одной стороны, меньше схоластики, меньше формализма, меньше “жестких моделей”, меньше опоры на левое полушарие мозга; с другой стороны, больше геометрических иллюстраций, больше наглядности, больше правдоподобных рассуждений, больше “мягких моделей”, больше опоры на правое полушарие мозга. Преподавать в постоянном режиме жесткого моделирования — легко, использовать в преподавании режим мягкого моделирования — трудно; первый режим — удел ремесленников от педагогики, второй режим — удел творцов.
А. Ш. Если творец не умеет формальные доказательства сделать поучительными и развивающими мышление ученика там, где это сделать легко, если он заменяет их правдоподобными рассуждениями и симулирует доказательства, то он вредит образованию детей и уровню собственной квалификации. В этом надо отдавать себе отчет.
В школьном математическом образовании сегодня можно выделить три проблемы: школьников не приучают к самостоятельному добыванию информации, к чтению учебной литературы; выбирая между обучением и развитием, отдают предпочтение более легкому — обучению; увлекаясь формальной стороной дела, гипертрофированно занимаются развитием только левого полушария мозга учащегося. Мои учебники нацелены на решение этих проблем: доступное и подробное изложение материала приучает школьников к чтению учебной литературы и к самостоятельному добыванию информации, ориентировано на развитие; активное использование наглядности и опоры на интуицию способствует гармоничному развитию обоих полушарий мозга учащегося.
А. Ш. В статье, посвященной уточнению всего лишь двух фраз в моем обзоре, А.Г. так пафосно вступается за разностороннее развитие учащихся, что у читателя может сложится впечатление, что автор обзора как раз и является сторонником повышении «так называемой научности» во вред развитию учащихся. А это не так.
2) А.В.Шевкин пишет: «По математическому содержанию они (имеются в виду учебники А.Г.Мордковича) мало отличаются от учебников под ред . С.А.Теляковского и Ш.А.Алимова и др.». Интересно, а какие учебники «по математическому содержанию» сильно отличаются от упомянутых старых учебников, коль скоро все они пишутся под одну и ту же программу? Почему именно моим учебникам брошен этот упрек?
А. Ш. Какое «праведное» возмущение! А.Г. делает вид, что не понимает о чем идет речь. А в моей статье показано, что в учебниках А.Г., в отличие от учебников упомянутых авторов, существенно страдает логика изложения материала там, где ее легко было соблюсти. Ведь математическое содержание учебников, это не только список изучаемых вопросов. Математик А.Г. делает вид, что последовательность изложения этих вопросов в учебнике математики не важна. А критиковал я именно негодную последовательность развития материала в его учебниках, а не список изучаемых тем.
3) А.В.Шевкин пишет: «Остается загадкой, почему автор (опять-таки, имеется в виду А.Г.Мордкович) в каждом учебнике сохраняет предисловие с весьма недружественными заявлениями об учебниках других авторов, математическая сторона в которых не так уязвима для критики. В прошлом обзоре мы писали об этом. Повторим только изречение Г.Форда: «Не ругайте конкурентов, совершенствуйте собственную продукцию».
Действительно, в изданиях моих учебников 1997- 2003 годов в Предисловии для учителя была фраза: «Не секрет, что нынешние учебники школьники не читают, редко читают их и учителя». Вот и все «весьма недружественные заявления» (признаю, что фраза неудачна, хотя и недалека от истины). Начиная с издания 2004 года этой фразы в моих учебниках нет, стало быть, нет ее и в учебниках, включенных в федеральный перечень, а потому неуместно упоминание о ней в обзоре, посвященном федеральному перечню на 2006/07 учебный год.
А. Ш. Вот здесь А.Г. прав. В 1997 г. в газете «Первое сентября» было опубликовано интервью с ним «Учебники бывают холодными и теплыми». Там были такие удивительные отзывы об учебниках его предшественников: «До сих пор все учебники были написаны так, что читать их было нельзя. А если нельзя читать, то невозможно было обсуждать». Там же он говорил о своих учебниках: «Почему же так много теории? Да потому, что у меня 40 % информации, а 60 % — «воды», то есть рассуждений об изучаемом, об особенностях математического языка, различные отступления, замечания и т.д. Учебник написан нормальным человеческим языком, его можно читать в отличие от ныне существующих, где нет нормального языка, а есть свод инструкций.»
Ничто не предвещало изменения позиции А.Г. в этом вопросе, да она и не изменилась. Помните: «фраза неудачна, хотя и недалека от истины»? Может быть, поэтому я не обратил внимание на то, что упомянутую выше фразу он действительно снял.
4) Говоря об учебниках К.С.Муравина и др., А.В.Шевкин отмечает, что они «строятся с опорой на функциональный подход, … отдают дань математическому языку и математическим моделям…. Упражнения разделены по уровням сложности». Я с этим согласен. Но почему автор обзора не заметил (не захотел заметить?), что математический язык и математическая модель – ключевые слова в моих учебниках, его идейный стержень? Почему автор обзора не отметил (не захотел отметить?) основное отличие моих учебников от остальных — приоритет функционально-графической линии. Почему, наконец, он не подчеркнул (не захотел подчеркнуть?), что в каждом параграфе наших задачников имеются упражнения четырех уровней трудности и что в каждом блоке однотипных упражнений четко выдерживается линия постепенного нарастания трудности? Вероятные ответы на эти вопросы – в конце статьи.
А. Ш. Как А.Г. нагнетает напряженность: не захотел заметить? не захотел отметить? не захотел подчеркнуть? Он во всем видит мою злонамеренность, а объясняется все очень просто. «Вода» про математические модели и математический язык в исполнении А.Г. требовала более подробного разговора, а в отведенном объеме мне хотелось сделать более важные замечания, которые автор мог бы учесть, если он хотел бы совершенствовать свои учебники.
5) Из статьи А.В.Шевкина следует, что лучшие учебники – это учебники серии «МГУ – школе» С.М.Никольского и др., которые «начинают единственную завершенную «сквозную» линию учебников для 5-11 классов, написанную одним авторским коллективом. Ее отличает большое внимание к последовательности и обоснованности изложения материала… Авторы учебников внимательно относятся к вопросу «Почему?»… и т.п. (далее следует много хвалебных слов).
А.В.Шевкин лукавит, когда говорит о «единственной завершенной «сквозной» линии учебников для 5-11 классов, написанной одним авторским коллективом». Авторский коллектив под моим руководством имеет свою сквозную линию учебников для 5-11 классов, причем полностью оснащенную разнообразным методическим обеспечением — книги для учителя, контрольные и самостоятельные работы, рабочие тетради, тесты (кстати, я не уверен, что все это есть в той «единственной сквозной линии», о которой говорит А.В.Шевкин).
А. Ш. Здесь вышел просто конфуз. Я пишу «одним авторским коллективом» в смысле «одни и те же авторы» (у него в каждом комплекте новые соавторы), а А.Г. возмущается, что его коллектив тоже написал «сквозную» линию. Разве он меня опроверг?
Завершая свою статью, повторю изречение Г.Форда, которое было приведено в обзоре А.В.Шевкина и упомянуто выше: «Не ругайте конкурентов, совершенствуйте собственную продукцию».
А. Ш. Завершая свои заметки на полях «Комментариев» А.Г. Мордковича к моей статье, отмечу, что в стране делается слишком много для подрыва школьного математического образования, плохое качество которого скажется очень сильно на многих сторонах нашей жизни. Достойно сожаления, что математик А.Г. Мордкович не радеет за сохранение традиционных ценностей школьного математического образования, оберегая свои учебники от критики всеми доступными ему способами. Бог ему судья!