Статьи

Сохраняйте спокойствие!

Предварительное замечание. Размещаем ответ учителя математики Пукаса Ю.О. на статью неизвестного автора «Не корысти ради — за державу обидно!» (сайт «Учительской газеты» http://www.ug.ru/issues08/?action=topic&toid=7166.

Пукас Ю.О.
МОУ «Гимназия г. Троицка»

Сохраняйте спокойствие!

«В типовых вариантах ЕГЭ 2010 года анонсированы задачи олимпиадного типа на делимость, среди которых встречаются целые диофантовы уравнения 2-й и 3-й степени, трансцендентные диофантовы уравнения и задачи, для решения которых в сборниках олимпиадных задач рекомендуется использовать теорию сравнений и теорию непрерывных дробей»… (из заметки «Не корысти ради — за державу обидно!»)

Уважаемая Екатерина Алексеевна, где Вы это прочитали, или услышали? Вас явно дезориентировали! Кто и когда Вас обманул, я не знаю, во всяком случае, в книге «Подготовка к ЕГЭ по математике в 2010 году. Методические указания» (И.В. Ященко, С.А. Шестаков, П.И. Захаров) о задании С6 говорится следующее:

«Тип задания: Задание на свойства целых чисел. Характеристика задания: Задача, связанная со свойствами делимости целых чисел, логическим перебором.

Комментарий: Задание олимпиадного типа, рассчитанное на сильных учащихся. Постарайтесь продвинуться в его решении – для этого не требуется никаких специальных знаний, выходящих за рамки стандартного математического образования, однако необходимо проявить определенный уровень математической культуры, логического мышления, который формируется при решении задач профильного уровня на протяжении всего обучения в школе.

И это действительно так, а сомневающихся я постараюсь немного переубедить и успокоить, приведя конкретные примеры. Если смогу, конечно.

Хотя цепные дроби использует В.И. Романовский в своем очень интересном решении задачи «о дроби 5/8», размещенном на этом сайте (?action=Page&ID=752 см. вариант 14), но есть и другие пути, ведущие к цели, и понятные обычному школьнику. В свое время на втором туре 4-й Соросовской олимпиады эту задачу с удовольствием решали почти 22 тысячи (21934) девятиклассников, и никто не бился в истерике. Что изменилось за 11 лет? Почему умницами и отличниками стали считаться те, кто действует лишь по шаблонам, по готовым рецептам, а предложение подумать воспринимает, как унижение? Рассмотрите график
y = (5/8)x = (60/96)x на координатной плоскости (я представлял это на клетчатой бумаге) …

Задача С6 из демонстрационного варианта 2010 г. (автор И.Н. Сергеев) предлагалась выпускникам 2006 года на 69-ой Московской математической олимпиаде. В варианте из шести задач она шла под вторым номером (№ 11.2), то есть по замыслу организаторов, была несложной. Так и оказалось. Если оценивать ее как на ЕГЭ в 4 балла, то из 984-х участников такую оценку получили бы тогда 48 человек, 49 человек — 3 балла, 390 — 2 балла. Пусть тот, кто найдет в авторском решении «анонсированные» кем-то страшные вещи, первым бросит в меня камень.

Все без исключения задачи С6, появившиеся в опубликованных типовых вариантах ЕГЭ-2010, уже предлагались ранее на различных олимпиадах (не только на ММО). Из тех задач, по которым сохранилась статистика, наибольшие трудности в свое время вызвала задача № 9.4 65-ой ММО: «Найдите все целые числа x и y, удовлетворяющие уравнению x4 – 2y2 =  1.» (автор В. Сендеров, 703 участника, 4 человека — 4 балла, 3 человека — 3 балла, 7 человек — 2 балла, 1 человек — 1 балл.)

Попробуем в ней разобраться. Бросается в глаза формула сокращенного умножения. Можно также заметить, что x — нечетное число, и что знаки x и yможно выбирать произвольно. Договоримся искать неотрицательные решения.

Пусть x = 2t + 1, тогда: (x4 – 1) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 1) = 2t(2t + 2)(4t2 + 4t + 2) =
= 2y2. Тогда 4t(t + 1)(2t2 + 2t + 1) = y2 и y — чётное число. Пусть y = 2z, тогда
t(t + 1)(2t2 + 2t + 1) = z2. Числа t, (t + 1) и (2t2 + 2t + 1) = (2t(t + 1) + 1) попарно взаимно просты, а их произведение — полный квадрат. Отсюда следует, что каждое из них также является полным квадратом. Это возможно только при t = 0, иначе (t + 1) не будет квадратом! Тогда и z = 0, получаем, что x = ±1, y = 0.

Трудность решения этой задачи оценивать сейчас не берусь, я просто пересказал вам авторское решение. Сейчас не помню, решал ли я эту задачу в 2002 году, а если решал, то насколько успешно.

«Мне ясно дали понять, что на ЕГЭ будут задачи московских математических олимпиад».

Это опять не так. Ваши источники не заслуживают никакого доверия. Это просто какие-то цыгане-гипнотизеры. Задачи будут оригинальные. Я уверен, что команда разработчиков постарается и предложит очень красивые, возможно трудные, но понятные и простые в объяснении задачи. Но как запретить привыкшим к решебникам родителям и их детям-митрофанушкам скупать замечательный и прекрасно изданный (тираж 5000) сборник «Московские математические олимпиады 1993-2005 г.»? Жаль, конечно, что такие книги будут пылиться на домашних полках. Может внукам пригодятся? Добавлю только, что в 1986 году весь тираж книги (680000 экземпляров) «Московские математические олимпиады» (Г.А. Гальперин, А.К. Толпыго) очень быстро разошелся по стране советской, покупали для детей, покупали для себя, как память о школьных годах. Страна была другая, фильмы выходили: «Доживем до понедельника», «Точка, точка, запятая», «Гостья из будущего». А уровень сложности вариантов вступительных экзаменов тех далеких лет в ведущих ВУЗах страны превосходил уровень сложности задач группы С вариантов ЕГЭ-2010.

«Мои ученики быстро сообразили, что самостоятельно разобраться в этом невозможно, и попросили меня провести дополнительные занятия по этим темам.

А в чем могут сами разобраться эти «быстрые разумом Невтоны»? Неужели группа В, С1 и С2 их совсем не беспокоят? Опираясь на свой личный опыт, рискну предположить вот что. Взглянув на типовой вариант (мы говорим о тех, кто все же взглянет) нынешний среднестатистический выпускник сразу поймет, что В12 он не решит («никогда не умел задачи решать, да и в Интернете решения группы В будут, скачаю на мобильник»), не станет он решать и С1 («там тригонометрия, а я формулы не помню»), разумеется, что не станет он просить дополнительных занятий по геометрии («все равно не запомню ни теорем, ни формул»), а на последней задаче взгляд его все же задержится (числа целые, даже написано – простые, это не страшные дроби): «А вот это мне объясните»…

«Я взяла для начала вполне добротные разработки В. Болтянского и Г. Левитаса «Делимость чисел и простые числа. Факультативный курс для 7-8 классов». Первые два занятия мы разбирали свойства делимости целых чисел и теорему о делении с остатком (теорему Евклида). На третьем занятии начали разбирать понятие сравнения целых чисел по модулю натурального числа m с использованием записи a = b (mod m).»

Выбор книги и характер первых занятий не кажется мне удачным. С новыми понятиями лучше знакомится, решая и разбирая простые, красивые задачи. Например, есть очень хорошая зелененькая книжечка «Задачи по математике для внеклассной работы в 5-6 классах: Пособие для учителей». Составитель В.Ю. Сафронова. МИРОС, 1993. С предисловием члена-корреспондента Российской академии образования А.М. Абрамова (яркого и последовательного противника разрушительных «реформ» образования: «лысенковщина», так называет их Александр Михайлович). Цитаты из этого предисловия очень современны: «В настоящее время сложилась ситуация, требующая быстрых и решительных мер, направленных на возрождение лучших традиций работы с учениками, проявляющими интерес и способности к математике». И не очень хорошо сейчас, когда имеется продуманный план действий по спасению уже летящего в пропасть лжи образования (смотрите № 20 газеты «Математика»), ради сохранения своего спокойствия («нас и так хорошо кормят») мешать переменам.

Я понимаю, что «Приглашение на Математический праздник» Ивана Валерьевича Ященко Екатерину Алексеевну никак не устроит (ведь понятно, что это злодей завлекает малолеток в свои дьявольские сети (ровно 2008 участников в 2008 году), просто «сажает их на иглу»). Но есть еще «Задачи на смекалку» И.Ф. Шарыгина и А.В. Шевкина, да и «Арифметика» С.М. Никольского будет интересна начинающим. Вот еще одна цитата из упомянутого предисловия А.М. Абрамова: «Чтобы ученик 7 или 8 класса начал всерьез заниматься математикой, необходимо, чтобы на предыдущих этапах он почувствовал, что размышления над трудными, нестандартными задачами могут доставлять подлинную радость».

Вот пример одной такой задачи (мне доподлинно известно, что она будет в одном из вариантов ЕГЭ-2010, вот увидите, я никогда не шучу): «Используя в качестве чисел любое количество монет достоинством 1, 2, 5 и 10 рублей, а также (бесплатные) скобки и знаки четырех арифметических действий, составьте выражение со значением 2009, потратив как можно меньше денег» (автор И.В.Ященко).

Я очень люблю решать и объяснять олимпиадные задачи, но окажись на месте Екатерины Алексеевны, не стал бы этим увлекаться. Задал бы для начала ученикам подумать дома над интересной задачей, например, над только что приведенной, или над логической задачей о кофейне, опубликованной на этом сайте в разделе новости 5 февраля 2009 года, а все силы и время дополнительных занятий направил бы на С2 и С3, разбавляя эту монотонную работу показом простых решений специально подобранных красивых задач (они будут регулярно здесь на сайте появляться, заглядывайте чаще). Именно задачи С2 и С3 определят успех ученика на ЕГЭ-2010. Это чисто технические задачи, но тому, кто их освоит (я и об учителях говорю), станут вдруг понятнее задачи на идею: С5 и С6.

Задача. В кофейне встретились 55 индийцев и турок, каждый из которых пил чай либо кофе. Все индийцы говорят правду, когда пьют чай и обманывают, когда пьют кофе, а все турки — наоборот. На вопрос «Вы пьете кофе?» ответили «да» 44 человека, на вопрос «Вы турок?» — 33 человека, а с утверждением «На улице идет дождь» согласилось 22 человека. Сколько индийцев в кофейне пьют чай?

«А потом дети придут домой, отдохнут, успокоятся, решат все задачи ЕГЭ и будут рыдать, думая, что они такие глупые».

Не встречал я таких детей, а тех, кто прыгает счастливый на улице, сдав чистый бланк через 15 минут, встречал. И тех, кто реально читать не умеет в 10-м классе, встречал. Чтобы отдохнуть, надо устать, чтобы решить все задачи, надо уметь их решать. Две недели назад привели ко мне десятиклассника, «запустившего немного учебу». Чтобы занять мальчика на 5 минут (пока закончу какое-то дело), раскрыл перед ним «Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. 9 класс» (пять месяцев назад ему из него давали экзаменационную работу). Работа № 1. Вариант 1. «Я ничего этого не умею», — последовал мгновенный ответ, — «но мы проходим сейчас тригонометрию, а я её не понимаю, научите». И ведь действительно ничего не умеет! Он так и не смог приступить к решению первого номера — квадратного уравнения, хотя нужную страницу учебника за 8 класс я перед ним положил. Желая выяснить, с чего нам начинать заново учиться, предложил решить простейшие уравнения из учебника «Алгебра-7» Алимова, ожидая от ученика ошибок при раскрытии скобок. Но я ошибся!

№ 691. 1) 2(x – 1) = 3(2x – 1);             2) 3(1 – x) = 4 – 11;

               3) 3 – 5(x – 1) = x – 2;           4) 3(x – 2) – 2(x – 1) = 17.

Первый номер у парня не получился, куда-то все «иксы» исчезли, не «сократились», а как-то просто их не стало (к сожалению, записи не сохранились, но раскрытием скобок это точно нельзя было назвать). Объяснил ему все очень подробно, стрелочки рисовал. Во втором номере опять какой-то непонятный бред, даже подчеркнуть нечего. Объяснил и второй. Третий пример ученик делать уже не стал, смотрел в окно, терпеливо ждал моих новых объяснений. Умеет, как выяснилось, только переписывать из решебников. Не зная, что с ним делать, я отправил его домой. Уходя, он еще раз попросил научить его тригонометрии. «Предыдущий репетитор ведь объяснял ее!». Был бы выпускником, просил бы «модули» и С6 объяснить. Возможно, что, придя домой, он отдохнет, успокоится и решит все предложенные мною задачи. А приходивший в этот четверг выпускник только с помощью калькулятора смог перевести 4/5 в десятичную дробь, моих объяснений, как это делается, он не понял. Не понял он и как «икс» разделить на «два икс», отложили это до следующей встречи. Номеров шесть из группы В он делает уверенно, двойка ему не грозит. Но он, кажется, хочет стать инженером, а это небезопасно для общества, для страны, будем с ним работать, наверстывать.

«Из этой статьи я узнала, что, по мнению известного ученого-методиста, «Задание С5 умеют решать 1 % учителей». Тут гордиться нечем! Немудрено придумать задачу, которую мало кто решит, мудрено научить решать такие задачи! Вот бы известному ученому-методисту написать пособие для учителей «Методика составления и решения олимпиадных задач»! Учителя сказали бы спасибо».

Таких книг много. Факультативный курс И.Ф. Шарыгина (решение задач 10, 11), «Как решают нестандартные задачи» (А.Я. Канель-Белов, А.К. Ковальджи), «Практикум по решению задач» А.Г. Мордковича и В.Н. Литвиненко… А стандартные задания С2 и С3 многие учителя умеют решать? О номерах С4 и не спрашиваю. Может именно эти задачи, а не олимпиадные, напугали привыкших к «открытым текстам» математиков? Методикой составления трудных олимпиадных задач овладевать не обязательно, особенно, если не умеешь их решать. А чтобы научиться решать задачи С5 и С6 (как и более простые), надо начать их решать. Сказал же как-то Д. Пойя: «Хотите научиться плавать — войдите в воду, хотите научиться решать задачи — решайте их». Советую принять участие в 5-м заочном творческом конкурсе учителей математики, в январе появятся его задания. Но это не обязательно! Главное, чтобы задачи решали наши ученики, чтобы они над ними думали. Чтобы им занятие это нравилось. Для начала объявите в своих школах, что

24 января 2010 года состоится Зимний тур турнира Архимеда по математике (6–7 класс) Приглашаются все желающие (в том числе пятиклассники),

В воскресенье, 14 февраля 2010 года пройдет  XXI Математический праздник[1].

Закончу словами недавно ушедшего Израиля Моисеевича Гельфанда: «Жил я в маленьком городишке с единственной школой. Моим преподавателем математики был очень добрый, хотя с виду и суровый человек по фамилии Титаренко. У него были большие запорожские усы. Лучшего учителя я не встречал, хотя я знал больше него. И он это понимал. Он очень любил и всячески ободрял меня. Ободрять — самое главное для учителя, не так ли?»

[1] Более полная информация на сайте Московского центра непрерывного образования (МЦНМО) http://www.mccme.ru/

www.Shevkin.ru | © 2004 - 2017 | Копирование разрешено с ссылкой на оригинал